第2章 一元二次方程 闯关练习卷-2024-2025学年北师大版数学九年级上册

第2章一元二次方程闯关练习卷-2024-2025学年数学九年级上册北师大版 一．选择题（共8小题） 1．（2024秋•奉贤区期中）下列方程中，是一元二次方程的是（　　） A．x（x+1）＝x2 B． C．x2﹣＝0 D．ax2+2x+3＝0（a为常数） 2．（2024秋•大荔县校级期中）若关于x的一元二次方程x2+x﹣m＝0没有实数根，则m的值可以是（　　） A．﹣2 B．0 C．2 D．4 3．（2024秋•江岸区期中）判断方程x2﹣2x﹣8＝0的根的情况正确的是（　　） A．有一个实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根 4．（2024秋•江岸区期中）一元二次方程2x2+3x＝﹣1化为一般形式后的二次项系数、一次项系数、常数项分别可以是（　　） A．2，3，1 B．2，3，﹣1 C．2，﹣3，1 D．2，3，0 5．（2024秋•潍坊期中）小莹在解关于x的方程ax2﹣4x+2＝0（a≠0）时，抄错了a的符号，解出其中一个根是x＝1，则原方程的根的情况是（　　） A．有一个实数根是x＝﹣1 B．没有实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 6．（2024秋•崂山区期中）秋冬季是支原体肺炎的感染高发期，佩戴口罩是遏制支原体肺炎病毒传播的一种有效途径．若有一个人患了支原体肺炎，经过两轮传染后共有81人患了支原体肺炎（假设每个人每轮传染的人数同样多）．设每轮传染中平均一个人传染了x个人，可列方程为（　　） A．x（x+1）＝81 B．x+x（x+1）＝81 C．1+x+x2＝81 D．1+x+x（1+x）＝81 7．（2024秋•市北区期中）某市2022年底有2万户5G用户，计划到2024年底全市5G用户数累计达到8.72万户．设全市5G用户数年平均增长率为x，下列方程正确的是（　　） A．2（1+x）＝8.72 B．2+2（1+x）+2（1+2x）＝8.72 C．2（1+x）2＝8.72 D．2+2（1+x）+2（1+x）2＝8.72 8．（2024秋•龙岗区期中）我国古代数学家赵爽（公元3～4世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解法．以方程x2+5x﹣14＝0即x（x+5）＝14为例说明，记载的方法是：构造如图面积是（x+x+5）2的大正方形．同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即4×14+52＝81，因此x＝2．则在下列四个构图中，能正确说明方程x2﹣3x﹣10＝0解法的构图是（　　） A． B． C． D． 二．填空题（共6小题） 9．（2024秋•常州期中）写出一个一元二次方程，使它两根分别为3和﹣10，所写方程为：　 　． 10．（2024秋•西岗区期中）已知：一元二次方程2x2﹣4x+k＝0的一个根是2，则k＝ 　 　． 11．（2024秋•江岸区期中）已知x1、x2是方程x2﹣6x﹣7＝0的两个不相等的实数根，则x1x2﹣x1﹣x2的值为 　 　． 12．（2024秋•城阳区期中）商店销售一款运动鞋，已知每双运动鞋的成本为64元，在成本价的基础上经过两次价格调整后售价定为100元，若每次价格调整的增长率相同，则增长率为 　 　． 13．（2024秋•兰山区月考）国庆节期间昭通市教育局组织教职工篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间赛一场），总共安排了15场比赛，则参加比赛的球队应有 　 　队． 14．（2024秋•蒙阴县校级月考）某课外生物小组拟定在桃花岭上建立一个实验园地，其形状是长5米、宽3米的矩形，为便于管理，要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道（如图），其余全部用来种植，要使种植面积为10平方米，求小道的宽．若设小道的宽为x米，则可列方程为 　 　． 三．解答题（共7小题） 15．（2024秋•市北区期中）解方程： （1）x2﹣4x﹣1＝0； （2）2x2﹣2x﹣1＝0； （3）（x﹣3）2+4（x﹣3）＝0． 16．（2024秋•丰台区校级期中）已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+（m﹣4）x﹣3＝0（m为实数，且m≠1）． （1）求证：此方程总有实数根； （2）如果此方程的实数根都是整数，求正整数m的值． 17．（2024秋•临潼区期中）每年的秋、冬季是流感病毒的高发时间，某校为了提高全校师生的病毒预防知识，特举办流感病毒预防知识讲座（每人限听1次），第一天听讲座的有500人，第三天听讲座的有720人，求后两天听讲座人数的平均增长率． 18．（2024秋•临潼区期中）如图，在Rt△ABC中，点P以1cm/s的速度从点B往点C运动，点Q以2cm/s的速度从点A往点C运动，且当其中一个点到达终点C时，另一点也随之停止运动．若BC＝6cm，AC＝8cm，请问在点P，Q运动过程中，△PCQ的面积能否等于3cm2？若能，请求出点P的运动时间；若不能，请说明理由． 19．（2024秋•潍坊期中）如图，某儿童乐园的场地是长宽分别为35m，15m的矩形．儿童乐园进行改造升级，场地也进行扩充，将场地的长、宽增加相同的长度后，新场地仍是一个矩形． （1）若扩充后的矩形场地面积为800m2，求新的矩形场地的长与宽； （2）儿童乐园改造升级后，经过调查发现，票价30元/人时游客数为每天500人，票价每提高1元，则游客减少10人，要使得儿童乐园日营业额达到1.6万元，票价应定为多少元？ 20．（2024秋•南京期中）定义：设x1，x2是方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根，若满足|x1+x2|＝|x1x2|，则称此类方程为“和谐方程”．例如，方程x2＝0是“和谐方程”． （1）下列方程是“和谐方程”的是　 　． ①x2﹣x＝0；②x2﹣4x+4＝0；③． （2）若方程x2﹣（m+2）x+2m＝0是“和谐方程”，求m的值． （3）若方程ax2+bx+c＝0（a≠0）为“和谐方程”，直接写出b，c满足的数量关系． 21．（2024秋•新会区校级月考）阅读下列材料： 解方程：x4﹣6x2+5＝0．这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设x2＝y，那么x4＝y2，于是原方程可变形为y2﹣6y+5＝0， 解得y1＝1，y2＝5． 当y＝1时，x2＝1，∴x＝±1． 当y＝5时，x2＝5，∴． 所以原方程有四个根：x1＝1，x2＝﹣1，，． 在这个过程中，我们利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想． （1）解方程（x2﹣x）2+4（x2﹣x）﹣12＝0时，若设y＝x2﹣x，则原方程可转化为 　 　，并求出x； （2）利用换元法解方程：． 第2章一元二次方程闯关练习卷-2024-2025学年数学九年级上册北师大版 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 1．（2024秋•奉贤区期中）下列方程中，是一元二次方程的是（　　） A．x（x+1）＝x2 B． C．x2﹣＝0 D．ax2+2x+3＝0（a为常数） 【解答】解：A．x（x﹣1）＝x2，x2﹣x＝x2，﹣x＝0，是一元一次方程方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； B．x2﹣2x+3＝0是一元二次方程，故本选项符合题意． C．＝1是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； D．当a＝0时，方程ax2+2x+3＝0是一元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； 故选：B． 2．（2024秋•大荔县校级期中）若关于x的一元二次方程x2+x﹣m＝0没有实数根，则m的值可以是（　　） A．﹣2 B．0 C．2 D．4 【解答】解：由题意可得： Δ＝12﹣4×（﹣m）＝1+4m＜0， 解得：， ∴﹣2在此范围内， 故选：A． 3．（2024秋•江岸区期中）判断方程x2﹣2x﹣8＝0的根的情况正确的是（　　） A．有一个实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根 【解答】解：方程x2﹣2x﹣8＝0， ∵a＝1，b＝﹣2，c＝﹣8， ∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣8）＝4+32＝36＞0， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：C． 4．（2024秋•江岸区期中）一元二次方程2x2+3x＝﹣1化为一般形式后的二次项系数、一次项系数、常数项分别可以是（　　） A．2，3，1 B．2，3，﹣1 C．2，﹣3，1 D．2，3，0 【解答】解：原方程化为一般形式为：2x2+3x+1＝0， ∴二次项系数、一次项系数及常数项分别为：2、3、1． 故选：A． 5．（2024秋•潍坊期中）小莹在解关于x的方程ax2﹣4x+2＝0（a≠0）时，抄错了a的符号，解出其中一个根是x＝1，则原方程的根的情况是（　　） A．有一个实数根是x＝﹣1 B．没有实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 【解答】解：将x＝1代入方程得， a﹣4+2＝0， 解得a＝2， 所以a的正确值为﹣2， 则原方程为﹣2x2﹣4x+2＝0， 所以Δ＝（﹣4）2﹣4×（﹣2）×2＝32＞0， 所以原方程有两个不相等的实数根． 故选：D． 6．（2024秋•崂山区期中）秋冬季是支原体肺炎的感染高发期，佩戴口罩是遏制支原体肺炎病毒传播的一种有效途径．若有一个人患了支原体肺炎，经过两轮传染后共有81人患了支原体肺炎（假设每个人每轮传染的人数同样多）．设每轮传染中平均一个人传染了x个人，可列方程为（　　） A．x（x+1）＝81 B．x+x（x+1）＝81 C．1+x+x2＝81 D．1+x+x（1+x）＝81 【解答】解：根据题意得：1+x+x（1+x）＝81． 故选：D． 7．（2024秋•市北区期中）某市2022年底有2万户5G用户，计划到2024年底全市5G用户数累计达到8.72万户．设全市5G用户数年平均增长率为x，下列方程正确的是（　　） A．2（1+x）＝8.72 B．2+2（1+x）+2（1+2x）＝8.72 C．2（1+x）2＝8.72 D．2+2（1+x）+2（1+x）2＝8.72 【解答】解：设全市5G用户数年平均增长率为x， 依题意得：2（1+x）2＝8.72， 故选：C． 8．（2024秋•龙岗区期中）我国古代数学家赵爽（公元3～4世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解法．以方程x2+5x﹣14＝0即x（x+5）＝14为例说明，记载的方法是：构造如图面积是（x+x+5）2的大正方形．同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即4×14+52＝81，因此x＝2．则在下列四个构图中，能正确说明方程x2﹣3x﹣10＝0解法的构图是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：方程x2﹣3x﹣10＝0，即x（x﹣3）＝10的拼图如图所示： 中间小正方形的边长x﹣（x﹣3）＝3，其面积为9， 大正方形的面积：（x+x﹣3）2＝4x（x﹣3）+9＝4×10+9＝49，其边长为7， 因此，C选项所表示的图形符合题意． 故选：C． 二．填空题（共6小题） 9．（2024秋•常州期中）写出一个一元二次方程，使它两根分别为3和﹣10，所写方程为：　（x﹣3）（x+10）＝0　． 【解答】解：∵一个一元二次方程的两个根分别是3和﹣10， ∴（x﹣3）（x+10）＝0， 故答案为：（x﹣3）（x+10）＝0． 10．（2024秋•西岗区期中）已知：一元二次方程2x2﹣4x+k＝0的一个根是2，则k＝ 　0　． 【解答】解：把x＝2代入方程2x2﹣4x+k＝0得8﹣8+k＝0， 解得k＝0． 故答案为：0． 11．（2024秋•江岸区期中）已知x1、x2是方程x2﹣6x﹣7＝0的两个不相等的实数根，则x1x2﹣x1﹣x2的值为 　﹣13　． 【解答】解：∵x1，x2是方程x2﹣6x﹣7＝0的两个实数根， ∴x1+x2＝6，x1x2＝﹣7， ∴x1x2﹣x1﹣x2 ＝x1x2﹣（x1+x2） ＝﹣7﹣6 ＝﹣13． 故答案为：﹣13． 12．（2024秋•城阳区期中）商店销售一款运动鞋，已知每双运动鞋的成本为64元，在成本价的基础上经过两次价格调整后售价定为100元，若每次价格调整的增长率相同，则增长率为 　25%　． 【解答】解：设增长率为x， 依题意，得：64（1+x）2＝100， 解得：x1＝0.25＝25%，x2＝﹣2.25（不合题意，舍去）， 即增长率为25%， 故答案为：25%． 13．（2024秋•兰山区月考）国庆节期间昭通市教育局组织教职工篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间赛一场），总共安排了15场比赛，则参加比赛的球队应有 　6　队． 【解答】解：设参加比赛的球队有x队， 根据题意得：x（x﹣1）＝15， 整理得：x2﹣x﹣30＝0， 解得：x1＝6，x2＝﹣5（不符合题意，舍去）， 即参加比赛的球队有6队， 故答案为：6． 14．（2024秋•蒙阴县校级月考）某课外生物小组拟定在桃花岭上建立一个实验园地，其形状是长5米、宽3米的矩形，为便于管理，要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道（如图），其余全部用来种植，要使种植面积为10平方米，求小道的宽．若设小道的宽为x米，则可列方程为 　（5﹣2x）（3﹣x）＝10　． 【解答】解：把阴影部分分别移到矩形的上边和左边可得矩形的长为（5﹣2x）米，宽为（3﹣x）米， ∴可列方程为（5﹣2x）（3﹣x）＝10， 化简得，（5﹣2x）（3﹣x）＝10， 故答案为：（5﹣2x）（3﹣x）＝10． 三．解答题（共7小题） 15．（2024秋•市北区期中）解方程： （1）x2﹣4x﹣1＝0； （2）2x2﹣2x﹣1＝0； （3）（x﹣3）2+4（x﹣3）＝0． 【解答】解：（1）x2﹣4x﹣1＝0， ∴x2﹣4x＝1， ∴x2﹣4x+4＝1+4， ∴（x﹣2）2＝5， ∴x﹣2＝±， ∴x1＝2+，x2＝2﹣； （2）2x2﹣2x﹣1＝0， a＝2，b＝﹣2，c＝﹣1， ∴Δ＝（﹣2）2﹣4×2×（﹣1）＝12＞0， ∴x＝＝， ∴x1＝，x2＝； （3）（x﹣3）2+4（x﹣3）＝0． ∴（x﹣3）（x﹣3+4）＝0， ∴（x﹣3）（x+1）＝0， ∴x﹣3＝0，x+1＝0， ∴x1＝3，x2＝﹣1． 16．（2024秋•丰台区校级期中）已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+（m﹣4）x﹣3＝0（m为实数，且m≠1）． （1）求证：此方程总有实数根； （2）如果此方程的实数根都是整数，求正整数m的值． 【解答】解：（1）关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+（m﹣4）x﹣3＝0（m为实数，且m≠1）， ∵a＝m﹣1，b＝m﹣4，c＝﹣3， ∴Δ＝b2﹣4ac＝（m﹣4）2﹣4（m﹣1）×（﹣3） ＝m2﹣8m+16+12m﹣12， ＝m2+4m+4， ＝（m+2）2． ∵（m+2）2≥0， ∴方程总有实数根； （2）∵（m﹣1）x2+（m﹣4）x﹣3＝0， （x+1）[（m﹣1）x﹣3]＝0， ∴x1＝﹣1，， ∵方程的两个实数根都是整数，且m是正整数， ∴m﹣1＝1或m﹣1＝3． ∴m＝2或m＝4． 17．（2024秋•临潼区期中）每年的秋、冬季是流感病毒的高发时间，某校为了提高全校师生的病毒预防知识，特举办流感病毒预防知识讲座（每人限听1次），第一天听讲座的有500人，第三天听讲座的有720人，求后两天听讲座人数的平均增长率． 【解答】解：设后两天听讲座人数的平均增长率为x， 根据题意得：500（1+x）2＝720， 解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不符合题意，舍去）． 答：后两天听讲座人数的平均增长率为20%． 18．（2024秋•临潼区期中）如图，在Rt△ABC中，点P以1cm/s的速度从点B往点C运动，点Q以2cm/s的速度从点A往点C运动，且当其中一个点到达终点C时，另一点也随之停止运动．若BC＝6cm，AC＝8cm，请问在点P，Q运动过程中，△PCQ的面积能否等于3cm2？若能，请求出点P的运动时间；若不能，请说明理由． 【解答】解：6÷1＝6（s），8÷2＝4（s）． 当运动时间为t（0≤t≤4）秒时，CP＝（6﹣t）cm，CQ＝（8﹣2t）cm， 根据题意得：CP•CQ＝3， 即（6﹣t）（8﹣2t）＝3， 整理得：t2﹣10t+21＝0， 解得：t1＝3，t2＝7（不符合题意，舍去）． 答：在点P，Q运动过程中，△PCQ的面积能否等于3cm2，此时点P的运动时间是3s． 19．（2024秋•潍坊期中）如图，某儿童乐园的场地是长宽分别为35m，15m的矩形．儿童乐园进行改造升级，场地也进行扩充，将场地的长、宽增加相同的长度后，新场地仍是一个矩形． （1）若扩充后的矩形场地面积为800m2，求新的矩形场地的长与宽； （2）儿童乐园改造升级后，经过调查发现，票价30元/人时游客数为每天500人，票价每提高1元，则游客减少10人，要使得儿童乐园日营业额达到1.6万元，票价应定为多少元？ 【解答】解：（1）设场地的长、宽增加x m，则新的矩形场地的长为（35+x）m，宽为（15+x）米， 根据题意得：（35+x）（15+x）＝800， 整理得：x2+50x﹣275＝0， 解得：x1＝5，x2＝﹣55（不符合题意，舍去）， ∴35+x＝35+5＝40， 15+x＝15+5＝20． 答：新的矩形场地的长为40m，宽为20m； （2）设票价应定为y元/人，则游客数为每天500﹣10（y﹣30）＝（800﹣10y）人， 根据题意得：y（800﹣10y）＝16000， 整理得：y2﹣80y+1600＝0， 解得：y1＝y2＝40． 答：票价应定为40元/人． 20．（2024秋•南京期中）定义：设x1，x2是方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根，若满足|x1+x2|＝|x1x2|，则称此类方程为“和谐方程”．例如，方程x2＝0是“和谐方程”． （1）下列方程是“和谐方程”的是　②③　． ①x2﹣x＝0；②x2﹣4x+4＝0；③． （2）若方程x2﹣（m+2）x+2m＝0是“和谐方程”，求m的值． （3）若方程ax2+bx+c＝0（a≠0）为“和谐方程”，直接写出b，c满足的数量关系． 【解答】解：（1）①x2﹣x＝0， ∴， ∴不满足|x1+x2|＝|x1x2|，故不是“和谐方程”； ②x2﹣4x+4＝0， ∴， 满足|x1+x2|＝|x1x2|，故是“和谐方程”； ③， 解得：， ∴， ∴满足|x1+x2|＝|x1x2|，故是“和谐方程”； 故答案为：②③； （2）∵x1+x2＝m+2，x1x2＝2m， ∵方程x2﹣（m+2）x+2m＝0是“和谐方程”， ∴|m+2|＝|2m|， ∴（m+2）2＝4m2， 即3m2﹣4m﹣4＝0， 解得：； （3）对于ax2+bx+c＝0（a≠0）， 则， ∵方程ax2+bx+c＝0（a≠0）为“和谐方程”， ∴， ∵a≠0， ∴|b|＝|c|，即b2＝c2（或b＝±c）． 21．（2024秋•新会区校级月考）阅读下列材料： 解方程：x4﹣6x2+5＝0．这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设x2＝y，那么x4＝y2，于是原方程可变形为y2﹣6y+5＝0， 解得y1＝1，y2＝5． 当y＝1时，x2＝1，∴x＝±1． 当y＝5时，x2＝5，∴． 所以原方程有四个根：x1＝1，x2＝﹣1，，． 在这个过程中，我们利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想． （1）解方程（x2﹣x）2+4（x2﹣x）﹣12＝0时，若设y＝x2﹣x，则原方程可转化为 　y2+4y﹣12＝0，　，并求出x； （2）利用换元法解方程：． 【解答】解：（1）（x2﹣x）2+4（x2﹣x）﹣12＝0， 设y＝x2﹣x， ∴原方程变形为：y2+4y﹣12＝0， ∴（y﹣2）（y+6）＝0， ∴y1＝2，y2＝﹣6， 当y＝2时，x2﹣x＝2，即：x2﹣x﹣2＝0， ∴（x+1）（x﹣2）＝0， ∴x1＝﹣1，x2＝2， 当y＝﹣6时，x2﹣x＝﹣6，即：x2﹣x+6＝0， Δ＝1﹣4×1×6＜0，方程无解， ∴原方程有两个解：x1＝﹣1，x2＝2， 故答案为：y2+4y﹣12＝0；x1＝﹣1，x2＝2； （2）， 设，则， ∴原方程可变形为：， ∴y2+2y﹣3＝0， ∴（y﹣1）（y+3）＝0， ∴y1＝1，y2＝﹣3， 当y＝1时，， ∴x2﹣1＝2x， ∴x2﹣2x﹣1＝0， ∴， ∴， 当y＝﹣3时，， ∴x2﹣1＝﹣6x， ∴x2+6x﹣1＝0， ∴＝， ∴x3＝﹣3+，x4＝﹣3﹣， ∵经检验，x1，x2，x3，x4均是方程的根， ∴． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$