3.2.2 第一课时奇偶性的概念课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

3.2.2 奇偶性 第1课时 函数奇偶性的概念 1.理解函数的奇偶性及其几何意义；(难点) 2.学会运用函数图象理解和研究函数的性质；(易混点) 3.学会判断函数的奇偶性．(重点、难点) 轴对称图形：如果一个图形上的任意一点关于某一条直线的对称点仍是这个图形上的点，就称图形关于该直线成轴对称，这条直线称作该轴对称图形的对称轴.(把图形沿对称轴对折，对称轴两侧的图形完全重合) 中心对称图形：如果一个图形上的任意一点关于某一点的对称点仍是这个图形上的点，就称图形关于该点成中心对称，这个点称作该中心对称图形的对称中心.(把图形沿对称中心旋转180o，旋转后与原来的图形完全重合) 初中的时候我们学过图形的对称性，你还记得有哪些对称吗？ 画出并观察函数 和 的图象，你能发现这两个函数图象有什么共同特征吗？ 可以发现，这两个函数图象都关于 y 轴对称. 除了观察函数图象，我们也可以取自变量的一些特殊值，观察函数值的情况： 例如，对于函数 ，有 ... 实际上，对 ，都有 ，这时我们称函数 为偶函数. 当自变量互为相反数时，函数值相等. 一般地，设函数 f(x)的定义域为 I，如果 ，都有 ， 且 ，那么函数 f(x)就叫做偶函数． 偶函数 f(x) 图象关于 y 轴对称 代数特征 几何特征 ∀x∈I，都有－x∈I 定义域 I 关于原点对称 -a a O O -a a O a -a b -b 偶函数的定义 函数 是偶函数吗？ 偶函数的性质： (1)偶函数的定义域关于原点对称； (2)偶函数的图象关于 y 轴成轴对称； (3)偶函数满足： . 是偶函数 函数 是偶函数吗？ 不是 偶函数 X3 (X) - 我们来研究一下，偶函数的定义，这句话要分成两部分来看待，谁能翻译一下，对任意x∈I，都有-x∈I是什么意思？ 用自然语言 奇函数的定义 观察函数 和 的图象，你能发现这两个函数图象有什么共同特征吗？ 可以发现，两个函数的图象都关于原点成中心对称. 除了观察函数图象，我们也可以取自变量的一些特殊值，观察函数值的情况： 例如，对于函数 ，有 ... 实际上，对 ，都有 ，这时我们称函数 为奇函数. 当自变量互为相反数时，函数值也相反. 一般地，设函数 的定义域为 I ，如果 ，都有 ，且 ，那么函数 就叫做奇函数. 奇函数 f(x) 图象关于原点对称 代数特征 几何特征 ∀x∈I，都有－x∈I 定义域 I 关于原点对称 函数 是奇函数吗？ 奇函数的性质： (1)奇函数的定义域关于原点对称； (2)奇函数的图象关于原点成中心对称； (3)奇函数满足： ； (4)若奇函数的定义域包含0，则 . 函数 是奇函数吗？ 是奇函数 不是 奇函数 例1.判断下列函数的奇偶性: (1) (2) (3) (4) 如何判断函数的奇偶性？ 1.根据函数的图象判断函数奇偶性： 偶函数 图象关于 y 轴成轴对称 奇函数 图象关于原点成中心对称 2.根据定义判断函数的奇偶性： (1)先求定义域，看是否关于原点对称； (2)再判断 或 是否恒成立； (3)根据定义下结论． 3.和、差、积函数的奇偶性 ①两个奇函数的和或差仍为奇函数，即奇±奇=奇 ②两个偶函数的和或差仍为偶函数，即偶±偶=偶 ③两个奇函数的积为偶函数，即奇×奇=偶 ④两个偶函数的积为偶函数，即偶×偶=偶 ⑤一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数，即奇×偶=奇 1.判断下列函数的奇偶性. (1) (2) (3) (4) (5) (6) 奇、偶函数的图象问题 例2.已知函数 是定义在 R 上的偶函数，且当 时， . (1)请补出函数 的完整图象； (2)根据图象写出函数 的单调递增区间； (3)写出使 的 x 的取值范围. 解：(1)如图所示； (2)单调递增区间为 ， ； (3)解集为 . 2.已知奇函数 的定义域为 ，且在 上的图象如图所示. (1)画出函数在区间 上的图象； (2)根据图象写出函数的单调递减区间； (3)写出使 的 x 的取值范围. 解：(1)如图所示； (2)单调递减区间为 ， ； (3)解集为 . 利用函数奇偶性求值 例3.(1)若函数 是偶函数，定义域为 ，则 ______， ______. (2)已知函数 是奇函数，则实数 ______. 解：(1)因为定义域关于原点对称， 所以 ，解得 ， 又 ，所以 . (2)因为 ，所以 . 利用奇偶性求值的常见类型 (1)求参数值：若解析式含参数，则根据奇偶性的定义式，列式比较系数求解或选取特殊值列式求解；若定义域含有参数，则根据定义域关于原点对称，区间端点互为相反数求值. (2)求函数值：利用 或 求解. 3.(1)已知 是定义域为 R 的奇函数，当 时， ， 则 _______. (2)已知函数 是奇函数，则 ______. 解：(1)由题 . (2)因为 ，所以 ， 解得 . $$