3.2.4函数的基本性质综合运用导学案-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

南海一中2027届高一上学期数学科 第六周第6课时学案 撰稿：李志勇、莫树机 审核：高一数学备课组 3.2.4 函数的基本性质—综合运用 高一（ ）班 姓名： 学号： 【学习目标】 综合运用函数的基本性质解决各类问题 例题讲解 【题型1】判断函数的单调性和奇偶性 【典例1】（多选）下列函数既是偶函数，在上又是增函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解答】对A， 开口向上，且对称轴为，所以是偶函数， 在上是增函数，故A正确； 对B，为奇函数，故B错误； 对C，为偶函数，当时，为增函数，故C正确； 对D，令，为偶函数， 当，为减函数，故D错误， 故选：AC 【变式1-1】（多选）下列函数中是偶函数，且在为增函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解答】根据题意，依次分析选项： 对于，，偶函数，且在为增函数，符合题意； 对于，，不是偶函数，不符合题意； 对于，，是偶函数，在上为增函数，故在为增函数，符合题意； 对于，，是偶函数，且在为增函数，符合题意； 故选：． 【题型2】综合函数的单调性和奇偶性解函数不等式 【典例2】已知函数f(x)的图象关于y轴对称，且f(x)在(－∞，0]上单调递减，则满足的实数x的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】由题意是偶函数，且在上单调递增， ∴不等式可变为， ∴，解得．故选：B． 【变式2-1】已知偶函数f (x)在区间 单调递增，则满足的 x 取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】因为偶函数在区间上单调递增， 所以在区间上单调递减，故越靠近轴，函数值越小， 因为， 所以，解得：. 故选：A． 【题型3】综合函数的单调性和奇偶性比较函数值的大小 【典例3】设偶函数的定义域为，当时，是增函数，则，，的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】A【解答】因为函数是偶函数，所以 因为时，是增函数，所以，所以.故选：A 【变式3-1】已知偶函数在区间上单调递增，则下列关系式成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B【解析】因为为偶函数，所以， 又因为且在上单调递增，所以， 所以，故选：B. 【题型4】综合函数的单调性和奇偶性求参数 【典例4】奇函数f(x)是定义在(－1，1)上的减函数，若f(m－1)＋f(3－2m)<0，求实数m的取值范围． 【答案】(1，2).【解答】原不等式化为f(m－1)<－f(3－2m)． 因为f(x)是奇函数，所以f(m－1)<f(2m－3)． 因为f(x)是减函数， 所以m－1>2m－3，所以m<2． 又f(x)的定义域为(－1，1)， 所以－1<m－1<1且－1<3－2m<1， 所以0<m<2且1<m<2，所以1<m<2． 综上得1<m<2． 故实数m的取值范围是(1，2)． 【变式4-1】设f(x)是定义在R上的奇函数,且对任意a,b∈R,当a-b≠0时,都有>0. （1）若a>b,则f(a)>f(b)(选填“>”或“<”);（2）若f(1+m)+f(3-2m)≥0,则实数m的取值范围是(-∞,4]. 解析:因为a>b,所以a-b>0, 因为>0, 所以f(a)+f(-b)>0. 又因为f(x)是定义在R上的奇函数, 所以f(-b)=-f(b), 所以f(a)-f(b)>0,即f(a)>f(b). 因为f(x)为R上的增函数, f(1+m)+f(3-2m)≥0, 所以f(1+m)≥-f(3-2m), 即f(1+m)≥f(2m-3), 所以1+m≥2m-3,解得m≤4. 所以实数m的取值范围为(-∞,4]. 课堂测试 1. (25届高一上南海区统)下列函数中是偶函数，且在上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】【分析】根据常见函数的奇偶性和单调性，逐一判断是否符合题意即可. 【详解】解：对于A，为偶函数，由幂函数的性质可知在上单调递增，符合题意；对于B，为奇函数，不符合题意；对于C，中，，即为奇函数，不符合题意；对于D，为偶函数，由幂函数的性质可知在上单调递减，不符合题意.故选：A. 2. 偶函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递增,若x1<0,x2>0,且|x1|>|x2|,则f(x1)与f(x2)的大小关系是 答案：f(x1)>f(x2). 3.（25届南海区统）定义在上的奇函数满足且对任意的正数､()，有，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【分析】易知函数在上单调递减，不等式等价为或，进一步求出答案. 【详解】解：∵对任意的正数､，有， ∴函数在上单调递减， ∵定义在上的奇函数，且， ∴在上单调递减，， ∴不等式等价为或， 解得或， ∴不等式的解集为. 故选：C. 4. (25届高一上南海区统高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，用他的名字命名了“高斯函数”.设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数.例如：，，已知函数，则下列选项中，正确的是（ ） A. 的最大值为1，没有最小值 B. 的最小值为0，没有最大值 C. 没有最大值，没有最小值 D. 的最大值为1，最小值为0 【答案】B 【解析】 【分析】先进行分段化简函数，并画函数图象，再结合图象判断最值情况即可. 【详解】由高斯函数的定义可得： 当时，，则， 当时，，则， 当时，，则， 当时，，则， 易见该函数具有周期性，绘制函数图象如图所示， 观察可得函数有最小值0，没有最大值. 故选：B. 5.已知函数是定义在上的奇函数，满足，当时，有． (1)求函数的解析式；(2)判断的单调性，并证明；(3)解不等式． 【解题思路】（1）根据奇函数的性质，即可求出，再由求出，即可求出当时函数解析式，再由奇函数的性质求出时解析式； （2）利用定义法证明函数的单调性即可； （3）结合奇偶性与单调性，将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可. 【解答过程】（1）因为函数是定义在上的奇函数，所以，即，解得， 因为，所以，所以， 所以当时，， 当时，， 则， 综上所述，； （2）函数在上为增函数． 证明：任取，且， 则 ， ， ，即， 故在上为增函数； （3）因为函数是定义在上的奇函数， 所以 ， 又由（2）知在上为增函数， 所以，解得， 故原不等式的解集为． 6.已知函数，若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】【分析】分别在和的情况下，根据二次函数性质可得到在上连续且单调递增，将恒成立的不等式化为，利用单调性可得自变量大小关系，结合恒成立思想可得，由此可构造不等式求得的范围. 【详解】因为，则有： 当时，，此时单调递增； 当时，，此时单调递增， 且，所以为上的连续函数且在上单调递增. 又因为，则， 可得，即对任意恒成立， 注意到的图象开口向下，则，解得， 所以实数的取值范围为. 【课后作业】导学案的课堂测试的第3和第5 第2页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.2.4 函数的基本性质—综合运用 高一（ ）班 姓名： 学号： 【学习目标】 综合运用函数的基本性质解决各类问题 例题讲解 【题型1】判断函数的单调性和奇偶性 【典例1】（多选）下列函数既是偶函数，在上又是增函数的是（ ） A． B． C． D． 【变式1-1】（多选）下列函数中是偶函数，且在为增函数的是（ ） A． B． C． D． 【题型2】综合函数的单调性和奇偶性解函数不等式 【典例2】已知函数f(x)的图象关于y轴对称，且f(x)在(－∞，0]上单调递减，则满足的实数x的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式2-1】已知偶函数f (x)在区间 单调递增，则满足的 x 取值范围是（　　） A． B． C． D． 【题型3】综合函数的单调性和奇偶性比较函数值的大小 【典例3】设偶函数的定义域为，当时，是增函数，则，，的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【变式3-1】已知偶函数在区间上单调递增，则下列关系式成立的是（ ） A． B． C． D． 【题型4】综合函数的单调性和奇偶性求参数 【典例4】奇函数f(x)是定义在(－1，1)上的减函数，若f(m－1)＋f(3－2m)<0，求实数m的取值范围． 【变式4-1】设f(x)是定义在R上的奇函数,且对任意a,b∈R,当a-b≠0时,都有>0 （1）若a>b,则f(a) f(b)(选填“>”或“<”); （2）若f(1+m)+f(3-2m)≥0,则求实数m的取值范围 . 课堂测试 1. (25届高一上南海区统)下列函数中是偶函数，且在上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 2. 偶函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递增,若x1<0,x2>0,且|x1|>|x2|,则f(x1)与f(x2)的大小关系是 3.（25届高一上南海区统）定义在上的奇函数满足且对任意的正数､()，有，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 4. (25届高一上南海区统&教材P74第13题素材)高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，用他的名字命名了“高斯函数”.设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数.例如：，，已知函数，则下列选项中，正确的是（ ） A. 的最大值为1，没有最小值 B. 的最小值为0，没有最大值 C. 没有最大值，没有最小值 D. 的最大值为1，最小值为0 5.已知函数是定义在上的奇函数，满足，当时，有． (1)求函数的解析式；(2)判断的单调性，并用定义法证明；(3)解不等式． 6.【选做】（26届高一上南海区统）已知函数，若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是______. 【课后作业】导学案的课堂测试的第3和第5 参考答案 【典例1】AC 【变式1】ACD 【典例2】B ．【变式2】A 【典例3】A【变式3】B. 【典例2】由题意是偶函数，且在上单调递增，∴不等式可变为，∴，解得．故选：B． 【变式2】A【解答】因为偶函数在区间上单调递增，所以在区间上单调递减，故越靠近轴，函数值越小，因为，所以，解得：.故选：A． 【典例3】【答案】A【解答】因为函数是偶函数，所以 因为时，是增函数，所以，所以.故选：A 【典例4】【答案】(1，2).【解答】原不等式化为f(m－1)<－f(3－2m)． 因为f(x)是奇函数，所以f(m－1)<f(2m－3)．因为f(x)是减函数，所以m－1>2m－3，所以m<2．又f(x)的定义域为(－1，1)，所以－1<m－1<1且－1<3－2m<1，所以0<m<2且1<m<2，所以1<m<2．综上得1<m<2．故实数m的取值范围是(1，2)． 【变式4】因为>0,所以f(a)+f(-b)>0.又因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(-b)=-f(b),所以f(a)-f(b)>0,即f(a)>f(b).因为f(x)为R上的增函数,f(1+m)+f(3-2m)≥0,所以f(1+m)≥-f(3-2m),即f(1+m)≥f(2m-3),所以1+m≥2m-3,解得m≤4.所以实数m的取值范围为(-∞,4]. 【课堂测试】 1.A;2. f(x1)>f(x2).; 3. C.; 4. B; 5. （1）因为函数是定义在上的奇函数，所以，即，解得，因为，所以，所以，所以当时，， 当时，，则，综上所述，； （2）函数在上为增函数．证明：任取，且，则 ，，，即，故在上为增函数；（3）因为函数是定义在上的奇函数，所以 ，又由（2）知在上为增函数，所以，解得， 故原不等式的解集为． 6.【详解】因为，则有：当时，，此时单调递增；当时，，此时单调递增，且，所以为上的连续函数且在上单调递增.又因为，则，可得，即对任意恒成立，注意到的图象开口向下，则，解得，所以实数的取值范围为. 第2页 学科网（北京）股份有限公司 $$