九年级数学第三次月考卷（鲁教版，九上全部+九下第五章圆）-学易金卷：2024-2025学年初中上学期第三次月考

2024-2025学年九年级上学期第三次月考卷 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；填空题和解答题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 第Ⅰ卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题4分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. _______________ 12. ________________ 13. ________________ 14. ________________ 15. ________________ 16. ________________ 三、解答题（共86分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（6分） 19．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（8分） 21．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22．（8分） 23．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24．（10分） 25．（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 26．（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年九年级数学上学期第三次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：鲁教版第一章反比例函数15%+第二章直角三角形的边角关系15%+第三章二次函数25%+第四章投影与视图20%+第五章圆25%。 5．难度系数： 0.65。 第一部分（选择题 共40分） 1、 选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1.如图，将三棱柱的一个角切割掉，所得几何体的左视图为（    ）    A．   B．   C．   D．   2.利用科学计算器计算，下列按键顺序正确的是（    ） A．   B．   C．   D．   3.如图，四边形是的内接四边形，，则的度数是（   ）． A． B． C． D． 4.如图是由5个完全相同的小正方体搭成的几何体，如果将小正方体A放置到小正方体B的正上方，则它的三视图变化情况是（    ） A．主视图会发生改变 B．左视图会发生改变 C．俯视图会发生改变 D．三种视图都会发生改变 5.如图，内接于．若，度数为，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6.在二次函数中，与的部分对应值如下表： … 0 1 2 … … 0 2 0 … 则下列判断正确的是（    ） A．抛物线开口向上 B．抛物线的对称轴位于轴左侧 C．抛物线的顶点位于第一象限 D．抛物线与轴只有一个交点 7.如图，在⊙O中，AB是直径，弦AC=5，∠BAC=∠D．则AB的长为（    ） A． B． C． D． 8.已知二次函数 的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系的图象可能是（    ） A． B． C． D． 9.如图，太阳光线与地面成的角，照射在地面上的一只皮球上，皮球在地面上的投影长是，则皮球的直径是（    ） A． B． C． D． 10.如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，且．则下列结论：①；②；③；④方程有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 第二部分（非选择题 共110分） 2、 填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分） 11.写出一个经过原点、开口向上且对称轴是直线的抛物线的解析式： ． 12.双曲线经过点，则代数式的值为 ． 13.如图，小树AB在路灯O的照射下形成投影BC．若树高AB＝2m，树影BC＝3m，树与路灯的水平距离BP＝4m．则路灯的高度OP为 m． 14.已知二次函数，当时，函数的取值范围为 ． 15.如图，在中，点为的中点，半径交弦于点，已知，，则的长为 ． 16.如图所示，点的坐标是，与轴相切于点，交轴于点，双曲线与的一个交点为，连接，若，则 ． 三、解答题（本大题共10小题，满分86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（6分）（1）计算：． （2）计算：． 18.（6分）如图所示，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A、B两点，其中点A的横坐标是．    (1)求反比例函数的解析式； (2)按照既得数据，计算的面积． 19．（6分）如图，是的外接圆，直径长为4，，求的长． 20．（8分）某几何体的三视图如图所示，其中主视图中半圆的半径为．请求出该几何体的体积和表面积． 21．（8分）在中，为直径，为上一点．    (1)如图①，过点作的切线，与的延长线相交于点，若，求的大小； (2)如图②，为上一点，且经过的中点，连接并延长，与的延长线相交于点，若，求的大小． 22.（8分）如图，某渔船沿正东方向以30海里/小时的速度航行，在A处测得岛C在北偏东方向，20分钟后渔船航行到B处，测得岛C在北偏东方向，已知该岛C周围9海里内有暗礁．（参考数据：，，．）    (1)如果渔船继续向东航行，有无触礁危险？请说明理由． (2)如果渔船在B处改为向东偏南方向航行，有无触礁危险？说明理由． 23．（10分）某款旅游纪念品很受游客喜爱，每个纪念品进价40元，规定销售单价不低于44元，且不高于52元．某商户在销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个，销售单价每上涨1元，每天销量减少10个．现商家决定提价销售，设每天销售量为y个，销售单价为x元． (1)写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围； (2)将纪念品的销售单价定为多少元时，商家每天销售纪念品获得的利润w元最大？最大利润是多少元？ 24．（10分）如图，一墙墩（用线段表示）的影子是，小明（用线段表示）的影子是，在M处有一棵大树，它的影子是． (1)试判断图中的影子是路灯照射形成还是太阳光照射形成的，如果是路灯照射形成的，请确定路灯的位置（用点P表示）；如果是太阳光照射形成的，请画出太阳光线； (2)在图中画出表示大树高的线段； (3)若小明的身高是，他的影长．大树的高度为，它的影长．且大树与小明之间的距离，求路灯的高度． 25．（12分）如图，在等腰中，．E为的中点，平分交于D．经过B，D两点的圆O交于点G．交于点F．恰为圆O的直径．    (1)求证：与圆O相切． (2)当，＝时，求圆O的半径． 26．（12分）如图，已知抛物线与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C．其中，D是第一象限抛物线上一点，连接交于点E，点D的横坐标为m． (1)求抛物线的函数关系式； (2)求线段长度的最大值； (3)是否存在m的值，使是等腰三角形？若存在，请求出所有满足条件的m的值；若不存在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！9 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2024-2025学年九年级数学上学期第三次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：鲁教版第一章反比例函数15%+第二章直角三角形的边角关系15%+第三章二次函数25%+第四章投影与视图20%+第五章圆25%。 5．难度系数： 0.65。 第一部分（选择题 共40分） 1、 选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1.如图，将三棱柱的一个角切割掉，所得几何体的左视图为（    ）    A．   B．   C．   D．   2.利用科学计算器计算，下列按键顺序正确的是（    ） A．   B．   C．   D．   3.如图，四边形是的内接四边形，，则的度数是（   ）． A． B． C． D． 4.如图是由5个完全相同的小正方体搭成的几何体，如果将小正方体A放置到小正方体B的正上方，则它的三视图变化情况是（    ） A．主视图会发生改变 B．左视图会发生改变 C．俯视图会发生改变 D．三种视图都会发生改变 5.如图，内接于．若，度数为，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6.在二次函数中，与的部分对应值如下表： … 0 1 2 … … 0 2 0 … 则下列判断正确的是（    ） A．抛物线开口向上 B．抛物线的对称轴位于轴左侧 C．抛物线的顶点位于第一象限 D．抛物线与轴只有一个交点 7.如图，在⊙O中，AB是直径，弦AC=5，∠BAC=∠D．则AB的长为（    ） A． B． C． D． 8.已知二次函数 的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系的图象可能是（    ） A． B． C． D． 9.如图，太阳光线与地面成的角，照射在地面上的一只皮球上，皮球在地面上的投影长是，则皮球的直径是（    ） A． B． C． D． 10.如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，且．则下列结论：①；②；③；④方程有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 第二部分（非选择题 共110分） 2、 填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分） 11.写出一个经过原点、开口向上且对称轴是直线的抛物线的解析式： ． 12.双曲线经过点，则代数式的值为 ． 13.如图，小树AB在路灯O的照射下形成投影BC．若树高AB＝2m，树影BC＝3m，树与路灯的水平距离BP＝4m．则路灯的高度OP为 m． 14.已知二次函数，当时，函数的取值范围为 ． 15.如图，在中，点为的中点，半径交弦于点，已知，，则的长为 ． 16.如图所示，点的坐标是，与轴相切于点，交轴于点，双曲线与的一个交点为，连接，若，则 ． 三、解答题（本大题共10小题，满分86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（6分）（1）计算：． （2）计算：． 18.（6分）如图所示，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A、B两点，其中点A的横坐标是．    (1)求反比例函数的解析式； (2)按照既得数据，计算的面积． 19．（6分）如图，是的外接圆，直径长为4，，求的长． 20．（8分）某几何体的三视图如图所示，其中主视图中半圆的半径为．请求出该几何体的体积和表面积． 21．（8分）在中，为直径，为上一点．    (1)如图①，过点作的切线，与的延长线相交于点，若，求的大小； (2)如图②，为上一点，且经过的中点，连接并延长，与的延长线相交于点，若，求的大小． 22.（8分）如图，某渔船沿正东方向以30海里/小时的速度航行，在A处测得岛C在北偏东方向，20分钟后渔船航行到B处，测得岛C在北偏东方向，已知该岛C周围9海里内有暗礁．（参考数据：，，．）    (1)如果渔船继续向东航行，有无触礁危险？请说明理由． (2)如果渔船在B处改为向东偏南方向航行，有无触礁危险？说明理由． 23．（10分）某款旅游纪念品很受游客喜爱，每个纪念品进价40元，规定销售单价不低于44元，且不高于52元．某商户在销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个，销售单价每上涨1元，每天销量减少10个．现商家决定提价销售，设每天销售量为y个，销售单价为x元． (1)写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围； (2)将纪念品的销售单价定为多少元时，商家每天销售纪念品获得的利润w元最大？最大利润是多少元？ 24．（10分）如图，一墙墩（用线段表示）的影子是，小明（用线段表示）的影子是，在M处有一棵大树，它的影子是． (1)试判断图中的影子是路灯照射形成还是太阳光照射形成的，如果是路灯照射形成的，请确定路灯的位置（用点P表示）；如果是太阳光照射形成的，请画出太阳光线； (2)在图中画出表示大树高的线段； (3)若小明的身高是，他的影长．大树的高度为，它的影长．且大树与小明之间的距离，求路灯的高度． 25．（12分）如图，在等腰中，．E为的中点，平分交于D．经过B，D两点的圆O交于点G．交于点F．恰为圆O的直径．    (1)求证：与圆O相切． (2)当，＝时，求圆O的半径． 26．（12分）如图，已知抛物线与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C．其中，D是第一象限抛物线上一点，连接交于点E，点D的横坐标为m． (1)求抛物线的函数关系式； (2)求线段长度的最大值； (3)是否存在m的值，使是等腰三角形？若存在，请求出所有满足条件的m的值；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 2024-2025 学年九年级数学上学期第三次月考卷 （考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：鲁教版第一章反比例函数 15%+第二章直角三角形的边角关系 15%+第三章二次函数 25%+第四章投影与视图 20%+第五章圆 25%。 5．难度系数： 0.65。 第一部分（选择题 共 40 分） 一、 选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，满分 40 分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要 求的） 1.如图，将三棱柱的一个角切割掉，所得几何体的左视图为（ ） A． B． C． D． 2.利用科学计算器计算 1 cos 2 35，下列按键顺序正确的是（ ） A． B． C． D． 3.如图，四边形 ABCD是 O 的内接四边形， 125ABC   ，则 AOC 的度数是（ ）． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 A．100 B．110 C．120 D．125 4.如图是由 5 个完全相同的小正方体搭成的几何体，如果将小正方体 A放置到小正方体 B的正上方，则它的 三视图变化情况是（ ） A．主视图会发生改变 B．左视图会发生改变 C．俯视图会发生改变 D．三种视图都会发生改变 5.如图， ABC 内接于 O ．若 AB AC ，BC度数为80，则 C 的度数为（ ） A．50 B．60 C．70 D．80 6.在二次函数  2 0y ax bx c a    中， y与 x的部分对应值如下表： x … 1 0 1 2 … y … 6 0 2 0 … 则下列判断正确的是（ ） A．抛物线开口向上 B．抛物线的对称轴位于 y轴左侧 C．抛物线的顶点位于第一象限 D．抛物线与 x轴只有一个交点 7.如图，在 O⊙ 中，AB 是直径，弦 AC=5， BAC= D∠ ∠ ．则 AB 的长为（ ） A．5 B．10 C．5 2 D．10 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 8.已知二次函数  2 0y ax bx c a    的图象如图所示，则反比例函数 cy x  与一次函数 y ax b   在同一 平面直角坐标系的图象可能是（ ） A． B． C． D． 9.如图，太阳光线与地面成60的角，照射在地面上的一只皮球上，皮球在地面上的投影长是20cm ，则皮 球的直径是（ ） A．5 3cm B．10 3cm C．20cm D．10cm 10.如图，二次函数  2 0y ax bx c a    的图象与 x轴交于A ， B两点，与 y轴交于点C，且OA OC ．则 下列结论：① 0abc < ；② 2 4 0 4 b ac a   ；③ 1 0ac b   ；④方程 2ax bx c c   有两个不相等的实数根．其 中正确结论的个数是（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 第二部分（非选择题 共 110 分） 二、 填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分） 11.写出一个经过原点、开口向上且对称轴是直线 3x  的抛物线的解析式： ． 12.双曲线 4 y x  经过点 ( , )A m n ，则代数式10 2mn 的值为 ． 13.如图，小树 AB在路灯 O的照射下形成投影 BC．若树高 AB＝2m，树影 BC＝3m，树与路灯的水平距离 BP＝4m．则路灯的高度 OP为 m． 14.已知二次函数 2y x x 2   ，当0 2x  时，函数 2y x x 2   的取值范围为 ． 15.如图，在 O 中，点C为AB的中点，半径OC交弦𝐴𝐵于点D，已知 5OC  ， 8AB  ，则𝐶𝐷的长为 ． 16.如图所示，点 B的坐标是 5 0 2       ， ， B 与 x轴相切于点O，交 y轴于点C，双曲线  0ky x x   与 O 的一 个交点为A ，连接OA，若 5OA  ，则 k  ． 三、解答题（本大题共 10 小题，满分 86 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（6 分）（1）计算：2 cos 30 tan 60 sin 45 cos 45     ． （2）计算：  2023 21 2sin 45 cos30 sin 60 tan 60     ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 18.（6 分）如图所示，一次函数 2y x  的图象与反比例函数 k y x  的图象相交于 A、B两点，其中点 A的 横坐标是 1 ． (1)求反比例函数的解析式； (2)按照既得数据，计算 AOB 的面积． 19．（6 分）如图， O 是 ABC 的外接圆，直径BD长为 4， 3 sin 4 BAC  ，求BC的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 20．（8分）某几何体的三视图如图所示，其中主视图中半圆的半径为2 ．请求出该几何体的体积和表面积． 21．（8分）在 O 中， AB为直径，C为 O 上一点． (1)如图①，过点C作 O 的切线，与 AB的延长线相交于点P，若 27CAB  ，求 P 的大小； (2)如图②，D为AC上一点，且OD经过 AC的中点E，连接DC并延长，与 AB的延长线相交于点P，若 10CAB  ，求 P 的大小． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 7 22.（8 分）如图，某渔船沿正东方向以 30 海里/小时的速度航行，在 A处测得岛 C在北偏东60方向，20 分钟后渔船航行到B处，测得岛C在北偏东30方向，已知该岛C周围9海里内有暗礁．（参考数据： 3 1.732 ， sin75 0.966  ， cos75 0.259  ．） (1)如果渔船继续向东航行，有无触礁危险？请说明理由． (2)如果渔船在 B处改为向东偏南15方向航行，有无触礁危险？说明理由． 23．（10 分）某款旅游纪念品很受游客喜爱，每个纪念品进价 40 元，规定销售单价不低于 44 元，且不高于 52 元．某商户在销售期间发现，当销售单价定为 44 元时，每天可售出 300 个，销售单价每上涨 1 元，每天 销量减少 10 个．现商家决定提价销售，设每天销售量为 y个，销售单价为 x元． (1)写出 y与 x之间的函数关系式和自变量 x的取值范围； (2)将纪念品的销售单价定为多少元时，商家每天销售纪念品获得的利润 w元最大？最大利润是多少元？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 8 24．（10 分）如图，一墙墩（用线段 AB表示）的影子是 BC，小明（用线段DE表示）的影子是EF，在M 处有一棵大树，它的影子是MN． (1)试判断图中的影子是路灯照射形成还是太阳光照射形成的，如果是路灯照射形成的，请确定路灯的位置 （用点 P表示）；如果是太阳光照射形成的，请画出太阳光线； (2)在图中画出表示大树高的线段； (3)若小明的身高是1.8m ，他的影长 1 8mEF  . ．大树的高度为7.2m，它的影长 7.2mMN  ．且大树与小明 之间的距离 16.2mME  ，求路灯的高度． 25．（12 分）如图，在等腰 ABC 中， AB AC ．E为BC的中点，BD平分 ABC 交 AE于 D．经过 B，D 两点的圆 O交BC于点 G．交 AB于点 F．FB恰为圆 O的直径． (1)求证： AE与圆 O相切． (2)当 10AC  ，cosC＝ 3 5 时，求圆 O的半径． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 9 26．（12 分）如图，已知抛物线 2y ax bx c ＝ 与 x轴相交于 A、B两点，与 y轴相交于点 C．其中 2, 8, 90OA OB ACB ＝ ＝ ＝ ，D是第一象限抛物线上一点，连接 ,DC DE OC∥ 交 BC于点 E，点 D的横坐标为 m． (1)求抛物线的函数关系式； (2)求线段DE长度的最大值； (3)是否存在 m的值，使 DCE△ 是等腰三角形？若存在，请求出所有满足条件的 m的值；若不存在，请说明 理由． 2024-2025学年九年级数学上学期第三次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：鲁教版第一章反比例函数15%+第二章直角三角形的边角关系15%+第三章二次函数25%+第四章投影与视图20%+第五章圆25%。 5．难度系数： 0.65。 第一部分（选择题 共40分） 1、 选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1.如图，将三棱柱的一个角切割掉，所得几何体的左视图为（    ）    A．   B．   C．   D．   【详解】解：从左边看，可得选项B的图形． 故选：B． 2.利用科学计算器计算，下列按键顺序正确的是（    ） A．   B．   C．   D．   【详解】 解：利用该型号计算器计算 ，按键顺序正确的是：    故选：A． 3.如图，四边形是的内接四边形，，则的度数是（   ）． A． B． C． D． 【详解】解：∵四边形是的内接四边形， ∴， ∴， 故选：B． 4.如图是由5个完全相同的小正方体搭成的几何体，如果将小正方体A放置到小正方体B的正上方，则它的三视图变化情况是（    ） A．主视图会发生改变 B．左视图会发生改变 C．俯视图会发生改变 D．三种视图都会发生改变 【详解】移动前的主视图为： ， 左视图为： ， 俯视图为： 移动后的主视图为： ， 左视图为： ， 俯视图为： ， 所以它的主视图会发生变化． 故选A. 5.如图，内接于．若，度数为，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【详解】解：∵所对圆周角是，且度数为， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 6.在二次函数中，与的部分对应值如下表： … 0 1 2 … … 0 2 0 … 则下列判断正确的是（    ） A．抛物线开口向上 B．抛物线的对称轴位于轴左侧 C．抛物线的顶点位于第一象限 D．抛物线与轴只有一个交点 【详解】解：由表格，知抛物线与轴的交点为和，共两个，故D选项错误不符合题意； 抛物线的对称轴为，对称轴位于轴右侧，故B选项错误不符合题意； 抛物线的顶点坐标为，位于第一象限，故C选项正确符合题意； ∵当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小． 抛物线开口向下，故A选项错误不符合题意． 故选：C． 7.如图，在⊙O中，AB是直径，弦AC=5，∠BAC=∠D．则AB的长为（    ） A． B． C． D． 【详解】∵AC=AC， ∴∠D=∠B， ∵∠BAC=∠D， ∴∠B=∠BAC， ∴△ABC是等腰三角形， ∵AB是直径， ∴△ABC是等腰直角三角形， ∵AC=5， ∴AB=， 故选：C． 8.已知二次函数 的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【详解】解：根据抛物线开口向下可得，由对称轴在y轴右边可得a、b异号，故，由与y轴交点在正半轴可得， ∴反比例函数的图象在第一、三象限，一次函数经过第一、二、三象限， 符合条件的只有A选项， 故选：A． 9.如图，太阳光线与地面成的角，照射在地面上的一只皮球上，皮球在地面上的投影长是，则皮球的直径是（    ） A． B． C． D． 【详解】如图，是皮球直径，过作CD⊥BE于点，则点与点为太阳光线与球的切点，， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵太阳光线与地面成的角， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， 故选：． 10.如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，且．则下列结论：①；②；③；④方程有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【详解】解：抛物线开口向下， ， 抛物线的对称轴在轴的右侧， ， ， 抛物线交轴于正半轴， ， ，故①正确，符合题意； 抛物线与轴有两个交点， ， ， ，故②错误，不符合题意； 在中，当时，， ， ， ， 把代入得：， ，故③正确，符合题意； ， ， ， ， ， ， 方程有两个不相等的实数根，故④正确，符合题意； 综上所述，正确的有①③④，共个， 故选：B． 第二部分（非选择题 共110分） 2、 填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分） 11.写出一个经过原点、开口向上且对称轴是直线的抛物线的解析式： ． 【详解】解：设抛物线解析式为， 经过原点，则时，， 对称轴为，则，， 若则， 解析式为． 故答案为：（答案不唯一） 12.双曲线经过点，则代数式的值为 ． 【详解】解：∵双曲线经过点， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 13.如图，小树AB在路灯O的照射下形成投影BC．若树高AB＝2m，树影BC＝3m，树与路灯的水平距离BP＝4m．则路灯的高度OP为 m． 【详解】解：∵AB∥OP， ∴△ABC∽△OPC， ∴， 即， ∴OP＝m． 故答案为：． 14.已知二次函数，当时，函数的取值范围为 ． 【详解】解：∵抛物线的开口向上，对称轴为，且， ∴当时，y取得最小值． ∵当时，；当时，， 的最大值为0． 的取值范围为． 故答案为：． 15.如图，在中，点为的中点，半径交弦于点，已知，，则的长为 ． 【详解】解：连接，， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， 在中，由勾股定理得， ∴， 16.如图所示，点的坐标是，与轴相切于点，交轴于点，双曲线与的一个交点为，连接，若，则 ． 【详解】解：如图，连接，作于，于， 点的坐标是， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 点在反比例函数图象上， ， 故答案为：． 三、解答题（本大题共10小题，满分86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（6分）（1）计算：． （2）计算：． 【详解】解：（1） ······（2分） ；······（1分） （2） ······（2分） ．······（1分） 18.（6分）如图所示，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A、B两点，其中点A的横坐标是．    (1)求反比例函数的解析式； (2)按照既得数据，计算的面积． 【详解】（1）解：把代入得，， ∴点A的坐标为，······（1分） ∵点A在反比例函数的图象上， ∴．······（1分） ∴反比例函数解析式为 ；······（1分） （2）解：联立 ，解得或， ∴点B的坐标为，······（1分） 设直线与y轴的交点为C，    将代入，得， ∴点C的坐标为， ∴，······（1分） ∴， ∴的面积为4．······（1分） 19．（6分）如图，是的外接圆，直径长为4，，求的长． 【详解】解：连接，······（1分） ∵是的直径， ∴，······（2分） 由圆周角定理得：， ∴，······（2分） ∵， ∴．······（1分） 20．（8分）某几何体的三视图如图所示，其中主视图中半圆的半径为．请求出该几何体的体积和表面积． 【详解】解：根据主视图可得，圆柱体底面圆的直径为， ∴圆柱体底面圆的半径为，······（1分） 根据俯视图可得，立体图形的长为，宽为，结合左视图可得，立体图形的高为， ∴立体图形，半圆柱体，······（2分） ∴图示模型的体积为， ∴体积为：；······（1分） 图示立体图形的表面积： 主视图中：，，则；······（1分） 左视图中：；······（1分） 俯视图中：；······（1分） ∴图示模型的表面积为：， ∴表面积为：．······（1分） 21．（8分）在中，为直径，为上一点．    (1)如图①，过点作的切线，与的延长线相交于点，若，求的大小； (2)如图②，为上一点，且经过的中点，连接并延长，与的延长线相交于点，若，求的大小． 【详解】（1）解：如图，连接，······（1分）    ∵与相切于点， ∴，即，······（1分） ∵， ∴，······（1分） 在中，， ∴．······（1分） （2）解：∵为的中点， ∴，即，······（1分） ∵， ∴， ∴，······（2分） 在中，， ∴．······（1分） 22.（8分）如图，某渔船沿正东方向以30海里/小时的速度航行，在A处测得岛C在北偏东方向，20分钟后渔船航行到B处，测得岛C在北偏东方向，已知该岛C周围9海里内有暗礁．（参考数据：，，．）    (1)如果渔船继续向东航行，有无触礁危险？请说明理由． (2)如果渔船在B处改为向东偏南方向航行，有无触礁危险？说明理由． 【详解】（1）解：过点作于，如图：   （海里）， 设， ，， ，，······（1分） 在中，，， ，······（1分） 在中，，， ，······（1分） ， 解得：，······（1分） 答：渔船继续向东航行，有触礁危险．······（1分） （2）过点于，如图：    由（1）得：（海里），······（1分） 在中，，，海里， ，······（1分） 答：没有触礁危险．······（1分） 23．（10分）某款旅游纪念品很受游客喜爱，每个纪念品进价40元，规定销售单价不低于44元，且不高于52元．某商户在销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个，销售单价每上涨1元，每天销量减少10个．现商家决定提价销售，设每天销售量为y个，销售单价为x元． (1)写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围； (2)将纪念品的销售单价定为多少元时，商家每天销售纪念品获得的利润w元最大？最大利润是多少元？ 【详解】（1）解：根据题意得：，······（2分） 与之间的函数关系式为；······（2分） （2）解：根据题意得：，······（3分） ， 当时，随的增大而增大，······（1分） ， 当时，有最大值，最大值为，······（2分） 将纪念品的销售单价定为52元时，商家每天销售纪念品获得的利润元最大，最大利润是2640元. 24．（10分）如图，一墙墩（用线段表示）的影子是，小明（用线段表示）的影子是，在M处有一棵大树，它的影子是． (1)试判断图中的影子是路灯照射形成还是太阳光照射形成的，如果是路灯照射形成的，请确定路灯的位置（用点P表示）；如果是太阳光照射形成的，请画出太阳光线； (2)在图中画出表示大树高的线段； (3)若小明的身高是，他的影长．大树的高度为，它的影长．且大树与小明之间的距离，求路灯的高度． 【详解】（1）解：影子是路灯照射形成的，点P的位置如图所示； ；······（6分） （2）解：即为树高如图所示； （3）解：过P点作，垂足为G，则的长即为路灯的高度 由题意知：，， 所以，，即为等腰直角三角形，······（3分） 所以······（1分） 即路灯的高度为． 25．（12分）如图，在等腰中，．E为的中点，平分交于D．经过B，D两点的圆O交于点G．交于点F．恰为圆O的直径．    (1)求证：与圆O相切． (2)当，＝时，求圆O的半径． 【详解】（1）证明：连接，·····（1分）    则， ， 平分， ， ， ，·····（2分） ， 在中，，是角平分线， ， ，·····（2分） 是圆O的半径， 与圆O相切；·····（1分） （2）解：在中，，E为的中点， ∴在中，cos∠ABE=·····（2分） ， 设圆O的半径为r，则， ， ， ∴ ·····（3分） 即 即圆O的半径为．·····（1分） 26．（12分）如图，已知抛物线与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C．其中，D是第一象限抛物线上一点，连接交于点E，点D的横坐标为m． (1)求抛物线的函数关系式； (2)求线段长度的最大值； (3)是否存在m的值，使是等腰三角形？若存在，请求出所有满足条件的m的值；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）∵ ， ∴， ∵， ∴ ，·····（1分） ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴，·····（2分） 把代入线得： ， 解得， ∴抛物线的函数关系式；·····（1分） （2）由得直线BC函数关系式为，·····（1分） ∵点D的横坐标为m， ∴，，， ∴，·····（2分） ∵， ∴当时，取最大值4，·····（1分） ∴线段长度的最大值为4； （3）存在m的值，使是等腰三角形，理由如下： 延长交于G，如图： ∵点D的坐标为，点E的坐标为， ∴点G的坐标为， 则，OG＝m， ∵， ∴BC＝4， ∵， ∴，即， ∴；·····（1分） ①若，则， 解得（舍去）或，·····（1分） ②当时，如图，过点C作于点H， ∴， ∵， ∴， 解得：或（舍去）；·····（1分） ③当时，如图，过点D作 于点K， 则， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， 解得：或（舍去0）， 综上所述，满足条件的m的值为或4或3．·····（1分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！21 学科网（北京）股份有限公司 $$ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 2024-2025 学年九年级数学上学期第三次月考卷 （考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：鲁教版第一章反比例函数 15%+第二章直角三角形的边角关系 15%+第三章二次函数 25%+第四章投影与视图 20%+第五章圆 25%。 5．难度系数： 0.65。 第一部分（选择题 共 40 分） 一、 选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，满分 40 分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要 求的） 1.如图，将三棱柱的一个角切割掉，所得几何体的左视图为（ ） A． B． C． D． 【详解】解：从左边看，可得选项 B 的图形． 故选：B． 2.利用科学计算器计算 1 cos 2 35，下列按键顺序正确的是（ ） A． B． C． D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 【详解】 解：利用该型号计算器计算 1 cos 2 35，按键顺序正确的是： 故选：A． 3.如图，四边形 ABCD是 O 的内接四边形， 125ABC   ，则 AOC 的度数是（ ）． A．100 B．110 C．120 D．125 【详解】解：∵ 四边形 ABCD是 O 的内接四边形， ∴ 180 180 125 55D ABC       ， ∴ 2 2 55 110AOC D       ， 故选：B． 4.如图是由 5 个完全相同的小正方体搭成的几何体，如果将小正方体 A放置到小正方体 B的正上方，则它的 三视图变化情况是（ ） A．主视图会发生改变 B．左视图会发生改变 C．俯视图会发生改变 D．三种视图都会发生改变 【详解】移动前的主视图为： ， 左视图为： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 ， 俯视图为： 移动后的主视图为： ， 左视图为： ， 俯视图为： ， 所以它的主视图会发生变化． 故选 A. 5.如图， ABC 内接于 O ．若 AB AC ，BC度数为80，则 C 的度数为（ ） A．50 B．60 C．70 D．80 【详解】解：∵ BC所对圆周角是 BAC ，且BC度数为80， ∴ 1 80 40 2 BAC     ， ∵ AB AC ， ∴ AABC CB∠ ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 ∴    1 1180 180 40 70 2 2 ACB BAC         ， 故选：C． 6.在二次函数  2 0y ax bx c a    中， y与 x的部分对应值如下表： x … 1 0 1 2 … y … 6 0 2 0 … 则下列判断正确的是（ ） A．抛物线开口向上 B．抛物线的对称轴位于 y轴左侧 C．抛物线的顶点位于第一象限 D．抛物线与 x轴只有一个交点 【详解】解：由表格，知抛物线与 x轴的交点为  0,0 和  2,0 ，共两个，故 D 选项错误不符合题意； 抛物线的对称轴为 0 2 1 2 x    ，对称轴位于 y轴右侧，故 B 选项错误不符合题意； 抛物线的顶点坐标为  1,2 ，位于第一象限，故 C 选项正确符合题意； ∵ 当 1x  时， y随 x的增大而增大；当 1x  时， y随 x的增大而减小． 抛物线开口向下，故 A 选项错误不符合题意． 故选：C． 7.如图，在 O⊙ 中，AB 是直径，弦 AC=5， BAC= D∠ ∠ ．则 AB 的长为（ ） A．5 B．10 C．5 2 D．10 2 【详解】∵ AC=AC， ∴ ∠ ∠D= B， ∵ ∠ ∠BAC= D， ∴ ∠ ∠B= BAC， ∴ △ ABC 是等腰三角形， ∵ AB 是直径， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 ∴ △ ABC 是等腰直角三角形， ∵ AC=5， ∴ AB=5 2 ， 故选：C． 8.已知二次函数  2 0y ax bx c a    的图象如图所示，则反比例函数 cy x  与一次函数 y ax b   在同一 平面直角坐标系的图象可能是（ ） A． B． C． D． 【详解】解：根据抛物线开口向下可得 0a  ，由对称轴在 y轴右边可得 a、b异号，故 0b  ，由与 y轴交点 在正半轴可得 0c  ， ∴ 反比例函数 c y x  的图象在第一、三象限，一次函数 y ax b   经过第一、二、三象限， 符合条件的只有 A 选项， 故选：A． 9.如图，太阳光线与地面成60的角，照射在地面上的一只皮球上，皮球在地面上的投影长是20cm ，则皮 球的直径是（ ） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 A．5 3cm B．10 3cm C．20cm D．10cm 【详解】如图，AB是皮球直径，过C作 CD⊥BE 于点E，则点A 与点 B为太阳光线与球的切点， 20cmCE  ， ∴ 90BAC ABD BDC      ， 90CDE  ， ∴ 四边形 ABDC是矩形， ∴ AB CD ， ∵ 太阳光线与地面成60的角， ∴ 60DEC  ， ∴ 30DCE  ， ∴ 1 10cm 2 DE CE  ， 在Rt CDE△ 中，由勾股定理得：  2 2 2 220 10 10 3 cmCD CE DE     ， ∴ 10 3cmAB CD  ， 故选：B ． 10.如图，二次函数  2 0y ax bx c a    的图象与 x轴交于A ， B两点，与 y轴交于点C，且OA OC ．则 下列结论：① 0abc < ；② 2 4 0 4 b ac a   ；③ 1 0ac b   ；④方程 2ax bx c c   有两个不相等的实数根．其 中正确结论的个数是（ ） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 7 A．4 B．3 C．2 D．1 【详解】解：抛物线开口向下， 0a  ， 抛物线的对称轴在 y轴的右侧， 0 2 b a   ， >0b ， 抛物线交 y轴于正半轴， 0c  ， <0abc ，故①正确，符合题意； 抛物线与 x轴有两个交点， 2 4 0b ac    ， 0a  ， 2 4 0 4 b ac a    ，故②错误，不符合题意； 在  2 0y ax bx c a    中，当 0x  时， y c ，  0C c ， ， OA OC ，  0A c  ， ， 把  0A c ， 代入  2 0y ax bx c a    得： 2 0ac bc c   ， 1 0ac b    ，故③正确，符合题意； 2ax bx c c   ， 2 0ax bx   ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 8   0x ax b   ， 1 20 b x x a    ， ， 0 0b a  ， ， 2 0x  ， 方程 2ax bx c c   有两个不相等的实数根，故④正确，符合题意； 综上所述，正确的有①③④，共3个， 故选：B． 第二部分（非选择题 共 110 分） 二、 填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分） 11.写出一个经过原点、开口向上且对称轴是直线 3x  的抛物线的解析式： ． 【详解】解：设抛物线解析式为 2y ax bx c   ， 经过原点，则 0x  时， 0y c  ， 对称轴为 3x  ，则 3 2 b a   ， 6b a  ， 若 1,a  则 6b   ， 解析式为 2 6y x x  ． 故答案为： 2 6y x x  （答案不唯一） 12.双曲线 4 y x  经过点 ( , )A m n ，则代数式10 2mn 的值为 ． 【详解】解：∵ 双曲线 4 y x  经过点 ( , )A m n ， ∴ 4 n m  ， ∴ 4mn  ， ∴ 10 2 10 2 4 10 8 2mn       ， 故答案为：2 ． 13.如图，小树 AB在路灯 O的照射下形成投影 BC．若树高 AB＝2m，树影 BC＝3m，树与路灯的水平距离 BP＝4m．则路灯的高度 OP为 m． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 9 【详解】解：∵ AB∥ OP， ∴ △ ∽ △ABC OPC， ∴ AB CB OP CP  ， 即 2 3 3 4OP   ， ∴ OP＝ 14 3 m． 故答案为： 14 3 ． 14.已知二次函数 2y x x 2   ，当0 2x  时，函数 2y x x 2   的取值范围为 ． 【详解】解：∵ 抛物线的开口向上，对称轴为 1 2 x  ，且0 2x  ， ∴ 当 1 2 x  时，y取得最小值 9 4  ． ∵ 当 0x  时， 2y   ；当 2x  时， 0y  ， y 的最大值为 0． y 的取值范围为 9 0 4 y   ． 故答案为： 9 0 4 y   ． 15.如图，在 O 中，点C为AB的中点，半径OC交弦𝐴𝐵于点D，已知 5OC  ， 8AB  ，则𝐶𝐷的长为 ． 【详解】解：连接OA，OB， ∵ 点C为AB的中点， ∴  AC BC ， ∴ AOC BOC  ， ∵ OA OB ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 10 ∴ OC AB ， ∴ 1 4 2 AD BD AB   ， 90ADO  ， 在Rt AOD 中，由勾股定理得 2 2 2 25 4 3OD OA AD     ， ∴ 5 3 2CD OC OD     ， 16.如图所示，点 B的坐标是 5 0 2       ， ， B 与 x轴相切于点O，交 y轴于点C，双曲线  0ky x x   与 O 的一 个交点为A ，连接OA，若 5OA  ，则 k  ． 【详解】解：如图，连接 AB，作 AE OB 于E，BD OA 于D， 点 B的坐标是 5 0 2       ， ， 5 2 OB AB   ， BD OA ， 1 5 2 2 AD OD OA    ， 22 2 2 5 5 5 2 2 BD OB OD                ， 1 1 2 2AOB S OA BD OB AE    ， 5 5 5 2 AE    ， 2AE  ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 11  22 2 25 2 1OE OA AE      ，  2 1A ，， 点A 在反比例函数图象上， 1 2 2k    ， 故答案为：2 ． 三、解答题（本大题共 10 小题，满分 86 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（6 分）（1）计算：2 cos 30 tan 60 sin 45 cos 45     ． （2）计算：  2023 21 2sin 45 cos30 sin 60 tan 60     ． 【详解】解：（1）2 cos 30 tan 60 sin 45 cos 45      3 2 2 2 3 2 2 2      ······（2 分） 1 3 3 2    1 2  ；······（1 分） （2）  2023 21 2sin 45 cos30 sin 60 tan 60       22 3 31 2 3 2 2 2        ······（2 分） 1 2 3    2 2  ．······（1 分） 18.（6 分）如图所示，一次函数 2y x  的图象与反比例函数 k y x  的图象相交于 A、B两点，其中点 A的 横坐标是 1 ． (1)求反比例函数的解析式； (2)按照既得数据，计算 AOB 的面积． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 12 【详解】（1）解：把 1x   代入 2y x  得， 1 2 3y      ， ∴ 点 A的坐标为  1 3，  ，······（1 分） ∵ 点 A在反比例函数 k y x  的图象上， ∴  3 1 3k      ．······（1 分） ∴ 反比例函数解析式为 3 y x  ；······（1 分） （2）解：联立 3 2 y x y x       ，解得 3 1 x y    或 1 3 x y      ， ∴ 点 B的坐标为  31，，······（1 分） 设直线 AB与 y轴的交点为 C， 将 0x  代入 2y x  ，得 2y   ， ∴ 点 C的坐标为  0 2， ， ∴ 2OC  ，······（1 分） ∴ 1 1 2 1 2 3 4 2 2AOB AOC BOC S S S        △ △ △ ， ∴ AOB 的面积为 4．······（1 分） 19．（6 分）如图， O 是 ABC 的外接圆，直径BD长为 4， 3 sin 4 BAC  ，求BC的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 【详解】解：连接CD，······（1 分） ∵ BD是 O 的直径， ∴ 90BCD  ，······（2 分） 由圆周角定理得： BDC BAC  ， ∴ 3 sin 4 BC BDC BD    ，······（2 分） ∵ 4BD  ， ∴ 3BC  ．······（1 分） 20．（8分）某几何体的三视图如图所示，其中主视图中半圆的半径为2 ．请求出该几何体的体积和表面积． 【详解】解：根据主视图可得，圆柱体底面圆的直径为 4d  ， ∴ 圆柱体底面圆的半径为 2r  ，······（1 分） 根据俯视图可得，立体图形的长为2 2 4 8   ，宽为6 ，结合左视图可得，立体图形的高为2 2 2 4r    ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 14 ∴ 立体图形 1 8 6 4 192V     ，半圆柱体 2 2 1 2 6 12 2 V      ，······（2 分） ∴ 图示模型的体积为 1 2 192 12V V V     ， ∴ 体积为：  192 12 ；······（1 分） 图示立体图形的表面积： 主视图中： 1 8 4 2 64S     ， 2 2 2 4S     ，则 1 2 64 4S S    ；······（1 分） 左视图中： 3 6 4 2 48S     ；······（1 分） 俯视图中： 4 6 8 2 4 6 12π 72 12πS         ；······（1 分） ∴ 图示模型的表面积为：64 4 48 72 12π 184 8       ， ∴ 表面积为：  184 8 ．······（1 分） 21．（8分）在 O 中， AB为直径，C为 O 上一点． (1)如图①，过点C作 O 的切线，与 AB的延长线相交于点P，若 27CAB  ，求 P 的大小； (2)如图②，D为AC上一点，且OD经过 AC的中点E，连接DC并延长，与 AB的延长线相交于点P，若 10CAB  ，求 P 的大小． 【详解】（1）解：如图，连接OC，······（1 分） ∵ O 与PC相切于点C， ∴ OC PC ，即 90OCP  ，······（1 分） ∵ 27CAB  ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 15 ∴ 2 54COB CAB    ，······（1 分） 在Rt POC△ 中， 90P COP   ， ∴ 90 36P COP      ．······（1 分） （2）解：∵ E为 AC的中点， ∴ OD AC ，即 90AEO  ，······（1 分） ∵ 10CAB  ， ∴ 90 80AOE EAO      ， ∴ 1 40 2 ACD AOD    ，······（2 分） 在 ACP△ 中， ACD P CAB  ∠ ∠ ， ∴ 40 10 30P ACD A         ．······（1 分） 22.（8 分）如图，某渔船沿正东方向以 30 海里/小时的速度航行，在 A处测得岛 C在北偏东60方向，20 分钟后渔船航行到B处，测得岛C在北偏东30方向，已知该岛C周围9海里内有暗礁．（参考数据： 3 1.732 ， sin75 0.966  ， cos75 0.259  ．） (1)如果渔船继续向东航行，有无触礁危险？请说明理由． (2)如果渔船在 B处改为向东偏南15方向航行，有无触礁危险？说明理由． 【详解】（1）解：过点C作CE AE 于E，如图： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 16 20 30 10 60 AB    （海里）， 设CE x ， 60MAC   ， 30NBC  ， 90 30CAB MAC    ， 90 60CBE NBC    ，······（1 分） 在Rt CBE△ 中， 90CEB  ， 60CBE  ， 3 tan 60 3 CE BE x    ，······（1 分） 在Rt ACE 中， 90CEA  ， 30CAB  ， 3 tan 30 CE AE x    ，······（1 分） 3 3 10 3 x x   ， 解得： 8.66 9x   ，······（1 分） 答：渔船继续向东航行，有触礁危险．······（1 分） （2）过点CD BF 于D，如图： 由（1）得： 5 3 10 sin 60 3 2 CE BC     （海里），······（1 分） 在Rt BCD△ 中， 60 15 75CBD CBH DBH        ， 90CDB  ， 10BC  海里， sin 75 10 0.966 9.66 9CD BC        ，······（1 分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 17 答：没有触礁危险．······（1 分） 23．（10 分）某款旅游纪念品很受游客喜爱，每个纪念品进价 40 元，规定销售单价不低于 44 元，且不高于 52 元．某商户在销售期间发现，当销售单价定为 44 元时，每天可售出 300 个，销售单价每上涨 1 元，每天 销量减少 10 个．现商家决定提价销售，设每天销售量为 y个，销售单价为 x元． (1)写出 y与 x之间的函数关系式和自变量 x的取值范围； (2)将纪念品的销售单价定为多少元时，商家每天销售纪念品获得的利润 w元最大？最大利润是多少元？ 【详解】（1）解：根据题意得： 300 10( 44) 10 740y x x      ，······（2 分） y 与 x之间的函数关系式为  10 740 44 52y x x     ；······（2 分） （2）解：根据题意得： 2 2( 10 740)( 40) 10 1140 29600 10( 57) 2890w x x x x x            ，······（3 分） 10 0  ， 当 57x  时，w随 x的增大而增大，······（1 分） 44 52x  ， 当 52x  时，w有最大值，最大值为 210 (52 57) 2890 2640     ，······（2 分） 将纪念品的销售单价定为 52 元时，商家每天销售纪念品获得的利润w元最大，最大利润是 2640 元. 24．（10 分）如图，一墙墩（用线段 AB表示）的影子是 BC，小明（用线段DE表示）的影子是EF，在M 处有一棵大树，它的影子是MN． (1)试判断图中的影子是路灯照射形成还是太阳光照射形成的，如果是路灯照射形成的，请确定路灯的位置 （用点 P表示）；如果是太阳光照射形成的，请画出太阳光线； (2)在图中画出表示大树高的线段； (3)若小明的身高是1.8m ，他的影长 1 8mEF  . ．大树的高度为7.2m，它的影长 7.2mMN  ．且大树与小明 之间的距离 16.2mME  ，求路灯的高度． 【详解】（1）解：影子是路灯照射形成的，点 P的位置如图所示； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 18 ； ······（6 分） （2）解：MQ即为树高如图所示； （3）解：过 P点作PG NF ，垂足为 G，则PG的长即为路灯的高度 由题意知： 7.2mMN MQ  ， 1.8mDE EF  ， 所以 45QNM DFB    ， 90NPF  ，即 PNF△ 为等腰直角三角形，······（3 分） 所以      1 1 1 7.2 16.2 1.8 12.6 m 2 2 2 PG NF NM ME EF        ······（1 分） 即路灯的高度为12.6m． 25．（12 分）如图，在等腰 ABC 中， AB AC ．E为BC的中点，BD平分 ABC 交 AE于 D．经过 B，D 两点的圆 O交BC于点 G．交 AB于点 F．FB恰为圆 O的直径． (1)求证： AE与圆 O相切． (2)当 10AC  ，cosC＝ 3 5 时，求圆 O的半径． 【详解】（1）证明：连接OD，·····（1 分） 则OD OB ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 19 ∴ ∠𝑂𝐵𝐷 = ∠𝑂𝐷𝐵， BD 平分 ABC ， OBD EBD  ， ODB EBD  ， OD BE ∥ ，·····（2 分） ADO AEB    ， 在 ABC 中， AB AC ， AE是角平分线， AE BC  ， 90ADO AEB     ，·····（2 分） OD 是圆 O的半径， AE 与圆 O相切；·····（1 分） （2）解：在 ABC 中， 10AB AC  ，E为BC的中点， 1 2 BE BC  ∴ 在Rt ABE△ 中，cos∠ABE= 3 cos 10 5 BE BE C AB    ·····（2 分） 6BE  ， 设圆 O的半径为 r，则 10AO r  ， OD BC∥ ， AOD ∽ ABE  ， ∴ OD AO BE AB  ·····（3 分） 即 10 6 10 r r  15 4 r  即圆 O的半径为 15 4 ．·····（1 分） 26．（12 分）如图，已知抛物线 2y ax bx c ＝ 与 x轴相交于 A、B两点，与 y轴相交于点 C．其中 2, 8, 90OA OB ACB ＝ ＝ ＝ ，D是第一象限抛物线上一点，连接 ,DC DE OC∥ 交 BC于点 E，点 D的横坐标为 m． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 20 (1)求抛物线的函数关系式； (2)求线段DE长度的最大值； (3)是否存在 m的值，使 DCE△ 是等腰三角形？若存在，请求出所有满足条件的 m的值；若不存在，请说明 理由． 【详解】（1）∵ 90ACB ＝ ， ∴ 90ACO BCO CBO    ， ∵ 90AOC COB  ＝ ＝ ， ∴ AOC COB△ ∽△ ，·····（1 分） ∴ OA OC OC OB  ， ∵ 2 8OA OB ， ， ∴ 2 8 OC OC  ， 2 0 8 0A B（ ，），（，）， ∴ 4OC  ， ∴ 0 4C（ ，），·····（2 分） 把 2 0 8 0 0 4A B C（ ，），（，），（ ，）代入线 2y ax bx c   得： 4 2 0 64 8 0 4 a b c a b c c          ， 解得 1 4 3 2 4 a b c          ， ∴ 抛物线的函数关系式 2 1 3 4 4 2 y x x    ；·····（1 分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 21 （2）由 8 0 0 4B C（，），（ ，）得直线 BC函数关系式为 1 4 2 y x   ，·····（1 分） ∵ 点 D的横坐标为 m， ∴ 𝐷 𝑚, − 𝑚 + 𝑚 + 4 ，𝐸 𝑚, − 𝑚 + 4 ，， ∴  22 21 3 1 1 14 4 2 4 4 4 2 2 4 4 DE m m m m m m                   ，·····（2 分） ∵ 1 0 2   ， ∴ 当 4m  时，DE取最大值 4，·····（1 分） ∴ 线段DE长度的最大值为 4； （3）存在 m的值，使 DCE△ 是等腰三角形，理由如下： 延长DE交OB于 G，如图： ∵ 点 D的坐标为𝐷 𝑚, − 𝑚 + 𝑚 + 4 ，点 E的坐标为 1 4 2 ，E m m       ， ∴ 点 G的坐标为 0m（ ，）， 则 1 4 2 EG m   ，OG＝m， ∵ 8 4OB OC＝， ＝ ， ∴ BC＝4 5 ， ∵ DE OC∥ ， ∴ CE OG BC OB  ，即 84 5 CE m  ， ∴ 5 2 m CE  ；·····（1 分） ①若CE DE＝ ，则 25 1 2 2 4 m m m   ， 解得 0m＝ （舍去）或 8 2 5m   ，·····（1 分） ②当CD CE＝ 时，如图，过点 C作CH DE 于点 H， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 22 ∴ 2 2 1 1 1 1 2 2 2 4 8 EH DE m m m m            ， ∵ 4EG EH HG OC    ， ∴ 2 1 1 4 4 2 8 m m m     ， 解得： 4m  或 0m  （舍去）；·····（1 分） ③当CD DE＝ 时，如图，过点 D作 DK BC 于点 K， 则 1 5 2 4 m EK CE  ， ∵ 90DKE BGE DEK BEG    ＝ ＝ ， ＝ ， ∴ EDK EBG ＝ ， ∴ sin sinEDK EBG   ， 即 EK OC DE BC  ， ∴ √ / = √ ， 解得： 3m  或 0m  （舍去 0）， 综上所述，满足条件的 m的值为8 2 5 或 4 或 3．·····（1 分） 2024-2025学年九年级数学上学期第三次月考卷 参考答案 1、 选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B A B A C C C A B B 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11．（答案不唯一） 12．2 13． 14． 15．2 16．2 三、解答题（本大题共10小题，满分86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（6分） 【详解】解：（1） ······（2分） ；······（1分） （2） ······（2分） ．······（1分） 18.（6分） 【详解】（1）解：把代入得，， ∴点A的坐标为，······（1分） ∵点A在反比例函数的图象上， ∴．······（1分） ∴反比例函数解析式为 ；······（1分） （2）解：联立 ，解得或， ∴点B的坐标为，······（1分） 设直线与y轴的交点为C，    将代入，得， ∴点C的坐标为， ∴，······（1分） ∴， ∴的面积为4．······（1分） 19．（6分） 【详解】解：连接，······（1分） ∵是的直径， ∴，······（2分） 由圆周角定理得：， ∴，······（2分） ∵， ∴．······（1分） 20．（8分） 【详解】解：根据主视图可得，圆柱体底面圆的直径为， ∴圆柱体底面圆的半径为，······（1分） 根据俯视图可得，立体图形的长为，宽为，结合左视图可得，立体图形的高为， ∴立体图形，半圆柱体，······（2分） ∴图示模型的体积为， ∴体积为：；······（1分） 图示立体图形的表面积： 主视图中：，，则；······（1分） 左视图中：；······（1分） 俯视图中：；······（1分） ∴图示模型的表面积为：， ∴表面积为：．······（1分） 21．（8分） 【详解】（1）解：如图，连接，······（1分）    ∵与相切于点， ∴，即，······（1分） ∵， ∴，······（1分） 在中，， ∴．······（1分） （2）解：∵为的中点， ∴，即，······（1分） ∵， ∴， ∴，······（2分） 在中，， ∴．······（1分） 22.（8分） 【详解】（1）解：过点作于，如图：   （海里）， 设， ，， ，，······（1分） 在中，，， ，······（1分） 在中，，， ，······（1分） ， 解得：，······（1分） 答：渔船继续向东航行，有触礁危险．······（1分） （2）过点于，如图：    由（1）得：（海里），······（1分） 在中，，，海里， ，······（1分） 答：没有触礁危险．······（1分） 23．（10分） 【详解】（1）解：根据题意得：，······（2分） 与之间的函数关系式为；······（2分） （2）解：根据题意得：，······（3分） ， 当时，随的增大而增大，······（1分） ， 当时，有最大值，最大值为，······（2分） 将纪念品的销售单价定为52元时，商家每天销售纪念品获得的利润元最大，最大利润是2640元. 24．（10分） 【详解】（1）解：影子是路灯照射形成的，点P的位置如图所示； ；······（6分） （2）解：即为树高如图所示； （3）解：过P点作，垂足为G，则的长即为路灯的高度 由题意知：，， 所以，，即为等腰直角三角形，······（3分） 所以······（1分） 即路灯的高度为． 25．（12分） 【详解】（1）证明：连接，·····（1分）    则， ， 平分， ， ， ，·····（2分） ， 在中，，是角平分线， ， ，·····（2分） 是圆O的半径， 与圆O相切；·····（1分） （2）解：在中，，E为的中点， ∴在中，cos∠ABE=·····（2分） ， 设圆O的半径为r，则， ， ， ∴ ·····（3分） 即 即圆O的半径为．·····（1分） 26．（12分） 【详解】（1）∵ ， ∴， ∵， ∴ ，·····（1分） ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴，·····（2分） 把代入线得： ， 解得， ∴抛物线的函数关系式；·····（1分） （2）由得直线BC函数关系式为，·····（1分） ∵点D的横坐标为m， ∴，，， ∴，·····（2分） ∵， ∴当时，取最大值4，·····（1分） ∴线段长度的最大值为4； （3）存在m的值，使是等腰三角形，理由如下： 延长交于G，如图： ∵点D的坐标为，点E的坐标为， ∴点G的坐标为， 则，OG＝m， ∵， ∴BC＝4， ∵， ∴，即， ∴；·····（1分） ①若，则， 解得（舍去）或，·····（1分） ②当时，如图，过点C作于点H， ∴， ∵， ∴， 解得：或（舍去）；·····（1分） ③当时，如图，过点D作 于点K， 则， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， 解得：或（舍去0）， 综上所述，满足条件的m的值为或4或3．·····（1分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2024-2025 学年九年级上学期第三次月考卷 数学·答题卡 第Ⅰ卷（请用 2B 铅笔填涂） 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；填空题和解答题必 须用 0.5 mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆 珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题 4 分，共 40 分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题 4 分，共 24 分） 11. _______________ 12. ________________ 13. ________________ 14. ________________ 15. ________________ 16. ________________ 三、解答题（共 86 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（6 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（6 分） 19．（6 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（8 分） 21．（8 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22．（8 分） 23．（10 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24．（10 分） 25．（12 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 26．（12 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ … … … … … … ○ … … … … … … 内 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … … … … … … ○ … … … … … … 外 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … 学 校 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ _ 姓 名 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ 班 级 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ _ _ 考 号 ： _ __ _ _ __ _ __ _ __ _ _ _ _ _ __ _ _ 2024-2025 学年九年级数学上学期第三次月考卷 （考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：鲁教版第一章反比例函数 15%+第二章直角三角形的边角关系15%+第三章二次函数 25%+ 第四章投影与视图 20%+第五章圆 25%。 5．难度系数： 0.65。 第一部分（选择题 共 40 分） 一、 选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，满分 40 分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目 要求的） 1.如图，将三棱柱的一个角切割掉，所得几何体的左视图为（ ） A． B． C． D． 2.利用科学计算器计算 1 cos 2 35，下列按键顺序正确的是（ ） A． B． C． D． 3.如图，四边形 ABCD是 O 的内接四边形， 125ABC   ，则 AOC 的度数是（ ）． A．100 B．110 C．120 D．125 4.如图是由 5 个完全相同的小正方体搭成的几何体，如果将小正方体 A放置到小正方体 B的正上方，则它 的三视图变化情况是（ ） A．主视图会发生改变 B．左视图会发生改变 C．俯视图会发生改变 D．三种视图都会发生改变 5.如图， ABC 内接于 O ．若 AB AC ，BC度数为80，则 C 的度数为（ ） A．50 B．60 C．70 D．80 6.在二次函数  2 0y ax bx c a    中， y与 x的部分对应值如下表： x … 1 0 1 2 … y … 6 0 2 0 … 则下列判断正确的是（ ） A．抛物线开口向上 B．抛物线的对称轴位于 y轴左侧 C．抛物线的顶点位于第一象限 D．抛物线与 x轴只有一个交点 7.如图，在⊙O 中，AB 是直径，弦 AC=5，∠BAC=∠D．则 AB 的长为（ ） A．5 B．10 C．5 2 D．10 2 8.已知二次函数  2 0y ax bx c a    的图象如图所示，则反比例函数 cy x  与一次函数 y ax b   在同一 平面直角坐标系的图象可能是（ ） A． B． C． D． 9.如图，太阳光线与地面成60的角，照射在地面上的一只皮球上，皮球在地面上的投影长是20cm ，则皮 球的直径是（ ） A．5 3cm B．10 3cm C．20cm D．10cm … … … … … … ○ … … … … … … 内 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … 此 卷 只 装 订 不 密 封 … … … … … … ○ … … … … … … 外 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … 10.如图，二次函数  2 0y ax bx c a    的图象与 x轴交于A ，B两点，与 y轴交于点C，且OA OC ．则 下列结论：① 0abc < ；② 2 4 0 4 b ac a   ；③ 1 0ac b   ；④方程 2ax bx c c   有两个不相等的实数根．其 中正确结论的个数是（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 第二部分（非选择题 共 110 分） 二、 填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分） 11.写出一个经过原点、开口向上且对称轴是直线 3x  的抛物线的解析式： ． 12.双曲线 4 y x  经过点 ( , )A m n ，则代数式10 2mn 的值为 ． 13.如图，小树 AB在路灯 O的照射下形成投影 BC．若树高 AB＝2m，树影 BC＝3m，树与路灯的水平距离 BP＝4m．则路灯的高度 OP为 m． 14.已知二次函数 2y x x 2   ，当0 2x  时，函数 2y x x 2   的取值范围为 ． 15.如图，在 O 中，点C为AB的中点，半径OC交弦𝐴𝐵于点D，已知 5OC  ， 8AB  ，则𝐶𝐷的长 为 ． 16.如图所示，点B的坐标是 5 0 2       ， ， B 与 x轴相切于点O，交 y轴于点C，双曲线  0ky x x   与 O 的 一个交点为A ，连接OA，若 5OA  ，则 k  ． 三、解答题（本大题共 10 小题，满分 86 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（6 分）（1）计算：2 cos 30 tan 60 sin 45 cos 45     ． （2）计算：  2023 21 2sin 45 cos30 sin 60 tan 60     ． 18.（6 分）如图所示，一次函数 2y x  的图象与反比例函数 k y x  的图象相交于 A、B两点，其中点 A的 横坐标是 1 ． (1)求反比例函数的解析式； (2)按照既得数据，计算 AOB 的面积． 19．（6 分）如图， O 是 ABC 的外接圆，直径BD长为 4， 3 sin 4 BAC  ，求BC的长． 20．（8分）某几何体的三视图如图所示，其中主视图中半圆的半径为2 ．请求出该几何体的体积和表面积． … … … … … … ○ … … … … … … 内 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … … … … … … ○ … … … … … … 外 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … 学 校 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ _ 姓 名 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ 班 级 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ _ _ 考 号 ： _ __ _ _ __ _ __ _ __ _ _ _ _ _ __ _ _ 21．（8分）在 O 中， AB为直径，C为 O 上一点． (1)如图①，过点C作 O 的切线，与 AB的延长线相交于点P，若 27CAB  ，求 P 的大小； (2)如图②，D为AC上一点，且OD经过 AC的中点E，连接DC并延长，与 AB的延长线相交于点P，若 10CAB  ，求 P 的大小． 22.（8 分）如图，某渔船沿正东方向以 30 海里/小时的速度航行，在 A处测得岛 C在北偏东60方向，20 分钟后渔船航行到 B处，测得岛 C在北偏东30方向，已知该岛 C周围 9 海里内有暗礁．（参考数据： 3 1.732 ，sin75 0.966  ，cos75 0.259  ．） (1)如果渔船继续向东航行，有无触礁危险？请说明理由． (2)如果渔船在 B处改为向东偏南15方向航行，有无触礁危险？说明理由． 23．（10 分）某款旅游纪念品很受游客喜爱，每个纪念品进价 40 元，规定销售单价不低于 44 元，且不高 于 52 元．某商户在销售期间发现，当销售单价定为 44 元时，每天可售出 300 个，销售单价每上涨 1 元， 每天销量减少 10 个．现商家决定提价销售，设每天销售量为 y个，销售单价为 x元． (1)写出 y与 x之间的函数关系式和自变量 x的取值范围； (2)将纪念品的销售单价定为多少元时，商家每天销售纪念品获得的利润 w元最大？最大利润是多少元？ 24．（10 分）如图，一墙墩（用线段 AB表示）的影子是BC，小明（用线段DE表示）的影子是EF，在 M 处有一棵大树，它的影子是MN． (1)试判断图中的影子是路灯照射形成还是太阳光照射形成的，如果是路灯照射形成的，请确定路灯的位置 （用点 P表示）；如果是太阳光照射形成的，请画出太阳光线； (2)在图中画出表示大树高的线段； (3)若小明的身高是1.8m ，他的影长 1 8mEF  . ．大树的高度为7.2m，它的影长 7.2mMN  ．且大树与小明 之间的距离 16.2mME  ，求路灯的高度． 25．（12 分）如图，在等腰 ABC 中，AB AC ．E为BC的中点，BD平分 ABC 交 AE于 D．经过 B，D 两点的圆 O交BC于点 G．交 AB于点 F．FB恰为圆 O的直径． (1)求证： AE与圆 O相切． (2)当 10AC  ，cosC＝ 3 5 时，求圆 O的半径． 26．（12 分）如图，已知抛物线 2y ax bx c ＝ 与 x轴相交于 A、B两点，与 y轴相交于点 C．其中 2, 8, 90OA OB ACB ＝ ＝ ＝ ，D是第一象限抛物线上一点，连接 ,DC DE OC∥ 交BC于点 E，点 D的横坐标 为 m． (1)求抛物线的函数关系式； (2)求线段DE长度的最大值； (3)是否存在 m的值，使 DCE△ 是等腰三角形？若存在，请求出所有满足条件的 m的值；若不存在，请说 明理由．