函数的单调性常考题型总结讲义-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

想，都是问题 做，才有答案 函数的单调性常考题型总结 1、单调函数的定义 设函数f(x)的定义域为I．如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说函数f(x)在区间D上是单调递增函数。 上升趋势 下降趋势 设函数f(x)的定义域为I．如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说函数f(x)在区间D上是单调递减函数。 2、函数的单调性及单调区间 （1）当函数在它的定义域上单调递增（减）时，我们就称它是增（减）函数． （2）如果函数在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做的单调区间． （3）当函数有多个单调区间时，区间之间用“和”或“，”连接，而不能用“∪”连接． 3、单调性定义的等价形式: （1）函数在区间上是增函数: 任取，且，都有； 任取，且，； 任取，且，； 任取，且，． （2）函数在区间上是减函数: 任取，且，都有； 任取，且，； 任取，且，； 任取，且，． 4、函数单调性的性质和函数单调性运算性质 （1）若函数在区间上具有单调性，则在区间上具有以下性质． ①与（C为常数）具有相同的单调性． ②若为常数，则当时，与具有相同的单调性；当时，与具有相反的单调性． ③若恒为正值或恒为负值，为常数，则当时，与具有相反的单调性；当时，与具有相同的单调性． ④若，则与具有相同的单调性． ⑤在的公共单调区间上，有如下结论： 增 增 增 不能确定单调性 增 减 不能确定单调性 增 减 减 减 不能确定单调性 减 增 不能确定单调性 减 ⑥当都是增（减）函数，若两者都恒大于零，则也是增（减）函数；若两者都恒小于零，则是减（增）函数． 5、复合函数单调性的判断 讨论复合函数的单调性时要注意：既要把握复合过程，又要掌握基本函数的单调性． 一般需要先求定义域，再把复杂的函数正确地分解为两个简单的初等函数的复合，然后分别判断它们的单调性，再用复合法则，复合法则如下: 1．若，在所讨论的区间上都是增函数或都是减函数，则为增函数; 2．若，在所讨论的区间上一个是增函数，另一个是减函数，则为减函数．列表如下: 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 复合函数单调性可简记为“同增异减”，即内外函数的单性相同时递增；单性相异时递减． 【题型一】函数单调性定义 【典型例题】 1．如果函数在上是增函数，那么对于任意的，下列结论中不正确的是（    ） A．>0 B． C．若，则 D．>0 2．已知函数在上单调递增，则对实数，“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．下列命题正确的是（ ） A．若对于，，，都有，则函数 在R上是增函数 B．若对于，，，都有，则函数在R上是增函数 C．若对于，都有成立，则函数 在R上是增函数 D．若对于，都有，为增函数，则函数在R上也是增函数 4．下列函数中，满足“对任意，且都有”的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．甲：函数是上的单调递减函数；乙：，则甲是乙的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．对于函数在给定区间上有两个数，且使成立，则 (　　) A．一定是增函数 B．一定是减函数 C．可能是常数函数 D．单调性不能确定 3．如果函数在上是增函数，对于任意的，则下列结论中正确的有（    ） A． B． C． D． 4．设函数在区间上有意义，任意两个不相等的实数，下列各式中，能够确定函数在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【题型二】常见函数单调性定义证明 【典型例题】 1．已知函数的定义域为，判断在上的单调性，并用定义证明； 2．已知函数的定义域为，判断在上的单调性，并用定义证明； 3．已知函数的定义域为R，判断在R上的单调性，并用定义证明； 4．已知函数．(1)试用单调性定义判断在上的单调性；(2)求函数在上的最值． 【题型三】常见函数单调性：反比例型 【典型例题】 1．在[3，4]的最大值为（    ） A．2 B． C． D．4 2．关于函数，下列说法正确的是（    ） A．若，则函数只有最大值没有最小值 B．若，则函数只有最小值没有最大值 C．若，则函数有最大值没有最小值 D．若，则函数有最小值也有最大值 3．若函数在区间上的最大值为，则实数（    ） A． B． C． D．或 4．函数在（       ） A．上是增函数 B．上是减函数 C．和上是增函数 D．和上是减函数 【变式训练】 1．函数，x∈[3，+∞）的值域是（    ） A． B． C． D． 2．已知函数（）在上的最大值为1，则的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．记函数f(x)=在区间[3，4]上的最大值和最小值分别为M和m，则等于（    ） A． B． C． D． 【题型四】常见函数单调性：对勾型函数 【典型例题】 1．若函数的值域是，则函数的值域是（     ） A． B． C． D． 2．设，函数在区间上的最小值为m1，在区间上的最小值为m2，若，则a的值为（    ） A．1 B．2 C．100 D．1或100 3．函数的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．函数的最小值为（    ） A．2 B． C．1 D．不存在 【变式训练】 1．若函数的值域是，则函数的值域是（    ） A． B． C． D． 2．已知函数，则的最小值（    ） A． B． C．0 D．1 3．已知，则函数的值域为______． 4．已知函数（）在上是减函数，在上是增函数，若函数在（）上的最小值为，则的取值范围是 A． B． C． D． 5．设，函数在区间上的最小值为m1，在区间上的最小值为m2，若，则a的值为（    ） A．1 B．2 C．100 D．1或100 【题型五】常见函数单调性：一元二次型 【典型例题】 1．已知在区间[0，1]上的最大值为g(a)，则g(a)的最小值为（    ） A．0 B． C．1 D．2 2．已知函数在上单调递减，且在上的最小值为，则实数的值为（    ） A． B． C．或 D．或 3．若函数在区间[0,1]上的最大值是M,最小值是m,则的值（    ） A．与a有关，且与b有关 B．与a有关，但与b无关 C．与a无关，且与b无关 D．与a无关，但与b有关 【变式训练】 1．已知，则函数（    ） A．有最小值，无最大值 B．有最小值 ，最大值1 C．有最小值1，最大值 D．无最小值和最大值 2．设，且，函数，，在上的最大值为2，则等于(　　) A．4 B．8 C．10 D．16 3．若函数在区间上是增函数，则的最小值是(　　) A．8 B． C． D． 【题型六】常见函数单调性：双刀函数型 【典型例题】 1．函数在区间上的最小值为(　　) A．1 B． C．．－ D．－1 2．函数的最大值为（    ） A． B． C． D． 3．函数在区间上的最小值为(　　) A． B． C． D． 4．已知函数，其中，记为的最小值，则当时，的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．函数在上的值域为________． 2．函数在上的最大值是（    ） A． B． C．－2 D．2 3．已知，则的最小值为(　　) A． B． C． D． 【题型七】常见函数单调性：分段函数型 【典型例题】 1．已知函数，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．若函数在R上是增函数，则实数的取值范围是（   ） A． B．[1,2] C． D． 3．已知函数满足对任意，都有成立，则实数的取值范围是__________． 4．若函数在上是单调函数，则的取值可以是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 5．设函数是定义在上增函数，则实数取值范围（ ） A． B． C． D． 6．已知函数 若对任意，，且，有成立，则实数a的值是（       ） A．2 B． C． D．1 7． 已知函数在R上递增，则m的取值范围是___________． 【变式训练】 1．若函数是上的减函数，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．若函数在R上为减函数，则实数a的取值范围（    ） A． B． C． D． 3．已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．已知函数是R上的增函数，则a的取值范围为（       ） A．[-4，0) B．[-4，-2] C． D． 5．函数，若对任意，都有成立，则实数a的取值范围为（       ） A．(－∞，1] B．(1，5) C．[1，5) D．[1，4] 6．已知f(x)＝，若f(x)是R上的增函数，则实数a的范围是________． 7．已知函数在上是减函数，则a的取值范围为（       ） A． B． C． D． 8．已知在上单调递减，则a的取值范围为（       ） A． B． C． D． 【题型八】内外复合函数单调区间 【典型例题】 1．函数的单调减区间是（    ） A． B． C． D． 2．函数的单调递减区间为 ． 3．的单调增区间是 ． 4．已知函数在定义域上单调递增，则函数在区间（    ）单调递增． A． B． C． D． 5．函数的单调递增区间是（　　） A． B．， C． D． 6．函数的单调增区间是___________, 单调减区间是___________; 【变式训练】 1．若函数则，该函数的单调递减区间是（    ）． A． B． C． D． 2．函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 3．函数的减区间是（    ） A． B． C． D． 【题型九】绝对值函数和最值函数的单调性判断 1．注意函数和函数图象的画法 2．当函数中某一部有绝对值可以考虑通过讨论正负去掉绝对值 【典型例题】 1．求函数的单调递增区间________． 2．函数的单调递减区间是________． 3．函数的单调递增区间为（       ） A． B． C． D． 4．下列结论正确的是（　　） A．函数的单调增区间是 B．函数在定义域内单调递减 C．函数 的单调递增区间是 D．函数的单调递减区间是 5．（多选）已知，，设，则关于的说法正确的是（       ） A．最大值为3，最小值为 B．最大值为，无最小值 C．单调递增区间为和，单调递减区间为和 D．单调递增区间为和，单调递减区间为和 6．已知表示，，中的最大值，例如，若函数，则的最小值为（    ） A．2．5 B．3 C．4 D．5 【变式训练】 1．关于函数，下列结论：①函数在定义域内是减函数；②函数有两个单调区间，且单调性不相同；③函数在上单调递减；④函数的单调区间为．其中正确的个数是（       ） A．1 B． C．3 D． 2．求函数的单调增区间为 3．已知函数，则下列结论正确的是（       ） A．增区间是 B．减区间是 C．增区间是 D．增区间是 4．函数的单调递增区间是（       ） A． B．和 C． D．和 5．对，用表示，中较大者，记为，若，则的最小值为（    ） A．-1 B．0 C．1 D．4 6．对于每个实数x，设f(x)是y＝4x＋1，y＝x＋2和y＝－2x＋4这三个函数值中的最小值，则函数f(x)的最大值为(　　) A． B．3 C． D． 7．已知，设函数，则的最值情况是 A．最大值为3，最小值 B．最大值为，无最小值 C．最小值，无最大值 D．既无最大值，又无最小值 【题型十】取整函数（高斯函数） 【典型例题】 1．世界公认的三大著名数学家为阿基米德､牛顿､高斯，其中享有“数学王子"美誉的高斯提出了取整函数表示不超过的最大整数，例如．已知，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 2．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，例如：，，已知函数，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 3．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，例如：．已知函数，则关于函数的叙述中正确的是（    ） A．是偶函数 B．的最小值是1 C．的值域是 D．是单调函数 【变式训练】 1．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，用他的名字命名了“高斯函数”．设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数．例如：，，已知函数，则下列选项中，正确的是（    ） A．区间，上的值域为， B．区间，上的值域为， C．区间，上的值域为， D．区间，上的值域为 2．设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数．例如：，，已知函数，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 3．设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，，已知函数，则函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【题型十一】利用单调性求参数取值范围 【典型例题】 1．已知函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 2．已知函数在上单调，则实数k的取值范围为（    ） A． B． C．D． 3．已知函数在区间上是单调函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．若函数的单调增区间是，则_________ 5．已知函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是 6．已知函数与在区间上都是减函数，那么（       ） A． B． C． D． 7．（多选）已知函数，下列关于函数的单调性说法正确的是（       ） A．函数在上不具有单调性 B．当时，在上递减 C．若的单调递减区间是，则a的值为 D．若在区间上是减函数，则a的取值范围是 E．在区间上不可能是减函数 8．已知二次函数的图象过点，且不等式的解集为． （Ⅰ）求的解析式；（Ⅱ）设，若在上是单调函数，求实数m的取值范围． 9．若函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．函数在区间上单调递增，则的取值范围是有（       ） A． B． C． D． 2．若函数在上是严格增函数，则实数a的取值范围是______． 3．若是上的严格减函数．则实数的取值范围是________． 4．若是上的严格增函数，则实数a、b的取值范围分别是_________________． 5．已知函数在区间上是严格减函数，并且函数值不恒为负，则a的取值范围是______． 6．若二次函数满足,且．（1）求的解析式; （2）若函数在上递减,上递增,求的值及当时函数的值域． 【题型十二】单调性求参：值域求参 【典型例题】 1．已知函数，记函数，其中实数，若的值域为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．已知函数 ，若值域为，则实数的范围是（    ） A． B． C． D． 3．已知函数，若对任意的，，，都有成立，则实数k的取值范围为（ ） A． B． C． D． 4．已知函数严格单调，且的最大值为8，求实数的值． 【变式训练】 1．已知函数(，为实数)，在区间上的最大值为，最小值为，则的值(    ) A．与有关，且与有关 B．与有关，但与无关 C．与无关，但与有关 D．与无关，且与无关 2．若函数在区间上的最大值为，则实数（    ） A． B． C． D．或 【题型十三】单调性求参：任意存在型（值域子集型） 单函数恒成立、能成立、恰成立问题的求解 1. 恒成立问题的转化：恒成立；恒成立 2. 能成立问题的转化：能成立；能成立· 3．恰成立问题的转化：在M上恰成立的解集为 另一转化方法：若，在D上恰成立，等价于在D上的最小值，若,在D上恰成立，则等价于在D上的最大值． 注：含参不等式恒成立问题一般较为复杂．仅运用不等式的性质，往往很难找到使不等式恒成立的条件，使问题顺利得解．这就需要采用不同思路，如函数性质、变换主元、分离参数、分类讨论、数形结合等来解题． 1、函数性质法 （1）一次函数——单调性法 给定一次函数,若在内恒有,则根据函数的图像可得上述结论等价于（1）或（2）可合并定成同理,若在内恒有,则有 （2）二次函数——利用判别式 ①一元二次不等式在R上的恒成立问题：设 上恒成立；上恒成立． ②一元二次不等式在给定区间上的恒成立或有解问题 二次函数在区间D上大于(小于）零恒成立，讨论的标准是二次函数的图象的对称轴与区间D的相对位置，一般分对称轴在区间左侧、内部、右侧进行讨论。 “同号要分类，异号看端点” 设 （1）当时，上恒成立 上恒成立 （2）当时，上恒成立 上恒成立 （3）其它函数： 恒成立（注：若的最小值不存在,则恒成立的下界大于0）；恒成立（注：若的最大值不存在,则恒成立的上界小于0）． 2、分离参数法——极端化原则 分离参数法是解答含参不等式恒成立问题的重要方法．运用分离参数法求解不等式恒成立问题，需先将不等式进行变形，使参数分离，得到形如的式子，只要使，就能确保不等式恒成立．在求的最值时，往往可根据导数的性质、函数的单调性，或利用基本不等式． 3、主参换位（主元法）——反客为主法 某些含参不等式恒成立问题,在分离参数会遇到讨论的麻烦或者即使能容易分离出参数与变量,但函数的最值却难以求出时,可考虑变换思维角度“反客为主”,即把习惯上的主元变与参数变量的“地位”交换一下,变个视角重新审查恒成立问题,往往可避免不必要的分类讨论或使问题降次、简化,起到“山穷水尽疑无路,柳暗花明又一村”的出奇制胜的效果．运用变更主元法解答含参不等式恒成立问题，需先找出所要求证不等式中的变量与参数，然后将两者进行互换，得到新不等式，根据新主元的取值或者限制条件，列出满足题意的不等式或不等式组，从而解题． 4、分类讨论法 含参不等式恒成立问题中参数的取值往往不确定，因而在求解含参不等式恒成立问题时，需灵活运用分类讨论法，对参数或某些变量进行分类讨论，从而求得问题的答案．而确定分类讨论的标准是解题的关键，可根据一元二次方程的判别式大于、等于、小于0进行分类讨论；也可根据二次函数的二次项系数大于、小于0进行分类讨论；还可根据导函数值大于、等于、小于0进行分类讨论． 5、数形结合——直观求解法 若所给不等式进行合理的变形化为（或）后,能非常容易地画出不等号两边函数的图像,则可以通过画图直接判断得出结果．尤其对于选择题、填空题这种方法更显方便、快捷． 单变量双函数“任意性问题”与“存在性问题”的求解策略 1. （1）若不等式在区间D上恒成立，则等价于在区间D上函数的图象在函数图象上方；即有 （2）若不等式在区间D上恒成立，则等价于在区间D上函数的图象在函数图象下方． 2．（1）对，使得不等式成立，则问题等价于． （2）若，使得不等式成立，则问题等价于 双变量双函数“任意性问题”与“存在性问题”的求解策略 一般地，已知函数， 1、不等关系 （1）若，，总有成立，故； （2）若，，有成立，故； （3）若，，有成立，故； （4）若，，有成立，故． 2、相等关系 记的值域为A, 的值域为B, （1）若，，有成立，则有； （2）若，，有成立，则有； （3）若，，有成立，故； 【典型例题】 1．已知函数，()，对，，使成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．已知函数，函数，对于任意，总存在，使得成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．已知，，若对，，使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．已知函数，函数，，对于任意，总存在，使得成立，则实数的取值范围是________． 5．已知，对任意非零实数，存在唯一的非零实数，使得成立，则实数k的取值范围是 ． 6．已知函数，且对任意的实数x，恒成立，函数，若对，，使，则正实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．已知函数；(1)解关于的不等式； (2)已知，当时，若对任意的，总存在，使成立，求实数的取值范围． 8．已知，其中为常数． (1)若的解集为或，求的值； (2)使，求实数的取值范围． 9．已知函数，若存在，使得成立，则实数的取值范围是（    ） A．或 B． C． D． 10．已知定义域为，对任意都有．当时，，且． (1)求的值；(2)判断函数的单调性，并证明； (3)若对，都有恒成立，求实数的取值范围． 【变式训练】 1．函数，，对，，使成立，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2．已知函数，若存在，且，使得成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．已知函数，，若对任意，总存在，使得成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．已知函数的定义域为，对任意，有，且，若对任意恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．已知，函数，，若对任意，总存在，使得，则a的取值范围为______． 6．已知函数．(1)若，当时，求函数的值域； (2)若存在，对任意都有成立，求实数的取值范围． 【题型十四】单调性比大小 【典型例题】 1．若函数在上是减函数，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D． 2．已知函数在上是递减函数，且，则有（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．函数为定义在上严格减函数，若，则（　　） A． B． C． D． 2．已知在区间上是增函数，且，则下列不等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 3．函数是上的增函数且，则（    ） A． B． C． D．， 【题型十五】单调性比大小：轴对称型 【典型例题】 1．已知函数对任意实数都有，并且对任意，总有，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D．无法确定 2．定义在R上函数满足以下条件：①函数图象关于轴对称，②对任意，当时都有，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 3．已知函数的定义域为，若对都有，且在上单调递减，则与的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．已知，且在上是增函数，则，，的大小顺序是（    ） A． B． C． D． 2．已知，且在上是增函数，则，，的大小顺序是（ ） A． B． C． D． 3．已知定义在上的函数满足，在区间上满足，则下列关系式中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【题型十六】单调性比大小：构造函数型 【典型例题】 1．，，，则（    ） A． B． C． D． 2．已知函数的定义域为，且，对定义域内任意的，，当时，，若，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 3．已知函数，若，则（    ） A． B． C． D． 3. 定义在区间上的函数满足：，时，若，，，则三个实数a，b，c从小到大排列的顺序为___________． 【变式训练】 1．设，，，则（    ） A． B． C． D． 2．已知函数，若，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 3．已知函数，若，则 A． B． C． D．无法判断与的大小 【题型十七】单调性解不等式 对称性的常用结论如下： （1）若函数满足,则的一条对称轴为 （2）若函数满足,则的一条对称轴为 （3）若函数满足,则的一条对称轴为， （4）的图象关于直线对称； 【典型例题】 1．已知函数在上单调递减，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 2．设，已知函数是定义在上的减函数，且，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．若是上的减函数，且的图象经过点和点，则当不等式的解集为时，的值为_____． 4．已知函数是定义在区间上的减函数，若，则实数的取值范围是 ． 5．已知函数在上有定义，且．若对任意给定的实数，均有恒成立，则不等式的解集是______． 6．已知定义在上的函数满足，且，，都有，．若对，恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7． 已知函数满足（x∈R），且对任意的时，恒有成立，则当时，实数a的取值范围为 【变式训练】 1．已知函数是定义在上的增函数，且，则实数的取值范围是 ． 2．函数的定义域为，且在定义域内是增函数，若，则的取值范围是 ． 3．已知函数的定义域为，对任意的、，且都有成立，若对任意恒成立，则实数的取值范围是______． 4．已知函数为定义在上的函数，对任意的，均有成立，且在上单调递减，若，则不等式的解集为__________． 4. 定义在上的函数满足，且在上单调递增，若当时恒成立，则实数的取值范围为________． 【题型十八】抽象函数单调性的判断证明 证明单调性，实质就是构造定义法，在时，构造证明出正负。常见的构造规律如下： 1．构造“和” 2．构造“积” 3． 利用构造, 类型一：型 1．已知定义在上的函数对任意，恒有，且当时，．试判断在的单调性，并证明； 2．已知定义在上的函数,满足,且当时,． (1)讨论函数的单调性,并说明理由;(2)若,解不等式． 3．已知函数的定义域为，对任意都有，且时，． (1)求；(2)求证：函数在上单调递增；(3)若，，解关于x的不等式． 【变式训练】 1．已知函数的定义域为，当时，，且，试判断函数在定义域上的单调性。 2．定义在上的函数满足下面三个条件：① 对任意正数，都有；② 当时，；③ (1)求和的值；(2)试用单调性定义证明：函数在上是减函数； 3． 函数的定义域为，对于，，，且当时，． (1)证明：为减函数；(2)若，求不等式的解集． 类型二：型 1．已知函数的定义域为，且对任意的均有，且对任意的，都有．证明：函数是上的单调递减函数； 【变式训练】 1．已知函数的定义域为，且对任意的均有，且对任意的，都有，试判断函数在定义域上的单调性。 类型三：型 1．已知定义域为，对任意都有，且当时，．试判断的单调性，并证明； 2．已知的定义域为，对任意都有，当时， (1)求；(2)证明:在上是减函数；(3)解不等式:． 【变式训练】 1．已知定义域为，对任意都有，且当时，． 试判断的单调性，并证明； 2．定义在R上的函数对任意，都有，当时，． (1)求的值；(2)试判断在R上的单调性，并说明理由；(3)解不等式． 【题型十九】抽象函数单调性解不等式 【典型例题】 1．已知是定义在上的减函数，对任意、，恒成立，若，则的解集为（    ） A． B． C． D． 2．已知定义域为的函数满足：，当时，，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 3．已知是定义在上的减函数，且对，，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．已知函数在上有定义，且．若对任意给定的实数，均有恒成立，则不等式的解集是______． 5．设是定义在上的单调增函数，且对定义域内任意，都有，且，则使不等式成立的的取值范围是______． 6．已知函数的定义域是，当时，，且对任意正数，，都有，，给出下列四个说法：①；②函数在上单调递增；；④满足不等式的的取值范围为．（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．已知函数的定义域为，对满足，，当时，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 8．已知的定义域为且对于任意正数都有，且当时，，则不等式的解集为 ． 9． 已知函数的定义域是，当时，，且对任意正数，，都有，，给出下列四个说法：①；②函数在上单调递增；③；④满足不等式的的取值范围为．（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 10．已知函数的定义域为，对满足，，当时，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．已知函数的定义域，且对任意，恒有，当时，，若，则的取值范围是______________． 2．已知函数的定义域是，且满足，，如果对于，都有，不等式的解集为   （    ） A． B． C． D． 3．若定义在上的函数满足：，且时，有,当 时，的最大值、最小值分别为，则的值为（    ） A．2018 B．2019 C．4036 D．4038 4．已知定义在（0，）上的函数满足：对任意正数a､b，都有，且当时，，则下列结论正确的是（    ） A．是增函数，且 B．是增函数，且 C．是减函数，且 D．是减函数，且 5．已知连续函数对任意实数恒有，当时，，，则下列结论错误的是（ ） A． B．在上的最大值是4 C．图像关于中心对称 D．不等式的解集为 6．已知是定义在R上的增函数，且对任意，都有，则不等式的解集为（　　） A． B． C． D． 7．已知函数的定义域是，且满足，如果对于，都有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 8．（多选）定义在上的函数满足如下条件：①，②当时， ；则下列结论中正确的是（    ） A． B． C．在上单调递增 D．不等式的解集为 9．（多选）已知函数的定义域是，对，都有，且当时，，且，下列说法正确的是（    ） A． B．函数在上单调递增 C． D．满足不等式的的取值范围为 10．已知定义在上的函数，对，满足，，且对都有，则关于a的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【题型二十】构造新函数解不等式 【典型例题】 1．定义在的函数满足：对，，且，成立，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 2．定义在上的函数满足（），且，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 3．（多选）已知函数，若对任意的，且恒成立，则实数a的取值可以是（    ） A． B． C．1 D．2 4．已知函数，若对于任意，，都有，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．函数的定义域为，对任意，有，且，若对任意恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．定义在上的函数满足：对，且，都有成立，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 2．已知函数的定义域为R，对任意的，都有，且，则的解集为（    ） A． B． C． D． 3．定义在上的函数满足，且，则不等式的解集为_________． 4．定义在上的函数满足：＜0，且，则不等式的解集为（  　） A． B． C． D． 5．定义在上的函数满足，且，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 6．定义在上的函数满足，且，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 一 学科网（北京）股份有限公司 $$想，都是问题 做，才有答案 函数的单调性常考题型总结 1、单调函数的定义 设函数f(x)的定义域为I．如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说函数f(x)在区间D上是单调递增函数。 上升趋势 下降趋势 设函数f(x)的定义域为I．如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说函数f(x)在区间D上是单调递减函数。 2、函数的单调性及单调区间 （1）当函数在它的定义域上单调递增（减）时，我们就称它是增（减）函数． （2）如果函数在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做的单调区间． （3）当函数有多个单调区间时，区间之间用“和”或“，”连接，而不能用“∪”连接． 3、单调性定义的等价形式: （1）函数在区间上是增函数: 任取，且，都有； 任取，且，； 任取，且，； 任取，且，． （2）函数在区间上是减函数: 任取，且，都有； 任取，且，； 任取，且，； 任取，且，． 4、函数单调性的性质和函数单调性运算性质 （1）若函数在区间上具有单调性，则在区间上具有以下性质． ①与（C为常数）具有相同的单调性． ②若为常数，则当时，与具有相同的单调性；当时，与具有相反的单调性． ③若恒为正值或恒为负值，为常数，则当时，与具有相反的单调性；当时，与具有相同的单调性． ④若，则与具有相同的单调性． ⑤在的公共单调区间上，有如下结论： 增 增 增 不能确定单调性 增 减 不能确定单调性 增 减 减 减 不能确定单调性 减 增 不能确定单调性 减 ⑥当都是增（减）函数，若两者都恒大于零，则也是增（减）函数；若两者都恒小于零，则是减（增）函数． 5、复合函数单调性的判断 讨论复合函数的单调性时要注意：既要把握复合过程，又要掌握基本函数的单调性． 一般需要先求定义域，再把复杂的函数正确地分解为两个简单的初等函数的复合，然后分别判断它们的单调性，再用复合法则，复合法则如下: 1．若，在所讨论的区间上都是增函数或都是减函数，则为增函数; 2．若，在所讨论的区间上一个是增函数，另一个是减函数，则为减函数．列表如下: 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 复合函数单调性可简记为“同增异减”，即内外函数的单性相同时递增；单性相异时递减． 【题型一】函数单调性定义 【典型例题】 1．如果函数在上是增函数，那么对于任意的，下列结论中不正确的是（    ） A．>0 B． C．若，则 D．>0 【详解】因为f(x)在[a，b]上是增函数，对于任意的x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，x1－x2与f(x1)－f(x2)的符号相同，故A，B，D都正确，而C中应为若x1<x2，则f(a)≤f(x1)<f(x2)≤f(b)．故不正确的是：．故选：． 2．已知函数在上单调递增，则对实数，“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【详解】因为函数在上单调递增，且，由增函数的定义可知，当时，有，充分性成立；当时，若，由函数定义可知矛盾，若，由函数单调性的定义可知矛盾，则，必要性成立．即对实数，“”是“”的充要条件．故选：C 3．下列命题正确的是（ ） A．若对于，，，都有，则函数 在R上是增函数 B．若对于，，，都有，则函数在R上是增函数 C．若对于，都有成立，则函数 在R上是增函数 D．若对于，都有，为增函数，则函数在R上也是增函数 【详解】A选项中，化简为，故函数在R上是增函数；B选项中，故函数在R上是增函数；C选项中，令，表示不超过x的最大的整数，满足，但在R上不是增函数；D选项中，令，但函数在R上不单调． 4．下列函数中，满足“对任意，且都有”的是（    ） A． B． C． D． 【详解】“对任意，，且都有”，函数在上单调递减，结合选项可知，A ：在单调递增，不符合题意，B：在单调递增，不符合题意，C：在单调递增，不符合题意，D：在单调递减，符合题意．故选：D． 【变式训练】 1．甲：函数是上的单调递减函数；乙：，则甲是乙的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【详解】函数是R上的单调递减函数，则，由减函数定义知，此命题是真命题，即命题：“若甲则乙”是真命题；反之，，则函数是上的单调递减函数，条件与减函数定义不符，即命题：“若乙则甲”是假命题，所以甲是乙的充分不必要条件．故选：A 2．对于函数在给定区间上有两个数，且使成立，则 (　　) A．一定是增函数 B．一定是减函数 C．可能是常数函数 D．单调性不能确定 【详解】∵由单调性的定义可以知道，不能用特殊值代替一般值∴若使函数为增函数，应为任意两个数，且使故单调性不能确定。故选D 3．如果函数在上是增函数，对于任意的，则下列结论中正确的有（    ） A． B． C． D． 【详解】对于A项，因为在上是增函数，所以对于任意的，（），当时，，所以，，所以，当时，，所以，，所以，综述：，故A项正确；对于B项，因为在上是增函数，所以对于任意的，（），当时，，所以，，所以，当时，，所以，，所以，综述：，故B项不成立；对于C项、D项，由于，的大小关系不确定，所以与的大小关系不确定，故C项不成立，D项不成立．故选：A． 4．设函数在区间上有意义，任意两个不相等的实数，下列各式中，能够确定函数在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【详解】解：函数在区间上单调递增，则任意两个不相等的实数，与应该同号，所以，故选：C． 【题型二】常见函数单调性定义证明 【典型例题】 1．已知函数的定义域为，判断在上的单调性，并用定义证明； 【详解】在上单调递增，证明如下：设，； ，，，，，是在上单调递增． 2．已知函数的定义域为，判断在上的单调性，并用定义证明； 3．已知函数的定义域为R，判断在R上的单调性，并用定义证明； 4．已知函数． (1)试用单调性定义判断在上的单调性；(2)求函数在上的最值． 【详解】（1）任取，且，则 因为，且，所以，，，所以，所以，所以，即．所以在上单调递减．（2）由（1）知在上单调递减，所以，．所以函数在上的最小值为，最大值为． 【题型三】常见函数单调性：反比例型 【典型例题】 1．在[3，4]的最大值为（    ） A．2 B． C． D．4 【详解】在上是减函数，所以当时，取得最大值为．故选：A 2．关于函数，下列说法正确的是（    ） A．若，则函数只有最大值没有最小值 B．若，则函数只有最小值没有最大值 C．若，则函数有最大值没有最小值 D．若，则函数有最小值也有最大值 【详解】函数的定义域为，，由反比例函数的性质，得在单调递减，此时；在单调递减，此时；若，则在上取到，所以，同理，在上取到，所以，所以当，函数有最大值和最小值．故选：D 3．若函数在区间上的最大值为，则实数（    ） A． B． C． D．或 【详解】函数，即，，当时，不成立；当，即时，在递减，可得为最大值，即，解得成立；当，即时，在递增，可得为最大值，即，解得不成立；综上可得．故选：． 4．函数在（       ） A．上是增函数 B．上是减函数 C．和上是增函数 D．和上是减函数 【详解】，函数的定义域为，其图象如下：由图象可得函数在和上是增函数．故选：C 【变式训练】 1．函数，x∈[3，+∞）的值域是（    ） A． B． C． D． 【详解】由题意得，，显然函数在上为减函数，所以，当时，函数取得最大值，且最大值为，当接近时，接近，所以的值域为．故选：D． 2．已知函数（）在上的最大值为1，则的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【详解】当时，函数在上单调递减，所以函数（）在处取得最大值，最大值为，解得．故选：B． 3．记函数f(x)=在区间[3，4]上的最大值和最小值分别为M和m，则等于（    ） A． B． C． D． 【详解】因为f(x)= =2+，所以f(x)在[3，4]上是减函数．所以m=f(4)=4，M=f（3）=6． 所以=．故选：D． 【题型四】常见函数单调性：对勾型函数 【典型例题】 1．若函数的值域是，则函数的值域是（     ） A． B． C． D． 【详解】解：令，，则．当时，单调递减，当时，单调递增，又当时，，当时，，当时，，所以函数的值域为，故选：B． 2．设，函数在区间上的最小值为m1，在区间上的最小值为m2，若，则a的值为（    ） A．1 B．2 C．100 D．1或100 【详解】为对钩函数，在上单调递减，在上单调递增．当时，；当时，．因此总有， 即2020，解得或．故选：D 3．函数的最小值为（    ） A． B． C． D． 【详解】令，则，因为，所以，又，令，其中，任取、且，即，则，，，，，即，所以，函数在上为增函数，因此，． 故选：C． 4．函数的最小值为（    ） A．2 B． C．1 D．不存在 【详解】令，函数在上是增函数，在上也是增函数．当，即，时，．故选：B． 【变式训练】 1．若函数的值域是，则函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【详解】令，，当，单调递减，当，单调递增， 当时，，当时，．故选:D 2．已知函数，则的最小值（    ） A． B． C．0 D．1 【详解】对于函数，任取，，其中，所以，所以在上递增．，令，则，由于在上递增，当时有最小值为，所以的最小值为．故选：A． 3．已知，则函数的值域为______． 【详解】因为，所以，，令，由双勾函数知，在上单调递减，在上单调递增，所以，所以，所以．故答案为：． 4．已知函数（）在上是减函数，在上是增函数，若函数在（）上的最小值为，则的取值范围是 A． B． C． D． 【详解】由题意可知，函数在上是减函数，在上是增函数，所以，在上的最小值为，所以，只要即可；答案选A 5．设，函数在区间上的最小值为m1，在区间上的最小值为m2，若，则a的值为（    ） A．1 B．2 C．100 D．1或100 【详解】为对钩函数，在上单调递减，在上单调递增．当时，；当时，．因此总有，即2020，解得或．故选：D 【题型五】常见函数单调性：一元二次型 【典型例题】 1．已知在区间[0，1]上的最大值为g(a)，则g(a)的最小值为（    ） A．0 B． C．1 D．2 【详解】解：因为的开口向上，对称轴，①即时，此时函数取得最大值，②当即时，此时函数取得最大值，故，故当时，取得最小值．故选：． 2．已知函数在上单调递减，且在上的最小值为，则实数的值为（    ） A． B． C．或 D．或 【详解】由函数在上单调递减可知，当时，函数有最小值，即：，解得：，当时，，函数单调递减，满足题意．故选：B． 3．若函数在区间[0,1]上的最大值是M,最小值是m,则的值（    ） A．与a有关，且与b有关 B．与a有关，但与b无关 C．与a无关，且与b无关 D．与a无关，但与b有关 【详解】因为最值在中取，所以最值之差一定与无关，选B． 【变式训练】 1．已知，则函数（    ） A．有最小值，无最大值 B．有最小值 ，最大值1 C．有最小值1，最大值 D．无最小值和最大值 【详解】f（x）＝x2+x+1＝（x）2，∴f（x）在区间[0，]上是增函数，∴f（x）min＝f（0）＝1，f（x）max＝f（）．故选：C． 2．设，且，函数，，在上的最大值为2，则等于(　　) A．4 B．8 C．10 D．16 【详解】因为，在上的最大值为2，所以, 所以．故选：B． 3．若函数在区间上是增函数，则的最小值是 A．8 B． C． D． 【详解】试题分析：由题意得，，，，，．故选C． 【题型六】常见函数单调性：双刀函数型 【典型例题】 1．函数在区间上的最小值为(　　) A．1 B． C．．－ D．－1 【详解】因为，在区间上都是减函数，所以在区间上单调递减， 因此．故选A 2．函数的最大值为（    ） A． B． C． D． 【详解】因为函数、在区间上均为增函数，故函数在上为增函数，当时，．故选：B． 3．函数在区间上的最小值为(　　) A． B． C． D． 【详解】试题分析：由函数单调性的定义判断，令则，因为，所以，因为，，所以，，所以，则函数是定义域内的减函数，故其最小值为． 4．已知函数，其中，记为的最小值，则当时，的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【详解】①当时，在上单调递增，所以，因此满足题意；②当时，在上单调递增，在上单调递减因此⑴当时，在上单调递增，所以， 或或⑵当时，在上单调递增，在上单调递减，所以； 综上，的取值范围为故选：D 【变式训练】 1．函数在上的值域为________． 【详解】在上为增函数，则在上的最小值为，最大值为， 即．故答案为：． 2．函数在上的最大值是（    ） A． B． C．－2 D．2 【详解】解：因为函数和在上均为减函数，所以f(x)在上是减函数， ∴f(x)max＝f(－2)＝2－＝．故选：A 3．已知，则的最小值为 A． B． C． D． 【详解】由题意， 令，，由函数单调性可知，所以当时，取最小值48．故选：B． 【题型七】常见函数单调性：分段函数型 【典型例题】 1．已知函数，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【详解】函数，函数在，上为减函数，在上函数值保持不变，若，则或，解得：，故选：． 2．若函数在R上是增函数，则实数的取值范围是（   ） A． B．[1,2] C． D． 【详解】解：∵函数在R上是增函数，∴，解得，故选：B． 3．已知函数满足对任意，都有成立，则实数的取值范围是__________． 【详解】解：因为函数对任意，都有成立，所以为上的增函数，因为函数，所以，解得，所以实数的取值范围是，故答案为：． 4．若函数在上是单调函数，则的取值可以是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【详解】因为当时，函数为单调递增函数，又函数在上是单调函数，则需满足，解得，所以实数的范围为，所以满足范围的选项是选项B．故选：B． 5．设函数是定义在上增函数，则实数取值范围（ ） A． B． C． D． 解析：画出图象可得在上单调递增，因为函数是定义在上增函数，所以，解得 6．已知函数 若对任意，，且，有成立，则实数a的值是（       ） A．2 B． C． D．1 【详解】因为成立，所以函数在R上单调递减，由题意，得 ,．故选:D． 7．已知函数在R上递增，则m的取值范围是___________． 【详解】当时，若，即时，在上递增；若，即时，要使在上递增，由对勾函数的性质得：，解得，此时 ，综上，在上递增时，；当时，要使在上递增，则，解得，因为函数在R上递增，所以，解得，所以m的取值范围是，故答案为： 【变式训练】 1．若函数是上的减函数，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【详解】因为函数是上的减函数，所以有，解得，故本题选A． 2．若函数在R上为减函数，则实数a的取值范围（    ） A． B． C． D． 【详解】由题意可得，解得，所以实数a的取值范围为．故选：A． 3．已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【详解】由在上单调递减，结合二次函数和一次函数解析式知：，解得．故选：D 4．已知函数是R上的增函数，则a的取值范围为（       ） A．[-4，0) B．[-4，-2] C． D． 【详解】解：因为且在上单调递增，所以，解得，即故选：B 5．函数，若对任意，都有成立，则实数a的取值范围为（       ） A．(－∞，1] B．(1，5) C．[1，5) D．[1，4] 【详解】因为对任意，都有成立，所以是减函数，则，解得．故选：D． 6．已知f(x)＝，若f(x)是R上的增函数，则实数a的范围是________． 【详解】由于在上递增，所以，解得．故答案为： 7．已知函数在上是减函数，则a的取值范围为（       ） A． B． C． D． 解析：因为函数在上是减函数，所以，解得 8．已知在上单调递减，则a的取值范围为（       ） A． B． C． D． 解析：因为函数在上是减函数，所以，解得 【题型八】内外复合函数单调区间 【典型例题】 1．函数的单调减区间是（    ） A． B． C． D． 【详解】由函数有意义得，解得．函数图象的对称轴为直线 在上单调递增，在上单调递减，的单调递减区间是．故选：C． 2．函数的单调递减区间为 ． 【详解】，即，解得：，函数的对称轴是， 当时，单调递增，当时，单调递减，根据复合函数的单调性可知，的单调递减区间是．故答案为： 3．的单调增区间是 ． 【详解】解:由题知,由解得或,故函数的定义域为或,因为对称轴为,开口向上,故在单调递减,在单调递增,因为在定义域内单调递增,根据复合函数单调性的求法可知,的单调增区间为:．故答案为: 4．已知函数在定义域上单调递增，则函数在区间（    ）单调递增． A． B． C． D． 【详解】因为函数在定义域，所以函数的定义域为． 令，所以为增函数，为减函数，又在为增函数，所以函数在区间．故选：D 5．函数的单调递增区间是（　　） A． B．， C． D． 【详解】由，可知函数开口向上，对称轴，且．因为函数在区间，上单调递减，所以原函数的单调递增区间，．故选:B． 6．函数的单调增区间是___________, 单调减区间是___________; 解析：函数的定义域为，解得 设，对称轴，所以函数的单调增区间是和，单调减区间是和 【变式训练】 1．若函数则，该函数的单调递减区间是（    ）． A． B． C． D． 【详解】令，若，可得，∴在上递增，在上递减；又在定义域上为递减，∴在上递减．故选：D 2．函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【详解】令，解得的定义域为在上递增，在上递减，函数在上为增函数函数的单调增区间为故选：A 3．函数的减区间是（    ） A． B． C． D． 【详解】由，得，所以函数的定义域为[－3，1]．可以看成由及复合而成．因为函数在[－3，－1]上是增函数，在[－1，1]上是减函数，函数在上是增函数，所以根据复合函数单调性“同增异减”的判断方法，可知函数的减区间是[－1，1]．故选：B． 【题型九】绝对值函数和最值函数的单调性判断 1．注意函数和函数图象的画法 2．当函数中某一部有绝对值可以考虑通过讨论正负去掉绝对值 【典型例题】 1．求函数的单调递增区间________． 【详解】，作出函数图象如图所示．函数的单调递增区间是和．故答案为:和． 2．函数的单调递减区间是________． 【详解】由当时，开口向上，对称轴方程为，所以在上单调递增．当时，开口向下，对称轴方程为 所以此时在上单调递增，在上单调递减．故答案为： 3．函数的单调递增区间为（       ） A． B． C． D． 【详解】，所以递增区间是．故选:C． 4．下列结论正确的是（　　） A．函数的单调增区间是 B．函数在定义域内单调递减 C．函数 的单调递增区间是 D．函数的单调递减区间是 【详解】对A，函数的定义域为，解得，所以A错对B，所以在和上分别为减函数，但不能说定义域内单调递减对C，由题意函数， 图象如图：函数的单调增区间为，，单调减区间为，；对D，当时，的开口向下，对称轴为，所以的单调减区间为，又当时，为减函数，但中间不能用这个符号 5．（多选）已知，，设，则关于的说法正确的是（       ） A．最大值为3，最小值为 B．最大值为，无最小值 C．单调递增区间为和，单调递减区间为和 D．单调递增区间为和，单调递减区间为和 【详解】在同一坐标系中先画出与的图象，当时，，表示的图象在的图象下方就留下的图象，当时，，表示的图象在的图象下方就留下的图象，然后根据定义画出，就容易看出有最大值，无最小值，故A错误，当时，由，得舍或，此时的最大值为：，无最小值，故B正确，时，由，解得：（舍去），故F在，递增，在和递减故C正确，D错误，故选：BC． 6．已知表示，，中的最大值，例如，若函数，则的最小值为（    ） A．2．5 B．3 C．4 D．5 【详解】如图：在同一平面直角坐标系中作出函数，，的图象，因为，所以的图象如图实线所示：由可得，由可得，由图知在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以当时，，当时，，所以的最小值为，故选：B． 【变式训练】 1．关于函数，下列结论：①函数在定义域内是减函数；②函数有两个单调区间，且单调性不相同；③函数在上单调递减；④函数的单调区间为．其中正确的个数是（       ） A．1 B． C．3 D． 【详解】解:函数定义域为，，定义域区间不连续，结论①、④错误； 在上函数单调递递增，结论③错误；函数在区间上递增，在区间上递减，结论②正确．故选:A 2．求函数的单调增区间为 【详解】画出函数的图象（如图所示）可知 3．已知函数，则下列结论正确的是（       ） A．增区间是 B．减区间是 C．增区间是 D．增区间是 【详解】根据题意，函数，当时，，在区间上为减函数，在区间上为增函数；当时，，在区间上为增函数，在区间上为减函数；综合可得：在区间和上为减函数，在区间上为增函数，故选：D． 4．函数的单调递增区间是（       ） A． B．和 C． D．和 【详解】，作出其图象如图所示： 由图象可知，函数的增区间为和．故选:B 5．对，用表示，中较大者，记为，若，则的最小值为（    ） A．-1 B．0 C．1 D．4 【详解】由解得：或，的解集为或，的解为，∴，∴时，是减函数，时，是增函数， ∴．故选：C． 6．对于每个实数x，设f(x)是y＝4x＋1，y＝x＋2和y＝－2x＋4这三个函数值中的最小值，则函数f(x)的最大值为(　　) A． B．3 C． D． 【详解】由题意，可得函数的图象如图：由得，的最大值为故选：． 7．已知，设函数，则的最值情况是 A．最大值为3，最小值 B．最大值为，无最小值 C．最小值，无最大值 D．既无最大值，又无最小值 【详解】1)当 时，解即解得，所以2)当 时，解即解得， 所以综上所述所以函数在 上单调递减，在 上单调递增，在 单调递减，在 上单调递增．且 , ，所以函数最小值，无最大值 【题型十】取整函数（高斯函数） 【典型例题】 1．世界公认的三大著名数学家为阿基米德､牛顿､高斯，其中享有“数学王子"美誉的高斯提出了取整函数表示不超过的最大整数，例如．已知，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【详解】解：根据题意，设，则，在区间上，，且为增函数，则有，在区间上，，且为增函数，则有， 综合可得：的取值范围为或，又由，则的值域为，2，．故选：B． 2．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，例如：，，已知函数，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【详解】因为，，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以，又，，所以，因为，所以； 故选：B 3．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，例如：．已知函数，则关于函数的叙述中正确的是（    ） A．是偶函数 B．的最小值是1 C．的值域是 D．是单调函数 【详解】对于A，因为，，所以，所以不是偶函数，所以A错误，对于B，因为，所以的最小值不是1，所以B错误，对于C，当时，，当时，，当时，，当时，，当时，，所以的值域是，所以C正确，对于D，由C选项可知，当时，，当时，，当时，，当时，，所以不是单调函数，所以D错误，故选：C 【变式训练】 1．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，用他的名字命名了“高斯函数”．设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数．例如：，，已知函数，则下列选项中，正确的是（    ） A．区间，上的值域为， B．区间，上的值域为， C．区间，上的值域为， D．区间，上的值域为 【详解】由高斯函数的定义可得：当时，，则，当时，，则， 当时，，则，当时，，则，易见该函数具有周期性，绘制函数图象如图所示，由图象可知，在，的值域也为，．故选：A 2．设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数．例如：，，已知函数，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【详解】当时，，当且仅当时，等号成立；当时，，当且仅当时，等号成立，此时；又因为，所以，函数的值域为，当时，；当时，； 当时，．综上所述，函数的值域为．故选：D． 3．设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，，已知函数，则函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【详解】解：，因为，所以，，则，当时，；当时，；当时，； 所以函数的值域是，故答案为：D 【题型十一】利用单调性求参数取值范围 【典型例题】 1．已知函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 【详解】的对称轴为，因为在区间上是减函数，所以，解得 2．已知函数在上单调，则实数k的取值范围为（    ） A． B． C．D． 【详解】的对称轴为，若在上单调递增，则，解得， 若在上单调递减，则，解得，所以实数k的取值范围为． 3．已知函数在区间上是单调函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【详解】的图像的对称轴为，因为函数在区间上时单调函数，所以或，得或，即的取值范围是，故选：D 4．若函数的单调增区间是，则_________ 【详解】令，可得，因为函数的单调增区间是，所以，解得 5．已知函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是 【详解】因为在区间上是增函数，所以，解得 6．已知函数与在区间上都是减函数，那么（       ） A． B． C． D． 【详解】根据二次函数的表达式可知，的对称轴为，开口向下，若在区间上是减函数，则，是反比例函数，若在区间是减函数，则，所以 故选：C 7．（多选）已知函数，下列关于函数的单调性说法正确的是（       ） A．函数在上不具有单调性 B．当时，在上递减 C．若的单调递减区间是，则a的值为 D．若在区间上是减函数，则a的取值范围是 E．在区间上不可能是减函数 【详解】当时，，在上是减函数，A错误；当时，，其单调递减区间是，因此在上递减，B正确；由的单调递减区间是得，a的值不存在，C错误；在D中，当时，，在上是减函数；当时，由，得，所以a的取值范围是，D正确；由在区间上是减函数得，解得，因此在区间上可能是减函数，E错误．故选:BD 8．已知二次函数的图象过点，且不等式的解集为． （Ⅰ）求的解析式；（Ⅱ）设，若在上是单调函数，求实数m的取值范围． 解析：（1）由题意可设，即，由的图象过点，可得，解得，所以 （2） ，对称轴，因为在上是单调函数，所以，解得 9．若函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【详解】由题意知，要使在上单调递增，则，解得 【变式训练】 1．函数在区间上单调递增，则的取值范围是有（       ） A． B． C． D． 【详解】解：因为函数，开口向下，对称轴为，依题意，解得，即故选：D 2．若函数在上是严格增函数，则实数a的取值范围是______． 【详解】 函数在上是严格增函数，．故答案为：． 3．若是上的严格减函数．则实数的取值范围是________． 【详解】当时，在上单调递减，所以符合题意；当时，对称轴为，若是上的严格减函数，则或，可得或， 综上所述：实数的取值范围是，故答案为：． 4．若是上的严格增函数，则实数a、b的取值范围分别是_________________． 【详解】，在上为增函数，，故答案为：， 5．已知函数在区间上是严格减函数，并且函数值不恒为负，则a的取值范围是______． 【详解】将函数整理变形，得，因为该函数在区间上是严格减函数，并且函数值不恒为负，所以，且当时，函数值，解得．故答案为： 6．若二次函数满足,且． （1）求的解析式; （2）若函数在上递减,上递增,求的值及当时函数的值域． 解析：（1）由题意，可设，因为二次函数满足,所以的对称轴为，所以，可得，又因，所以，可得，因为，即，即，所以，因为，解得所以的解析式为（2）由题意，可知：，因为在上递减,上递增，所以的对称轴为，所以，解得，所以，因为在上递减，所以在上递减，所以，当时，，当时，，所以当时函数的值域为 【题型十二】单调性求参：值域求参 【典型例题】 1．已知函数，记函数，其中实数，若的值域为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【详解】因为，所以，由双勾函数的性质知，在上单调递减，在上单调递增，因为，，， 所以的取值范围是：．故选：B． 2．已知函数 ，若值域为，则实数的范围是（    ） A． B． C． D． 【详解】当时，，值域为当时，由，得，此时，由，得，得或，此时，综上，即实数的取值范围是，故选： 3．已知函数，若对任意的，，，都有成立，则实数k的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【详解】设，则，令，则，因为，所以，，当且仅当时等号成立，当，即时，函数在上单调递减，则，当，即时，，当，即时，函数在上单调递增，则，所以，当时，，，由于对任意的，，，都有成立，所以，，解得，当时，，显然符合题意，当时，，，由题意知，，解得，，综上可得，的取值范围为，故选：C 4．已知函数严格单调，且的最大值为8，求实数的值． 【详解】，对称轴为，开口向上，当时，在上单调递增，故当时，取得最大值，，解得：，满足， 当时，在上单调递减，在上单调递增，且，所以当时，取得最大值，由，解得：，与矛盾，舍去；当时，在上单调递减，在上单调递增，且，所以当时，取得最大值，由，解得：，与矛盾，舍去；当时，在上单调递减，故当时，取得最大值，，解得：，与矛盾，舍去；综上：． 【变式训练】 1．已知函数(，为实数)，在区间上的最大值为，最小值为，则的值(    ) A．与有关，且与有关 B．与有关，但与无关 C．与无关，但与有关 D．与无关，且与无关 【详解】结合已知条件，①当时，在区间为增函数，故在区间上的最大值为，最小值为，从而，②当时，在区间为减函数，故在区间上的最大值为，最小值为， 从而，综上所述，的值与有关，但与无关．故选：B． 2．若函数在区间上的最大值为，则实数（    ） A． B． C． D．或 【详解】函数，即，，当时，不成立；当，即时，在递减，可得为最大值，即，解得成立；当，即时，在递增，可得为最大值，即，解得不成立；综上可得．故选：． 3．已知函数在上单调递减，且在上的最小值为，则实数的值为（    ） A． B． C．或 D．或 【详解】由函数在上单调递减可知，当时，函数有最小值，即：，解得：，当时，，函数单调递减，满足题意．故选：B． 【题型十三】单调性求参：任意存在型（值域子集型） 单函数恒成立、能成立、恰成立问题的求解 1. 恒成立问题的转化：恒成立；恒成立 2. 能成立问题的转化：能成立；能成立· 3．恰成立问题的转化：在M上恰成立的解集为 另一转化方法：若，在D上恰成立，等价于在D上的最小值，若,在D上恰成立，则等价于在D上的最大值． 注：含参不等式恒成立问题一般较为复杂．仅运用不等式的性质，往往很难找到使不等式恒成立的条件，使问题顺利得解．这就需要采用不同思路，如函数性质、变换主元、分离参数、分类讨论、数形结合等来解题． 1、函数性质法 （1）一次函数——单调性法 给定一次函数,若在内恒有,则根据函数的图像可得上述结论等价于（1）或（2）可合并定成同理,若在内恒有,则有 （2）二次函数——利用判别式 ①一元二次不等式在R上的恒成立问题：设 上恒成立；上恒成立． ②一元二次不等式在给定区间上的恒成立或有解问题 二次函数在区间D上大于(小于）零恒成立，讨论的标准是二次函数的图象的对称轴与区间D的相对位置，一般分对称轴在区间左侧、内部、右侧进行讨论。 “同号要分类，异号看端点” 设 （1）当时，上恒成立 上恒成立 （2）当时，上恒成立 上恒成立 （3）其它函数： 恒成立（注：若的最小值不存在,则恒成立的下界大于0）；恒成立（注：若的最大值不存在,则恒成立的上界小于0）． 2、分离参数法——极端化原则 分离参数法是解答含参不等式恒成立问题的重要方法．运用分离参数法求解不等式恒成立问题，需先将不等式进行变形，使参数分离，得到形如的式子，只要使，就能确保不等式恒成立．在求的最值时，往往可根据导数的性质、函数的单调性，或利用基本不等式． 3、主参换位（主元法）——反客为主法 某些含参不等式恒成立问题,在分离参数会遇到讨论的麻烦或者即使能容易分离出参数与变量,但函数的最值却难以求出时,可考虑变换思维角度“反客为主”,即把习惯上的主元变与参数变量的“地位”交换一下,变个视角重新审查恒成立问题,往往可避免不必要的分类讨论或使问题降次、简化,起到“山穷水尽疑无路,柳暗花明又一村”的出奇制胜的效果．运用变更主元法解答含参不等式恒成立问题，需先找出所要求证不等式中的变量与参数，然后将两者进行互换，得到新不等式，根据新主元的取值或者限制条件，列出满足题意的不等式或不等式组，从而解题． 4、分类讨论法 含参不等式恒成立问题中参数的取值往往不确定，因而在求解含参不等式恒成立问题时，需灵活运用分类讨论法，对参数或某些变量进行分类讨论，从而求得问题的答案．而确定分类讨论的标准是解题的关键，可根据一元二次方程的判别式大于、等于、小于0进行分类讨论；也可根据二次函数的二次项系数大于、小于0进行分类讨论；还可根据导函数值大于、等于、小于0进行分类讨论． 5、数形结合——直观求解法 若所给不等式进行合理的变形化为（或）后,能非常容易地画出不等号两边函数的图像,则可以通过画图直接判断得出结果．尤其对于选择题、填空题这种方法更显方便、快捷． 单变量双函数“任意性问题”与“存在性问题”的求解策略 1. （1）若不等式在区间D上恒成立，则等价于在区间D上函数的图象在函数图象上方；即有 （2）若不等式在区间D上恒成立，则等价于在区间D上函数的图象在函数图象下方． 2．（1）对，使得不等式成立，则问题等价于． （2）若，使得不等式成立，则问题等价于 双变量双函数“任意性问题”与“存在性问题”的求解策略 一般地，已知函数， 1、不等关系 （1）若，，总有成立，故； （2）若，，有成立，故； （3）若，，有成立，故； （4）若，，有成立，故． 2、相等关系 记的值域为A, 的值域为B, （1）若，，有成立，则有； （2）若，，有成立，则有； （3）若，，有成立，故； 【典型例题】 1．已知函数，()，对，，使成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【详解】函数的对称轴方程为，在上单调递减，则在的值域为，又()在上单调递增，则在的值域为，“对，，使成立”等价于“在的值域包含于在的值域”，于是得，即，解得，所以实数a的取值范围是．故选：A 2．已知函数，函数，对于任意，总存在，使得成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【详解】因为，则在上为单调递增函数，所以的值域为，记为， （1）当时， 在上为增函数，所以的值域为，记为， 由题意可得 ， 解得，（2）当时，在 上为减函数，故的值域为，记为，由题意可知，解得，综上所述，实数 a 的取值范围是 故选：C 3．已知，，若对，，使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【详解】解：因为，所以，所以当时，，函数在上单调递减，当时，，函数在上单调递增，所以函数在在当时，，所以要使对，，使得，即是求实数的范围，使得存在使得成立，即存在使得成立，因此只需满足即可．又在上为增函数，因此．故选：A． 4．已知函数，函数，，对于任意，总存在，使得成立，则实数的取值范围是________． 【详解】因为对于任意，总存在，使得成立，所以只需， 因为，所以当时，；当时，在上单调递增，所以，所以此时只需，即；当时，在上单调递减，所以，所以此时只需，即；当时，，此时不满足题意． 综上知：实数的取值范围为．故答案为：． 5．已知，对任意非零实数，存在唯一的非零实数，使得成立，则实数k的取值范围是 ． 【详解】由函数解析式分析可知函数在上单调递减，其值域是 ，在上单调递增，其值域是 ，若对任意非零实数，存在唯一的非零实数，使得成立，则函数在y轴左边的值域必与y轴右边的值域相同（x=0除外），即为连续函数，即有解．整理可得，因为， ，解得或；故答案为： ． 6．已知函数，且对任意的实数x，恒成立，函数，若对，，使，则正实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题过程】由于，所以关于直线对称，所以，即，解得，所以 ．当时，，，令，则在区间上递减，，所以，所以当时，．依题意，，当时，，函数在上递减，在上递增，，所以在区间上，，所以在区间上，．由于对，，使，所以．故选：B 7．已知函数 (1)解关于的不等式； (2)已知，当时，若对任意的，总存在，使成立，求实数的取值范围． 【详解】（1）由题设，当时，，故不等式解集为； 当时，，故不等式解集为；当时，，故不等式解集为；（2）由题设，在上，要使任意的，总存在，使成立，所以是值域的子集，显然时不满足题设，或，可得或． 8．已知，其中为常数． (1)若的解集为或，求的值； (2)使，求实数的取值范围． 【详解】（1）解：即为，因为的解集为或，所以，方程的实数根为，所以，根据韦达定理得，即所以．（2）解：因为使，所以，，因为时，，当且仅当时等号成立，由对勾函数的性质可得在上单调递增， 所以，所以，解得所以，实数的取值范围为． 9．已知函数，若存在，使得成立，则实数的取值范围是（    ） A．或 B． C． D． 【详解】若存在，使得成立，则说明在上不单调，当时，，图象如图，满足题意；当时，函数的对称轴，其图象如图，满足题意；当时，函数的对称轴，其图象如图，要使在上不单调，则只要满足，解得，即．综上，．故选：D． 10．已知定义域为，对任意都有．当时，，且． (1)求的值；(2)判断函数的单调性，并证明； (3)若对，都有恒成立，求实数的取值范围． 【详解】（1）取，则，于是，令，则，又，则；（2）是上的单调递减函数． 证明：任取，则， 由于当时，，易知，则，故，可得是上的单调递减函数．（3）不等式可化为，也即， 令于是，都有恒成立，由于为上的单减函数，则，都有恒成立，即成立，即恒成立； 令，它是关于的一次函数，故只需，解得． 即，解得 【变式训练】 1．函数，，对，，使成立，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【详解】，当时， ，，即值域为．又，则为增函数， 当时， 值域为．要使对，，使得 成立，则，，解得 ，所以实数的取值范围是．故选：C． 2．已知函数，若存在，且，使得成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【详解】函数，若存在，且，使得成立，当，即时，根据二次函数的图像与性质可知存在，且，使得成立，当时，即时，若存在，且，使得成立，则，解得，所以，综上所述，的取值范围为，故选：C． 3．已知函数，，若对任意，总存在，使得成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【详解】依题意，当时，，由对勾函数的性质可得函数在上单调递增，当时，；而函数在上单调递减，故，则只需，故，解得，所以实数的取值范围为．故选：A． 4．已知函数的定义域为，对任意，有，且，若对任意恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【详解】因为，因此由得，即，所以函数是上的增函数，不等式化为，即，所以对恒成立， 对恒成立，所以，解得或．故选：C 5．已知，函数，，若对任意，总存在，使得，则a的取值范围为______． 【详解】解：依题意显然，因为对任意，总存在，使得，所以存在，使得，故在上有解，即在上有解．设，其图象的对称轴为，若，即，则此时，故不成立；若，即，此时需在上，即，故，解得．故答案为： 6．已知函数． (1)若，当时，求函数的值域； (2)若存在，对任意都有成立，求实数的取值范围． 【解题过程】(1)若，，，又在区间上单调递增，的值域是；(2)(ⅰ），当时，，，，，只需，，，或 因此或；(ⅱ）当时，，，必须有，这与矛盾；综上或． 【题型十四】单调性比大小 【典型例题】 1．若函数在上是减函数，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【详解】因为函数在上是减函数，所以，得，因为在上是减函数，所以，故选：B 2．已知函数在上是递减函数，且，则有（    ） A． B． C． D． 【详解】是减函数，，； 故选：D． 【变式训练】 1．函数为定义在上严格减函数，若，则（　　） A． B． C． D． 【详解】解：是定义在上的严格减函数，则与的大小关系不能确定，从而大小不能确定，故A错误；则，所以当或时，；当时，；当时，，所以错误，故B错误；则恒成立，，，故C正确；则，所以当或时，；当或，；当时，，所以错误，故D错误．故选：C． 2．已知在区间上是增函数，且，则下列不等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【详解】由题意，函数在区间上是增函数，又由，可得且， 所以且，所以．故选：B． 3．函数是上的增函数且，则（    ） A． B． C． D．， 【详解】若，则，此时满足，所以ABD错误；当时，，．∵函数是上的增函数，∴，，∴．故选：C． 【题型十五】单调性比大小：轴对称型 【典型例题】 1．已知函数对任意实数都有，并且对任意，总有，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D．无法确定 【详解】∵对任意，总有，∴在上单调递增，故，A错误；对于，分别令，可得，故，即，B正确；，即，C、D错误．故选：B． 2．定义在R上函数满足以下条件：①函数图象关于轴对称，②对任意，当时都有，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【详解】∵函数图象关于对称，且对任意，当时都有，∴在上单调递减，在单调递增，，∵，∴，．故选：B． 3．已知函数的定义域为，若对都有，且在上单调递减，则与的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【详解】因为对都有，所以 又因为在上单调递减，且，所以，即．故选：A 【变式训练】 1．已知，且在上是增函数，则，，的大小顺序是（    ） A． B． C． D． 【详解】因为，所以，，因为在上是增函数，且，所以，即故选：B． 2．已知，且在上是增函数，则，，的大小顺序是（ ） A． B． C． D． 【详解】因为，所以，因为在上是增函数，且，所以，即，故选：B． 3．已知定义在上的函数满足，在区间上满足，则下列关系式中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【详解】因为在上满足，所以在上单调递增，对于A，因为，所以，即，故A错误；对于B，因为，所以，即，因为在上单调递增，所以，即，故B正确；对于C，因为在上单调递增，所以，即，故C错误； 对于D，令，易得其满足题设条件，但，故D错误．故选：B． 【题型十六】单调性比大小：构造函数型 【典型例题】 1．，，，则（    ） A． B． C． D． 【详解】因函数在上单调递增，故，即,,即故选:A． 2．已知函数的定义域为，且，对定义域内任意的，，当时，，若，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【详解】当时，，即，所以为上的增函数．令，因为，所以为上的增函数．因为，故，所以．故选：D 3．已知函数，若，则（    ） A． B． C． D． 【详解】令函数，显然函数在区间上单调递减，又因为，所以，即．故选：C． 4．定义在区间上的函数满足：，时，若，，，则三个实数a，b，c从小到大排列的顺序为___________． 【详解】因为定义在区间（－1，1）上的函数f（x）满足：，令x=y=0，则f（0）－f（0）=f（0），解得f（0）=0，设x<y，且满足－1<x<y<1，则，因为x∈（－1，0）时f（x）<0，所以，即f（x）－f（y）<0，所以f（x）<f（y），故函数f（x）在（－1，1）上为单调递增函数，因为，所以，取，则，则，因为，所以，即c<a<b．故答案为：c<a<b． 【变式训练】 1．设，，，则（    ） A． B． C． D． 【详解】设，单调递减，， 故故选：A． 2．已知函数，若，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【详解】设，为上为增函数，在上为减函数， 根据复合函数单调性在（0，2]上是减函数，∴．故选：C． 3．已知函数，若，则 A． B． C． D．无法判断与的大小 【详解】，设令则；于是函数在（0,1）上是增函数；若，则故选C 【题型十七】单调性解不等式 对称性的常用结论如下： （1）若函数满足,则的一条对称轴为 （2）若函数满足,则的一条对称轴为 （3）若函数满足,则的一条对称轴为， （4）的图象关于直线对称； 【典型例题】 1．已知函数在上单调递减，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【详解】解：由题意，在上单调递减．则由可得，解得，即原不等式的解集为．故选：B． 2．设，已知函数是定义在上的减函数，且，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【详解】∵函数是定义在上的减函数，且，∴，解得． 故选：C 3．若是上的减函数，且的图象经过点和点，则当不等式的解集为时，的值为_____． 【详解】由的图象经过点和点可知，，，所以等价转化为．又是上的减函数，所以，解得：，因为不等式得解集为．所以，解得．故答案为：1． 4．已知函数是定义在区间上的减函数，若，则实数的取值范围是__． 【详解】根据题意，函数是定义在区间上的减函数，若，则有，解可得，即的取值范围为，，故答案为：，． 5．已知函数在上有定义，且．若对任意给定的实数，均有恒成立，则不等式的解集是______． 【详解】因为对任意给定的实数，恒有，即成立，所以函数在上单调递减，又，所以不等式等价于或，等价于或，解得：，所以不等式的解集为．故答案为： 6．已知定义在上的函数满足，且，，都有，．若对，恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【详解】，，都有，在上单调递增；，图象关于对称，在上单调递减；，；由知：或，或，或，，或，即的取值范围为．故选：D． 7． 已知函数满足（x∈R），且对任意的时，恒有成立，则当时，实数a的取值范围为 【详解】因为函数满足（x∈R），则函数的图像关于直线x＝1对称，又由对任意的时，恒有成立，所以任取，有，所以，所以在[1，+∞）上为减函数．又由2a2+a+2＝2（a）21，2a2﹣2a+4＝2（a）21，若，则有，解得：，即a的取值范围为．故选：A． 【变式训练】 1．已知函数是定义在上的增函数，且，则实数的取值范围是 ． 【详解】由题意得，解得，则实数的取值范围是．故答案为：． 2．函数的定义域为，且在定义域内是增函数，若，则的取值范围是 ． 【详解】由得，因为函数的定义域为，且在定义域内是增函数，所以，解得，所以的取值范围是．故答案为：． 3．已知函数的定义域为，对任意的、，且都有成立，若对任意恒成立，则实数的取值范围是______． 【详解】对任意的、，且都有成立，不妨设，则，故函数在上为增函数，由对恒成立，故，即，即，解得．故答案为：． 4．已知函数为定义在上的函数，对任意的，均有成立，且在上单调递减，若，则不等式的解集为__________． 【详解】由题意，因为函数对任意的均有，所以可得函数的图象关于对称，又由在上单调递减，则在上单调递增，因为，可得，则不等式，可得，解得，所以不等式的解集为．故答案为：． 5．定义在上的函数满足，且在上单调递增，若当时恒成立，则实数的取值范围为________． 【详解】因为，所以的对称轴为，又因为在上单调递增，所以在上单调递减，所以自变量越靠近对称轴对应的函数值越小，又因为时恒成立，所以时恒成立，所以时恒成立，所以时，恒成立，当时，显然成立；当时，则，所以，又因为为增函数，为减函数，所以，，所以，即，故答案为：． 【题型十八】抽象函数单调性的判断证明 证明单调性，实质就是构造定义法，在时，构造证明出正负。常见的构造规律如下： 1．构造“和” 2．构造“积” 3． 利用构造, 类型一：型 1．已知定义在上的函数对任意，恒有，且当时，．试判断在的单调性，并证明； 解析：设是区间上的任意两个实数，且，所以，因为 且，所以，所以，所以，即，所以在上单调递减 2．已知定义在上的函数,满足,且当时,． (1)讨论函数的单调性,并说明理由;(2)若,解不等式． 【详解】（1）解:在上单调递增,理由如下:因为定义域为,不妨取任意,且,则,由题意,即,所以在上单调递增．（2）因为,令,由可得:,即,由,可得,令,,则,所以不等式, 即,即,由(1)可知在定义域内单调递增,所以只需,解得,所以不等式的解集为． 3．已知函数的定义域为，对任意都有，且时，． (1)求；(2)求证：函数在上单调递增； (3)若，，解关于x的不等式． 【详解】（1）令，，则，即，由可知． （2）令，则，即．若，则，所以．总之，．，又所以,由且可知，所以；可得，即，所以在上单调递增．（3）令，则， 所以为偶函数，又，当时，，此时，解得，当时，，可得或；此时成立，所以符合不等式．综上，原不等式的解为． 【变式训练】 1．已知函数的定义域为，当时，，且，试判断函数在定义域上的单调性。 解析：设是区间上的任意两个实数，且，所以，因为 且，所以，所以，所以，即，所以在上单调递增 2．定义在上的函数满足下面三个条件：① 对任意正数，都有；② 当时，；③ (1)求和的值；(2)试用单调性定义证明：函数在上是减函数； 【详解】(1)得，则，而， 且，则；(2)取定义域中的任意的，，且，， 当时，，，，在上为减函数． 3． 函数的定义域为，对于，，，且当时，． (1)证明：为减函数；(2)若，求不等式的解集． 【详解】（1）设，且，则，，因为，所以，即为减函数．（2）因为，所以，令，则，即， 所以，又因为在上单调递减，所以，解得， 所以不等式的解集为． 类型二：型 1．已知函数的定义域为，且对任意的均有，且对任意的，都有．证明：函数是上的单调递减函数； 解析：设是区间上的任意两个实数，且，所以，因为且，所以，所以，所以，即，所以在上单调递减 【变式训练】 1．已知函数的定义域为，且对任意的均有，且对任意的，都有，试判断函数在定义域上的单调性。 解析：设是区间上的任意两个实数，且，所以，因为且，所以，所以，所以，即，所以在上单调递增 类型三：型 1．已知定义域为，对任意都有，且当时，．试判断的单调性，并证明； 解析：设是区间上的任意两个实数，且，所以，因为且，所以，所以，所以，即，所以在上单调递减 2．已知的定义域为，对任意都有，当时， (1)求；(2)证明:在上是减函数；(3)解不等式:． 【详解】（1）根据,令，得，解得，再令，则有，解得．（2）设，则，所以，即，因为 所以，所以，即都有，所以在上单调递减．（3）由题可知， 所以，所以由得，即，即，又因为，所以，由（2）知在上单调递减，所以，即即，解得．所以，解集为． 【变式训练】 1．已知定义域为，对任意都有，且当时，． (1)试判断的单调性，并证明； 解析：设，则，所以，即，任取，且，则，所以 即，所以在上单调递增 2．定义在R上的函数对任意，都有，当时，． (1)求的值；(2)试判断在R上的单调性，并说明理由；(3)解不等式． 【详解】（1）令，可得，解得．（2）在R上单调递增，理由如下：设，则，， 因为当时，，所以，则，即．故在R上单调递增；（3），即，因为在R上单调递增，所以，解得，故原不等式的解集为． 【题型十九】抽象函数单调性解不等式 【典型例题】 1．已知是定义在上的减函数，对任意、，恒成立，若，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【详解】因为对任意、，恒成立，所以，，则由，得，又是上的减函数，所以，解得．因此，不等式的解集为．故选：B． 2．已知定义域为的函数满足：，当时，，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【详解】任设，则，，所以， 所以在上为递减函数，在中，令得，得， 令得，所以，又，所以，可化为，所以，所以，解得或．故选：D 3．已知是定义在上的减函数，且对，，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【详解】因为，，令，易得．因为是定义在上的减函数，且，所以，解得．故选：A． 4．已知函数在上有定义，且．若对任意给定的实数，均有恒成立，则不等式的解集是______． 【详解】因为对任意给定的实数，恒有，即成立，所以函数在上单调递减，又，所以不等式等价于或，等价于或，解得：，所以不等式的解集为．故答案为： 5．设是定义在上的单调增函数，且对定义域内任意，都有，且，则使不等式成立的的取值范围是______． 【详解】因为是定义在上的单调增函数，且，所以，且．又，所以， 因此，即，所以．故答案为：． 6．已知函数的定义域是，当时，，且对任意正数，，都有，，给出下列四个说法：①；②函数在上单调递增；；④满足不等式的的取值范围为．（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【详解】因为对任意正数，，都有，令，所以，所以，故①正确；令，则，，所以， 所以，所以函数在上单调递减，故②错误；因为，令，所以，所以，故③正确；因为，所以，所以，又因为函数在上单调递减，所以，解得，即满足不等式的的取值范围为，故④错误．所以说法正确的有①③，共2个．故选：B． 7．已知函数的定义域为，对满足，，当时，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【详解】对满足，且当时，，，且，则，有，于是，因此在上单调递增，又，解得，从而，则，解得或，所以原不等式的解集是．故选：D 8．已知的定义域为且对于任意正数都有，且当时，，则不等式的解集为 ． 【详解】因为 对于任意正数都有，所以，即，，即，，即，所以是函数的零点，令，则，即是函数的零点，因为当时，，所以时，，且，任取，且，，即，因为，且，所以，所以，所以在上单调递增，所以在上单调递增，因为，所以，故答案为：． 9． 已知函数的定义域是，当时，，且对任意正数，，都有，，给出下列四个说法：①；②函数在上单调递增；③；④满足不等式的的取值范围为．（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【详解】因为对任意正数，，都有，令，所以，所以，故①正确；令，则，，所以，所以，所以函数在上单调递减，故②错误；因为，令，所以，所以，故③正确；因为，所以，所以，又因为函数在上单调递减， 所以，解得，即满足不等式的的取值范围为，故④错误．所以说法正确的有①③，共2个．故选：B． 10．已知函数的定义域为，对满足，，当时，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【详解】对满足，且当时，，，且，则，有，于是，因此在上单调递增，又，解得，从而，则，解得或，所以原不等式的解集是．故选：D 【变式训练】 1．已知函数的定义域，且对任意，恒有，当时，，若，则的取值范围是______________． 【详解】，且，则，而当时，，于是得，因对任意，恒有，因此，，从而得在上的单调递减，由得：，解得：，解，即得，则有，所以的取值范围是．故答案为： 2．已知函数的定义域是，且满足，，如果对于，都有，不等式的解集为   （    ） A． B． C． D． 【详解】由于，令则，即，则，由于，则，即有，由于对于，都有，则在上递减，不等式即为．则原不等式即为，即有，即有，即解集为．故选：D． 3．若定义在上的函数满足：，且时，有,当 时，的最大值、最小值分别为，则的值为（    ） A．2018 B．2019 C．4036 D．4038 【详解】由题意得，对于任意的 ，，都有，令，得，再令，将代入可得 ,即得， 不妨设，则，，，又，可得，即函数在R上递增，故当时，，，又由可得：， 的值为4036，故选：C． 4．已知定义在（0，）上的函数满足：对任意正数a､b，都有，且当时，，则下列结论正确的是（    ） A．是增函数，且 B．是增函数，且 C．是减函数，且 D．是减函数，且 【详解】法一：取，满足题干条件，则是减函数，且；法二：当时，．设，则，由已知，．所以，即，所以是减函数，故选：D． 5．已知连续函数对任意实数恒有，当时，，，则下列结论错误的是（ ） A． B．在上的最大值是4 C．图像关于中心对称 D．不等式的解集为 【详解】法一：令， 在上的最大值是，即B错误．法二：由已知，对任意实数恒有．对选项A，令，则，解得，，即A正确；对选项B，令，，则 ，即，当时，，，即在定义域上单调递增．由单调性可知，最大值为， 已知，得，则，即B项错误；对选项C，由，得，由，则，故任意恒有，所以图像关于中心对称，即C正确；对选项D，由，得 ，则，即D正确；故选：B． 6．已知是定义在R上的增函数，且对任意，都有，则不等式的解集为（　　） A． B． C． D． 【详解】根据题意，满足，则，则，又由是定义在上的增函数，则有，解可得， 即不等式的解集为．故选：C． 7．已知函数的定义域是，且满足，如果对于，都有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【详解】由于，令得，即，则，由于，则，即有，由于对于，都有，则在上递减，不等式即为．则，解得或，即解集为．故选：D 8．（多选）定义在上的函数满足如下条件：①，②当时， ；则下列结论中正确的是（    ） A． B． C．在上单调递增 D．不等式的解集为 【详解】令，得，所以，故A正确；因为对于，，当时，令，则有，假设成立，则，，因为当时， ，所以不恒为0，所以，这与矛盾，故B错误；设，， ，，，，所以在上单调递增，C选项正确;，，由定义域可得，，在上单调递增，，，D选项正确．故选：ACD． 9．（多选）已知函数的定义域是，对，都有，且当时，，且，下列说法正确的是（    ） A． B．函数在上单调递增 C． D．满足不等式的的取值范围为 【详解】对于A：令，得，所以，故选项A正确； 对于B：令，得，所以，任取，，且，则，因为，所以，所以，所以在上单调递增，故选项B正确；对于C：，故选项C不正确；对于D：因为，由可得，所以，所以不等式等价于即，因为在上单调递增，所以 解得：，所以原不等式的解集为，故选项D正确；故选：ABD． 10．已知定义在上的函数，对，满足，，且对都有，则关于a的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【详解】取，则，即，故在上单调递减，，解得，从而，即，则，解得所以原不等式的解集是．故选：D． 【题型二十】构造新函数解不等式 【典型例题】 1．定义在的函数满足：对，，且，成立，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【详解】由且，，则两边同时除以可得，令，则在单调递增，由得且，即解得，故选：D． 2．定义在上的函数满足（），且，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【详解】构造函数，任取，， 由于，，所以，所以，所以在上递减．，，，，所以，所以不等式的解集为．故选：A 3．（多选）已知函数，若对任意的，且恒成立，则实数a的取值可以是（    ） A． B． C．1 D．2 【详解】不妨设，则，根据题意，可得恒成立，即恒成立，令，则恒成立，所以函数在上单调递减．当时，在上单调递减，符合题意；当时，要使在上单调递减，则解得．综上所述，实数a的取值范围是．故选：AB 4．已知函数，若对于任意，，都有，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【详解】根据题意，已知函数，设，则，有，故，不妨设，则，都有，即， 变形可得，设，则在区间上为增函数，当时，在和上单调递减，不符合要求，舍去， 当时，在和上单调递增，要使在区间上为增函数，则必有或，解可得或， 当时，为常函数，不符合要求，综上，的取值范围为故选：C． 5．函数的定义域为，对任意，有，且，若对任意恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【详解】因为，因此由得，即，所以函数是上的增函数，不等式化为，即，所以对恒成立， 对恒成立，所以，解得或．故选：C 【变式训练】 1．定义在上的函数满足：对，且，都有成立，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【详解】令，因为对，且，都有成立，不妨设，则，故，则，即，所以在上单调递增， 又因为，所以，故可化为，所以由的单调性可得，即不等式的解集为．故选：D． 2．已知函数的定义域为R，对任意的，都有，且，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【详解】由题意,,因为且所以函数是上的增函数．,因为,所以, 则,解得．故选:C． 3．定义在上的函数满足，且，则不等式的解集为_________． 【详解】设，由已知式变形为，所以在上是减函数， 又．所以不等式化为，又，所以．故答案为：， 4．定义在上的函数满足：＜0，且，则不等式的解集为（  　） A． B． C． D． 【详解】因为定义在上的函数满足：＜0，所以在上递减，因为，所以， 因为不等式，所以，所以，所以，即，所以，故选：B 5．定义在上的函数满足，且，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【详解】 又，，有， 设 ，有，则，都有，所以在区间上单调递减， ，则当时，由，得 ， 即， 解得，故原不等式的解集为．故选：D． 6．定义在上的函数满足，且，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【详解】，不妨设，故，即，令，则，故在上单调递减，，不等式两边同除以得：，因为，所以，即，根据在上单调递减，故，综上：故选：B 一 学科网（北京）股份有限公司 $$