北京市顺义区第一中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试卷

顺义一中2024-2025学年度第一学期高三年级期中考试数学试卷 本试卷共4页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将答题卡交回． 一.选择题（本大题共10小题，共40分） 1. 设集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数满足，则的共轭复数（ ） A. B. C. D. 3. 如图所示，直线的斜率分别为，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知角的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 5. 下列函数中，既是偶函数，又在区间上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 6. 在中，若，，，则的大小为（ ） A. B. C. D. 或 7. 设点，，不共线，则“与的夹角为锐角”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素.安装灯带可以勾勒出建筑轮廓，展现造型之美.如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面是全等的等腰三角形.若，，且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面与平面的夹角的正切值均为，则该五面体的所有棱长之和为（ ） A. 100 m B. 112 m C. 117 m D. 132 m 9. 函数图象上存在两点，满足，则下列结论成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，若对于任意正数，关于的方程都恰有两个不相等的实数根，则满足条件的实数的个数为（ ） A. B. C. D. 无数 二.填空题（本大题共5小题，共25分） 11. 函数的定义域是______. 12. 首项为1的等比数列中，，，成等差数列，则公比______. 13. 能说明“若，则，其中”为假命题的一组，的值是___． 14. 如图，这个优美图形由一个正方形和以各边为直径的四个半圆组成，若正方形的边长为4，点在四段圆弧上运动，则的取值范围为______. 15. 如图，在棱长为的正方体中，点，分别在线段和上． 给出下列四个结论： ①的最小值为； ②四面体的体积为； ③有且仅有一条直线与垂直； ④存在点，，使为等边三角形． 其中所有正确结论的序号是____． 三、解答题（本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 已知函数． （1）若，且，求的值； （2）求函数的最小正周期，及函数的单调递减区间． 17. 在中，已知，请从下列三个条件中选择两个，使得存在，并解答下列问题： （1）求的大小； （2）求和的值． 条件①：；条件②：；条件③：． 18. 某校工会开展健步走活动，要求教职工上传3月1日至3月7日微信记步数信息，下图是职工甲和职工乙微信记步数情况： （1）从3月1日至3月7日中任选一天，求这一天职工甲和职工乙微信记步数都不低于10000的概率； （2）从3月1日至3月7日中任选两天，记职工乙在这两天中微信记步数不低于10000的天数为，求的分布列及数学期望； （3）如图是校工会根据3月1日至3月7日某一天的数据，制作的全校200名教职工微信记步数的频率分布直方图．已知这一天甲和乙微信记步数在单位200名教职工中排名分别为第68和第142，请指出这是根据哪一天的数据制作的频率分布直方图（结论不要求证明） 19. 如图，在多面体中，四边形是边长为的正方形，平面平面，，，. （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）线段上是否存在点，使得平面？若存在，指出点的位置并证明；若不存在，请说明理由. 20. 已知函数. （1）若曲线在点处的切线斜率为1，求实数a的值； （2）当时，求证：； （3）若函数在区间上存在极值点，求实数a的取值范围. 21. 已知数列，对于任意的，都有，则称数列为“凹数列”. （1）已知数列，的前项和分别为，，且，，试判断数列，数列是否为“凹数列”，并说明理由； （2）已知等差数列，首项为4，公差为，且为“凹数列”，求的取值范围； （3）证明：数列为“凹数列”的充要条件是“对于任意的，，，当时，有”. 顺义一中2024-2025学年度第一学期高三年级期中考试数学试卷 本试卷共4页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将答题卡交回． 一.选择题（本大题共10小题，共40分） 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】A 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】D 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】D 【9题答案】 【答案】B 【10题答案】 【答案】B 二.填空题（本大题共5小题，共25分） 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】2 【13题答案】 【答案】答案不唯一，如， 【14题答案】 【答案】 【15题答案】 【答案】①②④ 三、解答题（本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 【16题答案】 【答案】（1） （2）最小正周期，， 【17题答案】 【答案】（1） 若选择①②：； 若选择①③：； 若选②③：不存在. （2） 若选择①②：，； 选择①③：，． 【18题答案】 【答案】（1）； （2） 0 1 2 ； （3）3月3日. 【19题答案】 【答案】（1）证明如下： 因为平面平面，平面平面，，平面, 所以平面， 因为平面，所以， 因为四边形是正方形， 所以， 因为，平面，平面， 所以平面. （2） （3）存在，点为中点，证明如下： 设， 因为， 所以， 由（2）知平面的一个法向量为， 因为平面， 所以，解得， 所以线段上存在点，点为中点，满足平面. 【20题答案】 【答案】（1） （2）证明：当时，， 所以. 当时，，在区间上单调递减； 当时，，在区间上单调递增； 所以是在区间上的最小值. 所以. （3） 【21题答案】 【答案】（1）数列是为“凹数列”， 数列不是为“凹数列”，理由如下： 由于为等差数列，所以，为等比数列，，任意的，都有，故，所以数列是为“凹数列”， 任意的，都有， 故，所以数列不是为“凹数列”， （2） （3）证明：先证明必要性：因为为“凹数列”所以对任意的，都有，即，所以对任意的，，，当时，有，所以， 又， 所以，所以，必要性成立； 再证明充分性：对于任意的，，，当时，有， 取，，则有， 即，所以为“凹数列”. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $