3.2.1 单调性的应用课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

小专题之单调性的应用 1.能根据简单函数的单调性判断复杂函数的单调性；（重点、难点） 2.根据函数的单调性判断函数值的大小，求参数；（重点） 3.会复合函数的单调区间.(重点） 解：易知函数的定义域为 R， 判断函数的单调性 例1.判断函数 的单调性. 因为 在 上递减，在 上递增； 所以 在 上递增，在 上递减. 判断函数单调性的方法 (1)图象法：看图象从左向右是上升还是下降 (2)用定义证明函数单调性的步骤： ①取值 ②作差 ③变形 ④定号 ⑤结论 (3)性质： ①若 和 在区间 D 上都单调递增，则 在区间 D 上单调递增； ②若 和 在区间 D 上都单调递减，则 在区间 D 上单调递减； ③若 在区间 D 上单调递增，则 在区间 D 上单调递减； ④若 在区间 D 上单调递减，则 在区间 D 上单调递增； ⑤若 在区间 D 上大于0，则 与 单调性相同， 与 单调性相反. 1.判断下列函数在给定区间上的单调性. (1) (2) (3) (4) 递增 递增 递减 递减 已知函数的单调区间求参数的值 例2.(1)已知函数 的单调递减区间为 ，则实 数 a 的值为____________. 解：(1)因为 的图象开口向上， 对称轴方程为 ， 所以 的单调递减区间为 ， 又 的单调递减区间为 ， 所以 ，所以 . (2)已知函数 在区间 上单调递减，则实数 a 的取值范围为____________. 解：(2)因为 的开口向上，对称轴方程为 ， 所以 的单调递减区间为 ， 又 在区间 上单调递减， 所以 ， 所以 ，所以 ， 所以实数 a 的取值范围是 . 2.已知函数 . (1)若 的单调递增区间为[3，+∞)，则实数 a 的值为_______. (2)若 在区间[3，+∞)上单调递增，则实数 a 的取值范围为_______. 解：易知 的单增区间是 ，单减区间是 . (1)因为 的单增区间是 ，所以 ，即 . (2)因为 在 上单调递增，所以 ，即 . 应用函数的单调性解不等式 例3.已知 是定义在 R 上的增函数，且 ，则 x 的取值范 围是________. 解：因为 是定义在 R 上的增函数，且 ， 所以 ，即 解得 . 应用函数的单调性解不等式：已知函数 f (x) 在区间D上单调递增(或减)，若 x1，x2∈D，且 f (x1) < f (x2) ，则 x1< x2，(或x1>x2). 3.已知 是定义在(0，+∞)上的减函数，则不等式 的解集为________. 解：因为 是定义在 上的减函数，且 ， 所以 ，解得 ，解集为 . 4.若函数 是定义在 R 上的减函数，则实数 a 的取值范围为________． 分段函数的单调性 解：要使 在 R 上是减函数， 需满足 ，解得 . 4.若 是定义在(0，+∞)上的减函数，则实数 a 的取值范围为 . 解：要使 在 上是减函数， 需满足 ，解得 . 复合函数的单调性 形如 的函数，我们称为复合函数.可以将其分解为 ，其中 叫做外层函数， 叫做内层函数. 复合函数的单调性如下表所示，可简记为“同增异减”. 增 增 增 减 减 增 减 减 增 减 减 增 例5.已知函数 在 R 上递减，求 的单调递减区间. 解：令 ，则可以将函数分解为 ， ， 因为 在 R 上递减， 当 时， 单调递减，则 单调递增； 当 时， 单调递增，则 单调递减. 故 的单调递减区间为 . 判断复合函数 的单调性的步骤： ①确定函数的定义域； ②将复合函数分解成 ; ③分别确定这两个函数的单调性； ④用“同增异减”判定 5.求函数 的单调区间. 解：由题意可知 ，解得 ， 所以函数 的定义域为 ， 设 ， ， 因为 在 R 上递增， 当 时， 单调递减，则 单调递减； 当 时， 单调递增，则 单调递增. 故 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 . $$