精品解析：四川省绵阳南山中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题

四川省绵阳南山中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题 本试卷分为试题卷和答题卡两部分，其中试题卷由第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）组成，共4页；答题卡共6页．满分150分，测试时间120分钟． 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名用0.5毫米黑色墨水签字笔填写清楚，同时用2B铅笔将考号准确填涂在“考号”栏目内． 2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再选涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效． 3.考试结束后将答题卡收回． 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，可得直线的斜率，即可得到倾斜角. 【详解】直线的斜率为，倾斜角为， 故选：A. 2. 在中，，则顶点A的轨迹方程（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据椭圆的定义可知顶点A的轨迹是以为焦点的椭圆（不包括轴上的点），即可得方程. 【详解】因为， 可知顶点A的轨迹是以为焦点的椭圆（不包括轴上的点）， 则， 所以顶点A的轨迹方程. 故选：A. 3. 已知为在坐标平面Oyz内的射影，则（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】求得的坐标，利用两点间的距离公式即可求解. 【详解】因为，所以在坐标平面Oyz内的射影的坐标为， 所以. 故选：B. 4. 直线与圆的位置关系为（ ） A. 相离 B. 相交 C. 相切 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】由圆心到直线的距离与半径的关系再结合同角三角函数关系计算即可； 【详解】圆心坐标为，半径， 圆心到直线的距离， 所以直线与圆相切， 故选：C. 5. 与椭圆共焦点且过的双曲线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据椭圆方程可得焦点坐标，设双曲线方程为，根据题意列式求解即可. 【详解】由椭圆方程可知，即焦点坐标为， 设双曲线方程为， 则，解得， 所以双曲线方程为. 故选：C. 6. 在平行六面体中，，若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用空间向量的基本定理可得出关于、、的表达式. 【详解】在平行六面体中，，若，，， 则，则， 所以，. 故选：A. 7. 已知四棱锥的底面为正方形，平面，，点是的中点，则点到直线的距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用坐标法，根据点到直线的距离的向量求法即得. 【详解】如图建立空间直角坐标系，则， 所以， 所以， 所以点到直线的距离是. 故选：D. 8. 在平面直角坐标系中，点，若点满足，则的最大值为（ ） A. 7 B. 9 C. 11 D. 13 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意分析可知点的轨迹是以为圆心，半径的圆，结合圆的性质可得，，即可得结果. 【详解】设， 因为，则， 整理可得，可知点的轨迹是以为圆心，半径的圆， 则，可得，当且仅当点为时，等号成立， 所以的最大值为. 故选：D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错项得0分． 9. 下列关于空间向量的命题中，是真命题的有（ ） A. 将空间所有的单位向量平移到一个起点，则它们的终点构成一个球面 B. 若非零向量，满足，则有 C. 与一个平面法向量共线的非零向量都是该平面的法向量 D. 设为空间的一组基底，且，则四点共面 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用单位向量判断A；利用共线向量的知识判断B；利用平面的法向量的定义可判断C；利用点共面的判定定理可判断D. 【详解】对于A，由单位向量的定义：长度为1的向量，可得将空间所有的单位向量平移到一个起点，则它们的终点构成一个球面，故A正确； 对于B，非零向量，满足，则有，故B正确； 对于C，由平面的法向量的定义可知与一个平面法向量共线的非零向量都是该平面的法向量，故C正确； 对于D，由且，故不共面. 故选：ABC. 10. 若方程所表示的曲线为，则（ ） A. 曲线可能是圆 B. 当时，表示焦点在轴上的椭圆，焦距为 C. 若，则为椭圆 D. 若为椭圆，且焦点在轴上，则 【答案】AD 【解析】 【分析】根据条件，利用圆、椭圆的标准方程及椭圆的性质，对各个选项逐一分析判断即可得出结果. 【详解】对于A，当，解得，此时方程为，表示圆，故A正确； 对于B，当时，方程为表示焦点在轴上的椭圆， 且，所以，解得，焦距为，故B错误； 对于C，由A知，表示圆，故C错误； 对于D，若为椭圆，且焦点在轴上，则，解得，故D正确. 故选：AD. 11. 过点的直线与圆相切，切点分别为A，B，则（ ） A. 当时， B. 存在，使得 C. 直线AB经过点 D. 直线PC与直线AB的交点在定圆上 【答案】ACD 【解析】 【分析】A.利用数形结合解决；B.利用长的范围，并计算的范围，即可判断；C.求以点为圆心，为半径的圆，两圆相减，求直线的方程，即可判断；D.根据直线与的方程，判断两直线的关系，即可判断. 【详解】圆的圆心为，半径， 对于选项A：当，点是原点，如图， 则，，则， 则，即， 所以是等边三角形，即，故A正确； 对于选项B：因为， 因为，则，可得， 则，且， 所以不存在，使得，故B错误； 对于选项C：，， 所以以点为圆心，以为半径的圆为， 与圆相减得，恒过点，故C正确； 对于选项D：直线的斜率， 则直线的方程为，即， 直线恒过点，且直线恒过点， 且满足，即两直线互相垂直， 所以两直线的交点在以，为直径的圆上，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．请将答案填写在答题卷中的横线上. 12. 双曲线的左右焦点分别是是双曲线左支上一点，且，则______. 【答案】9 【解析】 【分析】由双曲线的定义求解即可. 【详解】由可知：，则， 由双曲线的定义可知：. 因为，所以 故答案为：. 13. 已知椭圆的左、右焦点分别为，过作轴垂线交椭圆于，若，则该椭圆的离心率是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可得，结合椭圆定义运算求解即可. 【详解】由题意可知：， 又因为，即，可得， 所以该椭圆的离心率是. 故答案为：. 14. 如图所示，在四面体中，为等边三角形，，则平面与平面夹角的最大值是______. 【答案】## 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，设等边的边长为1，设，求得平面的一个法向量与平面的一个法向量，利用向量法可求得两平面夹角的最大值. 【详解】以为坐标原点，在平面内作直线垂直于为轴，为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设等边的边长为1，因为，所以设， 因为当时，四点共面，不能构成空间四边形，所认， 可得， 则， 设平面的一个法向量为， 则，令，则 所以平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 所以平面的一个法向量为， 设平面与平面的夹角为， 所以 ， 因为，所以，所以， 所以， 即，结合，所以， 所以平面与平面夹角的最大值是. 故答案为：. 【点睛】思路点睛：建立空间直角坐标系，用向量夹角的坐标法求解空间角解决空间角的一种重要方法. 四、解答题：本题共5小题，满分77分．解答应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点，AB边所在直线的方程为，点在AD边所在直线上． （1）求AD边所在直线的方程； （2）求对角线AC所在直线的方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据直线垂直的关系求出直线斜率即可求AD边所在直线的方程； （2）求出交点A的坐标即可求对角线AC所在直线的方程 【小问1详解】 解法一：因为AB边所在直线的方程为，所以．又因为矩形ABCD中，，所以．所以由点斜式可得AD边所在直线的方程为：，即； 解法二：因为矩形ABCD中，，所以设AD边所在直线的方程为：．又因为直线AD过点，所以将点代入上式得，解得．所以AD边所在直线的方程为：； 【小问2详解】 由，解得，即，所以对角线AC所在直线的方程：，即． 16. 已知圆C与轴相切，其圆心在轴的正半轴上，且圆被直线截得的弦长为． （1）求圆的标准方程； （2）若过点的直线与圆相切，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）根据题意设圆的方程为，再由圆被直线截得的弦长为求解； （2）分直线的斜率不存在和存在两种情况，利用圆心到直线的距离等于半径求解. 【小问1详解】 由题意设圆的方程为：， 圆心到直线的距离为， 则圆被直线截得的弦长为，解得， 所以圆的标准方程为； 【小问2详解】 由题意得：当直线的斜率不存在时，直线方程为，符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 则圆心到直线的距离等于半径，即，解得， 所以直线方程为， 综上：直线的方程为或. 17. 如图所示，在几何体ABCDEFG中，四边形ABCD和ABFE均为边长为2的正方形，，平面平面ABCD，M、N分别为DG、EF的中点. （1）求证：平面CFG； （2）求直线AN与平面CFG所成角的正弦值. 【答案】（1）证明：因为ABFE为的正方形，则， 且平面平面ABCD，平面平面，平面， 所以底面， 又因为四边形为正方形，则，所以，，两两相互垂直， 如图，以A为原点，分别以，，方向为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系， 由题意可得，，，，，， ，，， 则，，， 设平面的一个法向量为，则， 故，即，则， 令，得， 所以， 所以，又平面， 所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求得直线的方向向量，求得平面的法向量，然后利用，证明，从而得出平面； （2）求得直线的方向向量，由（1）知平面的法向量，结合线面角的向量公式即可得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 18. 在平面直角坐标系Oxy中，椭圆的右焦点为，短轴长为2.过点且不平行于坐标轴的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的中点为. （1）求椭圆的标准方程； （2）证明：直线OM的斜率与直线的斜率的乘积为定值； （3）求面积的最大值. 【答案】（1） （2）证明：设，为线段AB的中点，所以， 因为A，B两点在椭圆上， 所以，两式相减可得：， 则， 即， 而直线OM的斜率为， 直线的斜率为，所以. 故直线OM的斜率与直线的斜率的乘积为定值. （3） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的焦点、短轴长求出即可得解； （2）由点差法即可证明； （3）设直线的方程为，联立椭圆方程，求出弦长，再由点到直线距离求出高可得三角形面积，即可得解. 【小问1详解】 由题意知：，又， 解得. 椭圆的方程为：. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为直线的斜率不为，所以设直线的方程为：， 由方程组可得：， 可得，， 设点到直线的距离为，则， 即， 令，则， 所以， 当且仅当，即，则时取等， 所以面积的最大值为. 19. 定义：M是圆C上一动点，N是圆C外一点，记的最大值为m，的最小值为n，若，则称N为圆C的“黄金点”；若G同时是圆E和圆F的“黄金点”，则称G为圆“”的“钻石点”.已知圆A：，P为圆A的“黄金点” （1）求点P所在曲线的方程. （2）已知圆B：，P，Q均为圆“”的“钻石点”. （ⅰ）求直线的方程. （ⅱ）若圆H是以线段为直径的圆，直线l：与圆H交于I，J两点，对于任意的实数k，在y轴上是否存在一点W，使得y轴平分？若存在，求出点W的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）（ⅰ）（ⅱ）存在， 【解析】 【分析】（1）根据新定义建立方程，化简即可判断轨迹为圆，得出轨迹方程； （2）（ⅰ）根据P，Q均为圆“”的“钻石点”，可知为两圆的公共弦，作差即可得解； （ⅱ）由题意求出圆H的方程为，假设存在，根据及根与系数的关系化简为是否对任意成立，即可得解. 【小问1详解】 因为点P为圆A的“黄金点”， 所以，即， 所以点P的轨迹是以A为圆心，为半径的圆， 故点P所在曲线的方程为 【小问2详解】 （ⅰ）因为P为圆B的“黄金点”，则 所以，即点P在圆上， 则P是圆和的交点. 因为P，Q均为圆“”的“钻石点”， 所以直线即为圆和的公共弦所在直线，两圆方程相减可得， 故直线的方程为. ( ii )设的圆心为，半径为， 的圆心为，半径为. 直线的方程为，得的中点坐标为， 点S到直线的距离为， 则，所以圆H的方程为. 假设轴上存在点满足题意，设，. 若轴平分，则，即， 整理得 又，所以代入上式可得， 整理得①， 由可得， 所以，代入①并整理得， 此式对任意的都成立，所以. 故轴上存在点，使得轴平分. 【点睛】关键点点睛：在（2）( ii )中，求出圆圆H的方程为后，假设存在点满足题意，能够转化为，再由斜率公式化为，利用根与系数的关系代入后得，题目对运算能力要求很高，属于难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省绵阳南山中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题 本试卷分为试题卷和答题卡两部分，其中试题卷由第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）组成，共4页；答题卡共6页．满分150分，测试时间120分钟． 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名用0.5毫米黑色墨水签字笔填写清楚，同时用2B铅笔将考号准确填涂在“考号”栏目内． 2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再选涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效． 3.考试结束后将答题卡收回． 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 2. 在中，，则顶点A的轨迹方程（ ） A. B. C. D. 3. 已知为在坐标平面Oyz内的射影，则（ ） A. B. C. 2 D. 4. 直线与圆的位置关系为（ ） A. 相离 B. 相交 C. 相切 D. 无法确定 5. 与椭圆共焦点且过的双曲线方程为（ ） A. B. C. D. 6. 在平行六面体中，，若，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知四棱锥的底面为正方形，平面，，点是的中点，则点到直线的距离是（ ） A. B. C. D. 8. 在平面直角坐标系中，点，若点满足，则的最大值为（ ） A. 7 B. 9 C. 11 D. 13 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错项得0分． 9. 下列关于空间向量的命题中，是真命题的有（ ） A. 将空间所有的单位向量平移到一个起点，则它们的终点构成一个球面 B. 若非零向量，满足，则有 C. 与一个平面法向量共线的非零向量都是该平面的法向量 D. 设为空间的一组基底，且，则四点共面 10. 若方程所表示的曲线为，则（ ） A. 曲线可能是圆 B. 当时，表示焦点在轴上的椭圆，焦距为 C. 若，则为椭圆 D. 若为椭圆，且焦点在轴上，则 11. 过点的直线与圆相切，切点分别为A，B，则（ ） A. 当时， B. 存在，使得 C. 直线AB经过点 D. 直线PC与直线AB的交点在定圆上 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．请将答案填写在答题卷中的横线上. 12. 双曲线的左右焦点分别是是双曲线左支上一点，且，则______. 13. 已知椭圆的左、右焦点分别为，过作轴垂线交椭圆于，若，则该椭圆的离心率是______. 14. 如图所示，在四面体中，为等边三角形，，则平面与平面夹角的最大值是______. 四、解答题：本题共5小题，满分77分．解答应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点，AB边所在直线的方程为，点在AD边所在直线上． （1）求AD边所在直线的方程； （2）求对角线AC所在直线的方程． 16. 已知圆C与轴相切，其圆心在轴的正半轴上，且圆被直线截得的弦长为． （1）求圆的标准方程； （2）若过点的直线与圆相切，求直线的方程. 17. 如图所示，在几何体ABCDEFG中，四边形ABCD和ABFE均为边长为2的正方形，，平面平面ABCD，M、N分别为DG、EF的中点. （1）求证：平面CFG； （2）求直线AN与平面CFG所成角的正弦值. 18. 在平面直角坐标系Oxy中，椭圆的右焦点为，短轴长为2.过点且不平行于坐标轴的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的中点为. （1）求椭圆的标准方程； （2）证明：直线OM的斜率与直线的斜率的乘积为定值； （3）求面积的最大值. 19. 定义：M是圆C上一动点，N是圆C外一点，记的最大值为m，的最小值为n，若，则称N为圆C的“黄金点”；若G同时是圆E和圆F的“黄金点”，则称G为圆“”的“钻石点”.已知圆A：，P为圆A的“黄金点” （1）求点P所在曲线的方程. （2）已知圆B：，P，Q均为圆“”的“钻石点”. （ⅰ）求直线的方程. （ⅱ）若圆H是以线段为直径的圆，直线l：与圆H交于I，J两点，对于任意的实数k，在y轴上是否存在一点W，使得y轴平分？若存在，求出点W的坐标；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $