2.1等式性质与不等式性质课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第二章 一元二次函数、方程和不等式 2.1 等式性质与不等式性质 (第一课时) 1.能够根据题意将不等关系用不等式表示出来 （重点） 2.能够利用作差法判断两个数（式）的大小关系 （重点、难点） 3.能在在实际情景中建立不等式(组).（难点） 在现实世界和日常生活中，大量存在着相等关系和不等关系，例如多与少、大与小、长与短、高与矮、远与近、不超过或不少于等.类似于这样的问题，反映在数量关系上就是相等与不等.相等用等式表示，不等用不等式表示. 用不等号表示不等关系的式子 文字语言 大于 高于 超过 多于 小于 低于 少于 大于等于至少 不低于 小于等于 至多 不多于 不超过 符号语言 > < ≥ ≤ 不等关系 问题1. 你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗？ (1)某路段限速40 km/h； (2)某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量 f 应不少于2.5％，蛋白质的含量 p 应不少于2.3％； (3)三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边. 对于（1），设在该路段行驶的汽车的速度为v km/h，则0< v <40． 对于（2），由题意，得 ． 对于（3），设△ABC的三条边为a，b，c，则，． 问题2. 某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本.根据市场调查，杂志的单价每提高0.1元，销售量就可能减少2000本.如何定价才能使提价后的销售总收入不低于20万元？ 设提价后杂志的定价为 x 元，则销售的总收入为 万元，那么不等关系“销售的收入不低于20万元”用不等式可以表示为： 求出不等式①的解集，就能知道满足条件的杂志的定价范围. 如何解上述不等式呢？与解方程要用等式的性质一样，解不等式要用不等式的性质．为此，我们需要先研究不等式的性质． 在初中我们已经通过具体实例归纳出了一些不等式的性质．那么，这些性质为什么是正确的？还有其他不等式的性质吗？ 回答这些问题要用到关于两个实数大小关系的基本事实． 关于实数 a，b 大小的比较，有以下基本事实：   如果是正数，那么；如果等于0，那么；如果是负数，那么．反之也成立． 这个基本事实可以表示为：   从上述基本事实可知：要比较两个实数的大小,可以转化为比较它们 的差与0的大小．   这里，我们借助多项式减法运算，得出一个明显大于0的数（式）．这是解决不等式问题的常用方法． 例1.比较和的大小． 解：因为 ， 所以． 　 这种比较大小的方法通常称为作差比较法． 其思维过程：作差 → 变形 → 判断符号 → 作出结论， 其中变形是判断符号的前提． 作差法比较大小的基本步骤： （1）作差：对要比较大小的两个数(或式子)作差； （2）变形：对差进行变形(因式分解、通分、配方等)； （3）判断符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号； （4）作出结论． 1.比较和的大小． 2.已知且，证明 ． 1.某市环保局为增加城市的绿地面积，提出两个投资方案：方案 A 为一次性投资500万元；方案 B 为第一年投资100万元，以后每年投资10万元.列出不等式表示“经过 n 年之后，方案 B 的投入不少于方案 A 的投入”. 2.比较下列各组中两个代数式的大小. (1) 与 ； (2) 与 ； (3)当 时， 与 ； (4) 与 . 3.一个数大于50且小于60的两位数，其个位数字比十位数字大2.试用不等式表示上述关系，并求出这个两位数.(用 a 和 b 分别表示这个两位数的十位数字和个位数字) 1.用不等式表示不等关系是一种数学建模，正确理解题意，设定字母表示相关数量，是正确建模的关键.对具有多个不等关系的实际问题要用不等式组来表示. 2.用作差法比较大小一般分三步进行：作差→变形→判断符号.其中变形的目的在于判断差的符号，常用的变形技巧有因式分解、配方等. 2.1 等式性质与不等式性质 (第二课时) 1．掌握不等式的基本性质（重点） 2．能够进行不等式之间的运算（重点、难点） 3. 运用基本性质来证明一些简单的不等式（难点） 等式有下面的基本性质 性质1 如果,那么； (对称性) 性质2 如果,,那么； (传递性) 性质3 如果,那么； (加法) 性质4 如果,那么； (乘法) 性质5 如果,,那么 . (除法) 可以发现，性质1，2反映了相等关系自身的特性，性质3，4，5是从运算的角度提出的，反映了等式在运算中保持的不变性．(运算的不变性即为性质) 不等式的性质 类比等式的基本性质，你能猜想不等式的基本性质吗，并加以证明吗？ 等式 不等式 对称性 传递性 等式 不等式 加法 注：不等式两边同时加上(或减去)同一个实数，不等式与原不等式等向．(不等号方向不变) 等式 不等式 乘法 注：不等式两边同乘一个正数，不等式方向不变； 不等式两边同乘一个负数，不等式方向相反． 等式 不等式 加法 注：同向不等式相加，所得不等式与原不等式同向. 同向不等式只能相加，不能相减，但相减可以转化为相加问题 （加其相反数）. 等式 不等式 乘法 注：同是正数的同向不等式相乘，所得不等式与原不等式同向. （反之也成立） （反之也成立） 不等式的性质： 性质 内容 注意 1.对称性 2.传递性 3.可加性 4.可乘性 不等式的性质 可逆 可逆 c的符号 不可逆 性质 内容 注意 5.同向可加性 6.同向同正可乘性 7.可乘方性 同向 同向 同正 1.注意不等式的单向性和双向性．性质1和3是双向的，其余的在一般情况下是不可逆的． 2.在应用不等式时，一定要搞清它们成立的前提条件．不可强化或弱化成立的条件．要克服“想当然”“显然成立”的思维定势． 例2 已知 ， ，求证： . 解：作差可得 因为 ， ，所以 ， 又 ，所以 ， . X3 (X) - 在这里也跟大家讲一下课本上的证明思路，用到的是执果索因法. 　 1.熟悉不等式的性质，更好地掌握各性质的条件和结论，在各性质中，乘法性质的应用最易出错，即在不等式的两边同乘(除)以一个数时，必须能确定该数是正数、负数或零，否则结论不确定． 2.若判断说法是正确的，应说明理由或进行证明，推理过程应紧扣有关定理性质等，若判断说法是错误的举一反例即可． 3.对于实数有下列结论： ①若，则； ②若，则； ③若，则； ④若，则 ； ⑤若， ，则，． 其中正确结论的有____________． ② ③ ④ ⑤ 例3.已知，， (1)求的取值范围； (2)求的取值范围. 解：由 ， 可得： ，则 ； 可得： ，则 . 所以 . 4.已知，，求的取值范围. 思考下面的解题过程是否正确，若不正确，请给出正确的过程. 利用不等式的性质求取值范围的策略 1．建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用不等式的性质进行运算，求得待求的范围． 2．同向不等式的两边可以相加，这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围． 1.用不等号“＞”或“＜”填空： (1)如果 ， ，那么 ______ ； (2)如果 ， ，那么 ______ ； (3)如果 ，那么 ______ ； (4)如果 ，那么 ______ ； 2.下列命题为真命题的是( ). A.若 ，则 B.若 ，则 C.若 ，则 D.若 ，则 B 3.已知 b 克糖水中含有 a 克糖 ，再添 m 克糖 (假设全部溶解)，糖水变甜了.请将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式成立. 1.不等式的七个基本性质. 2.证明代数式的大小关系时，常用作差法.其中变形的技巧需要熟练掌握. $$