第一、二章常考易错题型复习讲义-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

想，都是问题 做，才有答案 第一章常考易错题型复习 集合间的基本关系 1．已知全集，2，3，4，5，6，7，，集合，3，5，，集合，3，4，6，，则集合的真子集的个数为　　 A．2个 B．3个 C．4个 D．7个 2．关于的不等式的解集是的子集，则实数的取值范围是　　 A． B．或 C．或 D． 3．（多选）对于集合，，．给出如下结论，其中正确的结论是　　 A．如果，，那么 B．如果，，那么 C．如果，，那么 D．若，，则， 4．已知集合，，全集． （1）求；（2）若且，求的取值范围． 集合间的基本运算 5．设全集，集合，，，，　　 A．， B．， C．， D． 6．（多选）已知集合为全集，集合，是的子集，且满足，则　　 A． B． C． D． 7．已知集合，，，，则中的元素个数为　　 A．0个 B．1个 C．2个 D．至多1个 8．已知集合，，，若实数的取值集合为，则集合的子集个数为　　 A．2 B．4 C．8 D．16 9．设，是全集，2，3，的子集，，，则满足的的个数是　　 A．5 B．4 C．3 D．2 10．（多选）设集合，，，，则下列选项中，满足的实数的取值范围的有　　 A． B．或 C．或 D． 11．已知集合，，且，则实数的所有值构成的集合是　　 A． B． C．， D．，2， 12．某年级举行数学、物理、化学三项竞赛，共有80名学生参赛，其中参加数学竞赛有40人，参加物理竞赛有40人，参加化学竞赛有45人，同时参加物理、化学竞赛有15人，同时参加数学、物理竞赛有20人，同时参加数学、化学竞赛有15人，这个年级三个学科竞赛都参加的学生共有 　 　名． 13．（难）已知集合，，，，，其中，且，，，，若，，，的所有元素之和为20，则　 　． 14．已知集合，集合． （1）若集合的真子集有且只有1个，求实数的值；（2）若，求实数的取值范围． 15．已知，，，，，，，，，，其中，，，，，设，且，，，又元素之和为224．求：（1），； （2）；（3）． 16．定义两种新运算“⊕”与“”，满足如下运算法则：对任意的，，有⊕，．设全集⊕，，且，，集合⊕，，且，，． （1）求全集和集合； （2）集合，是否能满足？若能，求出实数的取值范围；若不能，请说明理由． （3）若，且，求出实数的取值范围． 17．已知函数，． （1）若方程有两根，且两根为，，求的取值范围； （2）已知，，关于的不等式的解为，若，求实数的取值范围． 充分条件与必要条件 18．若，都是实数，试从①；②；③；④中选出满足下列条件的式子，用序号填空：（1）使，都为0的必要条件是 　 　； （2）使，都不为0的充分条件是 　 　； （3）使，至少有一个为0的充要条件是 　 　． 19．如果对于任意实数，表示不超过的最大整数，例如，，，那么“”是“”的　　 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 20．若“”成立的充分不必要条件是“”，则实数的取值范围是　　 A． B． C． D． 21．若，，则“”是“”的　　 A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 22．“为整数”是“为整数”的　　 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 23．已知“”的必要不充分条件是“或”，则实数的最大值为　　 A． B．0 C．1 D．2 24．设；，若是的充分不必要条件，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 25．（多选）若“或”是“”的必要不充分条件，则实数的值可以是　　 A． B． C．1 D．4 26．（多选）下面命题为真命题的是　　 A．设，，则“”是“”的必要不充分条件 B．“”是“二次方程有一正根一负根”的充要条件 C．“”是“”的充分不必要条件 D．“”是“为单元素集”的充分不必要条件 27．（多选）下列命题中，正确的是　　 A．“”是“”的充分不必要条件 B．“”是“”的必要不充分条件 C．“”是“”的充要条件 D．“”是“”的必要不充分条件 28．若命题“是的必要不充分条件”是假命题，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 29．已知命题：关于的方程的两根均在区间内． （1）若命题为真命题，求实数的取值集合； （2）设，是否存在实数，使得“”是“”的必要不充分条件，若存在，求出实数的取值范围；若不存在，说明理由． 30．已知非空集合，． （1）若，求；（2）若“”是“”充分不必要条件，求实数的取值范围． 31．已知命题，为假命题．设实数的取值集合为，设集合，若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围． 32．已知命题：“，关于的方程有解”是假命题． （1）求实数的取值所构成的集合； （2）在（1）的条件下，设不等式的解集为，若是的必要条件，求的取值范围． 全称量词与存在量词 33．命题“，，使得”的否定形式是　　 A．，，使得 B．，，使得 C．，，使得 D．，，使得 34．已知命题，方程有解，则为　　 A．，方程无解 B．，方程有解 C．，方程无解 D．，方程有解 35．根据事实；；；；，写出一个含有量词的全称命题：　 　． 36．已知命题“，”为真命题，则实数的取值范围是　　 A． B． C． D． 第二章易错题型复习 等式性质与不等式性质 37．（多选）下列命题叙述正确的是　　 A．，且时，当时， B．，且时，当时， C．，且时，当时， D．，且时，当时， 38．已知，，则的取值范围是 　 　． 39．已知，，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 40．设实数，满足，，则的取值范围是 　 　． 基本不等式 41．已知，，，则的最大值为　　 A． B．3 C． D．1 42．已知，，且，则的最小值为 　 　． 43．（多选）位于山东省中部的泰山，为五岳之一，素有“五岳之首”“天下第一山”之称．小明和小刚相约登泰山，若小明上山的速度为，下山（原路返回）的速度为，小刚上山和下山的速度都是，设上山路程为，若两人途中休息时间忽略不计，则　　 A．小明上山和下山所用时间之和为 B．小明上山和下山所用时间之和为 C．小明上山和下山所用时间之和比小刚上山和下山所用时间之和少 D．小刚上山和下山所用时间之和比小明上山和下山所用时间之和少 44．中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积．即假设在平面内有一个三角形，边长分别为，，，三角形的面积可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦一秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，，则此三角形面积的最大值为 　 　． 45．已知，，，则的最小值为　　 A．2 B．3 C． D．4 46．（多选）已知，，且，则　　 A．的取值范围是， B．的取值范围是， C．的最小值是3 D．的最小值是 47．已知，都是正数，则的最小值是 　 　． 48．（多选）已知正实数，满足，则下列结论正确的是　　 A．的最小值为24 B．的最大值为 C．的最小值为12 D．的最小值为 49．若，满足，则　　 A． B． C． D． 50．已知正实数，满足，则的最小值为　　 A． B． C．10 D．11 51．设，那么的最小值是 　 　． 52．若，，，则的最小值为 　 　． 53．已知，为正实数，则的最小值为　　 A．4 B．5 C．6 D．8 54． 已知，则的最小值是 　 　． 二次函数与一元二次方程、不等式 55．不等式组的解集为 　 　． 56．不等式的解集为 　 ． 57．不等式的解集为　　 A．，， B． C． D． 58．已知不等式的解集为，则不等式的解为 　 　． 59．（多选）已知关于不等式的解集为，，，则　　 A． B．点在第二象限 C．的最大值为 D．关于的不等式的解集为， 60．（多选）已知关于的不等式的解集为，则　　 A．函数有最大值 B． C． D．的解集为 61．解关于的不等式． 62．关于的不等式：，． 63．已知，且关于的不等式的解集为，，，其中，则的最大值为　　 A．0 B．1 C．2 D．3 64．若关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是　　 A．，， B．，， C．，， D．，， 65．（多选）已知关于的不等式，关于此不等式的解集有下列结论，其中正确的是　　 A．不等式的解集可以是 B．不等式的解集可以是 C．不等式的解集可以是 D．不等式的解集可以是 66．已知关于的不等式恰有四个整数解，则实数的取值范围是　　 A．， B．， C．，， D．，， 67．记不等式、解集分别为、，中有且只有两个正整数解，则的取值范围为　　 A． B． C． D． 68．（难）设集合或，集合，，若中恰有两个整数，则实数的取值范围　　 A． B． C． D． 69．已知函数． （1）若关于的不等式的解集为全体实数，求实数的取值范围． （2）若关于的方程的两根为，，且，．求实数的取值范围． 恒成立问题 70．设，，且恒成立，则的最大值为　　 A．2 B．4 C．6 D．8 71．已知，，若时，关于的不等式恒成立，则的最小值为 　 　． 72．已知，，，，则的最小值是 　 　当取最小值时，恒成立，则的取值范围是 　　． 73．若不等式对任意实数均成立，则实数的取值范围是　　 A． B． C． D． 74．已知关于的不等式恒成立，则的取值范围是　　 A． B．， C．， D．， 75．已知“，不等式恒成立”，则的取值范围为　　 A．， B．， C． D．， 能成立问题 76．若关于的不等式 在，上有解，则实数的最小值为　　 A．9 B．5 C．6 D． 77．若两个正实数，满足，且不等式有解，则实数的取值范围是　　 A． B．或 C． D．或 78．若两个正实数，满足，且不等式有解，则实数的取值范围是　　 A． B．，， C． D．，， 培优拓展 集合的新定义题型 1．定义差集且，现有三个集合，，，则下列图中阴影部分可表示集合的为　　 A． B． C． D． 2．已知集合，2，3，4，5，6，7，，对于它的任一非空子集，可以将中的每一个元素都乘以再求和，例如，3，，则可求得和为，对的所有非空子集，这些和的总和 为　　 A．508 B．512 C．1020 D．1024 3．（多选）已知表示不超过的最大整数，例如：，，，，，，下列说法正确的是　　 A．集合，0，1，2， B．集合的非空真子集的个数是30个 C．若“”是“”的充分不必要条件，则 D．若，则 4．（多选）在整数集中，被5除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即，，1，2，3，4，给出如下四个结论，其中，正确结论的是　　 A． B． C．若整数，属于同一“类”，则 D．若，则整数，属于同一“类” 5．设是非空数集，若对任意，，都有、，则称具有性质，给出以下命题： ①若具有性质，则可以是有限集；②若具有性质，且，则具有性质；③若、具有性质，且，则具有性质；④若、具有性质，则具有性质．其中所有真命题的序号是 　． 6．设是实数集的非空子集，称集合，且为集合的生成集． （1）当，3，时，写出集合的生成集； （2）若是由5个正实数构成的集合，求其生成集中元素个数的最小值； （3）判断是否存在4个正实数构成的集合，使其生成集，3，5，6，10，，并说明理由． 7．用（A）表示非空集合中的元素个数，定义，若，，，且，设实数的所有可能取值组成的集合是，则等于　　 A．1 B．3 C．5 D．7 8．设集合含有，1两个元素，含有，2两个元素，定义集合，满足，且，则中所有元素之积为　　 A． B． C．8 D．16 9．已知非空集合，满足以下四个条件：①，2，3，4，5，6，7，；②； ③中的元素个数不是中的元素；④中的元素个数不是中的元素． （ⅰ）如果集合中只有1个元素，那么集合的元素是 　 　； （ⅱ）有序集合对的个数是 　　 ． 一 学科网（北京）股份有限公司 $$想，都是问题 做，才有答案 第一章常考易错题型复习 集合间的基本关系 1．已知全集，2，3，4，5，6，7，，集合，3，5，，集合，3，4，6，，则集合的真子集的个数为　　 A．2个 B．3个 C．4个 D．7个 【解答】解：，2，3，4，5，6，7，，，3，4，6，，，5，，又集合，3，5，，，，集合的真子集的个数为．故选：． 2．关于的不等式的解集是的子集，则实数的取值范围是　　 A． B．或 C．或 D． 【解答】解：当，即时，的解集为，符合题意，当，即时，的解集为，不等式的解集是的子集，，解得，故，当，即时，的解集为，不等式的解集是的子集，，解得，故，综上所述，实数的取值范围是，．故选：． 3．（多选）对于集合，，．给出如下结论，其中正确的结论是　　 A．如果，，那么 B．如果，，那么 C．如果，，那么 D．若，，则， 【解答】解：、选项：如果，，不妨设，，则，即选项正确，选项错误；选项：，，由，，，故，选项正确；选项：，，若，则存在，，使得，当，一个为奇数，一个为偶数时，，均为奇数，也为奇数，但是偶数，所以上述假设不成立，选项错误．故选：． 4．已知集合，，全集． （1）求；（2）若且，求的取值范围． 【解答】解：（1）因为，，所以或． 因为，所以或或．（2）因为，，所以或，当时，成立，此时，解得，当时，因为，所以，或，解得．故的取值范围是，，． 集合间的基本运算 5．设全集，集合，，，，　　 A．， B．， C．， D． 【解答】解：因为全集或或，，所以，． 故选：． 6．（多选）已知集合为全集，集合，是的子集，且满足，则　　 A． B． C． D． 【解答】解：由可知，，，故正确，，故错误，，故错误，，故正确．故选：． 7．已知集合，，，，则中的元素个数为　　 A．0个 B．1个 C．2个 D．至多1个 【解答】解：集合，，，，则集合是由函数的图象上的点组成的集合，集合是直线上的点组成的集合，当时，（a）是唯一确定的值，当时，（a）不存在，所以直线与函数的图象至多只有一个交点，即集合至多只有一个元素．故选：． 8．已知集合，，，若实数的取值集合为，则集合的子集个数为　　 A．2 B．4 C．8 D．16 【解答】解：因为集合，，，，则，当时，，符合题意，当时，，则，故，则，0，，且中有3个元素，故集合的子集个数为，故选：． 9．设，是全集，2，3，的子集，，，则满足的的个数是　　 A．5 B．4 C．3 D．2 【解答】解：，是全集，2，3，的子集，，，则满足的为：，，，2，，，2，，，2，3，．故选：． 10．（多选）设集合，，，，则下列选项中，满足的实数的取值范围的有　　 A． B．或 C．或 D． 【解答】解：，，，，，， 则或，解得或，故满足的实数的取值范围的有或或．故选：． 11．已知集合，，且，则实数的所有值构成的集合是　　 A． B． C．， D．，2， 【解答】解：因为，所以．又因为集合，，． 当集合为空集时，，符合题意；当集合不是空集时，．由，，分别可得，，所以实数的所有值构成的集合是，2，．故选：． 12．某年级举行数学、物理、化学三项竞赛，共有80名学生参赛，其中参加数学竞赛有40人，参加物理竞赛有40人，参加化学竞赛有45人，同时参加物理、化学竞赛有15人，同时参加数学、物理竞赛有20人，同时参加数学、化学竞赛有15人，这个年级三个学科竞赛都参加的学生共有 　 　名． 【解答】解：设三个学科竞赛都参加的学生为人，将参加三种竞赛的人数情况画出韦恩图，如图所示：则只参加数学、化学竞赛的有人，只参加物理、化学竞赛的有人，只参加数学、物理竞赛的有人，只参加数学竞赛的人有，只参加物理竞赛的人有，只参加化学竞赛的人有，故参见竞赛的总人数．解得：．故答案为：5 13．（难）已知集合，，，，，其中，且，，，，若，，，的所有元素之和为20，则　 　． 【解答】解：由 得，则，因为，即，所以．当 时，因为，所以，则，，，即，所以，，则，所以，得，即 或1，与 矛盾．当 时，则，，即，所以，，则，得，，即 或1，而 与 矛盾，所以，，因为，所以，将，，代入，得，解得 或 （舍去），所以．故答案为：5． 14．已知集合，集合． （1）若集合的真子集有且只有1个，求实数的值；（2）若，求实数的取值范围． 【解答】解：（1）集合，集合，集合元素个数为1．△，即，解得：．（2），，对集合讨论： 当△时，即时，，满足条件；当△时，即，此时，满足条件；当△时，要满足条件，必有，，由根与系数的关系有：，此方程组无解，不满足条件舍去，综上所述，实数的取值范围是． 15．已知，，，，，，，，，，其中，，，，，设，且，，，又元素之和为224．求： （1），； （2）； （3）． 【解答】解：（1），且，，，即两个完全平方数的和为10，，．分（2）的元素之和为224，即，而，分，若，则这不可能，．分（3）由（2）知 若，得，（矛盾）从而，，3，4，9，．分 16．定义两种新运算“⊕”与“”，满足如下运算法则：对任意的，，有⊕，．设全集⊕，，且，，集合⊕，，且，，． （1）求全集和集合； （2）集合，是否能满足？若能，求出实数的取值范围；若不能，请说明理由． （3）若，且，求出实数的取值范围． 【解答】解：（1）全集中，⊕，当时，或，此时或，当时，，此时，，，，集合中，⊕，当时，，此时，所以集合．（2），，当时，或，当时，方程无实根，即△，解得，当时，方程有两个相等的实根，则，此时的值不存在． 综上所述，实数的取值范围为．（3）方程可化为：，由于时，所以，即实数的取值范围为，． 17．已知函数，． （1）若方程有两根，且两根为，，求的取值范围； （2）已知，，关于的不等式的解为，若，求实数的取值范围． 【解答】解：（1）由题意得△，故或，又，，所以，故的取值范围为，；（2）因为，，关于的不等式的解为，若，则，解得，故的取值范围为． 充分条件与必要条件 18．若，都是实数，试从①；②；③；④中选出满足下列条件的式子，用序号填空：（1）使，都为0的必要条件是 　 　； （2）使，都不为0的充分条件是 　 　； （3）使，至少有一个为0的充要条件是 　 　． 【解答】解：由于①或；②；③或；④，或，；若，都为0，则①②③成立，使，都为0的必要条件是①②③；当④时，使，都不为0，使，都不为0的充分条件是④；使，至少有一个为0的充要条件是①；故答案为：（1）①②③；（2）④；（3）①． 19．如果对于任意实数，表示不超过的最大整数，例如，，，那么“”是“”的　　 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【解答】解：若，设，则，，且，，；若，不妨取，，则， “”是“”的充分不必要条件，故选：． 20．若“”成立的充分不必要条件是“”，则实数的取值范围是　　 A． B． C． D． 【解答】解：不等式等价于：，由题意得“”是“”成立的充分不必要条件，所以，且，所以，且等号不能同时成立，解得．故选：． 21．若，，则“”是“”的　　 A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【解答】解：当，时，满足，但不满足；若，，，则，当且仅当时，等号成立，故“ “是“”的既不充分又不必要条件．故选：． 22．“为整数”是“为整数”的　　 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解答】解：当为整数时，必为整数；当为整数时，不一定为整数，例如当时，． “为整数”是“为整数”的充分不必要条件．故选：． 23．已知“”的必要不充分条件是“或”，则实数的最大值为　　 A． B．0 C．1 D．2 【解答】解：不等式，即，可得，或．若“”的必要不充分条件是“或”，则（等号不同时成立），解得，故的最大值为2．故选：． 24．设；，若是的充分不必要条件，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 【解答】解：若是的充分不必要条件，则 “ “不同时成立，解得：，故的取值范围是，．故选：． 25．（多选）若“或”是“”的必要不充分条件，则实数的值可以是　　 A． B． C．1 D．4 【解答】解： “或”是“”的必要不充分条件，或，即或，故选：． 26．（多选）下面命题为真命题的是　　 A．设，，则“”是“”的必要不充分条件 B．“”是“二次方程有一正根一负根”的充要条件 C．“”是“”的充分不必要条件 D．“”是“为单元素集”的充分不必要条件 【解答】解：，且，是的必要不充分条件，正确，，二次方程有一正根一负根，则，，是二次方程有一正根一负根的充要条件，正确，，，，，是的必要不充分条件，错误，，当时，，符合题意，当时，，符合题意．正确，故选：． 27．（多选）下列命题中，正确的是　　 A．“”是“”的充分不必要条件 B．“”是“”的必要不充分条件 C．“”是“”的充要条件 D．“”是“”的必要不充分条件 【解答】解：对于项：由“”可以推出，但反之不可以，所以“”是“”的充分不必要条件，故项正确；对于项：由“”推不出“”，但反之可以，所以“”是“”的必要不充分条件，故项正确；对于项：由“ “可以推出“”，但反之不可以，所以“”是“”的充分不必要条件，故项错误；对于项：由题意知是的子集，所以“”可以推出“，但反之不可以，所以“”是“”的充分不必要条件，故项错误．故选：． 28．若命题“是的必要不充分条件”是假命题，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 【解答】解：若命题“是的必要不充分条件”是真命题，则的取值范围是，命题“是的必要不充分条件”是假命题，则的取值范围是．故选：． 29．已知命题：关于的方程的两根均在区间内． （1）若命题为真命题，求实数的取值集合； （2）设，是否存在实数，使得“”是“”的必要不充分条件，若存在，求出实数的取值范围；若不存在，说明理由． 【解答】解：（1）由得：， 所以或，因为命题为真命题，所以，得．所以．（2）集合，集合，由题设，是的真子集， 当时，，解得：；满足题意，当时，则，解得：．综上所述：，所以存在实数，满足条件． 30．已知非空集合，． （1）若，求；（2）若“”是“”充分不必要条件，求实数的取值范围． 【解答】解：已知集合，．（1）当时，，，或又，；（2）因为“”是“”充分不必要条件，所以是的真子集，又，，所以，所以；当时，是的真子集；当时，也满足是的真子集，综上所述：． 31．已知命题，为假命题．设实数的取值集合为，设集合，若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围． 【解答】解：由已知命题为假，则，为真，当，，显然不成立，当，只需△，所以，“”是“”的充分条件，则，而，当，则满足要求，当，则，且，此时，所以； 32．已知命题：“，关于的方程有解”是假命题． （1）求实数的取值所构成的集合； （2）在（1）的条件下，设不等式的解集为，若是的必要条件，求的取值范围． 【解答】解：（1）因为命题是假命题，则命题的否定即为真命题，即：，，所以△，解得，即．（2），，解得，即，是的必要条件，，当时，，符合题意，当时，，解得，综上，实数的取值范围是，． 全称量词与存在量词 33．命题“，，使得”的否定形式是　　 A．，，使得 B．，，使得 C．，，使得 D．，，使得 【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以“，，使得”的否定形式为，，使得”．故选：． 34．已知命题，方程有解，则为　　 A．，方程无解 B．，方程有解 C．，方程无解 D．，方程有解 【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以为：，方程无解．故选：． 35．根据事实；；；；，写出一个含有量词的全称命题：　 　． 【解答】解：，答案不唯一，合情合理即可． 36．已知命题“，”为真命题，则实数的取值范围是　　 A． B． C． D． 【解答】解：若命题“，”为真命题，则函数在区间，上有至少一个值，使，可知，根据的图象是开口向上的抛物线，且关于直线对称，可知在区间，上为增函数，因此（1），即，解得．故选：． 第二章易错题型复习 等式性质与不等式性质 37．（多选）下列命题叙述正确的是　　 A．，且时，当时， B．，且时，当时， C．，且时，当时， D．，且时，当时， 【解答】解：因为，，当，且，时，，即，错误，当，且，时，的正负无法确定，故无法判断正负，即无法确定，错误；当，且，时，故一定成立，即一定成立，正确；当，且时，当时，若，则，即成立，正确．故选：． 38．已知，，则的取值范围是 　 　． 【解答】解：显然，，，，，，即，的取值范围是．故答案为：． 39．已知，，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 【解答】解：设，所以，解得，，又因为，，所以，所以，即．即．故选：． 40．设实数，满足，，则的取值范围是 　 　． 【解答】解：，，，，，，故答案为：，． 基本不等式 41．已知，，，则的最大值为　　 A． B．3 C． D．1 【解答】解：因为，，由基本不等式可得，，当且仅当即，时取等号，解可得，即的最大值为．故选：． 42．已知，，且，则的最小值为 　 　． 【解答】解：，，且，则， 当且仅当，即，取等号．故答案为：7． 43．（多选）位于山东省中部的泰山，为五岳之一，素有“五岳之首”“天下第一山”之称．小明和小刚相约登泰山，若小明上山的速度为，下山（原路返回）的速度为，小刚上山和下山的速度都是，设上山路程为，若两人途中休息时间忽略不计，则　　 A．小明上山和下山所用时间之和为 B．小明上山和下山所用时间之和为 C．小明上山和下山所用时间之和比小刚上山和下山所用时间之和少 D．小刚上山和下山所用时间之和比小明上山和下山所用时间之和少 【解答】解：小明上山和下山所用时间之和为，小刚上山和下山所用时间之和为．，由均值不等式的性质可得：，而，小刚上山和下山所用时间之和比小明上山和下山所用时间之和少．故选：． 44．中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积．即假设在平面内有一个三角形，边长分别为，，，三角形的面积可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦一秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，，则此三角形面积的最大值为 　 　． 【解答】解：因为，，所以，所以三角形的面积为，当且仅当，即时取等号，所以三角形面积的最大值为．故答案为：． 45．已知，，，则的最小值为　　 A．2 B．3 C． D．4 【解答】解：由，得，故，即，故，，故，所以，当且仅当，时等号成立．故选：． 46．（多选）已知，，且，则　　 A．的取值范围是， B．的取值范围是， C．的最小值是3 D．的最小值是 【解答】解：因为，，所以，所以，解得：，即，则错误；因为，．所以，所以，即，又，，解得：，则正确；因为，所以，则，当且仅当，即时，等号成立．因为，所以，则错误；，当且仅当，即时，等号成立，则正确．故选：． 47．已知，都是正数，则的最小值是 　 　． 【解答】解：因为，均为正实数，故设，，则，，联立解得，，， 当且仅当，即，即时取等号．故答案为：． 48．（多选）已知正实数，满足，则下列结论正确的是　　 A．的最小值为24 B．的最大值为 C．的最小值为12 D．的最小值为 【解答】解：，，，， 对于当且仅当，即时，等号成立，的最小值为24，故正确；对于，，，，，，当且仅当，即时，等号成立，与，，故错误；对于，，，，，，当且仅当，即，时，等号成立，与，，故错误；对于，，，，，， ，当时，取得最小值，即，当且仅当，时，等号成立，故正确．故选：． 49．若，满足，则　　 A． B． C． D． 【解答】解：因为，所以，所以，因为，所以，所以，即，故，当且仅当时取等号， 又，所以，故，当且仅当时取等号．故选：． 50．已知正实数，满足，则的最小值为　　 A． B． C．10 D．11 【解答】解：令，，代入原式可得，即， 由方程有解可得△，化简可得，解得或（舍去），即的最小值为11．故选：． 51．设，那么的最小值是 　 　． 【解答】解：由于，故，所以，故，当且仅当，时，等号成立，故的最小值为16． 故答案为：16． 52．若，，，则的最小值为 　 　． 【解答】解：，，，，，，当且仅当时“”成立，故答案为：2． 53．已知，为正实数，则的最小值为　　 A．4 B．5 C．6 D．8 【解答】解：因为，为正实数，令，则，则，当且仅当，即时取等号．故选：． 54．已知，则的最小值是 　 　． 【解答】解：由可得，则，当且仅当即时取等号，故答案为：． 二次函数与一元二次方程、不等式 55．不等式组的解集为 　 　． 【解答】解：由，得，，由，或，或．不等式组的解集为，，．故答案为：，，． 56．不等式的解集为 　 ． 【解答】解：不等式，利用穿根法解得，，故答案为：或或 57．不等式的解集为　　 A．，， B． C． D． 【解答】解：，，，，故选：． 58．已知不等式的解集为，则不等式的解为 　 　． 【解答】解：因为不等式的解集为，所以，可得，所以可化为，因为，所以可化为，即，解得：或，所以不等式的解集为．故答案为：或． 59．（多选）已知关于不等式的解集为，，，则　　 A． B．点在第二象限 C．的最大值为 D．关于的不等式的解集为， 【解答】解：原不等式等价于，因为该不等式的解集为，，，所以，且，故正确；因为，，所以点在第三象限，故错误；当时，有最大值，最大值为，故正确；由，得，即，解集为，，故正确．故选：． 60．（多选）已知关于的不等式的解集为，则　　 A．函数有最大值 B． C． D．的解集为 【解答】解：因为不等式的解集为，所以，， 函数开口向下，有最大值，正确；又，函数值即正确；又，3是关于的二次方程 的两根，则，所以，，则，错误；不等式即为，即，解得或，，正确．故选：． 61．解关于的不等式． 【解答】解：，当时，不等式的解为； 当时，不等式的解为；当时，不等式的解为；当时，不等式的解为；当时，不等式的解为． 62．关于的不等式：，． 【解答】解：当时，原不等式化为，所以原不等式的解集为；当时，方程，即的根为，且，当或时，；当时，；当时，； 所以当时，原不等式的解集为或，当时，原不等式的解集为， 当时，原不等式的解集，当时，原不等式的解集为，综上所述：当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为或． 63．已知，且关于的不等式的解集为，，，其中，则的最大值为　　 A．0 B．1 C．2 D．3 【解答】解：因为关于的不等式的解集为，，，所以，是方程的两根，且，则，解得（舍去）或，又因为，则，当且仅当时取等号，当时，，则，又，则此时的最大值为0，故选：． 64．若关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是　　 A．，， B．，， C．，， D．，， 【解答】解：因为关于的不等式的解集是，所以的两根是或2，由韦达定理可得：，，所以可转化为，解得或．所以原不等式的解集为，，，故选：． 65．（多选）已知关于的不等式，关于此不等式的解集有下列结论，其中正确的是　　 A．不等式的解集可以是 B．不等式的解集可以是 C．不等式的解集可以是 D．不等式的解集可以是 【解答】解：对于：由题意得，且，解得，此时不等式为，解得，则不等式的解集可以是，故错误；对于：令，，则，不等式的解集是，故正确；对于：当时，，故不等式的解集不能为，故错误；对于：当，时，不等式转化为，解得，其解集是，故正确，故选：． 66．已知关于的不等式恰有四个整数解，则实数的取值范围是　　 A．， B．， C．，， D．，， 【解答】解：关于的不等式可化为，当时，解不等式得；当时，解不等式得；因为不等式的解集中恰有4个整数，所以时，不等式的整数解是2、3、4、5，的取值范围是；时，不等式的整数解是、、和0，的取值范围是；综上知，的取值范围是，，．故选：． 67．记不等式、解集分别为、，中有且只有两个正整数解，则的取值范围为　　 A． B． C． D． 【解答】解：不等式可化为，解得或，所以不等式的解集为，，；又不等式的解集为，且中有且只有两个正整数解， 所以，解不等式对应的方程的两个实数根为，， 所以，；当时，，解得；当时，，解得，不合题意，舍去；综上知，的取值范围是，．故选：． 68．（难）设集合或，集合，，若中恰有两个整数，则实数的取值范围　　 A． B． C． D． 【解答】解：由题知，方程的两根异号，且两根之积为．设，， 下分三种情况讨论：①若中恰有两个整数为2，3，则，解得； ②若中恰有两个整数为，2，则且，；③若中有两个整数为，，则且，；综上可得．故选：． 69．已知函数． （1）若关于的不等式的解集为全体实数，求实数的取值范围． （2）若关于的方程的两根为，，且，．求实数的取值范围． 【解答】解：（1）①当时，不等式可化为，解得，故不成立；②当时， 的解集为全体实数，，解得，综上所述，实数的取值范围为，；（2）关于的方程的两根为，，且，，，即，又，， ，解得或或；故实数的取值范围为或或． 恒成立问题 70．设，，且恒成立，则的最大值为　　 A．2 B．4 C．6 D．8 【解答】解：因为，所以，，，恒成立，等价于恒成立，因为，所以，当且仅当，即时等号成立，所以要使恒成立，则需，所以的最大值为4．故选：． 71．已知，，若时，关于的不等式恒成立，则的最小值为 　 　． 【解答】解：由，则函数单调递增，且当时，；当时，． 因为在时恒成立，所以在时恒成立，所以当时，恒成立；当时，恒成立．故当时，，则， 所以，当且仅当等号成立，所以的最小值为．故答案为：． 72．已知，，，，则的最小值是 　 　当取最小值时，恒成立，则的取值范围是 　　． 【解答】解：因为，即所以，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值是1，当取最小值时，有，，所以，所以恒成立等价于，令（b），则原问题转化为（b），当时，（b），所以，解得或，所以的取值范围是，，．故答案为：1；，，． 73．若不等式对任意实数均成立，则实数的取值范围是　　 A． B． C． D． 【解答】解：当时，方程为，满足题意；当时，若不等式对任意实数均成立，则，由②得，△，解得，综上所述，．故选：． 74．已知关于的不等式恒成立，则的取值范围是　　 A． B．， C．， D．， 【解答】解：不等式恒成立，即不等式恒成立，①当时，不等式化为，显然恒成立，符合题意，②当时，则，解得，综上所述，的取值范围是，．故选：． 75．已知“，不等式恒成立”，则的取值范围为　　 A．， B．， C． D．， 【解答】解：由不等式恒成立，所以△，．故选：． 能成立问题 76．若关于的不等式 在，上有解，则实数的最小值为　　 A．9 B．5 C．6 D． 【解答】解：由题意得 有解，即有解，即，因为时，，当且仅当时取等号，故．故选：． 77．若两个正实数，满足，且不等式有解，则实数的取值范围是　　 A． B．或 C． D．或 【解答】解：正实数，满足，则，当且仅当，取得最小值4，由有解，可得，解得：或，故选：． 78．若两个正实数，满足，且不等式有解，则实数的取值范围是　　 A． B．，， C． D．，， 【解答】解：因为，即，则，当且仅当且，即，时取等号，不等式有解，则，所以，解得或． 故选：． 培优拓展 集合的新定义题型 1．定义差集且，现有三个集合，，，则下列图中阴影部分可表示集合的为　　 A． B． C． D． 【解答】解：因为差集且，设，则表示集合中除去中元素剩下的元素，则，则图中阴影部分可表示集合表示中元素除去中元素，结合选项可知，选项符合题意．故选：． 2．已知集合，2，3，4，5，6，7，，对于它的任一非空子集，可以将中的每一个元素都乘以再求和，例如，3，，则可求得和为，对的所有非空子集，这些和的总和为　　 A．508 B．512 C．1020 D．1024 【解答】解：，2，3，4，5，6，7，，它的非空子集共有255个，其中1，2，3，4，5，6，7，8都出现了次依题意得：． 故选：． 3．（多选）已知表示不超过的最大整数，例如：，，，，，，下列说法正确的是　　 A．集合，0，1，2， B．集合的非空真子集的个数是30个 C．若“”是“”的充分不必要条件，则 D．若，则 【解答】解：时，，时，，时，，时，，时，，时，，，，0，1，2，，集合的非空真子集有 个，所以，错误．又若“”是“”的充分不必要条件，则是的真子集，所以，正确．若，则时，；时，，即，综上，正确．故选：． 4．（多选）在整数集中，被5除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即，，1，2，3，4，给出如下四个结论，其中，正确结论的是　　 A． B． C．若整数，属于同一“类”，则 D．若，则整数，属于同一“类” 【解答】解：因为，所以，故正确；因为，所以，故错误；若整数，属于同一“类”，则整数，被5除所得的余数相等，所以为被5整除的数，即余数为0，所以，故正确；若，即为被5整除的数，即余数为0，所以整数，被5除所得的余数相等，所以整数，属于同一“类”，故正确．故选：． 5．设是非空数集，若对任意，，都有、，则称具有性质，给出以下命题： ①若具有性质，则可以是有限集；②若具有性质，且，则具有性质；③若、具有性质，且，则具有性质；④若、具有性质，则具有性质．其中所有真命题的序号是 　． 【解答】解：设是非空数集，若对任意，，都有、，则称具有性质，对于①，取集合，具有性质，故可以是有限集，故①正确；对于③，取，，则，，，，又，具有性质，，，，，，，所以具有性质，故③正确；对于④，取，，，，，，但，故④错误；对于②，若具有性质，且，假设也具有性质，设，在中任取一个，，此时可证得，否则若，由于也具有性质，则，与矛盾，故，由于具有性质，也具有性质，所以，，而，这与矛盾，故当且具有性质时，则不具有性质， 同理当时，也可以类似推出矛盾，故②错误．故答案为：①③． 6．设是实数集的非空子集，称集合，且为集合的生成集． （1）当，3，时，写出集合的生成集； （2）若是由5个正实数构成的集合，求其生成集中元素个数的最小值； （3）判断是否存在4个正实数构成的集合，使其生成集，3，5，6，10，，并说明理由． 【解答】解：（1），3，，，10，；（2）设，，，，，不妨设，因为，所以中元素个数大于等于7个， 又，，，，，，，，，，，，此时中元素个数大于等于7个， 所以生成集中元素个数的最小值为7；（3）不存在，理由如下：假设存在4个正实数构成的集合，，，，使其生成集，3，5，6，10，，不妨设，则集合的生成集，，，，，；则必有，，其4个正实数的乘积；也有，，其4个正实数的乘积，矛盾；所以假设不成立，故不存在4个正实数构成的集合，使其生成集，3，5，6，10，． 7．用（A）表示非空集合中的元素个数，定义，若，，，且，设实数的所有可能取值组成的集合是，则等于　　 A．1 B．3 C．5 D．7 【解答】解：由题意知，（A），，，（B）或（B），即方程有1个根或3个根，若，则或，若，则或，当时，，（B），符合题意；当时，对应的根为0和，若（B），则有以下两种情况，①当有两个相等的实数根时，△，解得，当时，，，，（B），符合题意；当时，，，，（B），符合题意；②当有两个不相等的实数根时，则是的一个根，即，无解；综上所述，，，；故，故选：． 8．设集合含有，1两个元素，含有，2两个元素，定义集合，满足，且，则中所有元素之积为　　 A． B． C．8 D．16 【解答】解：由题意集合含有，1两个元素，含有，2两个元素，得，，，，又，，，，，，，．故选：． 9．已知非空集合，满足以下四个条件：①，2，3，4，5，6，7，；②； ③中的元素个数不是中的元素；④中的元素个数不是中的元素． （ⅰ）如果集合中只有1个元素，那么集合的元素是 　 　； （ⅱ）有序集合对的个数是 　　 ． 【解答】解：因为集合中只有1个元素，则集合中有7个元素，所以，，则，即，即集合的元素是7；若集合中只有1个元素，则集合中只有7个元素，则，，即，，此时有，若集合中只有2个元素，则集合中只有6个元素，则，，即，，则有，若集合中只有3个元素，则集合中只有5个元素，则，，即，，此时有，若集合中只有4个元素，则集合中只有4个元素，则，，显然矛盾；若集合中只有5个元素，则集合中只有3个元素，则，，即，，此时有，若集合中只有6个元素，则集合中只有2个元素，则，，即，，此时有，若集合中只有7个元素，则集合中只有1个元素，则，，即，，此时有，故有序集合对的个数是．故答案为：7；44． 一 学科网（北京）股份有限公司 $$