浙江省宁波市宁波中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷

宁波中学2024学年度第一学期期中高二数学试卷 一、单选题：（本题共8小题，每小题5分，共40分) 1.已知直线1在x轴上的截距是-2，在y轴上的截距是3，则直线/的方程是() A.3x-2y-6=0B.3x+2y-6=0C.3x-2y+6=0 D.3x+2y+6=0 2.如图，在四面体OABC中，OA=a,OB=i,OC=c,OM=2M,N为BC的中点，则M=（) A1a-251- -a--b+-c R-2a+l方1 -a+-b+-g 232 322 c.a+6-1: 2.2÷1+ -a+=b--c -a+-b--C 222 332 B 3.在日常生活中，可以看见很多有关直线与椭圆的位置关系的形象，如图，某公园的一个窗户就是 长轴长为4米，短轴长为2米的椭圆形状，其中三条竖直窗棂将长 轴分为相等的四段，则该窗户的最短的竖直窗棂的长度为() A.3 B.2 c.√5 D.V3 4双曲线x2_上=1的右顶点到渐近线的距离为() 4 A1 B.2 c.5 D.25 5.已知动直线：(m+1)x+(m-1)y+2m=0,圆O:x2+y2=3,则直线1与圆0的位置关系是（) A相交 B.相切 C.相离 D.与m值有关，无法确定 6.在空间直角坐标系O-y2中，四面体ABCD的顶点坐标分别是A(0,0,2),B(亿，2,0)，C(1,2,1), D(2,2,2).则点B到面ACD的距离是() A.25 & c.22 D. 3 3 3 3 7.已知椭圆 +6=la>b>0),点F为左焦点，点P为下顶点，平行于P的直线！交椭圆于A,B 两点，且AB的中点为M0,之， 则椭圆的离心率为() 2 0⑤ 2 8.已知正方体ABCD-ABCD的校长为a,定点M在搜AB上不在端点A,B上)，点P是平面 ABCD内的动点，且点P到直战AD,的距离与点P到点M的距离的平方差为a2,则点P的轨迹所 在的曲线为() A國 B花圆 C双曲线 D.抛物线 二、多迹题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9.已知张物出y=x2,無点为F,准线为l,弦P2过F点，则下列说法正确的是( 九焦点F的坐标为(0，) 且准线1的方程为x=】 4 C若Po,o),则1FP卢%+ D.弦P2的长度Pg21 4 10. 在空间直角坐标系中，已知点(-1，-1,0)，B(0,2,-),C(2,0,1),G为△ABC的耳心，则( 土G点的鱼标是0 B.n=(-a,a,2a)是平面ABC的法向量 C平面ABC过原点O(0,0,0) D.△ABC为锐角三角形 女已知四边形BCD的四个顶点都在椭西E:子+ +=1a>b>0)上，对角线4C,BD过原点O, 且kAc-kgp= ,则() b2 AO4+lO时是定值 B.4CBD是定值 C.四边形ABCD的面积是定值 D.四边形ABCD的周长是定值 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12.在平面直角坐标系中，已知某直线沿x轴正方向平移3个单位，再沿y轴负方向平移2个单位，直 线回到原来位置则此直线的斜率k= y 3.双曲线C:-=1(a>b>0)的左、右焦点分别是，B,直线y=:与曲线C交于AB两点) A引=3BF且∠FA2=60°，则双曲线C的离心率是 14如图，己知a,b是相互垂直的两条异面直线，直线AB与a,b相交且垂直，垂足为A,B,且线段 M8=25,动点P,2分别位于直线a,b上，若直线P2与AB所成的角9=二，线段P2的中点为M, 6 则以下结论： ①P2的长度为定值4 ②三棱锥A-BPQ的体积为定值. ③点M的轨迹是圆： 其中正确的有 (填写编号) 四、解答题（本题共5小题，共T7分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15.(本题13分)已知圆C:x2+y2+2x-4y+3=0, (1)若直线1过点(-2,0)且被圆C截得的弦长为2，求直线1的方程： (2)从圆C外一点P向圆C引一条切线，切点为M且PM=PO,O为坐标原点，求PM的最小 值 16(本题15分)如图，ABCD为圆柱的轴截面，P为底面半圆周上一点，E为PC中点，BE⊥AC (1)若BC=1,求PB的长 (②)若PA=2PB,求平面PAD与平面ABE所成夹角的余弦值 17本题15分尼知椭圈c号女月 +片=1>b>0,过点4引，离心率为分过点0,2列的直线！ 交椭圆于M,N两点，若直线AM,AN的斜率都存在且分别为k1,k, (1)求椭圆C的方程 +一的值 18.(本题17分)已知抛物线E:y2=4x,直线：x=my+3交抛物线E于A,B两点， (1)若线段AB中点M的纵坐标为2，求直线1的方程1 (2)若抛物线E上存在两点C,D关于直线I轴对称，求m的取值范围， 、ˇ若存在定点P,使以AB为直径的圆上的任意点2，都满足P:口g=2:V5(O为原点)，求定 点P的坐标和m的值. 19.(本题17分)阅读下列材料，回答问题 如图，在空间直角坐标系0-z中，过原点0与z轴成日角(0<日<产) 的直线绕z轴一周，生成以O为顶点z轴为对称轴的二个圆锥形的几何 体2，不经过原点0与z轴成P角(0≤P≤)的平面α截几何体2的表 面得到的截口曲线称为圆锥曲线。 当9<p<乏时，平面a截几何体n的表面得到的截口曲线在一个圆锥上，以下证明它是精圆： 0 如图，在该圆锥内放置两球S和S2,使它们都与圆锥相切（即与圆 锥的每条母线相切，切点分别形成圆K,和圆K2)且与平面α相切 (位于平面α上下两侧)，切点分别为F和F,在截口曲线上任取一 点P,作直线OP交圆K1、K2于点O、O2,连接PF和PO,因为 PF和P2都是大球的切线段，所以PR=PO,同理PF2=P22 所以PF+PF2=P2+P22=22,因为两球外离，FF和222分 别是两球的内外公切线段，都为定值且FF2<222,所以此时平面 α截圆锥得到的圆锥曲线满足椭圆定义，应为椭圆。 依据上述材料所述，请回答： (1)当p=日时，对应的圆锥曲线是什么曲线？（直接回答不必证明） (2)当0<p<日，对应的圆锥曲线是什么曲线？并根据答卷上的图像利用材料所提供的思路进行证 明： (3)如右图，将等边△ABC绕边BC旋转至△ABC,并且使二面角A-BC-为直二面角，动点P 在平面ABC上并且∠P4'=行，判断动点P的轨迹，并求英离心率。 B