重庆市2024-2025学年高三上学期11月期中调研测试数学试题

11 月调研测试卷（数学）参考答案 第 1 页 共 5 页 2025 年普通高等学校招生全国统一考试 11 月调研测试卷 数学参考答案 一、单选题 1~8 CDBA BACC 7 题提示：由 2 22 2 6 9 0a ac c c      2 2( ) ( 3) 0a c c    ，则有 3a c  ， 32sin 2 2 3 b B b c c    ， 则有 2 3b  ． 8 题提示：由 2 2 2 2 2 2 2 9 3 4 48 5 6 51 a b b c c a          可解得 2 2 2 1 4 9 a b c       ，则3 2a b c  取最大值时 1, 2, 3a b c    ，所以最大值为10． 二、多选题（正确答案为两个选项的每个选项 3分，正确答案为三个选项的每个选项 2分，有选错得 0分） 9．BD 10．ABD 11．BD 11 题提示：由 3( ) 2f x x ax    得， 2( ) 3f x x a    ，当 0a  时， ( ) 0f x  ，则函数 ( )f x 为单调递减函 数，A 错误，有 3( ) 2f x x ax    ，则有 ( ) ( ) 4f x f x    ，所以函数 ( )f x 关于点 (0, 2) 成中 心对称，B 正确，若 ( )f x 关于直线 x b 对称，则有 ( ) (2 )f x f b x  ，不存在 ,a b使得上式成立， C 错误，函数 ( )f x 要有三个零点，则 2( ) 3f x x a    则有两个零点，则 0a  ，则函数 ( )f x 在 ( , ) 3 a   上递减，在 ( , ) 3 3 a a  上递增，在 ( , ) 3 a  上递减，则需要 ( ) 0 3 a f   ， ( ) 0 3 a f  ， 解得 3a  ，D 正确． 三、填空题 12． 2 5 5 （或 2 5 5  ） 13．1 14．3 14 题提示：由题意， ( ) sinf x a x 的零点为 x k ，而 ( ( )) sin( sin )y f f x a a x  的零点为 sin( sin ) 0a a x  的解，则有 sin sin ( 0) k a x k x a a     ，因为 ( ( ))y f f x 的零点与 ( )f x 的零点相同，则当 4a  ， aZ ， 1k  时， sin 1 k x a    ，则会存在其他的 x 满足，即有其他零点，所以 a 的最大 值为3． 11 月调研测试卷（数学）参考答案 第 2 页 共 5 页 四、解答题 15．（13 分） 解：（1）设等差数列的首项公差分别为 1a ， d ， 由题意， 1 1 19 8 2( 7 )a d a d a d     ，有 1 15 2 a d  ，则 0d  又 1 1 1( 5 )( 6 ) 0a a d a d    ，将 1 15 2 a d  代入解得 2d  ，所以 1 15a   ， 则由 1 ( 1)na a n d   ，有 2 17na n  ． ……7 分  （2）由 2 21 ( ) ( 15 2 17) 16 ( 8) 64 2 2 n n n a a n n S n n n            所以当 8n  时， nS 取得最小值，即 min( ) 64nS   ． ……13 分 16．（15 分） 解：（1）当 0a  时， 2( ) 2 | |f x x x  ， 2 2( ) ( ) | | 2 | | ( )f x x x x x f x        ，此时 ( )f x 为偶函数． ……2 分 当 0a  时， 2( ) 2 | |f x x x a   ， 2( ) 4 | |f a a a  ， 2( )f a a  ， 若 ( )f x 为偶函数，则 ( ) ( )f a f a  ，得 0a  ，矛盾 若 ( )f x 为奇函数，则 ( ) ( ) 0f a f a   ，即 22 4 | | 0a a  ，得 0a  ，矛盾 综上， 0a  时， ( )f x 为偶函数； 0a  时， ( )f x 既不是奇函数也不是偶函数．……6 分 （2） 2 2 2 2 2 2 ( 1) +2 1 ( ) 2 2 ( 1) 2 1 x x a x a x a f x x x a x a x a                  当 当 ， 若 1a  ，则 1a   ，当 ( 1,1)x  时， 2( ) 2 2f x x x a   单调递增， ……9 分 若 1 1a   ，则 1 1a    ，当 ( 1, )x a   时， 2( ) 2 2f x x x a   单调递减， 当 ( ,1)x a  时， 2( ) 2 2f x x x a   单调递增， ……12 分 若 1a   ，则 1a  ，当 ( 1,1)x  时， 2( ) 2 2f x x x a   单调递减， 综上，a 的取值范围为 ( , 1] [1, )   ． ……15 分 17．（15 分） 解：（1）由题意有 sin 2sin 2cos cos cos 2sin 2cos sin B A B A B B A A       2 22sin 2cos sin sin sin 2sin cos 2cos cos cosB A B A B A B B A B      11 月调研测试卷（数学）参考答案 第 3 页 共 5 页 2 22(sin cos ) 2(sin cos cos sin ) (cos cos sin sin )B B A B A B A B A B      2 2sin( ) cos( )A B A B     2 cos 2sinC C  即 1 sin 1 cos 2 C C  ，得证． ……7 分 （2）由已知 3 A B    ，得 2 0 3 C    ， 1 cos ( ,1) 2 C  由 1 sin 1 cos 2 C C  得， 2 2 1 sin 1 cos cos 4 C C C    2 5 cos cos 0 4 C C  则有 cos 0C  或 4 1 cos 5 2 C     （舍），所以 2 C   ，则有 2 2 2 4AC BC AB   ， 又 2 21 1 1 sin 1 2 2 2 2ABC AC BC S AC BC C AC BC         △ ， 所以 max( ) 1ABCS △ ． ……15 分 18．（17 分） 解：（1）当 1a  时， ( ) ( 1) lnf x x x x   ， 1( ) lnf x x x    ， (1) 1f   ， (1) 1f   从而点 (1, (1))f 处的切线方程为 2y x  ． ……4 分 （2）函数 ( )f x 有两个极值点，则 ( ) ln 0 a f x x x     有两个不等正根， 令 2 2 1 ( ) ln , ( ) , a a x a g x x g x x x x x      ①当 0a  时， ( ) 0g x  ， ( )g x 单调递增， (1) 0g a  ， ( ) (1 )a a ag e a ae a e       由 0, 1aa e   ，所以 ( ) 0ag e  ，所以存在 0x 使得 0(0, )x 上 ( ) 0g x  ， 0( , )x  上 ( ) 0g x  ，即 ( )f x 在 0(0, )x 上单调递减，在 0( , )x  上单调递增， 此时 ( )f x 有唯一极值点．不满足题意 ……7 分 ②当 0a  时， (0, )a 上 ( )g x 递减， ( , )a  上 ( )g x 递增， ( ) ln 1g a a  i．当 1 a e  ，即 ln 1 0a   时， ( ) 0g x  ， ( )f x 单调递增，无极值点．不满足题意 ii．当 1 0 a e   时， ( ) ln 1 0g a a   ，由 ln 1x x x   ， 1 1 ln a a  ，即 1 ae a   1 1 1 2 1 1 ( ) ( )a a ag e ae a e a a       ，令 2( ) ,xh x e x x e   ， ( ) 2 , ( ) 2x xh x e x h x e     11 月调研测试卷（数学）参考答案 第 4 页 共 5 页 可知 ( )h x 单调递增，从而 2( ) ( ) 0eh x h e e e    ，所以 1 ( ) 0ag e   ， 从而存在 1 (0, )x a ，使得 1( ) 0g x  ． 又 1 1 11 ( ) 0,a a ag e ae e a a      ，所以存在 2 ( , )x a  ，使得 2( ) 0g x  ， 此时 ( )f x 有两个极值点，满足题意 综上，所以 1 0 a e   ． ……11 分 （3）由（2） 1 1 ln 0 a x x   ，即 1 1lna x x  有 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1( ) ( ) ln ( ln ) ln ((ln ) ln 1) 0f x x a x x x x x x x x x x           1 1 1 11 1 ( ) ( ) ( 1) 1a a a af e e a e e a a       ，令 ( ) ( 1) 1,xt x x e x e    由 1xe x  ，所以 2( 1) 1 ( 1)( 1) 1 0xx e x x x        ，所以 1 ( ) 0af e  所以 ( )f x 仅有一个零点． ……17 分 19．（17 分） 解：（1）若 1 (0,1)a  ，则 1[ ] 0a  ， 2a 不存在，不符合题意， 若 1 [1,2)a  ，则 1[ ] 1a  ， 2 1 1 1 [ ] a a   ，从而 1na  ，符合题意， 若 1 2a  ，设 1 1k a k   ， 2k  ， Nk  ， 则 2 1 1 1 [ ] a a k   ， 2[ ] 0a  ， 3a 不存在，不符合题意， 综上， 1 [1,2)a  ……5 分 （2）①由题意知 na N ，且 1 2 3 na a a a     ， 从而 2 1 12n n n na a a a     ，即 2 1 1 2n n a a     ，则 2 2 1 1 1 1n n n n n n a a a a a a         ， 所以 50 3 51 50 49 504 1 2 2 2 3 50 2 3 50 50 1 2 2 a a a a a aa a a a a a a a a a a                        由 1 2 3 4 51, 2, 3, 5, 8,a a a a a     知 50a 为偶数， 11 月调研测试卷（数学）参考答案 第 5 页 共 5 页 所以 50 50 2 2 a a a       ， 则 50 50 1 50 3 514 4 4 4 22 2 2 3 50 log log logk k k a a a a aa a a a a a a                      504 4 50 1 1 1 log log 2 2 2 a a         ……11 分 ②若 0ka  ，则 1n k   ， 0na  ， 若 0ka  ，则 22 2 2 2 1 [ ] [ ]k k n k ka a a a a     ， 又 21a m ，m N ， 从而 0k  N ，且 0k m ，使得 0 2 0ka  ， 此时，对 0n k  ， 0na  ，得证． ……17 分 2025年普通高等学校招生全国统一考试 1 1月调研测试卷 数学 数学测试卷共 4 页， 满分 150 分。 考试时间 120 分钟。 注意事项： 1. 答题前， 考生务必将自己的准考证号、 姓名、 班级填写在答题卡上。 考生要认真核对答题卡上粘贴的条 形码的 “ 准考证号、 姓名、 考试科目” 与考生本人准考证号、 姓名是否一致。 2. 回答选择题时， 选出每小题答案后， 用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑， 如需改动， 用橡 皮擦干净后， 再选涂其他答案标号。 回答非选择题时， 用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作 答。 若在试题卷上作答， 答案无效。 3 、 考试结束， 考生必须将试题卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 I. 已知 i 为虚数单位， z=—， 则lzl= 1+2i A. - B. - $－ 5 c 五 3 D 2. 已知集合 M={O, 1, 2, 3, 4, 5}, N={xl(x+l)(x-3)::S;O}, 则M门 N= A. {3} B. {2, 3} C. {l, 2, 3} D. {O, 1, 2, 3} 3. 已知 a>b, c<d<O, 则 A. a+c>b+d B. a+c 2 > b+d2 C. ac>bd 1 1 4. 已知数列饥｝满足： a1 = 3, —-+ 一 = 1, 则 a6 =a n a n+I 3 2 C. 2A. B. 2 3 D. ac2 >bd2 D. 3 5. 已知平面上的两个向量 a, b 满足(a-b)·(a+2b) =a•b =矿， 则< a, h >= 冗 一 6 ． A 冗 一 4 ． B 冗 一 3 ． c 冗 － 2 ． D 6. 已知实数 a>0, 且 a=t:-1, 若函数I(x) =ax + log a X在(1, 2) 上存在零点， 则 A. a2 +log a 2<0 C. a4 +log a 2>0 B. a2 -log2 a < 0 D. a -Iog a 2 < 0 11月调研测试卷（数学）第1页 共4页