精品解析：浙江省浙东北联盟2024-2025学年高二上学期期中联考数学试卷

浙东北联盟（ZDB）2024/2025学年第一学期期中联考 高二年级数学学科试题 考生须知： 1.本卷共6页满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，在答题卷指定区域填写班级､姓名､考场号､座位号及准考证号并填涂相应数字. 3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效. 4.考试结束后，只需上交答题纸. 选择题部分 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先将直线方程化为斜截式，即可求出斜率，再根据斜率与倾斜角的关系即可得解. 【详解】直线的方程为，即， 所以直线的斜率，设倾斜角为，则， 因为，所以. 故选：B. 2. 双曲线的焦距为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出即可求出焦距. 【详解】在双曲线中，，，， 所以焦距为． 故选：B． 3. 已知点为圆：外一动点，过点作圆的两条切线，，切点分别为，，且，则动点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由已知结合直线与圆相切的性质可得四边形为正方形，，，然后结合两点间的距离公式即可求解． 【详解】设， 因为，与圆相切， 所以，，，， 又， 所以四边形为正方形， 所以，则， 即动点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 所以动点的轨迹方程为． 故选：A． 4. 古希腊的几何学家用一个不过顶点的平面去截一个圆锥，将所截得的不同的截口曲线统称为圆锥曲线.如图所示的圆锥中，为底面圆的直径，为中点，某同学用平行于母线且过点的平面去截圆锥，所得截口曲线为抛物线.若该圆锥的高，底面半径，则该抛物线焦点到准线的距离为（ ） A. 2 B. C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】先利用中位线计算，结合对称性判断抛物线以为对称轴，焦点在上，再以顶点为原点建立坐标系，设抛物线标准方程，根据点在抛物线上求得参数p即得结果. 【详解】因为M是PB的中点，O是AB的中点，则，， 截圆锥的平面平行于母线PA且过母线PB的中点M，故O也在截面上， 根据对称性可知抛物线的对称轴为，焦点在上， 建立以M为原点，为x轴，过M点的垂线为y轴， 设抛物线与底面交点为E，则， 设抛物线为，则，解得， 即该抛物线焦点到准线的距离为p，即为. 故选：B. 5. 如图，在平行六面体中，，，，点P在上，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合几何图形，利用向量的线性运算公式，即可求解. 【详解】， ， . 故选：A 6. 我国著名数学家华罗庚曾经说过：“数形结合百般好，隔离分家万事休.”事实上有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，根据上述观点，当取得最小值时，实数的值为（ ） A. B. 3 C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据两点距离公式，结合直线方程即可求解. 【详解】， 表示平面上点与点，的距离和， 连接，与轴交于，此时直线方程为， 令，则 的最小值为，此时 故选：C． 7. 已知曲线，则下列结论中错误的是（ ） A. 曲线关于直线对称 B. 曲线与直线无公共点 C. 曲线上的点到直线的最大距离是 D. 曲线与圆有三个公共点 【答案】C 【解析】 【分析】根据曲线的图象、对称性、点到直线的距离、曲线与圆的交点等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A选项，点满足 直线对称的对称点是， 将点代入得， 整理得，所以曲线关于直线对称，A选项正确. B选项，联立，将代入， 得，所以曲线与直线无公共点，B选项正确. 下面分析曲线的图象： 曲线， 当时，曲线方程可化为； 当时，曲线方程可化为，不符合. 当时，曲线方程可化为； 当时，曲线方程可化为. 由此画出曲线的图象如下图所示， 对于C选项，由于可知，曲线上的点到直线的最大距离是， 即圆弧（）的半径，所以C选项错误. 对于D选项，圆的圆心为，半径是， 与圆弧（）的圆心距为， 所以圆与圆相内切，切点为. 结合图象可知曲线与圆有三个公共点，D选项正确. 故选：C 【点睛】思路点睛： 通过代入验证对称关系：首先将对称点代入曲线方程，从而验证曲线是否关于某条直线对称，这个方法简单直接，有助于准确判断曲线的几何性质. 联立方程判断交点：通过联立曲线和直线的方程，求出它们是否有公共点，从而判断选项是否正确，联立方程是判断交点的标准方法，确保结果的准确性. 8. 已知是椭圆的左､右焦点，直线与椭圆相切于点，过左焦点作直线的垂线，垂足为，则点与原点之间的距离为（ ） A. B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】设，与椭圆方程联立方程组，求得切线的方程，进而求得左焦点作直线的垂线方程，联立两直线方程，求得交点的坐标，可求点与原点之间的距离. 【详解】直线的斜率显然存在，所以设直线的方程为，即， 联立方程组， 消去，得， 因为直线与椭圆相切于点， 所以， 整理得，解得， 所以切线方程为， 由椭圆，可得，所以， 可得左焦点，所以过左焦点与直线的垂直的直线方程为， 联立方程组，解得，所以， 所以点与原点之间的距离为. 故选：B. 【点睛】思路点睛：在平面解析几何中，求切线方程，常常是设出直线方程，与圆锥曲线联立方程组，利用求得参数，进而得到直线方程. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，根据向量加法坐标运算公式求，再由模的坐标公式求，判断A； 对于B，根据向量加法坐标运算公式求，再根据数量积运算求，判断B， 对于C，向量加法坐标运算公式求，再根据数量积运算求，结合向量垂直的坐标表示判断C； 对于D，结合向量平行的坐标表示判断D. 【详解】对于A：，所以，A正确； 对于B：，所以，B错误； 对于C：，所以，C正确； 对于D：，假设， 则存在实数，使得， 所以， 满足条件的不存在， 故与不平行，D错误． 故选：AC． 10. 已知直线，直线，则下列命题正确的有（ ） A. 直线恒过点 B. 直线的斜率一定存在 C. 若，则或 D. 存在实数使得 【答案】AD 【解析】 【分析】将点的坐标代入方程，即可判断A，利用特殊值说明B，根据两直线平行的充要条件求出的值，即可判断C，利用特殊值判断D. 【详解】解：将点代入直线中可得等号成立， 所以直线恒过点，故A正确； 当时，直线的斜率不存在，故B错误； 当时，，解得或， 当时直线即与直线重合，故，所以，故C错误； 当时，，，此时，故D正确． 故选：AD． 11. 已知抛物线，点，过点的直线交抛物线与两点，设，，下列说法正确的有（ ） A. B. 的最小值为 C. 以为直径的圆过原点 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】首先设直线的方程为，与抛物线方程联立，消去，得，分别写出，式子，然后逐项验证，对于A直接得出;对于B利用弦长公式再结合二次函数求最值即可;，对于C，以为直径的圆过原点，则.结合韦达定理判断数量积是否为0判断即可;对于D，利用即可验证. 【详解】对于A,设直线的方程为， 则由，消去整理，得， 因为直线交抛物线与两点，设，，则 所以，，故A正确. 对于B, ，m=0时等号成立，故B正确. 对于C,如果以为直径的圆过原点，则. 由于，， 结合A选项，， 故不垂直.故C不正确. 对于D, . ,即，故D正确. 故选：ABD. 非选择题部分 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知与圆：和圆：都相切的直线有且仅有两条，则实数的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得两圆相交，再根据两圆的位置关系求参即可. 【详解】圆：的圆心，半径， 圆：的圆心，半径， 因为与圆：和圆：都相切的直线有且仅有两条， 所以两圆相交，则， 即，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 13. 已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据投影向量的公式,结合空间向量的坐标表示求解. 【详解】向量在向量上的投影向量等于， 故答案为：. 14. 已知双曲线，斜率为的直线与曲线的两条渐近线分别交于两点，点的坐标为，直线分别与渐近线交于，若直线的斜率也为，则双曲线的离心率为__________. 【答案】 【解析】 【分析】设相关直线，分别求四点坐标，再结合向量共线的坐标表示分析运算可得，即可得离心率. 【详解】设双曲线的渐近线为，且，直线，直线， 联立方程，解得，不妨令， 同理可得：，，， 且，则， 因为三点共线，则， 则， 整理可得， 同理由三点共线可得， 即， 整理可得， 因为，即，则，解得， 即，所以双曲线的离心率. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题解题关键是利用向量说明三点共线问题，可以避免斜率不存在的问题，使得问题更加严谨方便. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知点，圆； （1）若直线过点且在坐标轴上的截距之和为0，求直线的方程； （2）过点的直线与圆交于两点，且，求直线的方程. 【答案】（1）或. （2）或 【解析】 【分析】（1）的截距均为0与不为0两种情况求解即可； （2）由已知求得圆心到直线的距离，分直线的斜率存在与不存在两种情况求解可得直线的方程. 【小问1详解】 ①当的截距均为0，即直线过原点时，设直线的方程为： 代入点，解得， 直线的方程为； ②当截距不为0时，设直线的方程为：， 点入点，解得， 直线的方程为； 综上所述，直线的方程为或. 【小问2详解】 且圆的半径为2， 圆心到直线的距离为1. ①当直线的斜率不存在时，直线的方程为：，符合题意； ②当直线的斜率存在时，设直线方程为：即， 又圆心到直线的距离为解得， 直线的方程为：； 综上所述，直线的方程为或. 16. 如图，在棱长都为2的平行六面体中，，点在底面上的投影恰为与的交点； （1）求点到平面的距离； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）根据依题意建立空间直角坐标系，利用点到平面距离的向量求法可得结果； （2）由线面角的向量求法计算即可得出结果. 【小问1详解】 由题意可知，底面为菱形，可得， 依题意两两垂直，故以点为坐标原点，以为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，如下图所示： 易知 ； 设平面的法向量为， 则即， 据此可得平面的一个法向量为：， 又易知 点到平面的距离. 【小问2详解】 设直线与平面所成角为，平面的法向量为， 又 则即， 据此可得平面的一个法向量为， 又 因此， 故直线与平面所成角的正弦值为. 17. 如图，在四棱锥中，平面，，点在线段上，且. （1）求二面角的余弦值； （2）在线段上是否存在一点，使得四点共面.若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）存在， 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，利用空间向量法求解即可； （2）设，由题意可得，当平面的法向量时，四点共面，利用数量积的坐标表示求出即可. 【小问1详解】 因为平面，以点为坐标原点，平面内与垂直的直线为轴， 方向为轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示， 易知：， 由可得点的坐标为， 由可得， 设平面的法向量为：， 则， 据此可得平面的一个法向量为：， 很明显平面的一个法向量为， ， 二面角的平面角为锐角，故二面角的余弦值为. 【小问2详解】 已知，设由， 可得，则， 由（1）得平面的一个法向量为：， 令，即， 解得， 故线段上存在一点，当时，可使四点共面. 18. 已知双曲线的离心率为，且的一个焦点到其一条渐近线的距离为1. （1）求双曲线的方程； （2）设点为的左顶点，若过点的直线与的右支交于两点，且直线与轴分别交于两点，记四边形的面积为的面积为，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由双曲线的性质得到焦点和渐近线方程，再由点到直线的距离公式解得，再由离心率和求出双曲线方程即可； （2）设直线的方程为：，直曲联立，表示出韦达定理，再由三角形的面积公式结合韦达定理化简即可； 【小问1详解】 由题意可知，的一条渐近线方程为，右焦点为， 右焦点到渐近线的距离，解得， 由离心率，又，解得， 双曲线的方程为. 【小问2详解】 设直线的方程为：， 联立， 恒成立，， 直线与双曲线的右支交于两点，，解得. ， . 19. 在平面直角坐标系中，有点.若以轴为折痕，将直角坐标平面折叠成互相垂直的两个半平面（如图所示），则称此时点在空间中的距离为“点关于轴的折叠空间距离”，记为. （1）若点在平面直角坐标系中的坐标分别为，求的值. （2）若点在平面直角坐标系中的坐标分别为，试用文字描述满足的点在平面直角坐标系中的轨迹是什么？并求该轨迹与轴围成的图形的面积. （3）若在平面直角坐标系中，点是椭圆上一点，过点的两条直线，分别交椭圆于两点，且其斜率满足，求的最大值. 【答案】（1）， （2）点的轨迹为半圆， （3）. 【解析】 【分析】（1）求得在空间中的坐标，，利用定义求解即可； （2）分点在轴的上半平面，点在轴的下半平面两种情况计算可求得结论； （3）分直线与轴垂直与直线不与轴垂直两种情况讨论求解. 【小问1详解】 如图建立空间直角坐标系， 则点在空间中的坐标分别为， ； ； 【小问2详解】 由题意可知，点在空间中的坐标分别为，对点分类讨论， ①当点在轴的上半平面，即时，点在空间中的坐标为， ，化简得：， 因此在平面直角坐标中，点在轴上半平面的轨迹为以为圆心，以1为半径的半圆. ②当点在轴的下半平面，即时，点在空间中的坐标为， ，化简得：， 因此在平面直角坐标中， 点在轴下半平面的轨迹为以为圆心，以为半径的圆的一部分. 点的轨迹为半圆：与圆： 的组合曲线（如图）， 其与轴围成的图形的面积为：. 【小问3详解】 ①当直线与轴垂直时，显然不成立. ②当直线不与轴垂直时，设直线的方程为：， ， 联立方程， ， ， 代入韦达定理可得：，即， 化解可得或， 当时，直线经过点，故舍去. 则， ①当点在轴的同侧时，即时，则， ②当点在轴的异侧时，即时，则， . 综上所述：； 故的最大值为. 【点睛】思路点睛：对空间折叠距离的理解，求得折叠后的点的坐标是关键，平面解析几何的方程思想的应用. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 浙东北联盟（ZDB）2024/2025学年第一学期期中联考 高二年级数学学科试题 考生须知： 1.本卷共6页满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，在答题卷指定区域填写班级､姓名､考场号､座位号及准考证号并填涂相应数字. 3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效. 4.考试结束后，只需上交答题纸. 选择题部分 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 双曲线的焦距为（ ） A. B. C. D. 3. 已知点为圆：外一动点，过点作圆的两条切线，，切点分别为，，且，则动点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 4. 古希腊的几何学家用一个不过顶点的平面去截一个圆锥，将所截得的不同的截口曲线统称为圆锥曲线.如图所示的圆锥中，为底面圆的直径，为中点，某同学用平行于母线且过点的平面去截圆锥，所得截口曲线为抛物线.若该圆锥的高，底面半径，则该抛物线焦点到准线的距离为（ ） A. 2 B. C. D. 4 5. 如图，在平行六面体中，，，，点P在上，且，则（ ） A. B. C. D. 6. 我国著名数学家华罗庚曾经说过：“数形结合百般好，隔离分家万事休.”事实上有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，根据上述观点，当取得最小值时，实数的值为（ ） A. B. 3 C. D. 4 7. 已知曲线，则下列结论中错误的是（ ） A. 曲线关于直线对称 B. 曲线与直线无公共点 C. 曲线上的点到直线的最大距离是 D. 曲线与圆有三个公共点 8. 已知是椭圆的左､右焦点，直线与椭圆相切于点，过左焦点作直线的垂线，垂足为，则点与原点之间的距离为（ ） A. B. 2 C. 3 D. 4 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知直线，直线，则下列命题正确的有（ ） A. 直线恒过点 B. 直线的斜率一定存在 C. 若，则或 D. 存在实数使得 11. 已知抛物线，点，过点的直线交抛物线与两点，设，，下列说法正确的有（ ） A. B. 的最小值为 C. 以为直径的圆过原点 D. 非选择题部分 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知与圆：和圆：都相切的直线有且仅有两条，则实数的取值范围是________． 13. 已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是______． 14. 已知双曲线，斜率为的直线与曲线的两条渐近线分别交于两点，点的坐标为，直线分别与渐近线交于，若直线的斜率也为，则双曲线的离心率为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知点，圆； （1）若直线过点且在坐标轴上的截距之和为0，求直线的方程； （2）过点的直线与圆交于两点，且，求直线的方程. 16. 如图，在棱长都为2的平行六面体中，，点在底面上的投影恰为与的交点； （1）求点到平面的距离； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 17. 如图，在四棱锥中，平面，，点在线段上，且. （1）求二面角的余弦值； （2）在线段上是否存在一点，使得四点共面.若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 18. 已知双曲线的离心率为，且的一个焦点到其一条渐近线的距离为1. （1）求双曲线的方程； （2）设点为的左顶点，若过点的直线与的右支交于两点，且直线与轴分别交于两点，记四边形的面积为的面积为，求的取值范围. 19. 在平面直角坐标系中，有点.若以轴为折痕，将直角坐标平面折叠成互相垂直的两个半平面（如图所示），则称此时点在空间中的距离为“点关于轴的折叠空间距离”，记为. （1）若点在平面直角坐标系中的坐标分别为，求的值. （2）若点在平面直角坐标系中的坐标分别为，试用文字描述满足的点在平面直角坐标系中的轨迹是什么？并求该轨迹与轴围成的图形的面积. （3）若在平面直角坐标系中，点是椭圆上一点，过点的两条直线，分别交椭圆于两点，且其斜率满足，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $