1.4充分条件与必要条件课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

1.4 充分条件与必要条件 Administrator (A) - 同学们，我们今天来上充分条件与必要条件，我们先从字面意思来理解一下，什么叫充分，什么叫必要，先来说必要吧，它比较简单，什么叫必要 也就是bi xu 滴~~~~ 那什么是充分呢？ 你比如说，有些同学在宿舍天天不洗脚，宿管跟我告状，而且还提供了充分的依据，请问什么是充分？ 充足的，足够的 1.命题的概念 在初中，我们已经对命题有了初步的认识.一般地，在数学中，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题. 其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题. Administrator (A) - 当然了，我们也是要从数学的角度来理解充分和必要，在此之前，我们先回顾一个概念 2.命题的形式 中学数学中的许多命题都可以写成“若 p，则 q”，“如果p，那么q”的形式. 本节我们只讨论这种形式的命题.下面我们将进一步考察“若 p，则 q”形式的命题中 p 和 q 的关系，学习数学中的三个常用逻辑用语——充分条件，必要条件和充要条件. 例如：如果一个数字不能被2整除，那么这个数是奇数； 如果一个集合是空集，那么它是任何集合的子集. 其中 p 叫做命题的条件，q 叫做命题的结论. 1.正确理解充分条件、必要条件的概念.(重点) 2.掌握判断充分条件、必要条件的方法.(难点) 3.能够从集合的角度理解充分条件、必要条件.(重点) 在命题(1)(4)中，由条件 p 通过推理可以得出结论 q，所以它们是真命题.在命题(2)(3)中，由条件 p 不能得出结论 q，所以它们是假命题. 充分条件与必要条件 思考1.下列“若 p，则 q”形式的命题中，哪些是真命题？哪些是假命题？ (1)若平行四边形的对角线互相垂直，则这个平行四边形是菱形； (2)若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等； (3)若 ，则 ； (4)若平面内两条直线 a 和 b 均垂直于直线 l ，则 . √ × √ × 一般地，“若 p，则 q”为真命题 ，是指由 p 可推出 q，记作 ，并且说，p 是 q 的充分条件，q 是 p 的必要条件． 如果“若 p，则 q”为假命题，那么由 p 推不出 q.记作 ，此时， p 不是 q 的充分条件，q 不是 p 的必要条件． 注：(1)若，那么 p 是 q 的充分条件， q 是 p 的必要条件，这是同时成立的；不会出现 p 是 q 的充分条件，而 q 却不是 p 的必要条件． (2)故要判断 p 、 q 的充分必要关系，得先判断“若 p 则 q ”是否为真命题，即判断是否成立． 解:命题(1)(2)(3)(5)是真命题，命题(4)(6)是假命题. 所以，命题(1)(2)(3)(5)中的 p 是 q 的充分条件. 例1 下列“若 p，则 q”形式的命题中，哪些命题中的 p 是 q 的充分条件? (1)若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形； (2)若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似； (3)若四边形为菱形，则这个四边形的对角线互相垂直； (4)若 ，则 ； (5)若，则； (6)若，为无理数，则为无理数. × √ × √ √ √ 解:命题(1)(2)(4)是真命题，命题(3)(5)(6)是假命题. 所以，命题(1)(2)(4)中的 p 是 q 的必要条件. 例2 下列“若 p，则 q”形式的命题中，哪些命题中的 q 是 p 的必要条件? (1)若四边形为平行四边形，则这个四边形的两组对角分别相等； (2)若两个三角形相似，则这两个三角形的三边成比例； (3)若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形； (4)若，则； (5)若，则； (6)若 xy 为无理数，则x，y为无理数. √ √ √ × × × 逆命题 即 原命题:若 p，则 q . 逆命题:若 q，则 p . 例如，命题“同位角相等，两直线平行”的逆命题是“两直线平行，同位角相等”. 一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题.其中一个命题叫做原命题.另一个命题叫做原命题的逆命题. (1)(4)和它们的逆命题都是真命题.(2)是真命题，但它的逆命题是假命题；(3)是假命题，但它的逆命题是真命题 思考2.下列“若 p，则 q”形式的命题中，哪些命题与它的逆命题都是真命题？ (1)若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等，则这两个三角形全等； (2)若两个三角形全等，则这两个三角形的周长相等； (3)若一元二次方程有两个不相等的实数根，则； (4)若A∪B是空集，则 A 与 B 均是空集. 如果“若 p，则 q”和它的逆命题“若 q，则 p”均是真命题.即既有p q，又有q  p，就记作 . 此时，p 既是 q 的充分条件，也是 q 的必要条件，我们说 p 是 q 的充分必要条件，简称充要条件（sufficient and necessary condition）. 显然，如果 p q，那么 p 与 q 互为充要条件. 充要条件 例3 下列各题中，哪些 p 是 q 的充要条件? (1)p: 四边形是正方形，q：四边形的对角线互相垂直平分； (2)p: 两个三角形相似，q: 两个三角形的三边成比例； (3)p: ，q: ； (4)p: 是一元二次方程 的一个根， q: . × √ √ √ 判断充分条件、必要条件的方法 若 ，且 ，则 p 是 q 的充分不必要条件； 若 ，且 ，则 p 是 q 的既不充分也不必要条件. 若 ，且 ，则 p 是 q 的必要不充分条件； 若 ，且 ，则 p 是 q 的充要条件； Administrator (A) - 如果p能推出q，q也能推出p，我们说p是q的充要条件 那如果p能推出q，q不能推出p呢，我们站在p的角度，p能推出q说明p是q的充分条件，q不能推出p，说明p不是q的必要条件，所以合起来应该是p是q的充分不必要条件 例4 下列各题中，判断 p 是 q 的什么条件? (1)p: 三角形是等腰三角形，q：三角形是等边三角形； (2)p: 一元二次方程 有实根， q: ； (3)p: ，q: . 必要不充分条件 充要条件 既不充分也不必要条件 例4 下列各题中，判断 p 是 q 的什么条件? (1)p: 三角形是等腰三角形，q：三角形是等边三角形； (2)p: 一元二次方程 有实根， q: ； (3)p: ，q: ； (4)p: ，q: ； (5)p: ，q: . 必要不充分条件 充要条件 充分不必要条件 必要不充分条件 既不充分也不必要条件 Administrator (A) - 通过刚才几道题目可以发现，充分，必要性的判断是比较麻烦的，我们需要判断原命题和逆命题的真假，一道题目相当于两道了，那有同学就要问了，有没有简单的方法呢， 哎，我们数学学习啊，还是得一步一个脚印，踏踏实实才行 所以说这里，哎，他还真有一个稍微简单点的办法，从集合的角度来理解充分必要性 p q 从集合的角度来理解充分条件、必要条件 ，相当于 p:“我是安徽人” q:“我是中国人” 小范围 推出 大范围 Administrator (A) - 大范围是小范围的必要条件； 小范围是大范围的充分条件. 这里我们来举个例子，如果我是一个安徽人，那么足够证明我是一个中国人了，充分的 那如果我想要是一个安徽人，我必须得先是一个中国人才行，必须的 1.设集合 ,那“a∈M ”是“a∈N ”的______________条件. 必要不充分 2.已知集合 ，且“x∈A”是“x∈B”的充分条件，则a的取值范围是_______. 1.判断p是q的什么条件，并填空： (1) p： x 是整数是 q：x 是有理数的 _ ； (2) p： 是 q：的_____________________； (3) p：是 q：的 _________ ； (4) p：同位角相等是 q：两直线平行的 ； (5) p：是 q：的 __ ． 充分不必要条件 充分不必要条件 充要条件 必要不充分条件 必要不充分条件 2.设点 ,则“且”是“点 P 在直线 上”的　(　　) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 A 3.一元二次方程 有一个正根和一个负根的充要条件是 ( ) A． B． C． D．． D 20 4.若A是B的必要而不充分条件，C是B的充要条件，D是C的充分而不必要条件，那么D是A的 ______ . 充分不必要条件 1.若p q， p 是 q 的充分必要条件，简称充要条件 2.形如“若 p，则 q ”的命题中存在以下四种关系 ： （1）p 是 q 的充分不必要条件 （2）p 是 q 的必要不充分条件 （3）p 是 q 的充分必要条件 （4）p 是 q 的既不充分又不必要条件 例1答案 $$