北京市师达中学 2024—2025 学年九年级上学期 开学考试 数学试题

1 / 7 2024—2025 学年度北京市师达中学初三上暑假返校练习 数 学 2024．09 姓名 学号 一、选择题（共 16 分，每题 2 分） 第 1-8 题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1．变量 x 与 y 之间的关系是 2 1y x  ，当 5y  时，自变量 x 的值是 A． 13 B． 5 C． 2 D． 3 2．在□ABCD 中，对角线 AC、BD 交于点 O，下列式子中一定成立的是 A．OA=OC B．AC⊥BD C．AC=BD D．OA=OD 3．抛物线   2 1 1y x   的顶点坐标是 A．（1，1） B．（－1，1） C．（1，－1） D．（－1，－1） 4．一次函数 y=3x+2 的图象一定不．经过 A． 第一象限 B． 第二象限 C． 第三象限 D． 第四象限 5．如果将抛物线 y=x²向右平移 1 个单位长度，那么所得的抛物 线的解析式是 A． 2 1y x  B． 2 1y x  C．   2 1y x  D．   2 1y x  6．有一人患了流感，经过两轮传染后共有 100 人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染的人数为 A．8 B．9 C．10 D．11 7． 如图，在△ABC 中，D，E 分别是边 AB，AC 的中点，F 是线段 DE 上的 一点，连接 AF，BF． ∠AFB=90°，AB=8，BC=14，则 EF 的长是 A． 2 B． 3 C． 4 D．5 8．已知一个二次函数图象经过 1 1( 3 )P y ， ， 2 2( 1 )P y ， ， 3 3(1 )P y， ， 4 4(3 )P y， 四点，若 3 2 4y y y  ， 则 1y ， 2y ， 3y ， 4y 的最值情况是 A． 3y 最小， 1y 最大 B． 3y 最小， 4y 最大 C． 1y 最小， 4y 最大 D．无法确定 二、填空题（共 16 题，每题 2 分） 9．一次函数  2 3 2y a x   的函数值 y 随 x 的增大而减小，则常数 a 的取值范围是 ． 2 / 7 10．数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，直线 2 1y x  与直线  0y kx b k   相交于点 P(2，3)．根据图象可知，关于 x 的 不等式2 1x kx b ＞ 的解集是 ． 11．已知关于 x 的一元二次方程   2 21 1 0a x a    的一个根是 0，那么 a 的值为 ． 12．已知方程 2 3 0x x k   有两个相等的实数根，则 k= ． 13．若菱形的两条对角线的长分别为 6 和 8 ，则其面积为 ． 14．函数 2 2 2y x x   的图象如图所示，根据其中提供的信息，可求得使 1y≥ 成立的 x 的取值 范围是 ． 第 14 题 第 15 题 第 16 题 15．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 2y x bx c   与 x 轴只有一个交点 M，与平行于 x 轴的直线 l 交于 A、B 两点.若 AB=3，则点 M 到直线 l 的距离为 ． 16．正方形 ABCD 和正方形 EFCG 的边长分别为 6 和 2，点 F、G 分别在 BC，CD 边上，P 为 AE 的中 点，连接 PG，则 PG= ． 三、解答题（第 17 题 6 分，第 18—20 题每题 5 分，第 21 题 6 分，第 22—24 题每题 5 分，第 25—26 题每题分 6 分，第 27—28 题每题 7 分） 17．用适当方法解一元二次方程： （1） 2 2 3x x  （2）     2 2 3 2 4x x   18．已知 a 是关于 x的方程 2 2 1 0x x   的一个根，求代数式      2 2 1 1a a a    的值． 3 / 7 19．若抛物线的顶点在 x 轴上，对称轴是直线 1x   ，与 y 轴交于点 A(0，－3). （1）求抛物线的解析式. （2）写出它的顶点坐标和开口方向. 20．在平面直角坐标系 xOy 中，函数 0y k x b k  ( )的图象过点 0 3A( ， )和 2 1B ( ，)， 与过点 0 5( ， )且平行于 x 轴的直线交于点C ． （1）求该函数的解析式及点C 的坐标； （2）当 2x  时，对于 x的每一个值，函数 0y mx m ( )的值小于 0y k x b k  ( ) 的值，直接写出m 的取值范围． 21．如图，□ABCD 对角线 AC，BD 相交于点 O，过点 D 作 DE//AC 且 DE=OC，连接 CE， OE，AE，OE=CD. （1）求证：□ABCD 是菱形； （2）若 AB=4，∠ABC=60°，求 AE 的长， 4 / 7 22．某公司今年1月份的生产成本是 400 万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3 月份的生产成本 是 324 万元.假设该公司 2，3，4 月每个月生产成本的下降率都相同． （1）求每个月生产成本的下降率； （2）请你预测4月份该公司的生产成本为 万元． 23．二次函数 2 ( 0)y ax bx c a    的部分图象如图所示（抛物线与 y 轴交点纵坐标为 1.5）． （1）确定二次函数的解析式； （2）若方程 2ax bx c k   有两个不相等的实数根，直接写出 k 的取值范围 ． 24．下表是二次函数 2y ax bx c   的部分 x ， y 的对应值： x … 1 1 2  0 1 2 1 3 2 2 5 2 3 … y … m 1 4 1 7 4  2 7 4  1 1 4 2 … （1）二次函数图象的开口向 ，顶点坐标是 ，m 的值为 ； （2）当 0x＞ 时， y 的取值范围是 ； （3）当抛物线 2y ax bx c   的顶点在直线 y x n  的下方时，n的取值范围是 ． 1x   1.5 5 / 7 25．如图，杂技团进行杂技表演，演员要从跷跷板右端 A 处弹跳后恰好落在人梯的顶端 B 处，其身体 （看成一点）的路径是一条抛物线．现测量出如下的数据，设演员身体距起跳点 A 水平距离为 d 米时，距地面的高度为 h 米． d（米） … 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00 3.50 … h（米） … 3.40 4.15 4.60 4.75 4.60 4.15 … 请你解决以下问题： （1）在下边网格中建立适当平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑曲线连接； （2）结合表中所给的数据或所画的图象，求演员身体距离地面的最大高度； （3）起跳点 A 距离地面的高度是 米； （4）在上述的条件下，有一次表演，已知人梯到起跳点 A 的水平距离是 3 米，人梯 的高度是 3.40 米．问此次表演是否成功？如果成功，说明理由；如果不成功， 说明应怎样调节人梯到起跳点 A 的水平距离才能成功？ 6 / 7 26．在平面直角坐标系 xOy 中，点（1，m）和点（3，n）在抛物线 2 ( 0)y ax bx a   上． （1）若 3m  ， 15n  ，求该抛物线的对称轴； （2）已知点（－1，y1），（2，y2），（4，y3）在该抛物线上．若 0mn  ，比较 1y ， 2y ， 3y 的大小， 并说明理由． 27．已知：在正方形 ABCD 中，点 E 是 BC 延长线上一点，且 CE≠BC，连接 DE ，过点 D 作 DE 的 垂线交直线 AB 于点 F，连接 EF，取 EF 的中点 G ，连接 CG ． （1）当 CE＜BC 时， ①补全图 1；②求证： △ADF≌△CDE； ③用等式表示线段 CD ，CE ，CG 之间的数量关系，并证明． 7 / 7 （2）如图，当 CE ＞BC 时，请你直接写出线段 CD ，CE ，CG 之间的数量关系． 28．在平面直角坐标系 xOy 中，对于线段 AB 和点 Q，给出如下定义：若在直线 y＝x 上存在点 P ， 使得四边形 ABPQ 为平行四边形，则称点 Q 为线段 AB 的“相随点”． （1）已知 ，点 A（1，3） ，B（5，3）． ①在点 Q1(1，5)，Q2(－1，3)，Q3 (0，4 )，Q4 (－5，0)中，线段 AB 的“相随点”是 ； ②若点 Q 为线段 AB 的“相随点”，连接 OQ，BQ，直接写出 OQ＋BQ 的最小值： 。 （2）已知点 A(－2，3)，点 B(2，－1)，正方形 CDEF 边长为 2，且以点（t，1）为中心，各边 与坐标轴垂直或平行，若对于正方形 CDEF 上的任意一点，都存在线段 AB 上的两点 M，N， 使得该点为线段 MN 的“相随点”，请直接写出 t 的取值范围．