三角恒等变换与解三角形中的向量问题练习题-2025届高三数学一轮复习

三角恒等变换，解三角形中的向量问题练习题 一、单选题 1．已知中，，平面内一点满足，则(　　) A． B． C． D． 2．在中，点O为的外心，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 3．在中，，，点M，N分别为边AB，AC上的动点，且，点D为斜边BC的中点，则的最小值为（    ） A．0 B．4 C． D． 4．中，，∠A的平分线AD交边BC于D，已知，且，则AD的长为（    ） A． B．3 C． D． 5．已知点为正所在平面上一点，且满足，若的面积与的面积比值为，则的值为（    ） A． B． C．2 D．3 6．在等腰中，，，以点为圆心作半径为的圆，点为此圆上的动点，若动点满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 7．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 8．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．点是所在平面内的一点，下列说法正确的有（    ） A．若则为的重心 B．若，则点为的垂心 C．在中，向量与满足，且，则为等边三角形 D．若，，分别表示，的面积，则 10．已知为所在平面内一点，且，，D是边的三等分点且靠近点C，，与交于点O.设三角形的面积为，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D．的最小值为 11．如图，在中，BD与EC交于点G，E是AB的靠近B的三等分点，D是AC的中点，且有，，则下列命题正确的是（    ）    A． B． C． D．过G作直线MN分别交线段AB，AC于点M，N，设，（，），则的最小值为2． 三、填空题 12．已知是的外心，且，则 . 13．如图所示，中，，是线段的三等分点，是线段的中点，与，分别交于，，则平面向量用向量，表示为 . 14．设，函数．则函数的最小正周期为 . 四、解答题 15．如图，以坐标原点O为圆心的单位圆与x轴正半轴相交于点A，点B，P在单位圆上，且 （1）求的值； （2）设，四边形的面积为，，求的最值及此时的值． 16．在中，分别是角的对边，，且. (1)求的大小； (2)若，求的最小值． 17．如图，设中角所对的边分别为为边上的中线， (1)求边的长度； (2)求的面积； (3)设点分别为边上的动点（含端点），线段交于，且的面积为面积的，求的取值范围. 18．在中，向量等式或，沟通了几何与代数的联系，利用它并结合向量的运算，可以很好地帮助我们研究问题，体现向量法的特性.    (1)如图，的三个角角所对的边分别为，，，设为所在平面的一个单位向量，记向量与的夹角为.现构造等式，请你探究及时得到的结论； (2)已知是的平分线，请你用向量法证明：. 19．在中，，过点A分别作的垂线，点关于的对称点为，点关于的对称点为. (1)若是所在平面内的任意一点，求的最小值； (2)（i）若是的重心，求的值； （ii）若为实数，为正整数，求的值. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 三角恒等变换，解三角形中的向量问题练习题 一、单选题 1．已知中，，平面内一点满足，则(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量数量积运算律，数量积的定义运算求解即可. 【详解】解：因为，所以， 因为中，， 所以，为等边三角形， 所以 故选：B 2．在中，点O为的外心，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设D，E分别是，的中点，根据外心性质可得到，同理可得，解得，根据向量乘法可求得，代入到可求得. 【详解】设D，E分别是，的中点，根据外心性质可得到 ， 同理可得， 又因，可得， 可解得， ，所以， 则. 故选：A 3．在中，，，点M，N分别为边AB，AC上的动点，且，点D为斜边BC的中点，则的最小值为（    ） A．0 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】建立平面直角坐标系，设出，表达出，利用三角换元求出最小值. 【详解】以所在直线分别为轴，建立平面直角坐标系， 则，设， 因为，则，且，故， 所以， 令，则， 则， 因为，所以，， 故， 所以的最小值为，当且仅当时取得.    故选：D 4．中，，∠A的平分线AD交边BC于D，已知，且，则AD的长为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】过作交于，作交于，由向量加法的平行四边形法则和向量的基本定理得，，从而得，即可求得，最后把平方可求得． 【详解】如图，过作交于，作交于， 则，又， 所以，， 所以，即， 又是的平分线，所以，而，所以， ， ， 所以， 故选：C． 5．已知点为正所在平面上一点，且满足，若的面积与的面积比值为，则的值为（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】B 【分析】如图，分别是对应边的中点，对所给的向量等式进行变形，根据变化后的条件得到，由于正三角形，结合题目中的面积关系得到，，由面积之比，分所成的比，从而得出的值． 【详解】， ． 如图，，分别是对应边的中点， 由平行四边形法则知，， 故， 在正三角形中， ， ， 且三角形与三角形的底边相等，面积之比为, 所以，得． 故选：B 6．在等腰中，，，以点为圆心作半径为的圆，点为此圆上的动点，若动点满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】以为原点，建立平面直角坐标系，得到以为圆心，半径为的圆方程为， 设，，根据，求得，进而得到 ，结合三角函数的性质，即可求解. 【详解】如图所示，以为原点，以所在的直线为轴，建立平面直角坐标系， 因为，，可得， 以为圆心作半径为1的圆，可得圆的方程为， 由点在圆上，可得设点的坐标为， 因为，可得， 可得，所以， 所以 ，其中， 所以当时，取得最小值，最小值为. 故选：B. 7．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求外接圆半径，将置于圆中，利用图形线段关系得到，结合数量积的运算律及已知求得，进而求最值． 【详解】由题设，外接圆的半径，如下图， 由，则，令，且， 又，， 所以， 则， 当，即时，有最小值. 故选：D 8．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，中点为，化简可得，再根据余弦定理结合余弦函数的范围可得，进而可得的取值范围. 【详解】不妨设，中点为，则即，故，即，. 故 ，因为，故，则，故，故的取值范围为. 故选：D 二、多选题 9．点是所在平面内的一点，下列说法正确的有（    ） A．若则为的重心 B．若，则点为的垂心 C．在中，向量与满足，且，则为等边三角形 D．若，，分别表示，的面积，则 【答案】ACD 【分析】（1）由向量关系可以判断出为中线的三等分点，可知为重心； （2）由向量关系可以判断出为边与边垂直平分线的交点，可知不是垂心； （3）由判断出三角形为等腰三角形，由判断出，可知为等边三角形； （4）令，，则为的重心，由此求出面积比即可. 【详解】 对于A，如图，取边中点，连接边上的中线，则， 又∵由，∴，∴， ∴为的重心，故选项A正确； 对于B，如图，取边中点，边中点，连接，， 则，， ∵，∴， ∴，∴，，∴，， ∴，分别是，边上的垂直平分线， ∴，为的外心，故选项B错误； 对于C，作角的内角平分线与边交于点， ∵为方向的单位向量，为方向的单位向量， ∴（），∴（）， ∴，∴，∴，为等腰三角形， 又∵，且，∴， ∴为等边三角形，故选项C正确； 对于D，设，，由得， 则由选项A可知，为的重心，设的面积， ∴， 又∵，， ∴，，， ∴， ∴，故选项D正确. 故选：ACD. 10．已知为所在平面内一点，且，，D是边的三等分点且靠近点C，，与交于点O.设三角形的面积为，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D．的最小值为 【答案】ABD 【分析】因为，所以.由平面向量的基本定理求解即可判断A；设，由三点共线求解参数，然后求解三角形的面积即可判断B；因为，所以，代入即可判断C；以线段的中点为坐标原点，所在直线为x轴，线段的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，由坐标计算数量积求解最小值即可判断D. 【详解】因为，所以.又因为D是边的三等分点且靠近点C， 所以，所以，故A正确； 设，则. 因为B、O、D三点共线，所以，解得. 故，故B正确； 因为，所以， 所以，故C错误； 以线段的中点为坐标原点，所在直线为x轴，线段的垂直平分线为y轴， 建立平面直角坐标系，    则点，，. 设点，则， 所以最小值为，故D正确. 故选：ABD. 11．如图，在中，BD与EC交于点G，E是AB的靠近B的三等分点，D是AC的中点，且有，，则下列命题正确的是（    ）    A． B． C． D．过G作直线MN分别交线段AB，AC于点M，N，设，（，），则的最小值为2． 【答案】BCD 【分析】根据向量的线性运算法则计算可判断A,B,C；利用共线定理的推论可得，然后妙用“1”可判断D. 【详解】对于A,B,C,设，将，代入， 得，因为E、G、C三点共线，且B、G、D三点共线， 所以，得， 即．所以A错，B，C正确； 对于D，，，， 则，因为M、G、N三点共线， 则，即， ， 当且仅当，即时取得等号．所以D正确． 故选：BCD． 三、填空题 12．已知是的外心，且，则 . 【答案】 【分析】取的中点D，连接，可得，利用数量积的定义计算 即可求解. 【详解】 如图：取的中点D，连接， 因为是的外心，所以， 所以， 故答案为：. 13．如图所示，中，，是线段的三等分点，是线段的中点，与，分别交于，，则平面向量用向量，表示为 . 【答案】 【分析】方法一：设，则，，解关于的方程组求出的值，同理得，再利用即可求解. 方法二：过点作交于点，得，同理过点作的平行线可得，，再利用即可求解. 方法三：设，，则，结合，，得到，从而求出解得的值，即，同理可得，再结合即可求解. 方法四：特殊三角形法，设是底为12，高为2的等腰三角形建立如图所示的平面直角坐标系，求出，，的坐标，再结合平面向量基本定理即可求解. 【详解】方法一： 由与交于，可设， 由三点共线，则①， 由， 由三点共线，则②， ①②联立，解得，，得. 同理得， 所以， 故答案为：. 方法二： 过点作交于点， 由， 得， 同理过点作交于点， 由， 可得， 则， 故答案为：. 方法三： 设，，则，得， 又因为，， 所以. 故，，解得，， 则. 同理可得， ， 故答案为：. 方法四： 特殊三角形法 设是底为12，高为2的等腰三角形建立如图所示的平面直角坐标系， 得，，，，，， 得直线：，直线：，直线：， 解得，， 得，，， 设，， 解得，，所以， 故答案为：. 14．设，函数．则函数的最小正周期为 . 【答案】 【分析】根据平面向量数量积的运算律和坐标表示，结合三角恒等变换化简可得，利用公式计算即可求解. 【详解】 . 所以的最小正周期为. 故答案为： 四、解答题 15．如图，以坐标原点O为圆心的单位圆与x轴正半轴相交于点A，点B，P在单位圆上，且 （1）求的值； （2）设，四边形的面积为，，求的最值及此时的值． 【答案】(1)-10;(2)当时，，当时 【分析】由三角函数的定义可得的值，将原式化为关于的函数并代入的值即可求得答案 利用向量的数量积的坐标运算可以求得，，利用正弦函数的单调性与最值即可求得的最值和此时的值 【详解】（1）依题意，tanα==﹣2， ∴===﹣10； （2）由已知点P的坐标为P（cosθ，sinθ），又=+， =， ∴四边形OAQP为菱形，      ∴S=2S△OAP=sinθ， ∵A（1，0），P（cosθ，sinθ）， ∴=（1+cosθ，sinθ），    ∴•=1+cosθ， ∴f（θ）=（1+cosθ﹣1）2+sinθ﹣1  =cos2θ+sinθ﹣1  =﹣sin2θ+sinθ， ∵≤sinθ≤1，    ∴当sinθ=，即θ=时，f（θ）max=  ； 当sinθ=1，即θ=时，f（θ）min=﹣1 ． 【点睛】本题是一道关于三角函数的题目，主要考查了三角函数的化简求值以及三角函数中的恒等变换应用和三角函数的最值，考查了逻辑推理能力，属于中档题． 16．在中，分别是角的对边，，且. (1)求的大小； (2)若，求的最小值． 【答案】(1)； (2)1. 【分析】（1）先通过平面向量数量积的坐标运算与两角和与差的正弦公式将式子化简，进而结合诱导公式进一步化简，最后求得答案； （2）先通过余弦定理与平面向量模的求法进行运算，再结合基本不等式即可求得答案. 【详解】（1）由题意，，由正弦定理得，即，由，则，因为，所以. （2）由余弦定理可得，. 所以 .当且仅当a＝c＝1时取“＝”.即的最小值为1. 17．如图，设中角所对的边分别为为边上的中线， (1)求边的长度； (2)求的面积； (3)设点分别为边上的动点（含端点），线段交于，且的面积为面积的，求的取值范围. 【答案】(1)8 (2) (3) 【分析】（1）由题意，利用正弦定理和余弦定理，转化求解，即可求出的值． （2）设，利用中线的向量表示，计算以及，利用求出，再计算的面积． （3）设，，，其中，，,，根据，得出，由、、三点共线得，计算的取值范围即可． 【详解】（1）由已知条件可知：， 在中，由正弦定理， 得， 在中，由余弦定理，得， ，又. （2）设为边上中线,， 则 ①， ， 或 由①，得， . （3）设， ， 根据三点共线，得， （，为） . 18．在中，向量等式或，沟通了几何与代数的联系，利用它并结合向量的运算，可以很好地帮助我们研究问题，体现向量法的特性.    (1)如图，的三个角角所对的边分别为，，，设为所在平面的一个单位向量，记向量与的夹角为.现构造等式，请你探究及时得到的结论； (2)已知是的平分线，请你用向量法证明：. 【答案】(1)；； (2)证明见解析. 【分析】（1）时，由数量积的定义和运算性质计算即得； 当时，，代入条件由数量积的定义和运算性质可得答案. （2）设，可得出，再由，从而得证 【详解】（1）当时，，，同理， 由，得，即， 所以； 当时，，由，得，即 则或 因此，即.    （2）设，如图，设,则 所以，设， 所以.    19．在中，，过点A分别作的垂线，点关于的对称点为，点关于的对称点为. (1)若是所在平面内的任意一点，求的最小值； (2)（i）若是的重心，求的值； （ii）若为实数，为正整数，求的值. 【答案】(1) (2)（i）；（ii）或 【分析】（1）利用平面几何知识得，然后根据向量的加法法则求得，再转化为可得 （2）（i）首先建立直角坐标系，利用参方程和重心公式可得，（ii）利用已知条件求出，然后利用正弦定理和三角函数知识分别求出即可 【详解】（1） 如图， 由题意得，又， 所以， 所以在中，， ， 所以， ； 取的中点为，的中点，则， 则， 即当为中点时，取最小值； （2）以A为坐标原点，为轴正方向，建立直角坐标系， 设，，则，， 由题意得， ， （i）因为是的重心，所以， 即，所以，； （ii）由得： ，即 所以， 因此，由得， 当时，，此时，， ， 由，得； 当时，，此时，， ， 由，得. 所以或. 学科网（北京）股份有限公司 $$