5.3.3古典概型同步练习-2024-2025学年高一上学期数学人教B版（2019）必修第二册

5．3.3　古典概型 必备知识基础练　 1．(5分)(易错题)下列试验是古典概型的是(　　) A．在平面直角坐标系内，从横坐标和纵坐标都是整数的所有点中任取一点 B．某射手射击一次，可能命中0环，1环，2环，…，10环 C．某小组有男生5人，女生3人，从中任选1人做演讲 D.在适宜的条件下，种下一粒种子，观察它是否发芽 2．(5分)在一个袋子中装有分别标注1，2，3，4，5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同，现从中随机取出2个小球，则取出小球标注的数字之差的绝对值为2或4的事件包含的样本点个数为(　　) A．2　 　 　B．3　 　 　C．4　 　 　D．5 3．(5分)信宜市是广东省首个“中国慈孝文化之乡”．为弘扬传统慈孝文化，信宜某小学开展为父母捶背活动，要求同学们在某周的周一至周五任选两天为父母捶背，则该校的同学甲连续两天为父母捶背的概率为(　　) A． B． C． D． 4．(5分)从1，2，3，4这4个数中，不放回地任意取两个数，两个数都是偶数的概率是(　　) A． B． C． D． 5．(5分)从n个正整数1，2，…，n任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5的概率为，则n＝(　　) A．28 B．14 C．10 D．8 6．(5分)利用简单随机抽样的方法抽查了某校500名学生，其中共青团员有320人，戴眼镜的有365人，若在这个学校随机抽查一名学生，则估计他是团员的概率为________，戴眼镜的概率为________． 7．(12分)某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名学生参加演讲比赛，请计算下列事件的概率． (1)恰有1名男生； (2)至少有1名女生； (3)全是男生； (4)全是女生． 关键能力综合练 8.(5分)食物链亦称“营养链”，是指生态系统中各种生物为维持其本身的生命活动，必须以其他生物为食物的这种由食物联结起来的链锁关系．如图为某个生态环境中的食物链，若从鹰、麻雀、兔、田鼠以及蝗虫中任意选取两种，则这两种生物恰好构成摄食关系的概率为(　　) A． B． C． D． 9．(5分)若甲、乙、丙三名学生随机站成一排，则甲站在边上的概率为(　　) A． B． C． D． 10．(5分)有大小相同的五个球，上面分别标有序号1，2，3，4，5，现从中任取两球，则这两球的序号不相邻的概率为(　　) A． B． C． D． 11．(6分) (多选)有5个形状、大小相同的球，其中3个红色、2个蓝色，从中一次性随机取2个球，则下列说法正确的是(　　) A．“取不到红球”的概率为 B．“取出的两球均为红色”的概率为 C．“至多取到1个红球”的概率为 D．“取出一个红球、一个蓝球”的概率为 12．(5分)先后掷两个均匀的骰子，观察朝上的面的点数，记事件A：点数之和为7，B：至少出现一个3点，则P()＝________；P(B)＝________；P(AB)＝________． 13．(15分)为增强市民的环境保护意识，某市面向全市招募若干名宣传志愿者，成立环境保护宣传小组，现把该小组的成员按年龄(单位：岁)分成[20，25)，[25，30)，[30，35)，[35，40)，[40，45]这5组，得到的频率分布直方图如图所示，已知年龄在[20，25)内的人数为5. (1)若用分层随机抽样的方法从年龄在[30，35)，[35，40)，[40，45]内的志愿者中抽取6名参加某社区的宣传活动，再从这6名中随机抽取2名做环境保护知识宣讲，求这2名环境保护知识宣讲志愿者中至少有1名年龄在[35，40)内的概率； (2)在(1)的条件下，记抽取的2名志愿者分别为甲、乙，该社区为了感谢甲、乙作为环境保护知识宣讲的志愿者，从纪念品盒中随机抽取2件纪念品分别赠给甲、乙，已知纪念品盒中装有价值分别为50元、80元、100元的3种纪念品，且每种纪念品均有5件，求甲的纪念品价值不高于乙的纪念品价值的概率． 核心素养升级练 14.(17分)已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240，160，160.现采用分层随机抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动． (1)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？ (2)设抽出的7名同学分别用A，B，C，D，E，F，G表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作． ①试用所给字母列举出所有可能的抽取结果； ②设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M发生的概率． 参考答案 必备知识基础练　 1．(5分)(易错题)下列试验是古典概型的是(　　) A．在平面直角坐标系内，从横坐标和纵坐标都是整数的所有点中任取一点 B．某射手射击一次，可能命中0环，1环，2环，…，10环 C．某小组有男生5人，女生3人，从中任选1人做演讲 D.在适宜的条件下，种下一粒种子，观察它是否发芽 答案：C 解析：对于A，横坐标和纵坐标都是整数的点有无限多个，不满足有限样本空间特征，故该选项错误；对于B，命中0环，1环，2环，…，10环的概率不相同，不满足等可能性特征，故该选项错误；对于C，人数有限，且任选1人与学生的性别无关，是等可能的，故该选项正确；对于D，“发芽”与“不发芽”的概率不一定相等，不满足等可能性特征，故该选项错误．故选C. 易错提醒：(1)若试验不是古典概型，则不能用古典概型的概率公式计算某事件发生的概率． (2)计算古典概型概率的关键是求样本点总个数n和所求事件包含的样本点个数m. 2．(5分)在一个袋子中装有分别标注1，2，3，4，5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同，现从中随机取出2个小球，则取出小球标注的数字之差的绝对值为2或4的事件包含的样本点个数为(　　) A．2　 　 　B．3　 　 　C．4　 　 　D．5 答案：C 解析：取出小球标注的数字之差的绝对值为2或4的事件包含的样本点为(1，3)，(2，4)，(3，5)，(1，5)，所以取出小球标注的数字之差的绝对值为2或4的事件包含的样本点个数为4.故选C. 3．(5分)[2024·广东茂名高二月考]信宜市是广东省首个“中国慈孝文化之乡”．为弘扬传统慈孝文化，信宜某小学开展为父母捶背活动，要求同学们在某周的周一至周五任选两天为父母捶背，则该校的同学甲连续两天为父母捶背的概率为(　　) A． B． C． D． 答案：C 解析：令周一至周五的5天依次为1，2，3，4，5，则周一至周五任选两天的样本空间Ω＝{12，13，14，15，23，24，25，34，35，45}，共10个样本点，连续两天的事件A＝{12，23，34，45}，共4个样本点，所以该校的同学甲连续两天为父母捶背的概率为P(A)＝＝.故选C. 归纳总结：古典概型的概率求解步骤 4．(5分)从1，2，3，4这4个数中，不放回地任意取两个数，两个数都是偶数的概率是(　　) A． B． C． D． 答案：A 解析：由题知，不放回地从1，2，3，4中任意取两个数，所有可能的结果有：，，，，，，，，，，，，共12种，其中包含两个数都是偶数的结果有：，，共2种，所以两个数都是偶数的概率是P＝＝.故选A. 5．(5分)从n个正整数1，2，…，n任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5的概率为，则n＝(　　) A．28 B．14 C．10 D．8 答案：D 解析：设(x，y)为取出的两个数对，x是第一个数，y是第二个数，且x≠y，则n(Ω)＝n×n－n＝n(n－1)，设事件A：取出的两个不同的数的和为5，则A＝{(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)}，则n(A)＝4，P(A)＝＝＝⇒n(n－1)＝8×7，∴n＝8.故选D. 6．(5分)利用简单随机抽样的方法抽查了某校500名学生，其中共青团员有320人，戴眼镜的有365人，若在这个学校随机抽查一名学生，则估计他是团员的概率为________，戴眼镜的概率为________． 答案：0.64　0.73 解析：500名学生中共青团员有320人，即共青团员的频率为＝0.64，所以随机抽查一名学生，估计他是团员的概率为0.64；500名学生中戴眼镜的365人，即戴眼镜的学生的频率为＝0.73，所以随机抽查一名学生，估计他戴眼镜的概率为0.73. 7．(12分)某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名学生参加演讲比赛，请计算下列事件的概率． (1)恰有1名男生； (2)至少有1名女生； (3)全是男生； (4)全是女生． 解析：(1)3名男生设为a，b，c，2名女生设为d，e， 从中任选2名学生参加演讲比赛，情况如下： ，，，，，，，，，，共10种情况， 其中恰有1名男生的情况为，，，，，，共6种情况， 故恰有1名男生的概率为＝. (2)至少有1名女生的情况为，，，，，，， 共7种情况，故至少有1名女生的概率为. (3)全是男生的情况有，，，共3种情况， 故全是男生的概率为. (4)全是女生的情况有，故全是女生的概率为. 关键能力综合练 8.(5分)食物链亦称“营养链”，是指生态系统中各种生物为维持其本身的生命活动，必须以其他生物为食物的这种由食物联结起来的链锁关系．如图为某个生态环境中的食物链，若从鹰、麻雀、兔、田鼠以及蝗虫中任意选取两种，则这两种生物恰好构成摄食关系的概率为(　　) A． B． C． D． 答案：B 解析：从鹰、麻雀、兔、田鼠以及蝗虫中任意选取两种，样本空间Ω＝{(鹰，麻雀)，(鹰，兔)，(鹰，田鼠)，(鹰，蝗虫)，(麻雀，兔)，(麻雀，田鼠)，(麻雀，蝗虫)，(兔，田鼠)，(兔，蝗虫)，(田鼠，蝗虫)}，其中(鹰，田鼠)，(鹰，兔)，(鹰，麻雀)，(麻雀，蝗虫)可构成摄食关系，共4种，所以所求概率为P＝＝. 9．(5分)若甲、乙、丙三名学生随机站成一排，则甲站在边上的概率为(　　) A． B． C． D． 答案：B 解析：甲、乙、丙三名学生随机站成一排，共有6种结果：甲乙丙，甲丙乙，乙甲丙，乙丙甲，丙甲乙，丙乙甲，其中甲站在边上的结果有4个，故所求的概率为＝. 10．(5分)有大小相同的五个球，上面分别标有序号1，2，3，4，5，现从中任取两球，则这两球的序号不相邻的概率为(　　) A． B． C． D． 答案：C 解析：从五个小球中任取两球的基本事件共有10种．其中序号相邻的有(1，2)，(2，3)，(3，4)，(4，5)，共4种，故P(序号不相邻)＝1－＝＝. 11．(6分) (多选)有5个形状、大小相同的球，其中3个红色、2个蓝色，从中一次性随机取2个球，则下列说法正确的是(　　) A．“取不到红球”的概率为 B．“取出的两球均为红色”的概率为 C．“至多取到1个红球”的概率为 D．“取出一个红球、一个蓝球”的概率为 答案：ABC 解析：记3个红球分别为A，B，C，2个蓝球分别为a，b，则Ω＝{AB，AC，Aa，Ab，BC，Ba，Bb，Ca，Cb，ab}．“取不到红球”的有{ab}，概率为，A正确；“取出的两球均为红色”的有{AB，AC，BC}，概率为，B正确；“至多取到1个红球”的有{Aa, Ab, Ba, Bb, Ca, Cb, ab}，概率为，C正确；“取出一个红球、一个蓝球”的有{Aa，Ab，Ba，Bb，Ca，Cb}，概率为，D错误． 12．(5分)先后掷两个均匀的骰子，观察朝上的面的点数，记事件A：点数之和为7，B：至少出现一个3点，则P()＝________；P(B)＝________；P(AB)＝________． 答案：　　 解析：用数对(x，y)来表示抛掷结果，则样本空间可记为 Ω＝{(i，j)|i，j＝1，2，3，4，5，6}， 而且样本空间可用图直观表示． 样本空间中，共包含36个样本点．不难看出，A＝{(6，1)，(5，2)，(4，3)，(3，4)，(2，5)，(1，6)}，A包含6个样本点(即图中橙色框中的点)， 因此P(A)＝＝. 由对立事件概率之间的关系可知 P()＝1－P(A)＝1－＝. 类似地，可以看出图中绿色框中的点可以代表事件B，因此B包含11个样本点，从而P(B)＝. 易知AB＝{(4，3)，(3，4)}，因此P(AB)＝＝. 13．(15分)为增强市民的环境保护意识，某市面向全市招募若干名宣传志愿者，成立环境保护宣传小组，现把该小组的成员按年龄(单位：岁)分成[20，25)，[25，30)，[30，35)，[35，40)，[40，45]这5组，得到的频率分布直方图如图所示，已知年龄在[20，25)内的人数为5. (1)若用分层随机抽样的方法从年龄在[30，35)，[35，40)，[40，45]内的志愿者中抽取6名参加某社区的宣传活动，再从这6名中随机抽取2名做环境保护知识宣讲，求这2名环境保护知识宣讲志愿者中至少有1名年龄在[35，40)内的概率； (2)在(1)的条件下，记抽取的2名志愿者分别为甲、乙，该社区为了感谢甲、乙作为环境保护知识宣讲的志愿者，从纪念品盒中随机抽取2件纪念品分别赠给甲、乙，已知纪念品盒中装有价值分别为50元、80元、100元的3种纪念品，且每种纪念品均有5件，求甲的纪念品价值不高于乙的纪念品价值的概率． 解析：(1)因为志愿者的年龄在[30，35)，[35，40)，[40，45]内的频率分别为0.3，0.2，0.1， 所以用分层随机抽样的方法抽取的6名志愿者的年龄在[30，35)，[35，40)，[40，45]内的人数分别为3，2，1. 年龄在[30，35)内的3名志愿者分别记为A1，A2，A3，年龄在[35，40)内的2名志愿者分别记为B1，B2，年龄在[40，45]内的1名志愿者记为C， 则从中抽取2名志愿者的样本空间Ω1＝{(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，C)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，C)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，C)，(B1，B2)，(B1，C)，(B2，C)}，共包含15个样本点， 设事件M＝“至少有1名志愿者的年龄在[35，40)内”，则M＝{(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2)，(B1，C)，(B2，C)}，共包含9个样本点． 所以至少有1名志愿者的年龄在[35，40)内的概率为P(M)＝＝. (2)甲、乙获得纪念品价值的样本空间Ω2＝{(50，50)，(50，80)，(50，100)，(80，50)，(80，80)，(80，100)，(100，50)，(100，80)，(100，100)}，共包含9个样本点， 设事件N＝“甲的纪念品价值不高于乙的纪念品价值”，则N＝{(50，50)，(50，80)，(50，100)，(80，80)，(80，100)，(100，100)}，共包含6个样本点． 故甲的纪念品价值不高于乙的纪念品价值的概率为P(N)＝＝. 核心素养升级练 14.(17分)已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240，160，160.现采用分层随机抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动． (1)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？ (2)设抽出的7名同学分别用A，B，C，D，E，F，G表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作． ①试用所给字母列举出所有可能的抽取结果； ②设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M发生的概率． 解析：(1)由已知，甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3∶2∶2，由于采用分层随机抽样的方法从中抽取7名同学，因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人． (2)①从抽出的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为 {A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{A，G}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{B，G}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，{C，G}，{D，E}，{D，F}，{D，G}，{E，F}，{E，G}，{F，G}，共21种． ②由(1)，不妨设抽出的7名同学中，来自甲年级的是A，B，C，来自乙年级的是D，E，来自丙年级的是F，G，则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{B，C}，{D，E}，{F，G}，共5种．所以事件M发生的概率P(M)＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$