函数定义域、解析式、值域归类总结讲义-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

想，都是问题 做，才有答案 函数定义域求法归类总结 【题型一】具体函数定义域：偶次根号下一元一次型 【典型例题】 1．已知函数，则函数的定义域为（　　） A． B． C． D． 2．函数的定义域为（      ） A． B． C． D． 【针对练习】 1．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 2．函数=的定义域是（    ） A． B．{或} C． D． 3．函数=-的定义域是（    ） A． B． C． D． 【题型二】具体函数定义域：偶次根号下一元二次型 【典型例题】 1．函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 2．若函数与函数是同一个函数，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【针对练习】 1．函数的定义域是（    ） A． B． C．且 D．以上都不对 2．函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【题型三】具体函数定义域：0次幂型 【典型例题】 1．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 2．函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 3． 函数的定义域为 【针对练习】 1．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 2．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【题型四】具体函数定义域：绝对值型 【典型例题】 1．函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 2．若函数的定义域为集合M，则（    ） A． B． C． D． 3．函数的定义域为 ． 4．函数的定义域为 ． 【针对练习】 1． 求函数的定义域为 ． 2．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 3．的定义域为（    ） A． B． C． D． 【题型五】具体函数定义域：分式型 【典型例题】 1．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【针对练习】 2．函数，的定义域为（    ） A． B． C． D． 3．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【题型六】抽象函数： 【典型例题】 1．若函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 2．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 3．已知函数，则函数的定义域为（     ） A． B． C． D． 4．已知函数，，则函数的定义域为 ． 【针对练习】 1．函数的定义域是，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 2．若函数的定义域是，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 3．若函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A．(0，1) B．(1，2) C．∪ D．(1，3) 4．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【题型七】抽象函数： 【典型例题】 1．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（      ） A． B． C． D． 2．若函数的定义域是，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 3．若函数的定义域为，则函数 的定义域为（   ） A． B． C． D． 4．已知函数的定义域为 则的定义域为 【针对练习】 1．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 2．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 3．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【题型八】抽象函数： 【典型例题】 1．若函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 2．已知的定义域为，则的定义域为    （    ） A． B． C． D． 3．已知函数的定义域为， 则函数的定义域为 【针对练习】 1．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 2．已知函数的定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 3．已知的定义域为[0，3]，则f(x)的定义域 ． 【题型九】抽象函数： 【典型例题】 1．已知函数的定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 2．已知的定义域为[0，3]，则的定义域是（    ） A． B． C． D． 3．函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【针对练习】 1．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 2．函数 的定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 3．已知函数定义域为，则定义域是（    ） A． B． C． D． 【题型十】抽象函数： 【典型例题】 1．若函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 2．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 3．已知函数的定义域为，设函数，则函数的定义域是 ． 4．已知函数的定义域为，求函数的定义域 ． 【针对练习】 1．若函数的定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 2．已知函数的定义域为（﹣3，4），则函数的定义域为（　　） A．（，4） B．[，4） C．（，6） D．（，2） 3．已知函数的定义域是，则的定义域是（    ） A． B． C． D． 【题型十一】抽象函数： 【典型例题】 1．函数的定义域为，则的定义域为 ． 2．函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 3．已知函数的定义域是[0,2]，则函数的定义域是（    ） A．{1} B．[1,2] C．[1,3] D．[2,3] 4．已知函数的定义域为，则函数的定义域是（　　） A． B． C． D． 【针对练习】 1．已知函数的定义域是，则的定义域是 2．已知函数f（3x+2）的定义域是（–2，1），则函数f（x2）–f（x+）的定义域为 ． 3．若函数的定义域为，则的定义域为 ． 【题型十二】定义域是R型恒成立求参 【典型例题】 1．若函数的定义域为R．则实数a取值范围为 ． 2．已知的定义域为，则实数的取值范围是 ． 3．若函数的定义域为，则的取值范围为 ． 4．函数在上有意义，则实数a的取值范围为 ． 5．已知函数． (1)若的定义域为[－2,1]，求实数a的值；(2)若的定义域为R，求实数a的取值范围． 【针对练习】 1．已知函数的定义域为，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．若函数的定义域为R，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．若函数的定义域为，则实数的取值范围是 ． 4．已知函数的定义域为，则实数k的取值范围为（    ） A．或 B． C． D． 5．已知函数的定义域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．已知函数的定义域为，则实数的取值范围 ． 【题型十三】绝对值型定义域R求参数 【典型例题】 1．设函数，若函数的定义域为，则实数的取值范围是 ． 2．若函数的定义域为，则实数的取值范围为 ． 3．若函数的定义域为R，则a的取值范围是 ． 【针对练习】 1．设函数，若的定义域为，则实数的取值范围 ． 2．若函数的定义域为，则实数a的取值范围为 ． 3．设函数． (1)当时，求函数的定义域；(2)若函数的定义域为，试求实数的取值范围． 【题型十四】抽象函数：含参数型 【典型例题】 1．已知函数的定义域为，则在时的定义域为（    ） A． B． C． D． 2．若函数的定义域是，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 3．函数的定义域为,且,则的定义域是 ． 【针对练习】 1．若函数定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 2．已知函数的定义域为，若有定义，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 函数值域求法归类总结 【题型一】直接法 【典型例题】 1．函数的值域为 ． 2．函数的定义域是，值域为 ． 【针对练习】 1． 已知函数的值域为，则函数的定义域为 ． 2． 已知函数的定义域为，则函数值域为 ． 3． 函数，的值域为 ，函数，的值域为 ． 4． 已知函数的定义域为，则其值域为（    ） A． B． C． D． 【题型二】配方法 【典型例题】 1． 求二次函数在区间上的值域． 2．函数的值域为 【针对练习】 1． 已知函数．（1）求函数的定义域和值域；（2）分别求，， 2．已知二次函数，求函数在时的值域． 【题型三】反比例型函数的值域 【典型例题】 1． 若函数的值域是，则此函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【针对练习】 1． 函数的值域是 ． 2． 若函数的值域是，则此函数的定义域为 ． 3． 用平移图像的方式作出的图像，并说明函数的值域． 【题型四】简单根号函数 【典型例题】 1． 函数，，则的值域是（    ） A． B． C． D． 【针对练习】 1． 下列函数中，值域为的是（    ） A． B． C． D． 【题型五】双根号函数平方法 【典型例题】 1． 函数的值域为 2．求函数的值域． 【针对练习】 1．求函数的值域． 2．求函数的值域． 3． 函数的值域为 ． 4． 函数的值域为（    ） A． B． C． D． 5． （多选）已知函数，，则下列说法中正确的是（    ） A．函数的定义域为 B．函数的值域为 C．函数的最大值为2 D．函数在上单调递增 6．已知函数．(1)求函数的值域； (2)已知a为实数，函数的最大值为，求． 【题型六】换元法 【典型例题】 1．求函数的值域． 2．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 3．求函数的值域为 ． 4．函数的值域为 ． 5．当时，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【针对练习】 1． 函数的值域为（    ） A． B． C． D． 2．求函数的值域； 3．的最大值是（    ） A． B．2 C． D．4 4．函数在区间上的值域为 ． 5．函数，的值域为　　 A． B． C． D． 6． 已知函数．(1)求函数的定义域；(2)求函数的值域． 7． 已知函数．求函数的值域。 【题型七】分式型——分离常数法 【典型例题】 1．求下列函数的值域 2．求函数的值域； 3．已知函数，，则的值域为（    ） A． B． C． D． 4．函数的值域为 ． 5．（多选）世界公认的三大著名数学家为阿基米德、牛顿、高斯，其中享有“数学王子”美誉的高斯提出了取整函数，表示不超过x的最大整数，例如．已知，，则函数的值可能为（       ） A．0 B．1 C．2 D．3 【针对练习】 1． 函数的值域为 ． 2．函数 的值域为 ． 3． 函数的值域为 ． 4．函数的值域为 ． 5．已知函数的，则其值域为 ． 6．函数的值域为 ． 【题型八】分式型——基本不等式（对勾函数）法 【典型例题】 1．函数的值域是（    ） A． B． C． D． 2．若函数的最大值为，最小值为，则（    ） A．3 B．2 C．1 D．0．5 3． 求函数的值域． 4．已知函数，当时，值域为 ；当时，值域为 ． 【针对练习】 1． 已知，则函数的值域为 ． 2．当时，求函数的最小值． 【题型九】分式型——判别式法 【典型例题】 1．函数的值域是 ． 2．求函数的值域； 【针对练习】 1．求函数的值域； 2．函数的值域为（    ） A． B． C． D．以上答案都不对 3． 已知，求函数的值域． 4．求函数的值域：． 5．函数的值域是 ． 【题型十】含有绝对值函数的值域 【典型例题】 1．函数的值域为 ． 【针对练习】 1． 已知函数． (1)用分段函数的形式表示函数；(2)画出函数的图象，并写出函数的值域． 2．设函数。  (1)将函数写成分段函数；(2)画出函数的图像；(3)写出函数的定义域和值域． 3．已知函数，则函数的值域为 ；记函数的值域为M，若，则的最小值为 ． 4． 函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【题型十一】分段函数的值域 【典型例题】 1． 设函数，．(1)求的值；(2)求的值域． 【针对练习】 1． (1)已知函数，则函数的定义域为 ，值域为 ． (2)若定义运算，则函数的值域是 ． 2． 已知函数 (1)在直角坐标系内画出的图象；(2)根据函数的图象写出函数的单调区间和值域． 3． 已知函数．若，求实数等于 ；函数在区间上值域 ． 【题型十二】抽象函数的值域 【典型例题】 1．函数的定义域为，值域为，那么函数的定义域和值域分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 2．已知函数的定义域为，值域为R，则（       ） A．函数的定义域为R B．函数的值域为R C．函数的定义域和值域都是R D．函数的定义域和值域都是R 3． 若函数的值域是，则函数的值域是 ． 4． 若函数的值域是，则函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【题型十三】图像法求函数值域 【典型例题】 1．函数的值域为_____． 2．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，，已知函数，则对函数的值域为 3．定义为中的最小值，设，则的最大值是_____． 4．【多选】设表示，两者中较小的一个，表示，两者中较大的一个．若函数在上有最大值，则（    ） A．在上的最大值为2 B．在上的最大值为 C．的取值范围为 D．的取值范围为 【针对练习】 1．对任意，函数，则的最小值为(　　 ) A． 2 B． 3 C． 4 D． 5 2．函数的值域为_____． 3．若函数与的值域相同，但定义域不同，则称和是“同象函数”，已知函数，，则下列函数中，与是“同象函数”的有（       ） A．， B．， C．， D．， 4． 已知函数，函数的最大值为________．最小值为________． 5．对，记，函数f(x)＝max{|x＋1|，|x－2|}(x∈R)的最小值是________． 【题型十四】根据值域求参数的值或范围 【典型例题】 1．已知函数，且该函数的值域为，则的值为 ． 2．已知函数的值域为，则常数 ． 3．已知函数的值域为，则的值为 ． 4．若函数的定义域为，值域为，则的取值范围是（       ） A． B． C． D． 5．若函数的定义域和值域都是，则（       ） A．1 B．3 C． D．1或3 6．设的值域为，则实数的值组成的集合是___________． 【针对练习】 1．已知函数在上的值域为，则实数m的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【题型十五】根据值域求定义域 【典型例题】 1．已知函数的值域是，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 函数解析式的求法归类总结 【题型一】一次函数待定系数法求解析式 【典型例题】 1．已知函数是一次函数，且，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 2．一次函数满足，且，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【针对练习】 1．已知一次函数满足，，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 2．f(x)为一次函数，且f(1)=2，f(2)=5，则f(x)的解析式为 ． 3．若一次函数，随的增大而减小，当时，，则它的解析式为 A． B． C．或 D．以上都不对 【题型二】一次函数复合型求解析式 【典型例题】 1．已知一次函数满足，则解析式为（    ） A． B． C． D． 2．设为一次函数，且．若，则的解析式为（    ） A．或 B． C． D． 【针对练习】 1．一次函数g(x)满足g[g(x)]=9x+8，则g(x)的解析式是（    ） A．g(x)=9x+8 B．g(x)=3x-2 C．g(x)= -3x-4或g(x)=3x+2 D．g(x)=3x+8 2．若一次函数满足：对任意都有，则的解析式为 ． 3．已知函数是一次函数，且，则一次函数的解析式为 ． 4．已知函数为一次函数，且，若，则函数的解析式为 ． 【题型三】 二次函数待定系数法求解析式 【典型例题】 1．已知是二次函数，且，，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【针对练习】 1．已知是二次函数且满足，则函数的解析式为 ． 【题型四】 抽象函数求解析式：常规换元型 【典型例题】 1．若函数满足，则的解析式是（    ） A． B． C． D． 2．已知函数满足：对任意的，都有，则的解析式为 ． 3．若，且，则（    ） A．3 B． C． D． 4． 已知函数，则（    ） A． B． C． D． 5． 已知函数，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【针对练习】 1．已知，则（　　） A． B． C． D． 2．已知函数，则 （    ） A． B． C． D． 3．已知函数满足，则（    ） A． B． C． D． 【题型五】抽象函数求解析式：凑配型 【典型例题】 1．已知，则等于（　　　　） A． B． C． D． 2．已知，则 【针对练习】 1．已知，则（    ） A．6 B．3 C．11 D．10 2．已知函数，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 3．已知函数，则（    ）． A． B．4 C． D． 【题型六】抽象函数求解析式： 限制定义域型 【典型例题】 1．已知，则 ． 2．已知，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【针对练习】 1．已知函数，则（    ） A． B． C． D． 2．已知函数，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 3．已知＝x+3，则f（x）=（    ） A．x2+2（x0） B．x2+4（x1） C．x2+4（x0） D．x2+2（x1） 【题型七】抽象函数求解析式：函数方程型 【典型例题】 1．已知，则 ． 2． 已知满足，则解析式为 ． 3．定义在R上的函数满足，则 ． 4．若函数的定义域为，且，则的最大值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【针对练习】 1．若对于任意实数都有,则（    ） A．3 B．4 C． D． 2． 已知函数对定义域内的任意实数满足，则 ． 3．已知函数满足，则（    ） A．的最小值为2 B． C．的最大值为2 D． 4．已知函数f(x)满足f(x)＋2f(3－x)＝x2，则f(x)的解析式为（    ） A．f(x)＝x2－12x＋18 B．f(x)＝－4x＋6 C．f(x)＝6x＋9 D．f(x)＝2x＋3 分段函数求值归类总结 【题型一】分段函数求值 【典型例题】 1．已知函数，，当时，，的值分别为（    ） A．1，0 B．0，0 C．1，1 D．0，1 2．设函数，的值为（    ） A． B． C． D． 3．已知函数，则的值为（    ） A． B．2 C．3 D．4 【针对练习】 1．设，则（    ） A． B．0 C． D． 2．已知函数，则 （ 　） A．4 B．3 C．2 D．1 3．已知函数，则（     ） A．0 B．1 C． D． 【题型二】“类周期”型分段函数求值 【典型例题】 1．若函数则（    ） A．10 B．9 C．12 D．11． 2．已知，则（    ） A． B． C． D． 【针对练习】 1．已知函数则（    ） A． B． C． D． 2．已知函数，如果对任意的，定义，那么的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．若函数，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．16 【题型三】分段函数求参数 【典型例题】 1．已知函数，若，实数（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．已知函数，若，则（    ） A． B． C． D．3 3．设函数若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【针对练习】 1．已知函数若，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 2．设函数，若，则实数（    ） A． B．1 C． D．2 3．已知函数，若，则实数的值等于（    ） A． B． C．1 D．3 【题型四】解分段函数不等式 【典型例题】 1．设函数,则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．已知，满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．若函数对任意，都有，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．已知函数 (1)求,,的值;(2)若,求实数的值;(3)若,求实数的取值范围． 5．已知函数，(1)求，；(2)若，求实数a的取值范围． 【针对练习】 1．设函数，若，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 2．已知，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 3．已知函数f（x）=，若不等式f（ax-1）<f（x-2）在[3，4]上有解，则实数a的取值范围是（    ） A．（0，） B．（-，） C．（0，） D．（-，） 4． 已知函数．(1)求，，的值；(2)若，求m的值；(3)求不等式的解集． 【题型五】函数图像解方程 【典型例题】 1．若方程在区间有解，则函数图象可能是（    ） A． B． C． D． 2．定义域和值域均为（常数a>0）的函数和大致图象如图所示，给出下列四个命题：①方程有且仅有三个解；②方程有且仅有三个解；③方程有且仅有九个解；④方程有且仅有一个解．那么，其中一定正确的命题是（ ） A．①② B．②③ C．①④ D．②④ 【针对练习】 1．已知函数y=f（x）和y=g（x）在[-2，2]的图像如图所示，给出下列四个命题：①方程f[g（x）]=0有且仅有6个根；②方程g[f（x）]=0有且仅有3个根；③方程f[f（x）]=0有且仅有5个根；④方程g[g（x）]=0有且仅有4个根；其中正确的命题是 2．定义域和值域均为(常数)的函数和的图象如图所示，则方程解的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 一 学科网（北京）股份有限公司 $$想，都是问题 做，才有答案 函数定义域求法归类总结 【题型一】具体函数定义域：偶次根号下一元一次型 【典型例题】 1．已知函数，则函数的定义域为（　　） A． B． C． D． 【详解】由有意义可得，化简可得，所以函数的定义域为． 故选：D． 2．函数的定义域为（      ） A． B． C． D． 【详解】由题意可知：且，解得所以定义为，故选：D 【针对练习】 1．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【详解】由题意可得：，解得．故选：D． 2．函数=的定义域是（    ） A． B．{或} C． D． 【详解】由题设可得，解得且，故定义域为：，故选：D． 3．函数=-的定义域是（    ） A． B． C． D． 【详解】由函数f(x)有意义，得解得-<x<1，即函数f(x)的定义域是 (-，1)．故选：C 【题型二】具体函数定义域：偶次根号下一元二次型 【典型例题】 1．函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【详解】要使得函数有意义，则，且，解得，且，即定义域为．故选：C． 2．若函数与函数是同一个函数，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【详解】由且，根据同一函数的性质可知的的定义域为，故选：C． 【针对练习】 1．函数的定义域是（    ） A． B． C．且 D．以上都不对 【详解】由题意知, 且,即且,解得且,故的定义域为且．故选:． 2．函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【详解】函数的定义域满足：，解得．故选：C 【题型三】具体函数定义域：0次幂型 【典型例题】 1．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【详解】要使函数有意义，则，解得且，因此，函数的定义域为．故选：C． 2．函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【详解】要使得函数有意义，则，且，解得，且，即定义域为．故选：C． 3． 函数的定义域为 【详解】由题可得，解得且；的定义域为：．故答案为：． 【针对练习】 1．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【详解】由题意可得，解得且，即函数的定义域为．故选：D 2．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【详解】由函数有意义，得 ，解得且，所以原函数的定义域是．故选：B 【题型四】具体函数定义域：绝对值型 【典型例题】 1．函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【详解】由题意可得：，解得：且，所以原函数的定义域为，故选：C． 2．若函数的定义域为集合M，则（    ） A． B． C． D． 【详解】由已知得，解得且，即函数的定义域为集合．故选：D． 3．函数的定义域为 ． 【详解】要使有意义，则，解得，且；即，且，所以的定义域为．故答案为： 4．函数的定义域为 ． 【详解】因为函数，满足，即，函数的定义域为．故答案为：． 【针对练习】 1． 求函数的定义域为 ． 【详解】解：由题意得，解得，所述 2．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【详解】解：函数满足解得且所以函数的定义域为：故选：D． 3．的定义域为（    ） A． B． C． D． 【详解】依题意或，解得或．所以的定义域为．故选：D 【题型五】具体函数定义域：分式型 【典型例题】 1．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【详解】函数的定义域满足：，，解得．故选：D 【针对练习】 2．函数，的定义域为（    ） A． B． C． D． 【详解】由已知得，解得且，所以得定义域为，故选:A． 3．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【详解】由题意可得，，解得，且，即定义域为，故选：B 【题型六】抽象函数： 【典型例题】 1．若函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【详解】因为函数的定义域为，所以，解得，所以函数的定义域为．故选：A． 2．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【详解】解：因为函数的定义域为，所以，，即，解得， 所以，函数的定义域为故选：C 3．已知函数，则函数的定义域为（     ） A． B． C． D． 【详解】由，解得，所以的定义域为．令，则，所以的定义域为．故选：D 4．已知函数，，则函数的定义域为 ． 【详解】解法1：由函数，则满足，可得，即函数的定义域为， 对于函数，令，即，解得，即函数的定义域为．解法2：由，，可得， 令，解得，所以的定义域为．故答案为：． 【针对练习】 1．函数的定义域是，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【详解】的定义域是，得，故或，所以函数的定义域为．故选：C． 2．若函数的定义域是，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【详解】若函数的定义域是，则，解得：，故函数的定义域是， 故选：B． 3．若函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A．(0，1) B．(1，2) C．∪ D．(1，3) 【详解】因为函数y=f(x)的定义域为{x|0<x<1}，则对于函数y=f(|2x-3|)，应有0<|2x-3|<1，即-1<2x-3<1，且2x-3≠0，求得1<x<2，且x≠，所以函数y=f(|2x-3|)的定义域为∪故选：C 4．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【详解】设，由函数的定义域为，得函数的定义域为，即，因此，解得．故选：D． 【题型七】抽象函数： 【典型例题】 1．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（      ） A． B． C． D． 【详解】因为函数的定义域为，所以满足，即，又函数有意义，得，解得，所以函数的定义域为．故选：C 2．若函数的定义域是，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【详解】函数的定义域是满足，即，又分母不为0，则，所以函数的定义域为：故选：C． 3．若函数的定义域为，则函数 的定义域为（   ） A． B． C． D． 【详解】解：因为函数的定义域为，对于函数，则，解得，即函数的定义域为．故选：C 4．已知函数的定义域为 则的定义域为 【详解】由已知，的定义域为，所以对于需满足,解得故答案为：． 【针对练习】 1．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【详解】函数的定义域为，即，则，所以对于，有，解得，即的定义域为；由解得，所以的定义域为．故选：A 2．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【详解】因为函数的定义域为，所以由函数有意义可得且，解得，所以的定义域为．故选：A． 3．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【详解】∵函数的定义域为，∴根据抽象函数定义域的求法，得，解得又，即∴函数的定义域为．故选：C． 【题型八】抽象函数： 【典型例题】 1．若函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【详解】由题意得，故，故函数的定义域为．故选：D 2．已知的定义域为，则的定义域为    （    ） A． B． C． D． 【详解】因为的定义域为，所以，所以，所以的定义域为．故选：C 3．已知函数的定义域为， 则函数的定义域为 【详解】令，由得：，所以，即，所以，函数的定义域为．故答案为： 【针对练习】 1．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【详解】因为函数的定义域为，所以，所以，所以函数的定义域为．选D． 2．已知函数的定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【详解】因为的定义域为，所以，所以的定义域为．故选：C． 3．已知的定义域为[0，3]，则f(x)的定义域 ． 【详解】因为，所以函数f(x)的定义域是．故答案为： 【题型九】抽象函数： 【典型例题】 1．已知函数的定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【详解】∵函数的定义域为，即，∴，又∵，解得，∴的定义域为,故选：． 2．已知的定义域为[0，3]，则的定义域是（    ） A． B． C． D． 【详解】∵的定义域为，∴，∴，在中，解得，所以函数的定义域为．故选：B 3．函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【详解】函数的定义域为，即，故，．，解得．故选：D． 【针对练习】 1．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【详解】设，则，因为函数的定义域为，所以当时，有意义，所以，故当且仅当时，函数有意义，所以函数的定义域为， 由函数有意义可得，所以，所以函数的定义域为，故选：D． 2．函数 的定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【详解】解：因为函数 的定义域为所以即所以解得：所以的定义域为故选：D． 3．已知函数定义域为，则定义域是（    ） A． B． C． D． 【详解】因为函数定义域为，即所以 故在中，有 所以，则定义域为故选：C 【题型十】抽象函数： 【典型例题】 1．若函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【详解】由函数的定义域为，即，得，因此由函数有意义，得，解得，所以函数的定义域为．故选：D 2．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【详解】函数的定义域为，则，因此在中，，函数有意义，必有，解得，所以函数的定义域为．故选：C 3．已知函数的定义域为，设函数，则函数的定义域是 ． 【详解】因为函数的定义域为，所以，即，解得 故函数，则函数的定义域是故答案为： 4．已知函数的定义域为，求函数的定义域 ． 【详解】的定义域为， 所以的定义域为； 函数有意义，则，解得或所以的定义域为：． 【针对练习】 1．若函数的定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【详解】由题意可知，所以，要使函数有意义，则解得．故选：D 2．已知函数的定义域为（﹣3，4），则函数的定义域为（　　） A．（，4） B．[，4） C．（，6） D．（，2） 【详解】由函数的定义域为，即，得，所以定义域为，又，，取交集得的定义域为，．故选：C． 3．已知函数的定义域是，则的定义域是（    ） A． B． C． D． 【详解】因为函数的定义域是，所以，即．所以函数的定义域为，．要使有意义，需满足：，解得，即的定义域为．故选：D． 【题型十一】抽象函数： 【典型例题】 1．函数的定义域为，则的定义域为 ． 【详解】因为函数的定义域为，对于函数，则有，解得．因此，函数的定义域为．故答案为： 2．函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【详解】由的定义域为，可知的定义域为，即，则函数满足，即，解得，所以函数的定义域为．故选：A． 3．已知函数的定义域是[0,2]，则函数的定义域是（    ） A．{1} B．[1,2] C．[1,3] D．[2,3] 【详解】因为函数的定义域是，所以函数的定义域为，若要使有意义，则，解得．所以函数的定义域是．故选：C． 4．已知函数的定义域为，则函数的定义域是（　　） A． B． C． D． 【详解】的定义域为，，的定义域为则的定义域为，且故选：D． 【针对练习】 1．已知函数的定义域是，则的定义域是 【详解】解：的定义域是，；；；的定义域为，；要使有意义，则：；解得；原函数的定义域是．故答案为：． 2．已知函数f（3x+2）的定义域是（–2，1），则函数f（x2）–f（x+）的定义域为 ． 【详解】∵函数f（3x+2）的定义域是（–2，1），即–2<x<1，∴–4<3x+2<5，∴函数f（x）的定义域为（–4，5），由，解得．∴函数f（x2）–f（x+）的定义域为（）． 故答案为（–，）． 3．若函数的定义域为，则的定义域为 ． 【详解】∵的定义域为，∴，∴解得∴，故函数的定义域为．故答案为：． 【题型十二】定义域是R型恒成立求参 【典型例题】 1．若函数的定义域为R．则实数a取值范围为 ． 【详解】由题得的解集为R,当时，6≥0恒成立，所以a=1满足题意； 当a=-1时，x≥-1,不满足题意；当时，且，所以． 综合得．故答案为： 2．已知的定义域为，则实数的取值范围是 ． 【详解】∵函数的定义域为R，∴﹣mx2+6mx+m+10>0恒成立，当m＝0，10>0恒成立；当m≠0时，有解不等式可得，，综上可得故答案为． 3．若函数的定义域为，则的取值范围为 ． 【详解】∵函数的定义域为，∴恒成立． 当时，，当时不等式恒成立，当时，无意义；当时，解得．综上所述，的取值范围为．故答案为 4．函数在上有意义，则实数a的取值范围为 ． 【详解】由题意函数在上有意义，即在上恒成立，即在上恒成立，令，则，解得，故实数a的取值范围为，故答案为： 5．已知函数． (1)若的定义域为[－2,1]，求实数a的值；(2)若的定义域为R，求实数a的取值范围． 【详解】（1）命题等价于不等式的解集为，显然，如图．   且、是方程的两根，，解得：．（2）①若，即，当时，，定义域为R，满足题意；当时，，定义域不为R，不满足题意；②若，为二次函数，定义域为R，对恒成立，；综合①、②得a的取值范围． 【针对练习】 1．已知函数的定义域为，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【详解】因为函数定义域为R，所以在R上恒成立，当时，满足要求，当时，要满足，解得：，综上：．故选：B 2．若函数的定义域为R，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【详解】函数的定义域为R，可知的解集为R，若，则不等式为恒成立，满足题意；若，则，解得．综上可知，实数k的取值范围是． 故选：B． 3．若函数的定义域为，则实数的取值范围是 ． 【详解】∵函数的定义域为，∴在上恒成立，①当时，恒成立，满足题意；②当时，要使在上恒成立，则解得．综上若函数的定义域为，则实数的取值范围是．故答案为：． 4．已知函数的定义域为，则实数k的取值范围为（    ） A．或 B． C． D． 【详解】由题意可得，恒成立，当时，即，很显然不满足，当时，有，解得．综上可得，．故选：B 5．已知函数的定义域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【详解】由题意得：恒成立，当，即时，不恒成立，故不成立，当，即时，要满足，解得：，综上：实数的取值范围是．故选：B 6．已知函数的定义域为，则实数的取值范围 ． 【详解】当时，，则，得，即定义域为，舍去； 当时，，定义域为，符合；当时，函数的定义域为，则，解得或，综合得实数的取值范围是故答案为：． 【题型十三】绝对值型定义域R求参数 【典型例题】 1．设函数，若函数的定义域为，则实数的取值范围是 ． 【详解】因为函数的定义域为，所以不等式在上恒成立，转化为．因为，当且仅当时等号成立，所以实数的取值范围是．故答案为：． 2．若函数的定义域为，则实数的取值范围为 ． 【详解】由题意得恒成立，由于,当在和之间（包括和）时取等号，∴,∴,或，即或，的取值范围是．故答案为： 3．若函数的定义域为R，则a的取值范围是 ． 【详解】因为函数的定义域为R，所以恒成立， 令，当时，，故当时，即可，解得，当时，， 当时，，解得，当时，不恒成立．综上，或．故答案为： 【针对练习】 1．设函数，若的定义域为，则实数的取值范围 ． 【详解】因为，又的定义域为，所以的解集为，因为，所以．故答案为：． 2．若函数的定义域为，则实数a的取值范围为 ． 【详解】的定义域为R等价于在R上恒成立，令，即， ，作的图像如图所示由图可知，，所以故答案为:． 3．设函数． (1)当时，求函数的定义域；(2)若函数的定义域为，试求实数的取值范围． 【详解】（1）解：当时，函数，则等价于：或或，解得或，所以函数的定义域或（2）因为函数定义域为R，所以恒成立，即恒成立，令，则，所以 【题型十四】抽象函数：含参数型 【典型例题】 1．已知函数的定义域为，则在时的定义域为（    ） A． B． C． D． 则要使得函数有意义，满足，即，因为，解得，即函数的定义域为．故选D． 2．若函数的定义域是，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【详解】依题意，由于，所以， ，所以由解得．所以的定义域为．故选：A 3．函数的定义域为,且,则的定义域是 ． 【详解】函数的定义域为，所以，由，因此有，即； 的定义域应满足：，所以函数的定义域为． 【针对练习】 1．若函数定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【详解】因为函数定义域为，所以故定义域为故选：C 2．已知函数的定义域为，若有定义，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【详解】解：由题意可得，解得．因为有定义，所以当时，由，得；当时，由，得；当时，，恒成立．综上，实数的取值范围是．故选：D． 函数值域求法归类总结 【题型一】直接法 【典型例题】 1．函数的值域为 ． 【详解】因为，所以，则，所以，即的值域为． 故答案为：． 2．函数的定义域是，值域为 ． 【详解】解法一：图象法：由题意知函数是由向右平移个单位得到，画出函数图象易得值域为 解法二：直接利用不等式性质：因为，所以，所以，所以 【针对练习】 1． 已知函数的值域为，则函数的定义域为 ． 【详解】由函数的值域为，可知，解得，因此函数的定义域为．故答案为： 2． 已知函数的定义域为，则函数值域为 ． 【详解】因为函数的定义域为，， ，，，，的值域为． 3． 函数，的值域为 ，函数，的值域为 ． 【详解】∵，，，∴函数的值域为．∵，∴，∴函数的值域为．故答案为：，． 4． 已知函数的定义域为，则其值域为（    ） A． B． C． D． 【详解】当时，，当时，，故值域为．故选：A 【题型二】配方法 【典型例题】 1． 求二次函数在区间上的值域． 【详解】由，则当时，，当时，， 所以函数的值域为． 2．函数的值域为 【详解】为开口方向向上，对称轴为的抛物线，在上单调递减，在上单调递增，当时，；当时，，的值域为．故答案为：． 【针对练习】 1． 已知函数．（1）求函数的定义域和值域；（2）分别求，， 【详解】解：（1）函数定义域为，因为， 所以的值域为．（2），， 2．已知二次函数，求函数在时的值域． 【详解】因为，结合函数的图像可得函数的值域为． 【题型三】反比例型函数的值域 【典型例题】 1． 若函数的值域是，则此函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【详解】由函数的值域是，所以当时，， 当时， 即，解得，所以函数的定义域为：，故选：D 【针对练习】 1． 函数的值域是 ． 【详解】函数的值域为，所以的值域为故答案为： 2． 若函数的值域是，则此函数的定义域为 ． 【详解】当时，当时， 故答案为： 3． 用平移图像的方式作出的图像，并说明函数的值域． 【详解】首先作出的图像，向右平移1个单位得到的图像，向上平移2个单位得到的图像， 从图像可以看出的值域为． 【题型四】简单根号函数 【典型例题】 1． 函数，，则的值域是（    ） A． B． C． D． 【详解】由题意得：．故的值域是．故选：A． 【针对练习】 1． 下列函数中，值域为的是（    ） A． B． C． D． 【详解】由已知值域为，故A错误因为定义域为， 值域为，故B正确．，，，所以，故C错误．，，所以，故D错误．故选：B 【题型五】双根号函数平方法 【典型例题】 1． 函数的值域为 【详解】由已知得函数的定义域为，，，又，，又，故答案为：． 2．求函数的值域． 【详解】由，得．∵，∴，∴．∵，∴，∴，即． 又∵，∴，∴，∴函数的值域为． 【针对练习】 1．求函数的值域． 【解析】由题意得，, ，单调递增，所以y, 2．求函数的值域． 【解析】由题意得，所以，函数在（-9，-1）上递减，在（-1，7）上递增，4,所以值域为[4, ] 3． 函数的值域为 ． 【详解】由有意义可得，所以，的定义域为，，设，则，，则．故答案为：． 4． 函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【详解】因为（），所以，又，所以．故选：A 5． （多选）已知函数，，则下列说法中正确的是（    ） A．函数的定义域为 B．函数的值域为 C．函数的最大值为2 D．函数在上单调递增 【详解】A：，故A正确；B：令，令，，则的值域为，故B不正确；C：令，则， ，当时，，的最大值为，故C不正确；D：令，因为在上单调递增，在上为单调增函数，在上单调递增，故D正确．故选：AD． 6．已知函数．(1)求函数的值域； (2)已知a为实数，函数的最大值为，求． 【详解】（1）由，，∵∴，∴，∵恒大于0，∴的值域为；（2），令，则，即，则．①当时，在上单调递增，；②当时，开口向上，对称轴为，在上单调递增，；③当a<0时，当，即时，在上单调递减，故，当，即时，在上单调递增，在上单调递减，故，当，即时，在上单调递增，故．综上所述：． 【题型六】换元法 【典型例题】 1．求函数的值域． 【详解】由题意可知，所以可得，即函数定义域为，令，可得；则，当时，；故函数值域为． 2．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【详解】设，则，且，则函数可化为， 所以函数的值域为．故选：A． 3．求函数的值域为 ． 【详解】令，则，容易看出，该函数转化为一个开口向下的二次函数，对称轴为，，所以该函数在时取到最大值，当时，函数取得最小值，所以函数值域为．故答案为： 4．函数的值域为 ． 【详解】函数，，令，则，且，得，，当时，函数有最大值，当时，函数有最小值 所以值域为．故答案为： 5．当时，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【详解】令，因为，所以，当时，函数单调递减，故，当时，即，所以，所以函数的值域为：．故选：C． 【针对练习】 1． 函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【详解】令，则，所以在 上单减，在上单增，所以最小值为．该函数的值域为．故选：A． 2．求函数的值域； 解：令，则，当时，取到最大值5，无最小值，故的值域为； 3．的最大值是（    ） A． B．2 C． D．4 【详解】设，则，因为，所以时，的最大值是，故选：A． 4．函数在区间上的值域为 ． 【详解】解：令，则，故，则，所以函数在区间上的值域为． 故答案为：． 5．函数，的值域为　　 A． B． C． D． 【详解】设，则，函数可化为，对称轴为，所以当时，函数，当时，，所以原函数的值域为 6． 已知函数．(1)求函数的定义域；(2)求函数的值域． 【详解】（1）由得：，所以函数的定义域为；（2）令，则， ，当时，，所给函数的值域为，． 7． 已知函数．求函数的值域。 【详解】（1），设，则有，所以函数的值域为； 【题型七】分式型——分离常数法 【典型例题】 1．求下列函数的值域 【详解】因为，由反比例函数易知，所以，所以函数的值域为． 2．求函数的值域； 【详解】（1）定义域：，，因为， 所以，故值域为． 3．已知函数，，则的值域为（    ） A． B． C． D． 【详解】由题意得，因为，所以，，所以．故选：C 4．函数的值域为 ． 【详解】由，又，则，则，所以，故函数的值域为．故答案为：． 5．（多选）世界公认的三大著名数学家为阿基米德、牛顿、高斯，其中享有“数学王子”美誉的高斯提出了取整函数，表示不超过x的最大整数，例如．已知，，则函数的值可能为（       ） A．0 B．1 C．2 D．3 【详解】，当时，，，，此时的取值为1；当时，，，，此时的取值为2，3．综上，函数的值可能为．故选：BCD． 【针对练习】 1． 函数的值域为 ． 【详解】在上单调递减，且， 故函数的值域为．故答案为： 2．函数 的值域为 ． 【详解】由，又，则，则，所以， 故函数 的值域为．故答案为：． 3． 函数的值域为 ． 【详解】由，又，则，所以．故答案为： 4．函数的值域为 ． 【详解】因为函数，又因为，所以，则， 所以，则有，所以函数的值域为，故答案为：． 5．已知函数的，则其值域为 ． 【详解】设，即，函数在区间单调递增， 所以．故答案为： 6．函数的值域为 ． 【详解】，因为， 所以，，．所以的值域为．故答案为： 【题型八】分式型——基本不等式（对勾函数）法 【典型例题】 1．函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【详解】由可得，当时，故，当且仅当时等号成立，而恒成立，故，故的值域为，故选：C 2．若函数的最大值为，最小值为，则（    ） A．3 B．2 C．1 D．0．5 【详解】由题意，，①当时，；②当时，， 因为，当且仅当时，即时，不等式取等号，所以， 则在的值域为，③当时，由基本不等式可知，，即，当且仅当时，即时，不等式取等号，故， 则在的值域为，综上所述，在上的值域为，从而． 故选：C． 3． 求函数的值域． 【详解】，若，则，∴，当且仅当，即时等号成立．若，则，∴ ，∴，当且仅当，即时等号成立，∴的值域为． 4．已知函数，当时，值域为 ；当时，值域为 ． 【详解】由题知，函数，，当时，，此时，当且仅当，即时取等号，当时，，此时，，当且仅当，即时取等号，所以当时，值域为；当时，因为，所以，当时，，当时，，所以当时，．故答案为：；． 【针对练习】 1． 已知，则函数的值域为 ． 【详解】因为，所以，，令，由双勾函数知，在上单调递减，在上单调递增，所以，所以，所以 ．故答案为：． 2．当时，求函数的最小值． 【详解】因为，所以，， 当且仅当，即时，等号成立，所以函数的最小值为． 【题型九】分式型——判别式法 【典型例题】 1．函数的值域是 ． 【详解】由，得，当时，上式无解；当时，要使方程有解，需满足即，解得或． ∴的值域为．故答案为： 2．求函数的值域； 解：，整理得，当时，方程为，不成立， 当时，，即，解得，所以． 【针对练习】 1．求函数的值域； 解：因为恒成立，故,则由可得，当时，，适合题意；当时，由于，故恒有实数根，故，解得且，故的值域为； 2．函数的值域为（    ） A． B． C． D．以上答案都不对 【详解】设题中函数为，则，当时，；当时，视其为关于x的二次方程，判别式，综上，故值域为．故选：C． 3． 已知，求函数的值域． 【答案】解：由原函数得：2x2﹣yx﹣17+3y＝0；则该关于x的一元二次方程有解；则有；解得；∴原函数的值域为[，+∞）． 4．求函数的值域：． 【解析】解：判别式法：∵x2+x+1＞0恒成立，∴函数的定义域为R．由得：（y﹣2）x2+（y+1）x+y﹣2＝0①①当y﹣2＝0即y＝2时，①即3x+0＝0，∴x＝0∈R②当y﹣2≠0即y≠2时，∵x∈R时方程（y﹣2）x2+（y+1）x+y﹣2＝0恒有实根，∴△＝（y+1）2﹣4×（y﹣2）2≥0，∴1≤y≤5且y≠2，∴原函数的值域为[1，5]． 5．函数的值域是 ． 【详解】由题知函数的定义域为，所以，将整理得，所以，当时，；当时，，解，所以，，即函数的值域是故答案为： 【题型十】含有绝对值函数的值域 【典型例题】 1．函数的值域为 ． 【详解】①当时，；②当时，，③当时，，所以，，函数图象如下图，  所以，函数的值域为．故答案为： 【针对练习】 1． 已知函数． (1)用分段函数的形式表示函数；(2)画出函数的图象，并写出函数的值域． 【详解】（1）解：当时，，当时，， 所以．（2）解：得，由此画出的图象如下图所示：  由图象知，的值域为 2．设函数。  (1)将函数写成分段函数；(2)画出函数的图像；(3)写出函数的定义域和值域． 【详解】（1）要是函数有意义，则，当时，，当时，，所以．（2）函数图像如图：  （3）根据函数图像可得，的定义域为，值域为R． 3．已知函数，则函数的值域为 ；记函数的值域为M，若，则的最小值为 ． 【详解】解：，所以函数的值域为，令，设，则，因为，所以，所以，即，所以函数在上递增，所以，即的最小值为5．故答案为：；5． 4． 函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【详解】，当时，当时，综上可知的值域为，故选：B 【题型十一】分段函数的值域 【典型例题】 1． 设函数，．(1)求的值；(2)求的值域． 【详解】（1）由，得，解得或，由，得， 所以，．（2）当时，在上单调递减，则，当时，在上单调递增，；当时，，函数在上单调递减，在上单调递增，，所以的值域为． 【针对练习】 1． (1)已知函数，则函数的定义域为 ，值域为 ． (2)若定义运算，则函数的值域是 ． 【详解】（1）由已知得，的定义域为，又当时，；当时，；故函数的值域为．（2）根据题意可知，当时，即时，；当时，；即可得，画函数的图象如图所示：  得其值域是．故答案为：，， 2． 已知函数 (1)在直角坐标系内画出的图象；(2)根据函数的图象写出函数的单调区间和值域． 【详解】（1）图象如图所示：    （2）由图可知的单调递增区间为，单调递减区间为，值域为． 3． 已知函数．若，求实数等于 ；函数在区间上值域 ． 【详解】因为且，当时，，解得或（舍）；当时，，解得，由上知：或．函数在区间图象如下图所示：  ，，， 由图象可知函数在区间的值域为．故答案为：或，； 【题型十二】抽象函数的值域 【典型例题】 1．函数的定义域为，值域为，那么函数的定义域和值域分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【详解】因为函数的定义域为，所以，即，即函数的定义域． 因为函数的定义域为，值域为，又，所以函数的值域为．故选：C 2．已知函数的定义域为，值域为R，则（       ） A．函数的定义域为R B．函数的值域为R C．函数的定义域和值域都是R D．函数的定义域和值域都是R 【详解】对于A选项：令，可得，所以函数的定义域为，故A选项错误； 对于B选项：因为的值域为R，，所以的值域为R，可得函数的值域为R，故B选项正确；对于C选项：令，得，所以函数的定义域为，故C选项错误；对于D选项：若函数的值域为R，则，此时无法判断其定义域是否为R，故D选项错误．故选：B 3． 若函数的值域是，则函数的值域是 ． 【详解】因函数的值域是，从而得函数值域为，函数变为，，由对勾函数的性质知在上递减，在上递增，时，，而时，，时，，即，所以原函数值域是．故答案为：． 4． 若函数的值域是，则函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【详解】令，则，由对勾函数的性质可知：在上单调递减，在上单调递增，故当时，取得最小值，最小值为，又当时，，当时，，故的值域为．故选：B 【题型十三】图像法求函数值域 【典型例题】 1．函数的值域为_____． 【详解】原函数化为，其图象如图，原函数值域为 2．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，，已知函数，则对函数的值域为 【详解】由于，所以，由此画出函数图像如下图所示，由图可知，的值域为． 3．定义为中的最小值，设，则的最大值是_____． 【详解】本题若利用的定义将转为分段函数，则需要对三个式子两两比较，比较繁琐，故考虑进行数形结合，将三个解析式的图像作在同一坐标系下，则为三段函数图像中靠下的部分，从而通过数形结合可得的最大值点为与在第一象限的交点，即，所以． 4．【多选】设表示，两者中较小的一个，表示，两者中较大的一个．若函数在上有最大值，则（    ） A．在上的最大值为2 B．在上的最大值为 C．的取值范围为 D．的取值范围为 【详解】解：如下图实线是函数的图象，方程的根为，该函数的最大值为所以可得函数的图象如图所示实线部分，故当，有，或时，由图可知在上有最大值2，且的取值范围为．故选：AC． 【针对练习】 1．对任意，函数，则的最小值为(　　 ) A． 2 B． 3 C． 4 D． 5 【详解】画出图像可知：在处取最小值，因为，所以 2．函数的值域为_____． 【详解】由图可知：的值域为 3．若函数与的值域相同，但定义域不同，则称和是“同象函数”，已知函数，，则下列函数中，与是“同象函数”的有（       ） A．， B．， C．， D．， 【详解】当时，单调递增，所以，即当时，单调递减，所以，即，所以A选项正确；当时，单调递减，此时，所以，B选项错误；当时,的图象如图所示， 在单调递减，在单调递增，所以在处取得最小值，，因为，，所以在处取得最大值，故，C选项正确；当时，，画出图象，如图显然，，故D选项正确故选：ACD 4． 已知函数，函数的最大值为________．最小值为________． 【详解】作出f(x)的图象如图．由图象可知，当x＝2时，f(x)取最大值为2；当x＝时，f(x)取最小值为－．所以f(x)的最大值为2，最小值为－． 5．对，记，函数f(x)＝max{|x＋1|，|x－2|}(x∈R)的最小值是________． 【详解】由|x＋1|≥|x－2|，得(x＋1)2≥(x－2)2．所以x≥．所以f(x)＝其图象如图所示．由图象易知，当x＝时，函数有最小值，所以f(x)min＝＝＝． 【题型十四】根据值域求参数的值或范围 【典型例题】 1．已知函数，且该函数的值域为，则的值为 ． 【详解】因为，当且仅当时取等号，所以若，的值域为，则，因为的图象是开口向上的抛物线，所以在上递减，上递增，因为， 所以，即，解得或（舍去），故答案为：3 2．已知函数的值域为，则常数 ． 【详解】因为，所以，，即， 因为函数的值域为，所以是方程的两个根，所以，，解得或，所以7或．故答案为：7或． 3．已知函数的值域为，则的值为 ． 【详解】解：函数的定义域是，则函数等价为，即．当时，方程有解，当时，方程必有实数根，则判别式，即， 函数的最大值为7，最小值为，，即和7是方程的两个根，则，故答案为：6 4．若函数的定义域为，值域为，则的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【详解】，当时，；当或时，．因此当时，函数在区间上的最小值为，最大值为，所以，实数的取值范围是．故选：C 5．若函数的定义域和值域都是，则（       ） A．1 B．3 C． D．1或3 因为函数在上为增函数，且定义域和值域都是，所以，，解得或（舍），故选：B 6．设的值域为，则实数的值组成的集合是___________． 【详解】因为函数的值域为[0，＋∞)，设函数f(x)＝ax2＋2ax＋3，当时，显然不成立；当，二次函数开口向下，有最大值，值域不为[0，＋∞)，不成立；当，二次函数开口向上，要保证值域为[0，＋∞)，则最小值要小于等于0，解得a≥3．故答案为：[3，＋∞) 【针对练习】 1．已知函数在上的值域为，则实数m的取值范围是（       ） A． B． C． D． 函数在[0,2]上单调递减，在[2,+∞)上单调递增，时时，函数的部分图象及在上的的图象如图所示．所以为使函数在上的值域为，实数m的取值范围是， 【题型十五】根据值域求定义域 【典型例题】 1．已知函数的值域是，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【详解】，画出图像，如图所示，  令，则，解得或，令，则，解得（舍去）或，对于A：当时，结合图像，得，故A错误；对于B：当时，结合图像，得，故B错误；对于C：当时，结合图像，得，故C错误；对于D：当时，结合图像，得，故D正确；故选：D． 2．若函数的值域是，则此函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【详解】由函数的值域是，所以当时，， 当时， 即，解得， 所以函数的定义域为：，故选：D 函数解析式的求法归类总结 【题型一】一次函数待定系数法求解析式 【典型例题】 1．已知函数是一次函数，且，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【详解】设一次函数的解析式为，因为，可得，所以，解得，所以函数的解析式为． 故选：B 2．一次函数满足，且，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【详解】由题意，设．∵，即，可得：． 又∵即∴，∴的解析式为．故选：A． 【针对练习】 1．已知一次函数满足，，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【详解】设一次函数，依题意，解得，所以．故选B． 2．）f(x)为一次函数，且f(1)=2，f(2)=5，则f(x)的解析式为 ． 【详解】解：因为为一次函数，则设，由，解得，即,即． 3．若一次函数，随的增大而减小，当时，，则它的解析式为 A． B． C．或 D．以上都不对 【详解】试题分析：∵一次函数，当时，，且随的增大而减小，∴当时，；当时，，∴，解得．∴一次函数的解析式为：．故选B． 【题型二】一次函数复合型求解析式 【典型例题】 1．已知一次函数满足，则解析式为（    ） A． B． C． D． 【详解】设一次函数，则，即，所以解得，所以，故选:C． 2．设为一次函数，且．若，则的解析式为（    ） A．或 B． C． D． 【详解】设，其中，则，所以，，解得或．当时，，此时，合乎题意；当时，，此时，不合乎题意．综上所述，．故选：B． 【针对练习】 1．一次函数g(x)满足g[g(x)]=9x+8，则g(x)的解析式是（    ） A．g(x)=9x+8 B．g(x)=3x-2 C．g(x)= -3x-4或g(x)=3x+2 D．g(x)=3x+8 【详解】因为g(x)是一次函数，所以设g(x)=kx+b(k≠0)，所以g[g(x)]=k(kx+b)+b，又因为g[g(x)]=9x+8，所以解得或所以g(x)=3x+2或g(x)= -3x – 4．故选：C 2．若一次函数满足：对任意都有，则的解析式为 ． 【详解】设一次函数，，化简得：，因为对任意，上式都满足，取和代入上式得：，解得：，\所以．故答案为：． 3．已知函数是一次函数，且，则一次函数的解析式为 ． 【详解】函数是一次函数，设．， ，解得或，故答案为：或． 4．已知函数为一次函数，且，若，则函数的解析式为 ． 【详解】设函数的解析式为，则，且， 据此可得：，解得：，故函数的解析式为． 【题型三】 二次函数待定系数法求解析式 【典型例题】 1．已知是二次函数，且，，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【详解】设，，，即即，解得：，故，故选：A 【针对练习】 1．已知是二次函数且满足，则函数的解析式为 ． 【详解】解：由题意，设，因为，即，所以， 所以，从而有，解得，所以，故答案为：． 【题型四】 抽象函数求解析式：常规换元型 【典型例题】 1．若函数满足，则的解析式是（    ） A． B． C． D． 【详解】令，则，故，故，故选：D 2．已知函数满足：对任意的，都有，则的解析式为 ． 【详解】解：令则 故答案为： 3．若，且，则（    ） A．3 B． C． D． 【详解】因为,,则设即则,即所以故选:． 4． 已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【详解】令，则，且，则，可得， 所以．故选：B． 5． 已知函数，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【详解】令，可得．所以，因此的解析式为．故选：D． 【针对练习】 1．已知，则（　　） A． B． C． D． 【详解】令则则,所以．故选：A 2．已知函数，则 （    ） A． B． C． D． 【详解】因为，令，，即，所以． 故选：B 3．已知函数满足，则（    ） A． B． C． D． 【详解】因为，，令，则，，所以，故．故选：C． 【题型五】抽象函数求解析式：凑配型 【典型例题】 1．已知，则等于（　　　　） A． B． C． D． 【详解】 设 ．故选:C． 2．已知，则 【详解】解：因为，所以，故答案为：5 【针对练习】 1．已知，则（    ） A．6 B．3 C．11 D．10 【详解】，，．故选：C． 2．已知函数，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【详解】因为，所以．故选：D． 3．已知函数，则（    ）． A． B．4 C． D． 【详解】函数，所以，．故选：A． 【题型六】抽象函数求解析式： 限制定义域型 【典型例题】 1．已知，则 ． 【详解】解：函数定义域为，令，代入中， 得，所以．故答案为：． 2．已知，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【详解】令，则，又，所以，则，故选：C． 【针对练习】 1．已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【详解】令，则，且，则，可得，所以．故选：B． 2．已知函数，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【详解】令，则 ，所以，所以，故选：A． 3．已知＝x+3，则f（x）=（    ） A．x2+2（x0） B．x2+4（x1） C．x2+4（x0） D．x2+2（x1） 【详解】设，则，，∴，∴．故选：A． 【题型七】抽象函数求解析式：函数方程型 【典型例题】 1．已知，则 ． 【详解】，以代替得，所以，，解得．故答案为：． 2． 已知满足，则解析式为 ． 【详解】由   ①用代可得，  ②由① ②可得：故答案为： 3．定义在R上的函数满足，则 ． 【详解】令，则，从而有，所以解得，所以，故答案为：． 4．若函数的定义域为，且，则的最大值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【详解】由①，得②，①得③，②-③得，因为，所以．当时，；当时，；当时，（当且仅当时，等号成立）．综上所述，的最大值为．故选：B 【针对练习】 1．若对于任意实数都有,则（    ） A．3 B．4 C． D． 【详解】解：对于任意实数都有，，解得，．故选． 2． 已知函数对定义域内的任意实数满足，则 ． 【详解】由，得，即①，将换为，得②，由①+2②，得，故．故答案为：． 3．已知函数满足，则（    ） A．的最小值为2 B． C．的最大值为2 D． 【详解】因为，，所以．所以，所以的最小值，无最大值，为故A，C错误．对选项B，， 因为，所以，即，故B正确．对选项D，，因为，所以，即， 故D错误．故选：B 4．已知函数f(x)满足f(x)＋2f(3－x)＝x2，则f(x)的解析式为（    ） A．f(x)＝x2－12x＋18 B．f(x)＝－4x＋6 C．f(x)＝6x＋9 D．f(x)＝2x＋3 【详解】用代替原方程中的得：f(3－x)＋2f[3－(3－x)]＝f(3－x)＋2f(x)＝(3－x)2＝x2－6x＋9， ∴消去得：－3f(x)＝－x2＋12x－18，． 故选：B 分段函数求值归类总结 【题型一】分段函数求值 【典型例题】 1．已知函数，，当时，，的值分别为（    ） A．1，0 B．0，0 C．1，1 D．0，1 【详解】解：当x为有理数时，，,, 当x为无理数时，，，，，故选：D 2．设函数，的值为（    ） A． B． C． D． 【详解】函数，，．故选：． 3．已知函数，则的值为（    ） A． B．2 C．3 D．4 【详解】，，，故选：D． 【针对练习】 1．设，则（    ） A． B．0 C． D． 【详解】由题可知，，，故选：A 2．已知函数，则 （ 　） A．4 B．3 C．2 D．1 【详解】因为，所以．故选：A 3．已知函数，则（     ） A．0 B．1 C． D． 【详解】解：因为，所以，所以．故选：B 【题型二】“类周期”型分段函数求值 【典型例题】 1．若函数则（    ） A．10 B．9 C．12 D．11． 【详解】当时，，所以．故选：A． 2．已知，则（    ） A． B． C． D． 【详解】．故选：A． 【针对练习】 1．已知函数则（    ） A． B． C． D． 【详解】由题意．故选：D． 2．已知函数，如果对任意的，定义，那么的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【详解】因为，，，所以的值具有周期性，且周期为3，所以．故选：B． 3．若函数，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．16 【详解】当时，．当时，是周期为6的周期函数，．又．即．故选：． 【题型三】分段函数求参数 【典型例题】 1．已知函数，若，实数（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【详解】因为，所以，所以，解得．故选：C 2．已知函数，若，则（    ） A． B． C． D．3 【详解】当时，，解得，负值舍去，当时，，解得，不合要求，舍去，令，当时，，解得，负值舍去，当时，，解得，不合要求，舍去，综上：．故选：A 3．设函数若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【详解】设，由，则．（1）当时，，则，无实数解；（2）当时，，即，解得或（舍去），所以， ①当时，，解得，或（舍）；②当时，，无解，综上所述，．故选：D 【针对练习】 1．已知函数若，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【详解】当时，的值域为，当时，的值域为；当时，的值域为．要使，则，所以，解得．故选：D． 2．设函数，若，则实数（    ） A． B．1 C． D．2 【详解】由题可知：①，则②所以故选：C 3．已知函数，若，则实数的值等于（    ） A． B． C．1 D．3 【详解】，据此结合题意分类讨论：当时，，由得，解得，舍去；当时，，由得，解得，满足题意．故选：A． 【题型四】解分段函数不等式 【典型例题】 1．设函数,则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【详解】当时，，解得或，所以或；当时，，解得，所以；综上，满足的的取值范围是．故选：D． 2．已知，满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【详解】解：当时，，所以，即，解得，当时，，所以，即，解得，所以，的取值范围是故选：D 3．若函数对任意，都有，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【详解】函数当时, 当时, 当时,当时, 当时, 当时,函数值越来越小．画出函数图像如下图所示: 由图像可知, 对任意,不等式恒成立则令,解得 所以当时满足恒成立。故选:C 4．已知函数 (1)求,,的值;(2)若,求实数的值;(3)若,求实数的取值范围． 【详解】（1）由题可得,, 因为,所以．（2）①当时,,解得,不合题意,舍去;②当时,,即,解得或,因为,,所以;③当时,,解得,符合题意．综合①②③知,当时,或．（3）由,得或或,解得或或,故所求的取值范围是． 5．已知函数 (1)求，；(2)若，求实数a的取值范围． 【详解】（1）解：因为，所以，；（2）因为，所以，则不等式转化为，解得或，所以实数a的取值范围是． 【针对练习】 1．设函数，若，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 【详解】令则即有 或解得或，所以，即，则有 或解得或 实数的取值范围是故选：A 2．已知，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【详解】时，满足题意，时，，，∴综上满足的的范围是，下面解不等式，时，，解得，∴， 时，，，恒成立，∴，综上．故选：C 3．已知函数f（x）=，若不等式f（ax-1）<f（x-2）在[3，4]上有解，则实数a的取值范围是（    ） A．（0，） B．（-，） C．（0，） D．（-，） 【详解】由函数f（x）=，可得，所以函数为偶函数，图像关于轴对称，又当时，为单调递增函数，所以当时，函数为单调递减函数，因为不等式f（ax-1）<f（x-2）在[3，4]上有解，①当，即，即时，在[3，4]上有解，即在[3，4]上有解，所以．②当，即，即时，在[3，4]上有解，即在[3，4]上有解，所以，所以，综上所述，实数a的取值范围是（-，）．故选：B 4． 已知函数． (1)求，，的值；(2)若，求m的值；(3)求不等式的解集． 【详解】（1）解：因为函数，所以，，； （2）解：当时，，解得或（舍去）；当时，，解得．所以m的值为或；（3）解：当时，，解得，即；当时，，解得．所以n的取值范围为． 【题型五】函数图像解方程 【典型例题】 1．若方程在区间有解，则函数图象可能是（    ） A． B． C． D． 【详解】解：方程在区间上有解，在区间上，能够成立，结合所给的选项，只有D选项符合．故选：D． 2．定义域和值域均为（常数a>0）的函数和大致图象如图所示，给出下列四个命题：①方程有且仅有三个解；②方程有且仅有三个解；③方程有且仅有九个解；④方程有且仅有一个解．那么，其中一定正确的命题是（ ） A．①② B．②③ C．①④ D．②④ 【详解】①方程有且仅有三个解；有三个不同的值，由于是减函数，所以有三个解，①正确；②方程有且仅有三个解；从图中可知，，可能有个解，方程也可能有个解，②不正确；③方程有且仅有九个解；从图中可知，，可能有个解，方程最多九个解，③不正确；④因为方程有且仅有一个解，结合图象是减函数，，所以方程有且仅有一个解，④正确，故选C． 【针对练习】 1．已知函数y=f（x）和y=g（x）在[-2，2]的图像如图所示，给出下列四个命题：①方程f[g（x）]=0有且仅有6个根；②方程g[f（x）]=0有且仅有3个根；③方程f[f（x）]=0有且仅有5个根；④方程g[g（x）]=0有且仅有4个根；其中正确的命题是 【详解】对于①，令，结合图象可得有三个不同的解，从图象上看有两个不同的解，有两个不同的解，有两个不同的解，故有6个不同解，故①正确．对于②，令，结合图象可得有两个不同的解，从图象上看的有一个解，有三个不同的解，故有4个不同解，故②错误．对于③，令，结合图象可得有三个不同的解，从图象上看有一个解，有三个不同的解，有一个解，故有5个不同解，故③正确．对于④，令，结合图象可得有两个不同的解，从图象上看有两个不同的解，有两个不同的解，故有4个不同解，故④正确．故答案为①③④． 2．定义域和值域均为(常数)的函数和的图象如图所示，则方程解的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【详解】由图(a)可知，方程在上有三个实数解，由图(b)可知，函数在上单调递减，且值域为，所以方程有三个实数解．故选：C． 一 学科网（北京）股份有限公司 $$