广东省广州市第六中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷

广州市第六中学2024级高一上数学期中考试试卷 出题人：晏子旭曹晶晶审题人：徐芳 (满分150分，用时120分钟) 一、选每题：本题共8小感，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1.已知集合U={x∈Z1-1≤x≤3}，M={-l,0,2,3},2=0,1,2,3引，则C(M∩2)=() A.{-l,0, B.{0,2,3} c.{-1} D.{-1,明 2不等式3x-1≥1的解集为() 2 sx2.c.s0. 3.已知p:x∈Rk+2024>0,q:3x<-3,(x+3=1,则() A.P和9都是真命题B.P和一q都是真命题 C.P和g都是真命题D.P和一9都是真命题 4幂函数f()=x的图象大致为（） 5已阳函版f0-刘=上子k*0),则闲=() 可0ae0t0可e) 6若ab>a2,且a,b∈(0,1)，则下列不等式-定正确的是() 】1 1 D、 bb-a 8>c.l+ab<a+b a b 第1页， -x+2,x<1 7已知函数)女-3x+2x≥1者/V(@)=2,则实数a的值不可能为（)， 4.-1 B.0 C.1 0.2 &.已知定义在R上的网函数f()满足：f(x)=f(2-习，当x∈[0,1]时f(x)=1-x,则当x∈[2,3]时() 入.f()单调递减， }号 &f#男选，温写引-号 cf(x)单调递减， r)时 0.f化)单调递猫，且（引时 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 6分，部分远对的得部分分，有选错的得0分。 9.下面命题正确的是() A.“a>1"是“上<1的充分不必要条件 B.命题“任意x<1,则x2<1”的否定是“存在x<1,则x2≥1” C.设yeR,则“x≥2或y22”是“x2+y2≥4”的必要不充分条件 D.设a,beR,则“a≠0"是“ab≠0”的必要不充分条件 10.已知函数y=2+bx+c的部分图象如图所示，则() A 2a+b>0 B.abe<0 C.关于x的不等式cx2+bx+a>0的解樂为x<或x> D.”+m+2≤0 m n 1.已知函数f(x(xeR)满足当x>0时，f()>1,且对任意实数，为满足f(名+)=f(x)f(:),当：污时， f(名)≠f(名)，则下列说法正确的是() A.函数f(x)在R上单调递增 af(0)=0或1 C,函敛∫(x)为非奇非偶函数 D.对任意实致气满足/6)+李产) 共2页 三、填空题：本愿共3小题，每小题5分，共15分。 12.设操合M={23,a2+1},N={a+a,a+1，且MnN={2,则a值是 8斑函数=m+年县/(-)=3，期/刊- 、7 14.已知正实数花y满足x+y=1,则1 “+1+2的取值范围是 四、解答题：本题共5小题，共77分，其中轡面分3分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步绿 5.(本小题12分)已知函数f因=V1-x+的定义域为M,函数8()=x-2x-1的值城为N, (1)求MUN; (2)设集合A={xm-3<x<m},若A三M,求m的取值范围. 16体小慰13分》已知离数=文年g(5同 (1)请判断函数f(x)的单调性，并用定义证明； 2)解关于1的不等式f(t-2)+f(3t-4)≤0. 17.(本小题15分)中国建设新的芯片工厂的速度处于世界前列，这是朝着提高半导体自给率目标迈出的重要一步. 根据国际半导体产业协会(5EM)的数据，在裁至2024年的4年里，中国计划建设31家大型半寻体工厂某公司打算 在2023年度建设某型芯片的生产线，建设该生产线的成本为300万元，若该型芯片生产线在2024年产出x万枚芯 片，还需要投入物料及人工等成本V(x)(单位：万元)，己知当0<x≤5时，V(x)=125;当5<x≤20时， V()=X+40x-100;当x>20时，V()=81x+1600-600,已知生产的该型芯片都能以每枚80元的价格倍出. (1)已知2024年该型芯片生产线的利润为P(x)(单位：万元)，试求出P()的函数解析式， (2)请你为该型芯片的生产线的产量做一个计划，使得2024年该型芯片的生产线所获利润最大，并预测最大利润。 第2顶， 18.(本小题17分)设函数f(x)=x2+ar+3-a. (1)对x∈-2，，f(x)20恒成立，求a的取值范围. (2)解不等式f(x)+(a-1)x2+a>0. 19.(本小题17分)取名于荷兰数学家鲁伊兹布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理。该定理 表明：对于满足一定条件的图象连续不间断的函数f(x),在其定义域内存在一点。，使得∫(，)=x,则称。为函 数f(x)的一个不动点”.若f(f()》=x,则称为f(x)的“稳定点“.将函数∫(x)的“不动点"和稳定点”的集合分 别记为A和B,即，A={()=x,B={(f()=刘.己知函数f)=m2-(m+)x+n (1)当m=1n=2时，求函数f(x)的不动点： Q)若对于任盒“[小，虽数恒有两个相异的不动点。求支数m的取维霜国： (3)若m=1时，且A=B≠0，求实数n的取值范围。 共2页广州市第六中学2024级高一上数学期中考试参考答案与评分标准 一、客观题 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 D B B ABD BC ACD 12.-2 13.-3 14 1.【详解】M={-1,0,2,3},而2={01,2,3}，所以M∩2={0,2,3引， U-{xeZ引-1≤x≤3}={-1,01,2,3}，Cv(Mn2)={-l,} 2【#】因为21，移实将经0，则《8别50，嗣子5<2 x-2≠0 所以不障式的解为x<2 3.【详解】对于P,当x=-2024时，2024-2024=0，所以p是假命题，P是真命愿. 对于9，当x=-4时，（4+3)=1,9是真命题，一9是假命题. 4.【详解】由函数f问==F,可得函数的定义域为R,关于原点对称， 且(-x)=(-x=F-f(),所以函数f()为偶函数，所以函数∫(x)的图象关于y轴对称， 又由幂函数的性质得，当x之0时，函数f(x)单调递增，结合选项，选项B符合题意. 5t饼耀】e11-x,t快00鼓/网2少 6.【详解】因为a,be(0,1)且ab>a2,可得ab-a2=a(b-a)>0,所以b-a>0, 对于A中，由站。60司0，所似片之。，所以A正确： 11 对于B中，由ab-b2=b(a-)<0,所以ab<b2,所以B不正确： 对于c中，由1+ab-(a+b)=a(b-l)-(b-)=(a-1b-1),因为a,be(0,1),所以a-l<0,b-1<0,可得 1+ab-(a+b)>0,所以1+ab>a+b,所以c不正确： 对于0中，由台片品0，所以片方所以D不正确 a b ab 第 7.【详解】对于A,ff1)=f(3)=2:对于B,f(f(0)=f(2)=0:对于c,ff)=f(0)=2:对 于D,f(f(2)=f0)=2 8.【详解】当x∈[l,0]时，f(x)=f(x)=1-x2: 当x∈2,3]时，2-x∈[-1,0小，于是f(x)=f(2-x)=1-(2-x2=-(x-2)}+1, 故当xe取列时f(率调运流f(写引-们)-仔-2+1-号 9.【详解】对于A,“a>1”台“0<<1”，由二<1不能推出a>1,“a>1是“上<1”的充分不必要条件，A正确： a 对于B,命题“任意x<1,则x2<1”的否定是“存在x<1,则x2≥1，故B正确： 对于C,当“x≥2或y22”成立，则“x2+y2≥4”成立，但“x2+y2≥4”成立时，“x≥2或y22"不一定成立，如：x=√5， y=V2,故C错误： 对于D,ab≠0台a≠0且b≠0，故“a≠0”是“ab≠0的必要不充分条件，故D正确. 10.【详解】对于A、B,由图知a<0,c>0,0<-克<1，则0<b<-2a,所以c<0,2a+b<0.A正确，B错误： 2a 对于C,由图可得关于x的不等式x2+bx+c>0的解集是{xm<x<,即m,n是关于x的方程a2+bx+c=0的两 m+n=- 个不同实根，则 a b=-(m+n)a ,即 其中m<0,n>0 c=mna mn=- a' 令cx2+bx+a=0,可得到mnr2-(m+m）ax+a=0,即mnx2-(m+m）x+1=0, 十字相乘得(mx-1(x-)=0,所以x=1或x=】 1 由c>0上<0<可知c2+bx+a>0的解集为x<或x月} 故C正确： .mc0>0,+是+2=】}2s2月+2-0 当-”=一，即m+n=0时等号成立，显然m十n>0不满足等号成立条件，故D错误 1页，共4页 11.【详解】对于B,令x=l,名=0，得()=f()f(0),由题意知f)>1≠0，所以fO)=l,故B错误： 对于A,当x<0时，x>0,则f(0)=(x-)=f()f(x)=1,又f(x)>1,则当x<0时，0<f()<1,即对 任意xeR,f(x)>0取任意，为∈R且>x2,则-为>0，得f(x-x2)>1, 则f()-f(s)=f(x-为+为)-f(x)=f()[f(x-x)-1]>0, 即f()>f(:),所以y=()是R上的增函数，故A正确： 对于C,由y=f(x)是R上的增函数且f(O)=1,可知∫(x)为非奇非偶函数，故C正确： 对于D,注意到/6)=各+引同理%)=告) r)*-rr又)-r) 且≠为， 则亚+-)r+r)-r ≥.) 故D正确。 12.【详解】：M∩N={2,故2∈N,a2+a=2或a+1=2,a2+a-2=0或a=1,即a=1或-2， 当a=1时，M={2,3,2},与元素互异性矛盾，故舍去， 当a=-2时，M=2,3,5},N={2,-1},且M∩N-{2},满足条件.故a=-2 at1联，aa女气网 故f()是奇函数，则f()=-f(-1)=-3, 14.【详解1由x>0,y>0以及x+y=1知0<y<1,1+L=1+1.4 x+1y+22-y2+y4-y 注：此题不可以用基本不等式：x>0,y>0 [y+2=x+1 x=1 当且仅当x+1y+2,即 少二0时，等号成立显然等号成立条件不满足要求该方法也无法求上界一 x+y=1 第2 二、解答愿与评分标准 15.【详解】(1)对f(x),可得 1-x20 [xs1 解得 >-3' 故M=(（-3,:…2分 对8()有g(x)=x-2x2-1=(x2-1-22-2,做N=[-2,:4分 因此MUN=(-3,o∞)…6分 m-3≥-3 (2)显然A≠0：由ASM,可得 ms1,9分 m≥20 解得 m51即0≤m≤1…12w分 16.【详解丁(1)函数f(x)在（一5，V5)单调递减，下面证明：…1分 v-5e,奥66产条德 (安+3号+3) 分 30.0.30.96,盘气0，国e-5 所以函数f(x)在(-5，V单调递减.…6分 (2)当xe(-5,)时，-xe(一5,5)…7分 小写店克污内，所适数了内是奇器藏分 注：写了x范周没写x的不扣分，x和x范围都没写的扣1分。 则f-2)≤-f(3-4)=f(-3+4…9分 3 [1-2≥4-31 于是4-3>5，解得：<4+5 …12分 3 t-2<5 1<2+5 …13分 注：列不等式没考虑定义域的最多给10分，结果未写樂合的扣1分。 2项，共4页 17.【详解】(1)由题意可得，P(x)=80x-300-V(x),2分 80x-300-125,0<xs5 80x-425,0<x≤5 所以P(x)={80x-300-(x2+40x-100),5<x≤20=-x2+40x-200,5<x≤20， 6分 80x-30-81x+160-600,x>20 -x-1600+30,x>20 (2)当0<x≤5时，P(x)≤P()=-25:8分 当5<x≤20时，P(x)=-x2+40x-200,对称轴x=20,P(x)≤P(20)=200:…10分 当x>20时，由塞本不等式知x+160之80，当且仅当x=1600,即x=40时等号成立. 故P(x)≤P(40)=-80+300=220,…13分 综上，当2024年该型芯片产量为40万枚时利润最大，最大利润为220万元.…15分 注：未写答号成立条件的扣1分. 18.【详解】(1)解法一：参变分离法，当x=1时，不等式为1+a+3-a≥0，恒成立；1分 当x1,即xe-2)时，不等式2+am+3-a≥0，可转化为a5t-3 2分 x-1 而-3=1-x+4-2≥24-2=2，当且仅当1-x=4 ，即x=-1时等号成立， x-1 1-x 1-x 故X-3 的最小值为2，所以Q≤26分 x-1 综上a≤2，…7分 注：未写等号成立条件的扣1分. 解法二：二次函数分类讨论，①当-号<-2，即a>4时，f(x)在[-2,1]上单调递增，则f(因)=f(-2)=7-3a, 2 由7-30之0得a≤子，所以ae0:2分 ②省-2s-号1.0-25as4时，-f引-女-a+3 由-242-a+320得-6≤as2,所以-25a≤2：4分 41 国当-2>1，即a<-2时f()在[-2刘上单调遥减，则了)=f)=4 故f(x)之0恒成立，所以a<-2:6分 综上可知，a≤27分 第3页， (2)f(x)+(a-1)x2+a>0,即ax2+ax+3>0:8分 ①当a=0时，3>0，则x∈R9分 ③当a<0时4=a2-12a>0,◆ax2+ax+3=0得=g+2-2a,5=a-F-2a…10分 2a 2a 且为<为2，则由ax2+ax+3>0可得5<尤<为2…12分 ③当a>0时，△=a2-12a 1.当△<0，即0<a<12时，则由x2+a+3>0可得x∈R:13分 2.当△=0，即a=12时，则由12x2+12x+3>0可得x≠-7；…14分 3.当△>0，即a>12时，为>为2，则由ax2+ax+3>0可得x<x2或x>并16分 综上，当a<0时，不等式解集为 2a 2a 当0≤a<12时，不等式解集为R 当a=12时，不式解为以-引 当a>12时，不等式解集为{x<a--2成x>-a+-12a …17分 2a 2a 另者欧+3=0电可以写=片4= 。 与前述解法有区别的是，无论a 是正是负都有x>为，按丽上述解法对应分类讨论给分即可， 对应的结论为：，当a<0时，不等式解桑为 g<s哥 当0≤a<12时，不等式解集为R 当=2时，不等式解桌为x去引 当a>12时，不等式解集为 共4页 19.【详解】(1)当m=1,n=2时，f(x)=x2-2x+2,…1分 设为不动点，因此培-2x。+2=,解得名=1或x。=2,所以山，2为函数f(x)的不动点.3分 (2)因为f(x)恒有两个不动点，即2-(m+1)x+n=x恒有两个不等实根，4分 整理为x2-(m+2)x+n=0,所以m*0且△=(m+2)2-4mn>0恒成立. 即对于任意[]， .一4mm+m2+4m+4>0恒成立.6分 令gm)=4mn+m2+4m+4, (8(0)>0 m2+4m+4>0故m<-4或m>-1,…8分 又m≠0，故m∈(-∞，4U(-1,0)U(0,+∞).…9分 注：未考虑m不为0的扣1分. (3)m=1时，f=2-2x+m,A*0,-2x+m=x有实根，∴4'=9-4n≥0，n5 4,…11分 记y=f(x),则关于x的方程f((x》=x的解为方程组 y=-2x+的解x的值，两式相减可得x-%+y-》=0, x=y2-2y+n :A=B,即要使f(x)=x与fy)=x有相同的解，则x一y=0与(-yx+y-)=0的x的解集相同， 所以方程x+y-1=0无解或其解与x-y=0相同，即2-x+n-1=0无解或其解为x=2 所以△=（←12-4n-1)s0,÷n≥2，…16分 4 综上实数n的取值范围是 59 44 …17分 第4须，