14.1 平方根（同步课件）-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂（冀教版）

14.1 平方根 数学（冀教版） 八年级 上册 第十四章 实数 学习目标 1.了解算术平方根的概念，会用根号表示一个数的算术平方根. 2.会求非负数的算术平方根，掌握算术平方根的非负性. 3.什么是平方根？如何表示一个非负数的平方根？ 4.如何求一个非负数的平方根？ 　 导入新课 自由下落物体的高度 (米)与下落时间 (秒)的关系为h=4.9t2 ．有 一铁球从19.6米高的建筑物上自由下落，到达地面需要多长时间？ 解：当h=10时 ，得19.6=4.9t2 ， 所以 t2=4 那t应为何值呢？ 讲授新课 知识点一 算术平方根 　 学校要举行美术作品比赛，小鸥想裁出一块面积为25dm2的正方形画布，画上自己的得意之作参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少？ 因为52=25，所以正方形画布的边长应取5dm. 讲授新课 正方形的面积/dm2 1 9 16 36 正方形的边长/dm 若题中的面积变为下表中的数值，你能知道对应的正方形画布边长吗？ 1 3 4 6 上面的问题，实际上是已知一个正数的平方，求这个正数的问题. 讲授新课 知识梳理 算术平方根 定义：正数a有两个平方根± ，我们把正数a的正的平方根 ，叫做a的算术平方根. 算术平方根的记法： a（a≥0）的算术平方根记为 ，读作“根号a”，a叫做被开方数. 0的平方根也叫做0的算术平方根，即 讲授新课 1.一个正数的算术平方根有几个？ 0的算术平方根有一个，是0. 2.0的算术平方有几个？ 负数没有算术平方根. 3.-1有算术平方根吗？负数有算术平方根? 一个正数的算术平方根有1个 合作与交流： 算术平方根的性质 讲授新课 典例精析 【例1】分别求下列各数的算术平方根： （1）100， （2） ， （3） 解:（1）由于102=100， 因此 ； （2）由于 2= ， 因此 ； （3）由于0.72=0.49， 因此 . 讲授新课 【例2】计算： （1） ； （2） . 解：(1)原式=7+3-1=9； (2)原式=2+3-4=1. 讲授新课 练一练 的算术平方根是（　　 ） A． B． C． D．5 B 2.的算术平方根是（ ） A．9 B．3 C． D．-3 B 讲授新课 3.填空： (1)一个数的算术平方根是3，则这个数是 . (2)一个自然数的算术平方根为a，则这个自然数是___；和这个自然数相邻的下一个自然数是________. (3) 的算术平方根为 . (4)2的算术平方根为____. 3 9 a2 a2+1 讲授新课 知识点二 算术平方根的双重非负性 1. 负数有算术平方根吗？ 2. 是什么数？ 3. 中的a可以取任何数吗？ 也就是说，非负数的“算术”平方根是非负数.负数不存在算术平方根，即当 a＜0 时， 无意义. 的双重非负性 1.被开方数a≥0 2.a的算术平方根 讲授新课 算术平方根具有双重非负性 a的算术平方根 非负数 非负数 算术平方根的双重非负性 讲授新课 典例精析 解: 因为|m-1| ≥0， ≥0，又|m-1| + =0, 所以 |m-1| =0， =0，所以m=1,n=-3, 所以m+n=1+(-3)=-2. 【例3】若|m-1| + =0,求m+n的值. 【点睛】几个非负数的和为0，则每个数均为0，初中阶段学过的非负数有绝对值、偶次幂及一个数的算术平方根. 讲授新课 练一练 3.若 ，则a= ； 2.若 ，则m= ； 4.若｜a-3|+ ，则代数式 =___. 1.若|a+3|=0 ， 则a= ； -3 7 5 -1 讲授新课 知识点三 平方根 思考 如果一个数的平方等于9，这个数是多少？ 从前面我们知道，这个数可以是3. 除了3以外，还有没有别的数的平方也等于9呢？ 由于(-3)2=9，这个数也可以是-3. 因此，如果一个数的平方等于9，那么这个数是3或-3. 讲授新课 根据上面的研究过程填表： x2 1 16 36 49 x ±1 ±4 ±6 ±7 一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫作a的平方根或二次方根.这就是说，使得x2=a，那么x叫做a的平方根. 讲授新课 例如，3和-3是9的平方根，简记为±3是9的平方根. 求一个数a的平方根的运算，叫做开平方. 我们看到，±3的平方等于9，9的平方根是±3，所以平方与开平方互为逆运算，根据这种互逆关系，可以求一个数的平方根. 讲授新课 1 4 9 +1 -1 +2 -2 +3 -3 1 4 9 +1 -1 +2 -2 +3 -3 开平方 平方 讲授新课 典例精析 【例4】求下列各数的平方根： （1）100； （2） ； （3）0.25. 解：（1）因为(±10)2=100，所以100的平方根是±10； （2）因为 ，所以 的平方根是 ； （3）因为(±0.5)2=0.25，所以0.25的平方根是±0.5. 讲授新课 思考 正数的平方根有什么特点？0的平方根是多少？负数有平方根吗？ 正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的平方根就是这个数的算术平方根. 因为02=0，并且任何一个不为0的数的平方都不等于0，所以0的平方根是0. 正数的平方是正数，0的平方是0，负数的平方也是正数，即在我们所认识的数中，任何一个数的平方都不会是负数，所以负数没有平方根. 讲授新课 归纳： 正数的平方根有两个，它们互为相反数； 0的平方根是0； 负数没有平方根. 我们知道，正数a的算术平方根可以用 表示；正数a的负的平方根，可以用符号“ ”表示，故正数a的平方根可以用符号“ ”表示，读作“正、负根号a”. 例如， . 讲授新课 练一练 1、求下列各式的值： （1） ； （2） ； （3） . 解：（1）因为62=36，所以 ； （2）因为0.92=0.81，所以 ； （3）因为 ，所以 . 当堂检测 1.填空：（看谁算得又对又快） (1) 一个数的算术平方根是3，则这个数是 . (2) 一个自然数的算术平方根为a，则这个自然数是___；和这个自然数相 邻的下一个自然数是_______. (3) 的算术平方根为 . (4) 2的算术平方根为____. 3 9 a2 a2+1 当堂检测 2.求下列各数的算术平方根: （1）169； (2) ； (3) 0.0001. 解：(1)因为132 =169,所以169的算术平方根是13， 即 (2)因为 ,所以 的算术平方根是 ， 即 (3)因为0.012 =0.0001,所以0.0001的算术平方根 是0.01，即 当堂检测 3. 分别求 64， ，6.25的平方根. 解：因为 　 ， 　　　所以16的平方根是 　， 即 　 .     当堂检测 4.已知： 求X-3Y+4Z的值. 解：由题意得： 解得 当堂检测 5.自由下落物体下落的距离h（米）与下落时间t（秒）的关系为 有一铁球从19.6米高的建筑物上自由下落，到达地面需要多长时间？ 解:将h＝19.6代入公式 ， 得 ， 所以正数 (秒). 即铁球到达地面需要2秒. 当堂检测 6.设n为正整数，且，则n的值为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 D 7.若2＜＜3，则a的值可以是（　　） A．﹣7 B． C． D．12 C 当堂检测 8.如果一个数的两个平方根时a+3,2a-15,那么这个数是多少？ 解：因为一个数正数的两个平方根互为相反数， 所以（a+3）+（2a-15）=0, 解得a=4， 当a=4时，a+3=7，2a-15=-7. 即这个数是49. 当堂检测 9．已知a－1和5－2a都是m的平方根，求a与m的值. 解：根据题意，分以下两种情况： ①当a＝1与5－2a是同一个平方根时，则a－1＝5－2a，解得a＝2. 此时，m＝(2－1)2＝1； ②当a－1与5－2a是两个平方根时，则a－1＋5－2a＝0，解得a＝4. 此时，m＝(4－1)2＝9. 综上所述，当a＝2时，m＝1；当a＝4时，m＝9 当堂检测 课堂小结 一般地，如一个正数x的平方等于a，即x2=a ，那么这个正数x就叫做a的算术平方根. 0的算术平方根是0. 算术平方根： 中的双重非负性： a≥0 课堂小结 小数位数无限，且小数部分不循环的小数称为无限不循环小数. 算术平方根的规律 无限不循环小数 被开方数的小数点向右每移动2位，它的算术平方根的小数点就向右移动1位； 被开方数的小数点向左每移动2位，它的算术平方根的小数点就向左移动1位. 课堂小结 平方根的性质 平方根的概念 正数有两个平方根，两个平方根互为相反数；0的平方根是0； 负数没有平方根. 开平方及相关运算 一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫作a的平方根或二次方根.a﹙a≥0﹚的平方根表示为 . 谢 谢~ 10．某公路规定汽车行驶速度不得超过80 km/h，当发生交通事故时，交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆行驶的速度，所用经验公式是v＝16eq \r(df)，其中v表示车速(单位：km/h)，d表示刹车后车轮滑过的距离(单位：m)，f表示摩擦系数．在一次交通事故中，经测量，d＝16 m，f＝1.69.请你判断一下，肇事汽车当时的速度是否超出了规定的速度？ 解：将d＝16 m，f＝1.69代入公式得v＝16eq \r(16×1.69)＝83.2(km/h)， ∵83.2＞80，∴肇事汽车违规超速 $$