柯西不等式和权方和不等式讲义-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

想，都是问题 做，才有答案 柯西不等式和权方和不等式 一、柯西不等式 1.二维形式的柯西不等式（“方和积积和方”） 2.二维形式的柯西不等式的变式 3.扩展：，当且仅当时，等号成立. 注：有条件要用；没有条件，创造条件也要用.比如，对，并不是不等式的形状，但变成就可以用柯西不等式了. 二、权方和不等式 权方和不等式：若，则，当且仅当时，等号成立. 证明1： 要证 只需证 即证 故只要证 当且仅当时，等号成立 即，当且仅当时，等号成立. 证明2：对柯西不等式变形，易得在时，就有了当时，等号成立． 推广1：当时，等号成立． 推广:2：若，则，当时，等号成立. 推广3：若，则，当时，等号成立. 题型一：柯西不等式之直接套公式型 【例1】实数x、y满足，则x+y的最大值是________. 【例2】已知且则的最小值是（     ） A．1 B． C． D．2 【例3】用柯西不等式求函数的最大值为 A． B．3 C．4 D．5 【例4】已知，若恒成立，利用柯西不等式可求得实数的取值范围是 ． 【例5】由柯西不等式，当时，求的最大值为（    ） A．10 B．4 C．2 D． 【例6】已知正实数，，，满足，则的最小值是 ． 【例7】已知a，b，，满足，则的最大值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 题型二：柯西不等式之根式下有正负型 【例1】柯西不等式（Caulhy-Schwarz Lnequality）是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独立发现的，它在数学分析中有广泛的应用.现给出一个二维柯西不等式：，当且仅当时等号成立.根据柯西不等式可以得知函数的最大值为（    ） A． B． C．12 D．20 【例2】柯西不等式是数学家柯西（Cauchy）在研究数学分析中的“流数”问题时得到的一个重要不等式,而柯西不等式的二维形式是同学们可以利用向量工具得到的:已知向量,,由得到,当且仅当时取等号.现已知,,,则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【例3】已知，，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 题型三：柯西不等式之高次定求低次型 【例1】柯西不等式最初是由大数学家柯西（Cauchy）在研究数学分析中的“流数”问题时得到的.而后来有两位数学家Buniakowsky和Schwarz彼此独立地在积分学中推而广之，才能将这一不等式应用到近乎完善的地步.该不等式的三元形式如下：对实数和，有等号成立当且仅当已知，请你用柯西不等式，求出的最大值是（    ） A．14 B．12 C．10 D．8 【例2】已知实数满足，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 题型四：柯西不等式之低次定求高次型 【例1】若实数a，b，c，d满足，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．以上答案都不对 【例2】设，且. （1）求的最小值；（2）若成立，证明：或. 【例3】已知，，为实数，且，则的最小值为（    ） A． B．1 C．2 D． B． 题型五：柯西不等式之整式与分式型 【例1】已知正实数满足，则的最小值为 ． 【例2】已知、、，且满足，则的最小值为 . 【例3】已知，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． B． 题型六：柯西不等式之多变量型 【例1】已知且，a，b，c为常数，则的最小值为（    ） A． B． C． D．前三个答案都不对 【例2】已知实数a，b，c，d，e满足则e的取值范围是（    ） A． B． C． D．以上答案都不对 题型七：权方和不等式之整式与分式综合型 【例1】若正数，满足，则的最小值为______________ 【例2】若，，，则的最小值为______________ 【例3】已知正数满足，则的最小值为 【例4】若，，，则的最小值为______________ 【例5】若，，则的最小值为______________ 【例6】已知正数，，满足，则的最小值为______________ 【例7】已知正数，，满足，则的最小值为______________ 【例8】已知正数，满足，则的最小值为______________ 【例9】已知正数，，满足，则的最小值为 【例10】已知正数，满足，则的最小值为______________ 【例11】权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设a，b，x，y>0，则，当且仅当时等号成立．根据权方和不等式，函数的最小值为（    ） A．16 B．25 C．36 D．49 【例12】已知a，b，c为正实数，且满足，则的最小值为 . 【变式1】已知，且，则的最小值为（    ） A．1 B． C．9 D． 【变式2】已知，且满足，则的最小值为________． 【变式3】已知x＞0，y＞0，且则的最小值是 ． 【变式4】已知a＞0，b＞0，且，则的最小值是 ． 【变式5】已知实数x，y满足，且，的最小值为 . 题型八：权方和不等式之杂合型 【例1】已知，则的最小值是 ． 【例2】已知，，，求的最大值为______________ 【例3】已知正数，，满足，求的最大值为___________ 【例4】已知，求的最小值为 【例5】求的最大值为 课后练习 1．若，则的最小值是（    ） A．1 B．4 C． D． 2．已知，，且，则的最小值为（    ） A．4 B． C．6 D． 3．若是正实数，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．设正实数a，b满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 5．已知，则 的最小值为（    ） A． B． C． D． 6．已知x>0，y>0，且，则x+2y的最小值为 . 7．已知实数，且，则的最小值是 ． 8．在中，角的对边分别为，若，则的最小值为 ． 9．若实数，且，则的最小值为 . 10．已知，，且满足，则的最大值为 ． 11．已知正数x，y满足，若不等式恒成立，则实数a的取值范围是 ． 12．已知正实数，满足，则的最小值为 . 13．已知正数满足，则的最小值为 . 14．若三个正数满足，则的最小值为 . 15．已知，，则的最小值为 ． 16．权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设正数，，，，满足，当且仅当时，等号成立．则函数的最小值为（    ） A．16 B．25 C．36 D．49 17．柯西不等式最初是由大数学家柯西（Cauchy）在研究数学分析中的“流数”问题时得到的.而后来有两位数学家Buniakowsky和Schwarz彼此独立地在积分学中推而广之，才能将这一不等式应用到近乎完善的地步.该不等式的三元形式如下：对实数和，有等号成立当且仅当已知，请你用柯西不等式，求出的最大值是（    ） A．14 B．12 C．10 D．8 18．设，，，则的最小值为（　　） A． B． C． D．3 19．由柯西不等式，当时，求的最大值为（    ） A．10 B．4 C．2 D． 20．已知，则的取最小值时，为（    ） A． B． C．3 D． 21．已知：，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 22．实数x、y满足，则的最小值是（    ） A． B． C．3 D．4 23．已知a，，，则的最大值为（    ） A．18 B．9 C． D． 24．若实数，则的最小值为（    ） A．14 B． C．29 D． 25．函数的最小值是 A． B． C． D． 26．若，则的最大值（    ） A．3 B．6 C．9 D．27 27．函数 的最大值是( ) A． B． C．3 D．5 28．已知 ， ，则 的最大值是( ) A．1 B．2 C．3 D．4 29．（2024·高三·河北衡水·期末）已知，，，且，则的最大值为( ) A．3 B． C．18 D．9 30．已知x，y均为正数，且，则的最大值是（   ） A．8 B．9 C．10 D．11 31．已知，，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 32．设a，b为正实数，且，则的最大值和最小值之和为（    ） A．2 B． C． D．9 33．已知，，则的最小值为 . 34．已知，，且，则的最小值是 ． 35．已知正实数a，b满足，则的最小值为 . 36．柯西不等式是数学家柯西（Cauchy）在研究数学分析中的“流数”问题时得到的一个重要不等式，而柯西不等式的二维形式是同学们可以利用向量工具得到的：已知向量，，由得到，当且仅当时取等号.现已知，，，则的最大值为 . 37．柯西不等式是数学家柯西（Cauchy）在研究数学分析中的“流数”问题时得到的一个重要不等式，而柯西不等式的二维形式是同学们可以利用向量工具得到的：已知向量，，由得到，当且仅当时取等号.现已知，，，则的最大值为 . 38．若不等式对任意正实数x，y都成立，则实数k的最小值为 . 39．已知x，y，，且，则的最小值为 ． 40．函数的最大值与最小值之积为 ． 41．已知正实数a，b满足，则的最小值为 . 42．已知，则的最小值是 ． 43．已知，，则的最小值为 . 44．已知均为正实数，且满足．(1)求的最小值；(2)求证：. 45．已知实数a，b，c满足． (1)若，求证：；(2)若a，b，，求证：． 一 学科网（北京）股份有限公司 $$想，都是问题 做，才有答案 柯西不等式和权方和不等式 一、柯西不等式 1.二维形式的柯西不等式（“方和积积和方”） 2.二维形式的柯西不等式的变式 3.扩展：，当且仅当时，等号成立. 注：有条件要用；没有条件，创造条件也要用.比如，对，并不是不等式的形状，但变成就可以用柯西不等式了. 二、权方和不等式 权方和不等式：若，则，当且仅当时，等号成立. 证明1： 要证 只需证 即证 故只要证 当且仅当时，等号成立 即，当且仅当时，等号成立. 证明2：对柯西不等式变形，易得在时，就有了当时，等号成立． 推广1：当时，等号成立． 推广:2：若，则，当时，等号成立. 推广3：若，则，当时，等号成立. 题型一：柯西不等式之直接套公式型 【例1】实数x、y满足，则x+y的最大值是________. 解：，则所以，当且仅当时等号成立.答案： 【例2】已知且则的最小值是（     ） A．1 B． C． D．2 【解析】由柯西不等式可得：，即所以， 当且仅当即时取等号，故的最小值为，故选：B． 【例3】用柯西不等式求函数的最大值为 A． B．3 C．4 D．5 【详解】由柯西不等式可得，函数 当且仅当==时，即时等号成立，故该的最大值为4.故选：C. 【例4】已知，若恒成立，利用柯西不等式可求得实数的取值范围是 ． 【详解】试题分析：由柯西不等式得，所以，即. 【例5】由柯西不等式，当时，求的最大值为（    ） A．10 B．4 C．2 D． 【详解】解：由柯西不等式，得，当且仅当，即时，等号成立.因为，所以，则，故的最大值为.故选：D 【例6】已知正实数，，，满足，则的最小值是 ． 【详解】由题意可知， ，当且仅当时取“”号．所以原式的最小值为．故答案为：. 【例7】已知a，b，，满足，则的最大值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【解析】设，，，可得，所以． 因为，所以，当且仅当，取得最大值6，此时，所以的最大值为．故选：B. 题型二：柯西不等式之根式下有正负型 【例1】柯西不等式（Caulhy-Schwarz Lnequality）是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独立发现的，它在数学分析中有广泛的应用.现给出一个二维柯西不等式：，当且仅当时等号成立.根据柯西不等式可以得知函数的最大值为（    ） A． B． C．12 D．20 【解析】由，解得，所以函数的定义域为，由柯西不等式得，，当且仅当，即时等号成立， 所以的最大值为.故选：A. 【例2】柯西不等式是数学家柯西（Cauchy）在研究数学分析中的“流数”问题时得到的一个重要不等式,而柯西不等式的二维形式是同学们可以利用向量工具得到的:已知向量,,由得到,当且仅当时取等号.现已知,,,则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【解析】因为,令,又,,, 所以,当且仅当即时等号成立,即,故选:D. 【例3】已知，，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【解析】由可得，即.由可知，所以.由，可得，由柯西不等式得 ，所以，当即时，取等号.所以的最大值为.故选：C. 题型三：柯西不等式之高次定求低次型 【例1】柯西不等式最初是由大数学家柯西（Cauchy）在研究数学分析中的“流数”问题时得到的.而后来有两位数学家Buniakowsky和Schwarz彼此独立地在积分学中推而广之，才能将这一不等式应用到近乎完善的地步.该不等式的三元形式如下：对实数和，有等号成立当且仅当已知，请你用柯西不等式，求出的最大值是（    ） A．14 B．12 C．10 D．8 【解析】由题干中柯西不等式可得，所以的最大值为，当且仅当时取等号.故选：A 【例2】已知实数满足，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【解析】设，则条件为，所以，等号当且时取得，因此所求代数式的最大值为．故选：D 题型四：柯西不等式之低次定求高次型 【例1】若实数a，b，c，d满足，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．以上答案都不对 【解析】根据题意，有，而，当且仅从时等号成立.同理，当且仅当式等号成立，记题中代数式为M，于是，等号当时取得，因此所求代数式的最小值为2．故选：B. 【例2】设，且. （1）求的最小值；（2）若成立，证明：或. 【详解】(1) 故等号成立当且仅当而又因，解得时等号成立，所以的最小值为. (2)因为，所以. 根据柯西不等式等号成立条件，当，即时有成立. 所以成立，所以有或. 【例3】已知，，为实数，且，则的最小值为（    ） A． B．1 C．2 D． 【解析】由三维柯西不等式： 当且仅当时取等, 所以所以，当且仅当时取等,所以的最小值为：2故选：C 题型五：柯西不等式之整式与分式型 【例1】已知正实数满足，则的最小值为 ． 【解析】由柯西不等式而，所以时等号成立，故答案为：. 【例2】已知、、，且满足，则的最小值为 . 【解析】因为、、，且满足，所以，，当且仅当时，等号成立，故的最小值为.故答案为：. 【例3】已知，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【解析】因为且，，， 因为 所以，当且仅当时，的最小值为.故选：D. 题型六：柯西不等式之多变量型 【例1】已知且，a，b，c为常数，则的最小值为（    ） A． B． C． D．前三个答案都不对 【解析】根据柯西不等式，有，等号当时取得，因此所求最小值为．故选：D. 【例2】已知实数a，b，c，d，e满足则e的取值范围是（    ） A． B． C． D．以上答案都不对 【解析】根据柯西不等式，有，从而，因此e的取值范围是．故选：D. 题型七：权方和不等式之整式与分式综合型 【例1】若正数，满足，则的最小值为______________ 解：，即，当且仅当时取等号，即，时取等号所以的最小值为 【例2】若，，，则的最小值为______________ 解： 即，则，当且仅当时取等号 【例3】已知正数满足，则的最小值为 解：当且仅当时取等号.由解得：， 【例4】若，，，则的最小值为______________ 解：，当且仅当时取等号 【例5】若，，则的最小值为______________ 解：当且仅当时取等号，即，所以的最小值为 【例6】已知正数，，满足，则的最小值为______________ 解：当且仅当时取等号 【例7】已知正数，，满足，则的最小值为______________ 解：，当且仅当时取等号 【例8】已知正数，满足，则的最小值为______________ 解：当且仅当时取等号 【例9】已知正数，，满足，则的最小值为 【解析】因为正数，满足，所以，当且仅当即时取等号.故答案为：. 【例10】已知正数，满足，则的最小值为______________ 解：当且仅当时取等号 【例11】权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设a，b，x，y>0，则，当且仅当时等号成立．根据权方和不等式，函数的最小值为（    ） A．16 B．25 C．36 D．49 【解析】因a，b，x，y>0，则，当且仅当时等号成立，又，即， 于是得，当且仅当，即时取“=”，所以函数的最小值为25.故选：B 【例12】已知a，b，c为正实数，且满足，则的最小值为 . 【解析】由权方和不等式，可知==， 当且仅当时等号成立，所以的最小值为2.故答案为：2. 【变式1】已知，且，则的最小值为（    ） A．1 B． C．9 D． 【详解】因为，所以,由权方和不等式 可得当且仅当，即时，等号成立．【答案】C 【变式2】已知，且满足，则的最小值为________． 【解析】（等号成立条件，略）. 【变式3】已知x＞0，y＞0，且则的最小值是 ． 【解析】当，即时，等号成立． 【变式4】已知a＞0，b＞0，且，则的最小值是 ． 【解析】当，即时，等号成立，． 【变式5】已知实数x，y满足，且，的最小值为 . 【详解】不妨令,整理得，则解得则 ， 当且仅当时等式成立，由解得：，即当时，的最小值为.故答案为： 题型八：权方和不等式之杂合型 【例1】已知，则的最小值是 ． 【解析】由题意得，．（权方和的一般形式为：,,当且仅当时等号成立）当，即时，取得最小值．故答案为： 【例2】已知，，，求的最大值为______________ 解：当且仅当时取等号 【例3】已知正数，，满足，求的最大值为___________ 解： 当且仅当时取等号 【例4】已知，求的最小值为 【解析】 当且仅当时取等号故答案为：60 【例5】求的最大值为 【【解析】 当且仅当，即或时取等号故答案为：. 课后练习 1．若，则的最小值是（    ） A．1 B．4 C． D． 【详解】因为，所以，则，当且仅当，即时，等号成立，取得最小值，故选：D． 2．已知，，且，则的最小值为（    ） A．4 B． C．6 D． 【详解】因为，，且，所以， 当且仅当，即，时取等号.故选：D 3．若是正实数，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【详解】因为 ，当且仅当时取等号，所以的最小值为.故选：A 4．设正实数a，b满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【详解】因为，所以，所以 ，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为．故选：C． 5．已知，则 的最小值为（    ） A． B． C． D． 【详解】由，，，，当且仅当，即时等号成立.故选：A. 6．已知x>0，y>0，且，则x+2y的最小值为 . 【解析】考虑直接使用柯西不等式的特殊形式，即权方和不等式：， ，所以，当且仅当时取等号. 故答案为：． 7．已知实数，且，则的最小值是 ． 【详解】因为，且，所以，所以， 当且仅当，即，时等号成立，故答案为： 8．在中，角的对边分别为，若，则的最小值为 ． 【详解】因为，所以， 当且仅当，即时等号成立，故的最小值为．故答案为：. 9．若实数，且，则的最小值为 . 【详解】由可得，因为，所以，即，则，则，当且仅当，即时等号成立，故的最小值为.故答案为：. 10．已知，，且满足，则的最大值为 ． 【详解】解法1、由，可得，由基本不等式得，可得，所以，当且仅当时取等号， 联立方程组，解得，，故的最大值为2． 解法2、由，可得，因为，由权方和不等式得，即，所以，当且仅当，即时取等号， 联立方程组，解得，，故的最大值为2．故答案为：. 11．已知正数x，y满足，若不等式恒成立，则实数a的取值范围是 ． 【详解】因为，所以 ，所以 ，等号成立当且仅当，所以，，故实数a的取值范围是.故答案为： 12．已知正实数，满足，则的最小值为 . 【详解】因为，所以，所以，因为为正实数，所以， 所以，当且仅当时等号成立，即时等号成立，所以，当且仅当时等号成立，所以的最小值为，故答案为：. 13．已知正数满足，则的最小值为 . 【详解】，，所以，当且仅当即时等号成立，所以，得，所以或（舍去），即的最小值为.故答案为： 14．若三个正数满足，则的最小值为 . 【详解】依题意为正数，，所以，当且仅当，，时等号成立.故答案为： 15．已知，，则的最小值为 ． 【详解】令，，则，，且，，所以，． 又，所以， 当且仅当，，即，时，等号成立．故答案为：12 16．权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设正数，，，，满足，当且仅当时，等号成立．则函数的最小值为（    ） A．16 B．25 C．36 D．49 【解析】因为，，，，则，当且仅当时等号成立，又，即，于是得，当且仅当，即时取“=”，所以函数的最小值为49．故选：D 17．柯西不等式最初是由大数学家柯西（Cauchy）在研究数学分析中的“流数”问题时得到的.而后来有两位数学家Buniakowsky和Schwarz彼此独立地在积分学中推而广之，才能将这一不等式应用到近乎完善的地步.该不等式的三元形式如下：对实数和，有等号成立当且仅当已知，请你用柯西不等式，求出的最大值是（    ） A．14 B．12 C．10 D．8 【详解】由题干中柯西不等式可得，所以的最大值为，当且仅当时取等号.故选：A 18．设，，，则的最小值为（　　） A． B． C． D．3 【详解】因为，所以，因为，，所以 .当且仅当，即时取等.故选：C. 19．由柯西不等式，当时，求的最大值为（    ） A．10 B．4 C．2 D． 【解析】由柯西不等式，得，当且仅当，即时，等号成立.因为，所以，则，故的最大值为. 故选：D 20．已知，则的取最小值时，为（    ） A． B． C．3 D． 【解析】由柯西不等式得：则．则根据等号成立条件知，，，所以故选：B 21．已知：，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解析】利用柯西不等式，可得,解不等式即可.解:利用柯西不等式，得,，解得.故选:B 22．实数x、y满足，则的最小值是（    ） A． B． C．3 D．4 【解析】实数x、y满足，，，， 当且仅当时取等号，的最小值是.故选：A. 23．已知a，，，则的最大值为（    ） A．18 B．9 C． D． 【解析】由题意，，当且仅当时等号成立，当，时，故的最大值为.故选：C. 24．若实数，则的最小值为（    ） A．14 B． C．29 D． 【解析】根据柯西不等式：，即，当且仅当，，时等号成立.故选：B. 25．函数的最小值是 A． B． C． D． 【解析】根据柯西不等式， 得 当且仅当，即时等号成立.此时，，故选：B. 26．若，则的最大值（    ） A．3 B．6 C．9 D．27 【解析】根据柯西不等式可得：，当且仅当，即时，等号成立.故选:A. 27．函数 的最大值是( ) A． B． C．3 D．5 【解析】利用柯西不等式求解.因为当且仅当，即时，取等号.故选：B 28．已知 ， ，则 的最大值是( ) A．1 B．2 C．3 D．4 【解析】利用柯西不等式求解. ， 当且仅当 时取等号.∴ 的最大值是故选：A 29．（2024·高三·河北衡水·期末）已知，，，且，则的最大值为( ) A．3 B． C．18 D．9 【解析】由柯西不等式得： ，所以，当且仅当时，等号成立，故选B. 30．已知x，y均为正数，且，则的最大值是（   ） A．8 B．9 C．10 D．11 【解析】当且仅当，即时，等式成立. 故选：C 31．已知，，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【详解】由可得，即.由可知，所以.由，可得，由柯西不等式得 ，所以，当即时，取等号.所以的最大值为.故选：C. 32．设a，b为正实数，且，则的最大值和最小值之和为（    ） A．2 B． C． D．9 【详解】由，则，所以 ，当且仅当时，即或时，等号成立， 即，解得 所以的最大值为；最小值为；所以最大值和最小值之和为.故选：C 33．已知，，则的最小值为 . 【详解】因为，，所以， 当且仅当，即，时取等号.故答案为： 34．已知，，且，则的最小值是 ． 【详解】由，得，因为，，所以，所以，当且仅当，即，时，等号成立，所以的最小值是．故答案为：． 35．已知正实数a，b满足，则的最小值为 . 【详解】由题设，，则，又，∴，当且仅当时等号成立，∴，当且仅当时等号成立.∴的最小值为.故答案为：. 36．柯西不等式是数学家柯西（Cauchy）在研究数学分析中的“流数”问题时得到的一个重要不等式，而柯西不等式的二维形式是同学们可以利用向量工具得到的：已知向量，，由得到，当且仅当时取等号.现已知，，，则的最大值为 . 【解析】令，又，，，所以，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最大值为.故答案为： 37．柯西不等式是数学家柯西（Cauchy）在研究数学分析中的“流数”问题时得到的一个重要不等式，而柯西不等式的二维形式是同学们可以利用向量工具得到的：已知向量，，由得到，当且仅当时取等号.现已知，，，则的最大值为 . 【详解】令，又，，，所以，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最大值为.故答案为： 38．若不等式对任意正实数x，y都成立，则实数k的最小值为 . 【解析】由柯西不等式的变形可知，整理得， 当且仅当，即时等号成立，则k的最小值为.故答案为： 39．已知x，y，，且，则的最小值为 ． 【解析】由柯西不等式可得，所以，即，当且仅当即也即时取得等号，故答案为:36. 40．函数的最大值与最小值之积为 ． 【解析】函数的定义域为，一方面，， 等号当时取得；另一方面，， 当且仅当时等号成立，于是最大值为，最小值为，所求乘积为．故答案为：. 41．已知正实数a，b满足，则的最小值为 . 【解析】由题设，，则，又， ∴，当且仅当时等号成立，∴，当且仅当时等号成立.∴的最小值为.故答案为：. 42．已知，则的最小值是 ． 【解析】令，则，当时，即时，两个等号同时成立，原式取得最小值8．故答案为：8 43．已知，，则的最小值为 . 【详解】∵∴,当且仅当时等号成立，即，∵ ，当且仅当时等号成立，可取故答案为：9 44．已知均为正实数，且满足．(1)求的最小值；(2)求证：. 【详解】（1）因为均为正实数，，所以，当且仅当，即时等号成立．（2）证明：根据柯西不等式有，所以．当且仅当，即时等号成立，即原命题得证. 45．已知实数a，b，c满足． (1)若，求证：；(2)若a，b，，求证：． 【详解】（1）因为，所以．因为，所以，当且仅当时等号成立，整理得，所以．（2）解法一： 因为，且a，b，，所以，，，所以，同理可得，，以上三式相加得，当且仅当时等号成立． 解法二：因为，且a，b，，所以，，，且， 所以 ，当且仅当时等号成立． 一 学科网（北京）股份有限公司 $$