专题2.3 直线和圆的位置关系（六大考点+过关训练）-【学霸满分】2024-2025学年九年级数学上册重难点专题提优训练（苏科版）

专题2.3 直线和圆的位置关系 目录 【典型例题】 1 【考点一 判断直线和圆的位置关系】 1 【考点二 已知直线和圆的位置关系求半径的取值】 4 【考点三 证明某直线是圆的切线】 6 【考点四 切线的性质定理】 12 【考点五 切线的性质与判定的综合应用】 15 【考点六 直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系】 23 【过关检测】 27 【典型例题】 【考点一 判断直线和圆的位置关系】 例题：（23-24九年级上·全国·单元测试） 的半径为 ，点 到直线 的距离为 ，当 时， 与 相切． 【变式训练】 1．（2023·山东菏泽·二模）已知在直角坐标系中，以点为圆心，以3为半径作，则直线与的位置关系是 （相切、相交或相离）． 2．（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）已知点，若以点为圆心，3个单位长度为半径作圆，则与轴 ，与轴 ． 3．（24-25九年级上·云南曲靖·阶段练习）如图，在 中， ，点O是的中点，以O为圆心，r为半径作．    (1)当r满足什么条件时，与 的边有2个公共点？ (2)当r满足什么条件时，与 的边有3个公共点？ (3)当r满足什么条件时，与 的边有4个公共点？ 【考点二 已知直线和圆的位置关系求半径的取值】 例题：（23-24九年级下·浙江温州·开学考试）已知的半径是5，直线与相交，圆心到直线的距离可能是（    ） A．4 B．5 C．6 D．10 【变式训练】 1．（2024·山东菏泽·一模）在直角三角形中，，，，以点C为圆心作，半径为，已知直线和有交点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（2023九年级下·全国·专题练习）在中，，若与相离，则半径为r满足（　　） A． B． C． D． 【考点三 证明某直线是圆的切线】 例题：（24-25九年级上·江苏南京·期中）如图，为的直径，射线交于C点，的平分线交于D点，过点D作交于E点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）如图，为的切线，为切点，过点作，垂足为点，交于点，延长与的延长线交于点． (1)求证：为的切线； (2)若，求线段的长． 2．（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，为正方形对角线上一点，以为圆心，长为半径的与相切于点． (1)求证∶与相切； (2)若正方形的边长为4，求的半径． 【考点四 切线的性质定理】 例题：（24-25九年级上·江苏南京·期中）如图，四边形是的外切四边形，且，，若四边形的面积等于，则的半径等于 ． 【变式训练】 1．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，P是圆O的直径上一点，与圆O相切于点M，连接，，若，则的长为 ． 2．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）如图，是⊙的直径，、、、是上的点，过点作为切线交延长线于点，若，，则半径是 ． 【考点五 切线的性质与判定的综合应用】 例题：（2024九年级上·全国·专题练习）如图，为的一条弦，切于点，直线交于点E，交于点C． (1)求证：是的切线； (2)若交直线于点D，交于另一点F． ①求证：； ②若，求的半径． 【变式训练】 1．（2023·山东淄博·二模）如图，内接于，为的直径，点是弧的中点，交于，交于，． (1)求证：是的切线； (2)求证：； (3)若，，求的长． 2．（23-24九年级上·福建厦门·期末）四边形是菱形，点O为对角线交点，边的垂直平分线交线段于点P（P不与O重合），连接，以点P为圆心，长为半径的圆交直线于点E，直线与直线交于点F，如图所示． (1)当时，求证：直线与相切； (2)当，时，求的度数； (3)在菱形的边长与内角发生变化的过程中，若点C与E不重合，请探究与的数量关系． 【考点六 直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系】 例题：（23-24九年级上·广西崇左·阶段练习）如图，的内切圆与分别相切于点D，E，F，且，求的长． 【变式训练】 1．（23-24九年级上·甘肃定西·阶段练习）已知：如图，是的内切圆，，求的半径r． 2．（22-23九年级上·陕西延安·期末）如图，在中，，，，是的内切圆，分别切边于点D，E，F． (1)求的半径． (2)若Q是的外心，连接，求的长度． 【过关检测】 一、单选题 1．（24-25九年级上·重庆渝中·阶段练习）已知的半径为3，圆心到直线的距离为2，则与直线的位置关系是（    ） A．相切 B．相交 C．相离 D．相交或相离 2．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，、分别与相切于、两点，点为上一点，连接、，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（2023·重庆潼南·模拟预测）如图，和是的两条切线，、是切点，连接交于点、，连接，若，，则的长为（     ） A． B． C． D．4 4．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在中，，其内切圆分别与相切于点D、E、F，若，，则的长为（    ） A．2 B．4 C．5 D．3 5．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，过点作的切线，，切点分别是，，连接．过上一点作的切线，交，于点，．若，的周长为4，则的长为（　　） A．2 B． C．4 D． 二、填空题 6．（24-25九年级上·全国·课后作业）已知，的的半径为2，圆心在上，当时，与射线的位置关系为 ． 7．（23-24九年级上·重庆·阶段练习）如图，，是的切线，A，B是切点，若，则 ． 8．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，已知是的直径，切于点C，，则等于 度． 9．（24-25九年级上·河北唐山·阶段练习）如图，分别切于点切于点C，分别交于点M，，若，则的周长是 ． 10．（2023·江苏苏州·二模）如图，在中，，，，以边的中点为圆心，作半圆与相切，点、分别是边和半圆上的动点，连接，则长的最大值与最小值的和是 ． 三、解答题 11．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，是的切线，切点分别为A、B．点C在上，过点C的切线分别交于点D、E，已知的周长20，求的长． 12．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，是的直径，直线切于点于点F，连接，且． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 13．（24-25九年级上·北京海淀·期中）如图，在中，，D为边上的点，以为直径作，连接并延长交于点E，连接，． (1)求证：是的切线； (2)连接，若，，求的长． 14．（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，是的直径，是延长线上的一点，点在上，，交的延长线于点，交于点，且点是的中点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 15．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，为的直径，与切于点，连接，交于点， ． (1)如图，求的正切值； (2)如图，弦，连接，求证：为的切线； (3)如图，在（）的条件下，点在弧上，连接，，，求的长． 16．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）在矩形中，，，点P从点A出发沿边以的速度向点B移动，同时，点Q从点B出发沿以的速度向点C移动，其中一点到达终点时，另一点随之停止运动．设运动时间为t秒： (1)如图1，几秒后，的面积等于？ (2)在运动过程中，若以P为圆心、为半径的与相切（如图1），求t值； (3)若以Q为圆心，为半径作． ①如图2，以Q为圆心，为半径作．在运动过程中，是否存在这样的t值，使正好与四边形的一边（或边所在的直线）相切？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由； ②如图3，若与四边形的边有三个公共点，则t的取值范围为______．（直接写出结果，不需说理） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.3 直线和圆的位置关系 目录 【典型例题】 1 【考点一 判断直线和圆的位置关系】 1 【考点二 已知直线和圆的位置关系求半径的取值】 4 【考点三 证明某直线是圆的切线】 6 【考点四 切线的性质定理】 12 【考点五 切线的性质与判定的综合应用】 15 【考点六 直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系】 23 【过关检测】 27 【典型例题】 【考点一 判断直线和圆的位置关系】 例题：（23-24九年级上·全国·单元测试） 的半径为 ，点 到直线 的距离为 ，当 时， 与 相切． 【答案】/5厘米 【知识点】判断直线和圆的位置关系 【分析】本题考查直线与圆的位置关系，当时，直线与圆相切，即可得出结果． 【详解】解：当时， 与相切； 故答案为：． 【变式训练】 1．（2023·山东菏泽·二模）已知在直角坐标系中，以点为圆心，以3为半径作，则直线与的位置关系是 （相切、相交或相离）． 【答案】相交 【知识点】判断直线和圆的位置关系 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系；根据直线与y轴的交点在内部，即可确定直线与圆的位置关系是相交． 【详解】解：当时，， 即直线与y轴的交点为，而此点在内部， ∴直线与的位置关系是相交； 故答案是：相交． 2．（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）已知点，若以点为圆心，3个单位长度为半径作圆，则与轴 ，与轴 ． 【答案】 相离 相切 【知识点】判断直线和圆的位置关系、求点到坐标轴的距离 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，解题的关键是由点的坐标得到点到轴与轴的距离．先由点的坐标得到点到轴的距离、点到轴的距离，然后判定与轴、轴的位置关系． 【详解】解：， 点到轴的距离为，点到轴的距离为， 与轴相离，与轴相切 故答案为：相离，相切． 3．（24-25九年级上·云南曲靖·阶段练习）如图，在 中， ，点O是的中点，以O为圆心，r为半径作．    (1)当r满足什么条件时，与 的边有2个公共点？ (2)当r满足什么条件时，与 的边有3个公共点？ (3)当r满足什么条件时，与 的边有4个公共点？ 【答案】(1) (2)或 (3) 【知识点】判断直线和圆的位置关系、判断三边能否构成直角三角形 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是： （1）根据勾股定理逆定理判断出，取中点E，取中点F，连接，，根据三角形中位线定理可求出，，然后数形结合即可解答； （2）根据直角三角形斜边中线的性质求出，然后数形结合即可解答； （3）结合（1）中结论，数形结合即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 取中点E，取中点F，连接，，    则，，，， ∴，， ∵点O是的中点， ∴， ∴当时，与的边有2个公共点； （2）解：由（1）知：当时，与相切，    ∴当时，与的边有3个公共点， ∵，点O是的中点， ∴， ∴当时，与的边有3个公共点， 综上，当或时，与的边有3个公共点； （3）解：由（1）知：当时，与相切，    此时与的边有5个公共点， ∴当时，与 的边有4个公共点． 【考点二 已知直线和圆的位置关系求半径的取值】 例题：（23-24九年级下·浙江温州·开学考试）已知的半径是5，直线与相交，圆心到直线的距离可能是（    ） A．4 B．5 C．6 D．10 【答案】A 【知识点】已知直线和圆的位置关系求半径的取值 【分析】本题考查直线与圆的位置关系，根据直线和相交，即可判断． 【详解】的半径为5，直线与相交， 圆心到直线的距离的取值范围是， 故选：A． 【变式训练】 1．（2024·山东菏泽·一模）在直角三角形中，，，，以点C为圆心作，半径为，已知直线和有交点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】已知直线和圆的位置关系求半径的取值 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系、勾股定理，作于D，由勾股定理求出，由三角形的面积求出，可得以C为圆心，为半径所作的圆与斜边只有一个公共点，即可得直线和有交点， 的取值范围． 【详解】解：作于D，如图所示： ∵， ∴， ∵的面积， ∴，即圆心C到的距离， ∴以C为圆心的⊙C与直线有交点，则的取值范围是：． 故选：D． 2．（2023九年级下·全国·专题练习）在中，，若与相离，则半径为r满足（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】已知直线和圆的位置关系求半径的取值、含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查圆与直线的位置关系，过C作于D，含30度角的直角三角形的性质，结合勾股定理求出的长，等积法求出的长，根据圆与直线相离得到，即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 过C作于D， ∵， ∴， ∵与相离， ∴半径r满足， 故选：C． 【考点三 证明某直线是圆的切线】 例题：（24-25九年级上·江苏南京·期中）如图，为的直径，射线交于C点，的平分线交于D点，过点D作交于E点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)5 【知识点】等边对等角、用勾股定理解三角形、证明四边形是矩形、证明某直线是圆的切线 【分析】（1）连接，若要证明为的切线，只要证明即可； （2）过点作于F，证明四边形是矩形，利用勾股定理计算即可． 【详解】（1）证明：连接，如图， ∵， ∴． ∵平分， ∴． ∴． ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴为的切线； （2）解：过点作于F， ∴ 又 ∴四边形是矩形， ∴ 设则 在中，， ∴， 解得， 即的半径为5． 【点睛】本题考查了圆的切线的判定、平行线的判定与性质、矩形的判定和性质以及勾股定理的运用，正确作出辅助线构造矩形和直角三角形是解答本题的关键． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）如图，为的切线，为切点，过点作，垂足为点，交于点，延长与的延长线交于点． (1)求证：为的切线； (2)若，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】全等的性质和SSS综合（SSS）、用勾股定理解三角形、切线的性质定理、证明某直线是圆的切线 【分析】（1）连接，证明，由全等三角形的性质得出．由切线的性质得出，则，可得出结论； （2）由勾股定理求出的长，设，则，得出方程，解方程可得x，即可得出答案． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵， ∴是等腰三角形， ∵， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴， 在和中     ∴， ∴， ∵为的切线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴为的切线； （2）解：∵，， ∴，， ∵， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了切线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定和性质、勾股定理等知识，证明是解题的关键． 2．（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，为正方形对角线上一点，以为圆心，长为半径的与相切于点． (1)求证∶与相切； (2)若正方形的边长为4，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】证明某直线是圆的切线、根据正方形的性质证明、根据正方形的性质求线段长、用勾股定理解三角形 【分析】（1）过作于，连接，由正方形的性质结合已知条件可得出，由三角形内角和可得出，进一步即可证明与相切； （2）由（1）易知为等腰直角三角形，为半径，设，由勾股定理可得出，进而可得出，再由勾股定理可得出，由正方形的性质可得出，求出，进而列出等式计算即可． 【详解】（1）证明∶过作于，连接， 与相切于点， ， 四边形为正方形， ， ， 又为正方形对角线， ， ∴， ， 与相切； （2）解∶由（1）易知为等腰直角三角形，为半径， 设， ∴ ， 在中，， ∴， ， ． ， ， 的半径为. 【点睛】本题主要考查了圆的性质，正方形的性质，证明某直线是圆的切线，等腰直角三角形的判定以及性质，勾股定理，平行线的性质等知识，掌握这些性质是解题的关键． 【考点四 切线的性质定理】 例题：（24-25九年级上·江苏南京·期中）如图，四边形是的外切四边形，且，，若四边形的面积等于，则的半径等于 ． 【答案】 【知识点】切线的性质定理、应用切线长定理求解 【分析】本题考查了切线的性质，切线长定理，设点为四边形与的切点，连接，由切线长定理可得，，，，由，可得，进而可得，设，最后根据面积可得，据此即可求解，掌握切线的性质和切线长定理是解题的关键． 【详解】解：设点为四边形与的切点，连接，则，，，， 由切线长定理得，，，，， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 即， 设， ∵四边形的面积等于， ∴， 即， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式训练】 1．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，P是圆O的直径上一点，与圆O相切于点M，连接，，若，则的长为 ． 【答案】 【知识点】切线的性质定理、圆周角定理、根据等角对等边证明边相等 【分析】本题考查切线的性质、圆周角定理、等腰三角形的判定，解题的关键是掌握圆的切线垂直于经过切点的半径；连接，根据切线性质得，再根据直角三角形的锐角互余得，根据圆周角定理进而求得，然后根据等腰三角形的判定解答即可． 【详解】解：连接， 与圆O相切于点M， ； ， ； ， ， ， ； ， ； 故答案为：． 2．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）如图，是⊙的直径，、、、是上的点，过点作为切线交延长线于点，若，，则半径是 ． 【答案】 【知识点】含30度角的直角三角形、等边三角形的判定和性质、切线的性质定理 【分析】本题考查切线的性质，连接，设的半径为，证明和都是等边三角形，得，继而得到，根据切线的性质得，，根据角所对的直角边等于斜边的一半得，即可得解．解题的关键是掌握切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径． 【详解】解：连接，设的半径为， ∴， ∵，， ∴， ∴和都是等边三角形， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴半径是是． 故答案为：． 【考点五 切线的性质与判定的综合应用】 例题：（2024九年级上·全国·专题练习）如图，为的一条弦，切于点，直线交于点E，交于点C． (1)求证：是的切线； (2)若交直线于点D，交于另一点F． ①求证：； ②若，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②5 【知识点】全等的性质和SSS综合（SSS）、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、切线的性质和判定的综合应用 【分析】（1）连接，．证明，推出即可解决问题． （2）①连接，想办法证明即可解决问题． ②利用勾股定理求出，设，在中，利用勾股定理构建方程即可解决问题． 【详解】（1）证明：连接，． 是的切线， ， ， ，，， ， ， ， 是的切线； （2）①证明：连接． ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 即， ． ②解：，， ， ， ，，， ，设， 在中，， ， ， 的半径为5． 【点睛】本题属于圆综合题，考查了切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 【变式训练】 1．（2023·山东淄博·二模）如图，内接于，为的直径，点是弧的中点，交于，交于，． (1)求证：是的切线； (2)求证：； (3)若，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3) 【知识点】角平分线的性质定理、用勾股定理解三角形、圆周角定理、切线的性质和判定的综合应用 【分析】此题重点考查等腰三角形的性质、圆周角定理、切线的判定、同角的余角相等、勾股定理、角平分线的性质、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． （1）由是的直径，得，由，得，由，，得，所以，即可证明是的切线； （2）由，，得，则； （3）作于点，则，由勾股定理得，则，可求得，所以，即可由，求得． 【详解】（1）证明：是的直径， ， 点是弧的中点， ， ， ，， ， ， 是的半径，且， 是的切线． （2）证明：， ， ， ， ． （3）解：作于点， ，平分， ， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， 的长是． 2．（23-24九年级上·福建厦门·期末）四边形是菱形，点O为对角线交点，边的垂直平分线交线段于点P（P不与O重合），连接，以点P为圆心，长为半径的圆交直线于点E，直线与直线交于点F，如图所示． (1)当时，求证：直线与相切； (2)当，时，求的度数； (3)在菱形的边长与内角发生变化的过程中，若点C与E不重合，请探究与的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【知识点】线段垂直平分线的性质、利用菱形的性质求线段长、切线的性质和判定的综合应用、四点共圆 【分析】（1）连接，根据菱形的性质得，，，有，根据垂直平分线的性质得，利用三角形内角和定理得．根据菱形的性质得点A在上即可． （2）由同弧所对圆周角相等得．结合菱形的性质得，可证得．由勾股定理逆定理得为直角三角形，且，利用即可求得． （3）设，分两类讨论：①当点E在延长线上时，可得：，以及，进一步求得和；②当点E在边上时，由四点共圆和同角的补角相等得结合菱形的性质有．则有，进一步求得和即可． 【详解】（1）证明：连接，如图， ∵四边形是菱形， ∴，，． ∴． ∵． ∴． ∵P是垂直平分线上的点， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． ∵垂直平分，P在上， ∴，即点A在上． ∴直线与相切． （2）由（1）得，则点D在上． ∵与同对， ∴． ∵四边形是菱形， ∴，． ∴． ∴． ∴． ∵， ∴在中，． ∵由（1）得，即． ∴． ∴为直角三角形，且． ∴． 又∵， ∴． （3）设， 由（1）知：当时，直线与相切，同理：当时，直线与相切，此时，点C是切点，点E、F、C重合． 所以若点C与E不重合，可分两类讨论： ①当点E在延长线上时， 由（2）知：． ∴，即． ∵， ∴． ∴． 则． 即． ②当点E在边上时， ∵点A，E，C，D在上， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． 即． 又∵， ∴． ∴． ∴． 即． 综上，或． 【点睛】本题主要考查圆与几何图形的结合，涉及菱形的性质、垂直平分线的性质、同弧所对圆周角相等、勾股定理逆定理和四点共圆，解题的关键是掌握菱形的性质和圆的相关知识． 【考点六 直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系】 例题：（23-24九年级上·广西崇左·阶段练习）如图，的内切圆与分别相切于点D，E，F，且，求的长． 【答案】 【知识点】应用切线长定理求解、直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系 【分析】本题主要考查的是三角形内切圆的有关问题以及切线长定理的应用，根据切线长定理列出关于的方程是解题的关键． 由切线长定理可知：，设，则，然后根据，列方程求解即可． 【详解】解：∵的内切圆与分别相切于点、、， ， 设，则． 根据题意得． 解得；． ∴， ∴． 【变式训练】 1．（23-24九年级上·甘肃定西·阶段练习）已知：如图，是的内切圆，，求的半径r． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、应用切线长定理求解、直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系 【分析】此题主要考查了直角三角形内切圆的性质及半径的求法．根据已知得出是解题关键．设、、与的切点分别为、、；易证得四边形是正方形；那么根据切线长定理可得：，由此可求出的长． 【详解】解：如图：连接，， 在，，，， 根据勾股定理， 四边形中，，， 四边形是正方形， 由切线长定理，得：，，， ， 即． 2．（22-23九年级上·陕西延安·期末）如图，在中，，，，是的内切圆，分别切边于点D，E，F． (1)求的半径． (2)若Q是的外心，连接，求的长度． 【答案】(1)1 (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、应用切线长定理求解、直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系 【分析】（1）先利用勾股定理求得，利用三角形面积公式，即可求解； （2）证明四边形为正方形，边长为1，再利用切线长定理结合勾股定理即可． 【详解】（1）解：如图，连接，设的半径为r． ∵是的内切圆，分别切边于点D，E，F， ∴，，． 在中，，，， ∴． ∵， ∴， 解得， ∴的半径为1； （2）解：∵是的内切圆，分别切边于点D，E，F， ∴，，．，，． ∴四边形为正方形， ∵， ∴四边形为正方形，   ∴， ∴． ∵Q是的外心， ∴， ∴． 在中，，即， 解得（负值舍去）． 【点睛】此题考查了三角形的内切圆的性质、切线长定理、正方形的判定与性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用． 【过关检测】 一、单选题 1．（24-25九年级上·重庆渝中·阶段练习）已知的半径为3，圆心到直线的距离为2，则与直线的位置关系是（    ） A．相切 B．相交 C．相离 D．相交或相离 【答案】B 【知识点】判断直线和圆的位置关系 【分析】此题考查的是圆与直线的位置关系．判断直线和圆的位置关系：设的半径为，圆心到直线的距离为．①直线和相交，②直线和相切，③直线和相离．圆心到直线的距离大于圆心距，直线与圆相离；小于圆心距，直线与圆相交；等于圆心距，直线与圆相切． 【详解】解：圆心到直线的距离圆的半径3， 直线与圆的位置关系为相交． 故选：B 2．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，、分别与相切于、两点，点为上一点，连接、，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】圆周角定理、切线的性质定理、多边形内角和问题 【分析】本题考查切线的性质，圆周角定理，连接，根据切线的性质，四边形的内角和，求出的度数，再根据圆周角定理，求出的度数即可． 【详解】解：连接， ∵分别与圆O相切于A、B两点， ∴， ∴， ∴； 故选：D． 3．（2023·重庆潼南·模拟预测）如图，和是的两条切线，、是切点，连接交于点、，连接，若，，则的长为（     ） A． B． C． D．4 【答案】A 【知识点】圆周角定理、切线的性质定理、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】题目主要考查切线的性质，等角对等边及全等三角形的判定和性质，勾股定理解三角形，根据题意得出，，，再由等角对等边确定，连接，利用全等三角形的判定和性质及勾股定理求解即可． 【详解】解：和是的两条切线， ，，， ∵， ， ， ， 连接， 是的直径， ， ， 在和中， ， ， ， 在中，，， ， ， 故选：A． 4．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在中，，其内切圆分别与相切于点D、E、F，若，，则的长为（    ） A．2 B．4 C．5 D．3 【答案】A 【知识点】应用切线长定理求解、三角形内心有关应用、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查三角形的内切圆，切线长定理、勾股定理等知识．根据切线长定理得：，再利用勾股定理列方程可得的长． 【详解】解：∵的内切圆分别与相切于点D、E、F，，， ， ， ， ， 解得：（舍）或2， 故选：A． 5．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，过点作的切线，，切点分别是，，连接．过上一点作的切线，交，于点，．若，的周长为4，则的长为（　　） A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【知识点】用勾股定理解三角形、应用切线长定理求解 【分析】本题考查切线长定理，勾股定理；利用切线长定理得出，，，再根据三角形周长等于4，可求得，从而利用勾股定理可求解． 【详解】解：∵，是的切线，切点分别是，， ∴， ∵、是的切线，切点是D，交，于点，， ∴，， ∵的周长为4，即， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 二、填空题 6．（24-25九年级上·全国·课后作业）已知，的的半径为2，圆心在上，当时，与射线的位置关系为 ． 【答案】相切 【知识点】含30度角的直角三角形、判断直线和圆的位置关系 【解析】略 7．（23-24九年级上·重庆·阶段练习）如图，，是的切线，A，B是切点，若，则 ． 【答案】 【知识点】切线的性质定理、应用切线长定理求解 【分析】本题考查了切线的性质，切线长定理，根据切线长定理得到平分，根据切线的性质得到，则利用角平分线的定义得到，然后利用互余计算出的度数． 【详解】解：，是的切线，，为切点， 平分，， ，， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 8．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，已知是的直径，切于点C，，则等于 度． 【答案】55 【知识点】切线的性质定理、等边对等角 【分析】本题考查切线的性质，等腰三角形的性质，掌握切线垂直于过切点的半径是解题的关键． 连接，根据切线的性质可得，进而求出的度数，根据等腰三角形的性质即可求解． 【详解】解：连接，如图所示， ∵切于点C， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：55． 9．（24-25九年级上·河北唐山·阶段练习）如图，分别切于点切于点C，分别交于点M，，若，则的周长是 ． 【答案】/15厘米 【知识点】应用切线长定理求解 【分析】本题考查切线长定理，掌握从圆外一点引圆的两条切线，这两条切线的长度相等是解题关键．根据切线长定理可知，，从而可求出，即可求解． 【详解】解：∵切于点C， ∴，， ∴ ． 故答案为：． 10．（2023·江苏苏州·二模）如图，在中，，，，以边的中点为圆心，作半圆与相切，点、分别是边和半圆上的动点，连接，则长的最大值与最小值的和是 ． 【答案】 【知识点】切线的性质定理 【分析】本题考查切线的性质、三角形中位线定理等知识，设与相切于点，连接，作垂足为交于，此时垂线段最短，最小值为，求出，如图当在边上时，与重合时，最大值，由此不难解决问题． 【详解】如图， 设与相切于点，连接，作垂足为交于， 此时垂线段最短，最小值为， ，，， ， ， ， ， ， ， 最小值为， 如图，当在边上时，与重合时，经过圆心，经过圆心的弦最长， 最大值， 长的最大值与最小值的和是． 故答案为：． 三、解答题 11．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，是的切线，切点分别为A、B．点C在上，过点C的切线分别交于点D、E，已知的周长20，求的长． 【答案】10 【知识点】应用切线长定理求解 【分析】本题考查了切线长定理，关键是把的周长转化为；根据切线长定理得，由此得的周长为，从而可求得结果． 【详解】解：∵是的切线， ∴； ∵过点C的切线分别交于点D、E， ∴； ∵的周长20， ∴， ∴， 即， ∴． 12．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，是的直径，直线切于点于点F，连接，且． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】与三角形中位线有关的证明、全等三角形综合问题、切线的性质和判定的综合应用、圆周角定理 【分析】（1）连接，根据直线切于点C，得出，证明，得出，即可证明是的切线； （2）延长交于点E，连接．作于点G，根据为的直径，得出．证出四边形为矩形，再证明，得出，证出矩形为正方形．延长交于点M，根据垂径定理得出，根据三角形中位线定理得出．设，则．．在中，根据勾股定理求出即可求解． 【详解】（1）解：连接， 直线切于点C， ， ， ． ， ． ， ， ， 是的切线； （2）解：延长交于点E，连接．作于点G， 为的直径， ． ， 四边形为矩形， ． 是的切线， ， ． ， ， ， 矩形为正方形． 延长交于点M， ， ， ， ． 设，则． ， ， ． 在中，， 解得：（舍去）， ． 【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的性质和判定，全等三角形的判定与性质，垂径定理，三角形中位线定理，矩形和正方形的性质和判定以及勾股定理等知识，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． 13．（24-25九年级上·北京海淀·期中）如图，在中，，D为边上的点，以为直径作，连接并延长交于点E，连接，． (1)求证：是的切线； (2)连接，若，，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2)，详见解析 【知识点】用勾股定理解三角形、证明某直线是圆的切线、直角三角形的两个锐角互余、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）连接，则，由，得，而，则，即可证明是的切线； （2）由勾股定理得，而，，所以，求得，则，如图，过点E作交于点F，利用三角形的面积公式求得的长，然后利用勾股定理即可求得的长． 【详解】（1）连接，则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的半径，且， ∴是的切线． （2）∵， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， 解得， ∴ 如图，过点E作交于点F， ∴在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴（负值舍去）， ∴， 在中， ， ∴， ∴（负值舍去）， ∴的长是． 【点晴】本题主要考查了等腰三角形的性质、直角三角形的两个锐角互余、切线的判定定理、勾股定理，三角形的面积等知识点，正确地作出辅助线是解题的关键． 14．（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，是的直径，是延长线上的一点，点在上，，交的延长线于点，交于点，且点是的中点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、证明某直线是圆的切线、根据平行线判定与性质证明、圆周角定理 【分析】（1）连接，根据同圆中，等弧所对的圆周角相等得出，根据等边对等角得出，推得，根据内错角相等，两直线平行得出，根据两直线平行，同位角相等得出，即可证明； （2）设半径为，根据勾股定理可得，据此列出方程，解方程求出即可． 【详解】（1）证明：如图，连接， 点是的中点， ∴， ， 又， ， ， ， 又于点， 于点， 为的切线． （2）解：设半径为， 在中，， ， 解得： 即的半径为． 【点睛】本题考查了圆周角性质，等边对等角，平行线的判定和性质，勾股定理，切线的判定．熟练掌握相关性质及定理是解题的关键． 15．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，为的直径，与切于点，连接，交于点， ． (1)如图，求的正切值； (2)如图，弦，连接，求证：为的切线； (3)如图，在（）的条件下，点在弧上，连接，，，求的长． 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)长为. 【知识点】切线的性质定理、用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值、应用切线长定理求解 【分析】（）设的半径是，由，则，，再由切线的性质得，通过勾股定理可得，最后由正切的定义即可求解； （）连接，证明，再根据全等三角形的性质即可求证； （）由切线长定理得，则可求出的半径为，，作于，则， 由三角函数得，则，连接交于，连接，由，，可得垂直平分，得是的中位线，设，则，，最后由勾股定理即可求解． 【详解】（1）设的半径是， ∵， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴由勾股定理得：， ∴； （2）如图，连接， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵为半径， ∴是的切线； （3）∵是的切线， ∴， 由（）知， ∴， ∴的半径为，， 如图，作于， 则， 在中，， 又∵， ∴， ∴， ∴， 连接交于，连接， 由，，可得垂直平分， ∴，， ∵， ∴是的中位线， ∴， 设，则，， ∵是的直径， ∴ ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴ ∴， ， ， ∴ 即长为. 【点睛】本题考查了解直角三角形，勾股定理，垂径定理，切线的判定与性质，垂径定理，中位线性质定理，垂直平分线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 16．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）在矩形中，，，点P从点A出发沿边以的速度向点B移动，同时，点Q从点B出发沿以的速度向点C移动，其中一点到达终点时，另一点随之停止运动．设运动时间为t秒： (1)如图1，几秒后，的面积等于？ (2)在运动过程中，若以P为圆心、为半径的与相切（如图1），求t值； (3)若以Q为圆心，为半径作． ①如图2，以Q为圆心，为半径作．在运动过程中，是否存在这样的t值，使正好与四边形的一边（或边所在的直线）相切？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由； ②如图3，若与四边形的边有三个公共点，则t的取值范围为______．（直接写出结果，不需说理） 【答案】(1)2秒或4秒 (2) (3)①0或或；② 【知识点】证明某直线是圆的切线、用勾股定理解三角形、应用切线长定理求解、切线的性质定理 【分析】（1）由题意可知，，从而得到，，然后根据的面积为列方程求解即可； （2）如图1所示：连接．依据勾股定理可求得的长，然后依据切线长定理可知，从而可求得的长，由圆的半径相等可知，然后在中依据勾股定理列方程求解即可； （3）①先判断不与，相切，然后分与相切；与相切，根据半径等于构建方程求解即可． ②先求得与四边形有两个公共点时t的值，然后可确定出t的取值范围． 【详解】（1）解：由题意知，，，则， ∵ ∴， 解得或， 故当运动时间为2秒或4秒时，的面积为； （2）解：如图1，设切点为，连接． ∵， ∴与相切， ∴分别与，相切， ∴． ∵与相切， ∴， 在中，依据勾股定理可得． ∴． ∵， ∴，． 在中，依据勾股定理可得，， 解得； （3）解∶①由题意知不与，相切， 当与相切时，设切点为E，连接， 则，， 则四边形是矩形， ∴， ∴， 解得或； 当与相切时， 则， ∴， 解得，（舍去）， 综上，当t的值为0或或时，正好与四边形的一边（或边所在的直线）相切； ②解：（Ⅰ）当时，如图4所示： 与四边形有两个公共点； （Ⅱ）如图5所示： 当经过点D时，与四边形有两个公共点，则， 得方程， 解得： （舍），， ∴当，与四边形有三个公共点． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查的是主要考查的是圆的综合应用，解答本题主要应用了三角形的面积公式、切线长定理、勾股定理、圆的性质，依据题意列出关于t的方程是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$