函数的应用讲义-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

想，都是问题 做，才有答案 函数的应用（一） 题型一：二次函数的应用 1．某镇在政府“精准扶贫”的政策指引下，充分利用自身资源，大力发展养殖业，以增加收入，政府计划共投入72万元，全部用于甲、乙两个合作社，每个合作社至少要投入15万元，其中甲合作社养鱼，乙合作社养鸡，在对市场进行调研分析发现养鱼的收益、养鸡的收益与投入（单位：万元）满足，．设甲合作社的投入为（单位：万元），两个合作社的总收益为（单位：万元）． （1）当甲合作社的投入为25万元时，求两个合作社的总收益； （2）试问如何安排甲、乙两个合作社的投入，才能使总收益最大？ 【解答】解：（1）当甲合作社投入为25万元时，乙合作社投入为47万元，此时两个个合作社的总收益为： （万元）；（2）甲合作社的投入为万元，则乙合作社的投入为万元，当时，则，．令，得， 则总收益为，显然当时，函数取得最大值，即此时甲投入16万元，乙投入56万元时，总收益最大，最大收益为89万元、当时，则，则，则在，上单调递减，．即此时甲、乙总收益小于87万元．又，该公司在甲合作社投入16万元，在乙合作社投入56万元，总收益最大，最大总收益为89万元． 题型二：分段函数的应用 1．某商场就一新款儿童玩具进行促销活动，活动时长是30天，这30天内第天的销售单价（单位：元件）为，销售量（单位：件）为，，，且第20天的销售额为1800元（销售额销售单价销售量）． （1）求的值，并求出第5天的销售额；（2）求这30天内单日销售额的最大值． 【解答】解：（1）设单日销售额为元，则， 整理得，当时，，解得， 故，当时，，即第5天的销售额为2700元； （2）由（1）知，当，时，单调递增，则单日销售额的最大值为，当，时，单调递减，则单日销售额的最大值为元，综上所述，这30天内单日销售额的最大值为2800元． 2．经市场调查，某商品在过去的100天内销售量（单位：件）和价格（单位：元）均为时间（单位：天）的函数，且销售量满足，，价格满足，． （Ⅰ）求该种商品的日销售额与时间的函数关系； （Ⅱ）若销售额超过16610元，商家认为该商品的收益达到理想程度，请判断该商品在哪几天的收益达到理想程度？ 【解答】解：当，时，，当，时， ，． 当，时，令，解得，， ，当，时，令，解得， ，．综上，该商品在第53天到第61天的收益到达理想程度． 3．某厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产千件，需另投入成本（万元），若年产量不足80千件，的图象是如图的抛物线，此时的解集为，且的最小值是，若年产量不小于80千件，，每千件商品售价为50万元，通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完； （1）写出年利润（万元）关于年产量（千件）的函数解析式； （2）年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？ 【解答】解：（1）每件商品售价为0.005万元，千件商品销售额为万元，①当时，根据年利润销售收入成本，；②当时，根据年利润销售收入成本，．综合①②可得，；（2）由（1）可知，；①当时，当时，取得最大值万元；②当时，，当且仅当，即时，取得最大值万元．综合①②，由于，当产量为10万件时，该厂在这一商品中所获利润最大，最大利润为1000万元． 4．某商家计划投入10万元经销甲，乙两种商品，根据市场调查统计，当投资额为万元，经销甲，乙两种商品所获得的收益分别为万元与万元，其中，，当该商家把10万元全部投入经销乙商品时，所获收益为5万元．（Ⅰ）求实数的值； （Ⅱ）若该商家把10万元投入经销甲，乙两种商品，请你帮他制订一个资金投入方案，使他能获得最大总收益，并求出最大总收益． 【解答】解：（Ⅰ）：依题意可得，解得，（Ⅱ）设投入商品的资金为万元，则投入商品的资金为万元，设收入为万元，①当时，，， 则，当且仅当，解得时，取等号．②当时，则，此时． ，最大收益为17万元，答：投入甲商品的资金为8万元，投入乙商品的资金为2万元，此时收益最大，为17万元． 5．一种药在病人血液中的含量不低于2克时，它才能起到有效治疗的作用，已知每服用且克的药剂，药剂在血液中的含量（克随着时间（小时）变化的函数关系式近似为，其中． （1）若病人一次服用9克的药剂，则有效治疗时间可达多少小时？ （2）若病人第一次服用6克的药剂，6个小时后再服用克的药剂，要使接下来的2小时中能够持续有效治疗，试求的最小值． 【解答】解：（1）由可得，当时，，解得，此时； 当时，，解得，此时，综上可得，病人一次服用9克的药剂，则有效治疗时间可达小时；（2）当时，，由，在，均为减函数，可得在，递减，即有，由，可得，可得的最小值为． 6．为了净化空气，某科研单位根据实验得出，在一定范围内，每喷洒1个单位的净化剂，空气中释放的浓度（单位：毫克立方米）随着时间（单位：天）变化的关系如下：当时，；当时，．若多次喷洒，则某一时刻空气中的净化剂浓度为每次投放的净化剂在相应时刻所释放的浓度之和．由实验知，当空气中净化剂的浓度不低于4（毫克立方米）时，它才能起到净化空气的作用． （1）若一次喷洒4个单位的净化剂，则净化时间可达几天？ （2）若第一次喷洒2个单位的净化剂，6天后再喷洒个单位的净化剂，要使接下来的4天中能够持续有效净化，试求的最小值． 【解答】解：（1）因为一次喷洒4个单位的去污剂，所以空气中释放的浓度为， 当时，令，解得，所以，当时，令，解得，所以， 综上所述，可得，即一次投放4个单位的去污剂，有效去污时间可达6天． （2）设从第一次喷洒起，经天，浓度， 因为，，而，所以，当且仅当，即时，等号成立，令，解得，所以的最小值为． 7．2020年春节前后，一场突如其来的新冠肺炎疫情在武汉出现并很快地传染开来（已有证据表明2019年10月、11月国外已经存在新冠肺炎病毒），对人类生命形成巨大危害．在中共中央、国务院强有力的组织领导下，全国人民万众一心抗击、防控新冠肺炎，疫情早在3月底已经得到了非常好的控制（累计病亡人数3869人），然而国外因国家体制、思想观念的不同，防控不力，新冠肺炎疫情越来越严重．疫情期间造成医用防护用品短缺，某厂家生产医用防护用品需投入年固定成本为150万元，每生产万件，需另投入成本为．当年产量不足60万件时，（万元）；当年产量不小于60万件时，（万元）．通过市场分析，若每件售价为400元时，该厂年内生产的商品能全部售完．（利润销售收入总成本） （1）写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式； （2）年产量为多少万件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？并求出利润的最大值． 【解答】解：（1）当，时，． 当，时，． ．（2）当，时，，故当时，取得最大值（万元），当，时， 当且仅当，即时等号成立．即时，取得最大值1050万元．综上，所以即生产量为90万件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大为1050万元． 8．市场上有一种新型的强力洗衣液，特点是去污速度快，已知每投放个单位的洗衣液在一定量水的洗衣机中，它在水中释放的浓度（克升）随着时间（分钟）变化的函数关系式近似为，其中，若多次投放，则某一时刻水中的洗衣液浓度为每次投放的洗衣液在相应时刻所释放的浓度之和，根据经验，当水中洗衣液的浓度不低于4（克升）时，它才能起到有效去污的作用． （1）若只投放一次4个单位的洗衣液，则有效去污时间可达几分钟？ （2）若第一次投放2个单位的洗衣液，6分钟后再投放2个单位的洗衣液，问能否使接下来的4分钟内持续有效去污？说明理由． 【解答】解：（1）由题意可得，则，则当时，由，解得，即， 当时，由，解得，即，综上所述，得，即有效去污时间可达8分钟． （2） 假设要使接下来的4分钟内持续有效去污，则当时， （3） ，当且仅当时取到等号， 因为，所以可取到，所以有最小值，令，解得， 所以的最小值为，即要使接下来的4分钟内持续有效去污6分钟后至少需要再1.4个单位洗衣液，而题目中再投放2个单位超过1.4个，所以能够有效去污． 题型三：幂函数的应用 1．美国对中国芯片的技术封锁，这却激发了中国“芯”的研究热潮．某公司研发的，两种芯片都已经获得成功．该公司研发芯片已经耗费资金2千万元，现在准备投入资金进行生产，经市场调查与预测，生产芯片的毛收入与投入的资金成正比，已知每投入1千万元，公司获得毛收入0.25千万元；生产芯片的毛收入（千万元）与投入的资金（千万元）的函数关系为，其图象如图所示． （Ⅰ）试分别求出生产，两种芯片的毛收入（千万元）与投入资金（千万元）的函数关系式； （Ⅱ）如果公司只生产一种芯片，生产哪种芯片毛收入更大？ （Ⅲ）现在公司准备投入4亿元资金同时生产，两种芯片，设投入千万元生产芯片，用表示公司所获利润，当为多少时，可以获得最大利润？并求最大利润．（利润芯片毛收入芯片毛收入研发耗费资金） 【解答】解：（Ⅰ）因为生产芯片的毛收入与投入的资金成正比，所以设为，且时，，代入解得，则生产芯片的毛收入；将，代入，得，解得， 所以生产芯片的毛收入为．（Ⅱ）由（1）知，当时，解得，可知当投入资金大于16千万元时，生产芯片的毛收入大；当投入资金等于16千万元时，生产、两种芯片的毛收入相等；当投入资金小于16千万元时，生产芯片的毛收入大．（Ⅲ）公司投入4亿元资金同时生产、两种芯片，设投入千万元生产芯片，则投入千万元资金生产芯片，公司所获利润， 故当，即千万元时，公司所获利润最大，最大利润为9千万元． 题型四：函数的综合应用 1．司机甲、乙加油习惯不同，甲每次加定量的油，乙每次加固定钱数的油，恰有两次甲、乙同时加同单价的油，但这两次的油价不同，则从这两次加油的均价角度分析　　 A．甲合适 B．乙合适 C．油价先高后低甲合适 D．油价先低后高甲合适 【解答】解：设司机甲每次加油，司机乙每次加油化费为；两次加油的单价分别为，；则司机甲两次加油的均价为；司机乙两次加油的均价为；且，又， ，即，故这两次加油的均价，司机乙的较低，故乙更合适，故选：． 2．如图，某房地产开发公司计划在一栋楼区内建造一个矩形公园，公园由矩形的休闲区（阴影部分）和环公园人行道组成，已知休闲区的面积为1000平方米，人行道的宽分别为4米和10米，设休闲区的长为米． （1）求矩形所占面积（单位：平方米）关于的函数解析式； （2）要使公园所占面积最小，问休闲区的长和宽应分别为多少米？ 【解答】解：（1）因为休闲区的长为米，休闲区的面积为1000平方米，所以休闲区的宽为米；从而矩形的长与宽分别为米，米，因此矩形所占面积； （2），当且仅当，即时取等号，此时．因此要使公园所占面积最小，休闲区的长和宽应分别为50米，20米． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$想，都是问题 做，才有答案 函数的应用（一） 题型一：二次函数的应用 1．某镇在政府“精准扶贫”的政策指引下，充分利用自身资源，大力发展养殖业，以增加收入，政府计划共投入72万元，全部用于甲、乙两个合作社，每个合作社至少要投入15万元，其中甲合作社养鱼，乙合作社养鸡，在对市场进行调研分析发现养鱼的收益、养鸡的收益与投入（单位：万元）满足，．设甲合作社的投入为（单位：万元），两个合作社的总收益为（单位：万元）． （1）当甲合作社的投入为25万元时，求两个合作社的总收益； （2）试问如何安排甲、乙两个合作社的投入，才能使总收益最大？ 题型二：分段函数的应用 1．某商场就一新款儿童玩具进行促销活动，活动时长是30天，这30天内第天的销售单价（单位：元件）为，销售量（单位：件）为，，，且第20天的销售额为1800元（销售额销售单价销售量）． （1）求的值，并求出第5天的销售额；（2）求这30天内单日销售额的最大值． 2．经市场调查，某商品在过去的100天内销售量（单位：件）和价格（单位：元）均为时间（单位：天）的函数，且销售量满足，，价格满足，． （Ⅰ）求该种商品的日销售额与时间的函数关系； （Ⅱ）若销售额超过16610元，商家认为该商品的收益达到理想程度，请判断该商品在哪几天的收益达到理想程度？ 3．某厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产千件，需另投入成本（万元），若年产量不足80千件，的图象是如图的抛物线，此时的解集为，且的最小值是，若年产量不小于80千件，，每千件商品售价为50万元，通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完； （1）写出年利润（万元）关于年产量（千件）的函数解析式； （2）年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？ 4．某商家计划投入10万元经销甲，乙两种商品，根据市场调查统计，当投资额为万元，经销甲，乙两种商品所获得的收益分别为万元与万元，其中，，当该商家把10万元全部投入经销乙商品时，所获收益为5万元．（Ⅰ）求实数的值； （Ⅱ）若该商家把10万元投入经销甲，乙两种商品，请你帮他制订一个资金投入方案，使他能获得最大总收益，并求出最大总收益． 5．一种药在病人血液中的含量不低于2克时，它才能起到有效治疗的作用，已知每服用且克的药剂，药剂在血液中的含量（克随着时间（小时）变化的函数关系式近似为，其中．（1）若病人一次服用9克的药剂，则有效治疗时间可达多少小时？ （2）若病人第一次服用6克的药剂，6个小时后再服用克的药剂，要使接下来的2小时中能够持续有效治疗，试求的最小值． 6．为了净化空气，某科研单位根据实验得出，在一定范围内，每喷洒1个单位的净化剂，空气中释放的浓度（单位：毫克立方米）随着时间（单位：天）变化的关系如下：当时，；当时，．若多次喷洒，则某一时刻空气中的净化剂浓度为每次投放的净化剂在相应时刻所释放的浓度之和．由实验知，当空气中净化剂的浓度不低于4（毫克立方米）时，它才能起到净化空气的作用． （1）若一次喷洒4个单位的净化剂，则净化时间可达几天？ （2）若第一次喷洒2个单位的净化剂，6天后再喷洒个单位的净化剂，要使接下来的4天中能够持续有效净化，试求的最小值． 7．2020年春节前后，一场突如其来的新冠肺炎疫情在武汉出现并很快地传染开来（已有证据表明2019年10月、11月国外已经存在新冠肺炎病毒），对人类生命形成巨大危害．在中共中央、国务院强有力的组织领导下，全国人民万众一心抗击、防控新冠肺炎，疫情早在3月底已经得到了非常好的控制（累计病亡人数3869人），然而国外因国家体制、思想观念的不同，防控不力，新冠肺炎疫情越来越严重．疫情期间造成医用防护用品短缺，某厂家生产医用防护用品需投入年固定成本为150万元，每生产万件，需另投入成本为．当年产量不足60万件时，（万元）；当年产量不小于60万件时，（万元）．通过市场分析，若每件售价为400元时，该厂年内生产的商品能全部售完．（利润销售收入总成本） （1）写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式； （2）年产量为多少万件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？并求出利润的最大值． 8．市场上有一种新型的强力洗衣液，特点是去污速度快，已知每投放个单位的洗衣液在一定量水的洗衣机中，它在水中释放的浓度（克升）随着时间（分钟）变化的函数关系式近似为，其中，若多次投放，则某一时刻水中的洗衣液浓度为每次投放的洗衣液在相应时刻所释放的浓度之和，根据经验，当水中洗衣液的浓度不低于4（克升）时，它才能起到有效去污的作用． （1）若只投放一次4个单位的洗衣液，则有效去污时间可达几分钟？ （2）若第一次投放2个单位的洗衣液，6分钟后再投放2个单位的洗衣液，问能否使接下来的4分钟内持续有效去污？说明理由． 题型三：幂函数的应用 1．美国对中国芯片的技术封锁，这却激发了中国“芯”的研究热潮．某公司研发的，两种芯片都已经获得成功．该公司研发芯片已经耗费资金2千万元，现在准备投入资金进行生产，经市场调查与预测，生产芯片的毛收入与投入的资金成正比，已知每投入1千万元，公司获得毛收入0.25千万元；生产芯片的毛收入（千万元）与投入的资金（千万元）的函数关系为，其图象如图所示． （Ⅰ）试分别求出生产，两种芯片的毛收入（千万元）与投入资金（千万元）的函数关系式； （Ⅱ）如果公司只生产一种芯片，生产哪种芯片毛收入更大？ （Ⅲ）现在公司准备投入4亿元资金同时生产，两种芯片，设投入千万元生产芯片，用表示公司所获利润，当为多少时，可以获得最大利润？并求最大利润．（利润芯片毛收入芯片毛收入研发耗费资金） 题型四：函数的综合应用 1．司机甲、乙加油习惯不同，甲每次加定量的油，乙每次加固定钱数的油，恰有两次甲、乙同时加同单价的油，但这两次的油价不同，则从这两次加油的均价角度分析　　 A．甲合适 B．乙合适 C．油价先高后低甲合适 D．油价先低后高甲合适 2．如图，某房地产开发公司计划在一栋楼区内建造一个矩形公园，公园由矩形的休闲区（阴影部分）和环公园人行道组成，已知休闲区的面积为1000平方米，人行道的宽分别为4米和10米，设休闲区的长为米． （1）求矩形所占面积（单位：平方米）关于的函数解析式； （2）要使公园所占面积最小，问休闲区的长和宽应分别为多少米？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$