4.1.2 无理数指数幂及其运算性质-2024-2025学年高一数学同步教材精品课件（人教A版2019必一）

第 4 章 指数函数与对数函数 4.1.2 无理数指数幂及其运算性质 人教A版2019必修第一册 条件求值 3 无理数指数幂的探究 1 指数幂的运算 2 目录 教学目标 1.了解指数幂由有理数扩充到无理数的过程. 2.理解指数幂的运算性质. 3.能进行指数幂(实数幂)的运算。 情景导入 01 情景导入         公元前5世纪，古希腊有一个数学学派名叫毕达哥拉斯学派，其学派中的一个成员希帕索斯考虑了一个问题:边长为1的正方形其对角线长度是多少呢？他发现这一长度既不能用整数，也不能用分数来表示,希帕索斯的发现导致了数学史上第一个无理数内的诞生. 希帕索斯 情景导入         思考 ：根据初中所学知识，思考一下边长为1的正方形的对角线长是如何计算出来的呢？ 提示 ：根据勾股定理可以计算出正方形的对角线长为上面我们将中指数的取值范围从整数拓展到了有理数． 那么，当指数是无理数时意义是什么？它是一个确定的数吗？如果是，那么它有什么运算性质呢？ 无理数指数幂 02 概念讲解 目前我们将 ax (x＞０)中的指数x的取值范围从整数拓展到了有理数． 当指数x是无理数时，ax 的意义是什么？它是一个确定的数吗？如果是，那么它有什么运算性质？ 在初中的学习中，我们通过有理数认识了一些无理数. 类似地，也可以通过有理数指数幂来认识无理数指数幂. 概念讲解 探究：根据的不足近似值x和过剩近似值y，利用计算工具计算相应的5x，5y的近似值并填入表中，观察它们的变化趋势，你有什么发现？ 不足近似值：舍而不进，按照所需要的精确度截取指定数位后，直接略去后面的数位，这样就得到了一个小于真实值的近似值，叫做不足近似值； 过剩近似值：进一而舍，按照所需要的精确度截取指定数位后，不管去掉部分最高位是否四舍五入而全都进位，即保留部分的最后一位数加1，这样就得到一个大于真实值的近似值，叫做过剩近似值. 概念讲解 的过剩近似值 5x的近似值 的过剩近似值 5y的近似值 1.4 1.5 1.41 1.42 1.414 1.415 1.414 2 1.414 3 1.414 21 1.414 22 1.414 213 1.414 214 1.414 213 5 1.414 213 6 1.414 213 56 1.414 213 57 1.414 213 562 1.414 213 563 … … … … 9.518 269 694 9.672 669 972 9 9.735 171 039 9.738 305 174 9.738 461 907 9.738 508 928 9.738 516 765 9.738 517 705 9.738 517 736 ………… 11.180 339 89 9.829635 328 9.750 851 808 9.739 872 62 9.738 618 643 9.738 524 602 9.738 518 332 9.738 517 862 9.738 517 752 ………… 概念讲解 由图表可以发现，当的不足近似值x和过剩近似值y逐渐逼近时，5x和5y都趋向于同一个数，这个数就是．也就是说，是一串逐渐增大的有理数指数幂51.4，51.41，51.414，51.4142，…和另一串逐渐减小的有理数指数幂51.5，51.42，51.415，51.4143，…逐步逼近的结果，它是一个确定的实数． 概念讲解 思考：参照以上过程，你能再给出一个无理数幂，如，说明它也是一个确定实数吗？ 概念讲解 无理数指数幂 一般地，无理数指数幂aα(a＞0，α为无理数)是一个确定的实数。 定义 (1)对于无理数指数幂,我们只需要了解两点: ①它是一个确定的实数; ②它是有理数指数幂无限逼近的结果.(2)定义了无理数指数幂之后,幂的指数就由原来的有理数范围扩充到了实数范围. 说明 概念讲解 这样我们就将指数幂中指数x的取值范围从整数逐步扩展到了实数。实数指数幂是一个确定的实数。 整数指数幂的运算性质也适用于实数指数幂，即对于任意实数r，s，均有下面的运算性质. 无理数指数幂运算 03 概念讲解 例1.计算下列各式： （1）; （2）. 解：（1）原式= （2）原式= 概念讲解 概念讲解 进行指数幂运算时 （1）将系数、同类字母归在一起，分别计算； （2）化负指数为正指数， （3）化小数为分数进行运算，从而便于进行乘除、乘方、开方运算，可以达到化繁为简的目的． 归纳小结 条件求值 04 概念讲解 (1)a+a-1;　(2)a2+a-2;　(3)a2-a-2. 分析:解答本题可从整体上寻求各式与条件的联系,进而整体代入求值. 概念讲解 得a+a-1+2=5,即a+a-1=3. (2)由a+a-1=3,两边平方,得a2+a-2+2=9, 即a2+a-2=7. (3)设y=a2-a-2,两边平方,得 y2=a4+a-4-2=(a2+a-2)2-4=72-4=45. 概念讲解 2.已知 解: 同理 课堂小结 05 课堂小结 当的不足近似值从小于的方向逼近时,的近似值从小于的方向逼近; 当的过剩近似值从大于的方向逼近时,的近似值从大于的方向逼近,所以是一个确定的实数. 练习：计算下列各式． (1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\f(7,9)))eq \s\up12(0.5)＋0.1－2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\f(10,27)))eq \s\up12(－\f(2,3))－3π0＋eq \f(37,48)； (2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(－\r(2))×（\r(2\r(2))）\s\up11(\f(2 \r(2),3))))eq \s\up11(\f(\r(2),2)). 解：(1)原式＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(25,9)))eq \s\up11(\f(1,2))＋102＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(64,27)))eq \s\up12(－\f(2,3))－3＋eq \f(37,48) ＝eq \f(5,3)＋100＋eq \f(9,16)－3＋eq \f(37,48)＝100 (2)原式＝(2eq \r(2)×2eq \s\up11(\f(\r(2),2)))eq \s\up11(\f(\r(2),2))＝(2eq \s\up11(\f(3 \r(2),2)))eq \s\up11(\f(\r(2),2))＝2eq \s\up11(\f(3,2))＝2eq \r(2). 例2：已知(a>0),求下列各式的值: 解:(1)将的两边平方, 所以y=±3,即a2-a-2=±3. $$