3.2.1函数的基本性质—单调性导学案-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

3.2.1 函数的基本性质—单调性 高一（ ）班 姓名： 学号： 【学习目标】 1.理解函数的单调性的概念，掌握判断或证明函数单调性的方法和步骤； 2.会求函数的单调区间； 3.通过对函数单调性的证明及单调区间的求法的复习，培养学生的应用化归转化和分类讨论的数学思想解决问题的能力。 【学习重难点】1、定义法证明函数的单调性之作差变形的计算；2、函数单调性的应用之求参数。 导学过程： 【课前预习】 1.阅读课本P76-79，借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性（单调区间），理解定义法证明函数的单调性，能应用单调性解决问题。 2.完成教材P76-79的例1、例2和例3、P79的练习2 知识点：函数的增减性 单调递增、单调递减及增函数与减函数的定义 名称 定义 图形表示 几何意义 单调递增 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间DI：如果x1,x2∈D，当x1 < x2时，都有 ，那么就称函数f(x)在区间D上 . 函数f(x)在区间D上的图象从左到右是 的 . 单调递减 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间DI：如果x1,x2∈D，当x1 < x2时，都有 ，那么就称函数f(x)在区间D上 函数f(x)在区间D上的图象从左到右是 的 . ********************************请在课前完成以上预习内容*************************** 例题讲解 【题型1】图象法判断函数的单调区间（单调性） 【典例1】　定义在区间[－5,5]上的函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数的单调递减区间是________，在区间________上是增函数。 【变式1-1】函数在区间(2，4)上（ ） A．单调递增 B．单调递减 C．先减后增 D．先增后减 【题型2】 定义法判断或证明函数的单调性 【典例2】（教材P79例3）根据定义证明函数在区间上单调递增. 【变式2-1】（教材P86第8（1））根据函数单调性的定义证明函数在区间上单调递增. 【题型3】 函数单调性的应用 类型1 比较大小或解不等式 【典例3-1】若函数f(x)在区间(－∞，＋∞)上是减函数，则下列关系式一定成立的是(　　) A．f(a)>f(2a) B．f(a2)<f(a) C．f(a2＋a)<f(a) D．f(a2＋1)<f(a2) 【变式3-1-1】已知函数y＝f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，且>f(5x＋6)，则实数x的取值范围是________。 类型2 求参数的取值范围 【典例3-2】若函数f(x)＝－x2＋2(a－1)x＋2在(－∞，4)上是增函数，则实数a的取值范围是(　　) A．a≥5　　B．a≥3 C．a≤3　　D．a≤－5 【变式3-2-1】函数f(x)＝x2－(4a－1)x＋2，在[－1,2]上不单调，则实数a的取值范围是(　　) A. B. C. D. 【课堂测试】 1、函数f(x)=|x-2|的单调递增区间是_____. 2、【多选】下列四个函数中在(－∞，0]上单调递减的是(　　) A．f(x)＝x2－2x B．f(x)＝－x C．f(x)＝x＋1 D．f(x)＝ 3、函数满足：对任意的总有，且，则实数的取值范围是（       ） A． B． C． D． 4．（教材P100复习参考题3第4题）已知函数在上具有单调性，求实数k的取值范围_____. 5.已知函数是上的增函数，则实数的取值范围是（       ） A． B． C． D． 6、（26届高一上南海区统）已知. 求证：在上是增函数； 7、（教材P86习题3.2第8（3））讨论函数在区间上的单调性. 课时小结： 【课后作业】教材P7练习3 教材P85-86习题3.2第2,3题 【参考答案】 知识点01 f(x1)<f(x2)；单调递增；上升；f(x1)＞f(x2)；单调递减；下降； 【典例1】[－2,1)和[3,5]　;[－5，－2)和[1,3) 【变式1-1】C 【典例2】证明：，，且，有 .由，，得，. 所以，.又由，得.于是，所以，函数在区间上单调递增. 【变式2-1】证明：且，则. .又即.在区间上单调递增. 【典例3-1】D； 【变式3-2-1】 (－∞，－3)； 【典例3-2】A； 【变式3-2-1】B； 【课堂测试】 1、 [2,+∞) ； 2、AD； 3、C； 4． ； 5. B 6、【详解】解：证明：设，且，则， ∵，且，∴，，则，∴， 则在上是增函数； 7、（教材P86习题3.2第8（3））讨论函数在区间上的单调性. 【答案】且，则.①当时，，又，即.在上为减函数.②当时，又，，即.在上为增函数. 第2页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.2.1 函数的基本性质—单调性 高一（ ）班 姓名： 学号： 【学习目标】 1.理解函数的单调性的概念，掌握判断或证明函数单调性的方法和步骤； 2.会求函数的单调区间； 3.通过对函数单调性的证明及单调区间的求法的复习，培养学生的应用化归转化和分类讨论的数学思想解决问题的能力。 【学习重难点】1、定义法证明函数的单调性之作差变形的计算；2、函数单调性的应用之求参。 导学过程： 【课前预习】 1.阅读课本P76-79，借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性（单调区间），理解定义法证明函数的单调性，能应用单调性解决问题。 2.完成教材P76-79的例1、例2和例3、P79的练习2 知识点01：函数的增减性 单调递增、单调递减及增函数与减函数的定义 名称 定义 图形表示 几何意义 单调递增 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间DI：如果x1,x2∈D，当x1 < x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增. 函数f(x)在区间D上的图象从左到右是上升的 . 单调递减 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间DI：如果x1,x2∈D，当x1 < x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减. 函数f(x)在区间D上的图象从左到右是下降的 . **************************请在课前完成以上预习内容********************** 例题讲解 【题型1】图象法判断函数的单调区间（单调性） 【典例1】　定义在区间[－5,5]上的函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数的单调递减区间是________，在区间________上是增函数。 解析　根据图象得出函数y＝的单调递减区间是[－2,1)，[3,5]；单调递增区间是[－5，－2)，[1,3)。答案　[－2,1)和[3,5]　[－5，－2)和[1,3) 【方法总结】一般通过已知条件作出函数的图象（或者草图），利用图象判断函数的单调区间（单调性） 【变式1-1】函数在区间(2，4)上（ ） A．单调递增 B．单调递减 C．先减后增 D．先增后减 【答案】C【解析】函数图象的对称轴为直线x=3，此函数在区间(2，3)上单调递减，在区间(3，4)上单调递增.故选：C 【题型2】 定义法判断或证明函数的单调性 【典例2】（教材P79例3）根据定义证明函数在区间上单调递增. 证明：，，且，有 .由，，得，. 所以，.又由，得.于是，所以，函数在区间上单调递增. 【方法总结】一般用于证明，设函数，证明的单调区间为 ①取值：任取，，且； ②作差：计算； ③变形：对进行有利于符号判断的变形（如通分，因式分解，配方，有理化等）；如有必要需讨论参数； ④定号：通过变形，判断或（），如有必要需讨论参数； ⑤下结论：指出函数在给定区间上的单调性 【变式2-1】（教材P86第8（1））根据函数单调性的定义证明函数在区间上单调递增. 证明：且，则. .又即.在区间上单调递增. 【题型3】 函数单调性的应用 类型1 比较大小或解不等式 【典例3-1】若函数f(x)在区间(－∞，＋∞)上是减函数，则下列关系式一定成立的是(　　) A．f(a)>f(2a) B．f(a2)<f(a) C．f(a2＋a)<f(a) D．f(a2＋1)<f(a2) 解析　a与2a的大小无法判定，所以A不正确。同理B不正确。当a＝0时，a2＋a＝a，所以C不正确。因为a2＋1>a2，且函数y＝在R上是减函数，所以＋1)<f(a2)，D正确。答案　D 【变式3-2-1】已知函数y＝f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，且>f(5x＋6)，则实数x的取值范围是________。 解析　因为在(，＋∞)上是增函数，且－3)>，所以2x－3>5x＋6，即x<，所以x的取值范围是(－∞，－3)。答案　(－∞，－3) 【方法总结】利用单调性比较大小或解不等式的方法 (1)利用函数的单调性可以比较函数值或自变量的大小。在解决比较函数值的问题时，要注意将对应的自变量转化到同一个单调区间上。 (2)在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解。此时应特别注意函数的定义域。 类型2 求参数的取值范围 【典例3-2】若函数f(x)＝－x2＋2(a－1)x＋2在(－∞，4)上是增函数，则实数a的取值范围是(　　) A．a≥5　　B．a≥3 C．a≤3　　D．a≤－5 解析　函数f(x)＝－x2＋2(a－1)x＋2的图象开口向下，对称轴为直线x＝a－1，故该函数的单调递增区间为(－∞，a－1)。又函数f(x)在(－∞，4)上是增函数。所以(－∞，4)⊆(－∞，a－1)，所以a－1≥4，a≥5。故选A。答案　A 【变式3-2-1】函数f(x)＝x2－(4a－1)x＋2，在[－1,2]上不单调，则实数a的取值范围是(　　) A. B. C. D. 解析　因为函数f(x)＝x2－(4a－1)x＋2在[－1,2]上不单调，所以－1<<2，解得－<a<。故选B。答案　B 【方法总结】已知函数的单调性求参数的取值范围的一般方法 (1)将参数看成已知数，求函数的单调区间，再与已知的单调区间比较，求出参数的取值范围；(2)运用函数单调性的定义建立关于参数的不等式(组)，解不等式(组)求出参数的取值范围。 【课堂测试】 1、函数f(x)=|x-2|的单调递增区间是_____. 【答案】[2,+∞)【解答】由图象可知,f(x)的单调递增区间是[2,+∞). 2、【多选】下列四个函数中在(－∞，0]上单调递减的是(　　) A．f(x)＝x2－2x B．f(x)＝－x2 C．f(x)＝x＋1 D．f(x)＝ 解析　通过观察各函数的图象，易知f(x)＝－x2，f(x)＝x＋1在(－∞，0]上单调递增，f(x)＝x2－2x，f(x)＝在(－∞，0]上单调递减。故选AD。 3、函数满足：对任意的总有，且，则实数的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】C【解答】因为对任意的总有所以函数是上的单调增函数，，解得：，实数的取值范围为.故选：C. 4．（教材P100复习参考题3第4题）已知函数在上具有单调性，求实数k的取值范围_____. 【答案】【分析】由题意结合二次函数的单调性与对称性，即可得到结果.【详解】由题意得，或，解得，或，故的范围． 5.已知函数是上的增函数，则实数的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】B【解答】因为函数是定义在R上的增函数，所以，解得，所以实数a的取值范围为.故选：B 6、已知. （1）求证：在上是增函数；（2）①，猜想与的大小关系；②证明①的猜想的结论； ③求函数的最值. 【详解】解：（1）证明：设，且，则， ∵，且，∴，，则，∴， 则在上是增函数； （2）①解：若，猜想(当且仅当时等号成立)； ②证明：∵， ∴根据函数f(x)单调性可知，(当且仅当时等号成立)； ③，∵，∴，其中时，取得最小值，无最大值， 故取得最小值，无最大值. 7、（教材P86习题3.2第8（3））讨论函数在区间上的单调性. 【答案】且， 则. ①当时，，又，即. 在上为减函数. ②当时，又，，即. 在上为增函数. 课时小结： 【课后作业】教材P7练习3 教材P85-86习题3.2第2,3题 第2页 学科网（北京）股份有限公司 $$