精品解析：广东省信宜市信宜中学2024-2025学年高二上学期11月期中数学试题

2024-2025学年度高二期中质量检测 数学试题 本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3．非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，，则（ ） A. 11 B. 10 C. 9 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】利用空间向量数量积的坐标运算公式即可求得的值. 【详解】. 故选：A. 2. 已知直线：，：，且，则（ ） A. 1 B. -2 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据两直线平行系数要求判断即可 【详解】因为， 故，解得. 故选：C. 3. 某同学参加社团面试，已知其第一次通过面试的概率为，第二次面试通过的概率为，若第一次未通过，仍可进行第二次面试，若两次均未通过，则面试失败，否则视为面试通过，则该同学通过面试的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意两次都没通过的概率，应用对立事件的概率求法可得答案. 【详解】因为第一次通过面试的概率为，第二次面试通过的概率为， 所以两次面试都没有通过的概率为：， 所以该同学通过面试的概率为：. 故选：C. 4. 已知A，B，C三点不共线，点O不在平面ABC内，，若A，B，C，D四点共面，则的最大值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】先利用已知条件求得，再利用均值定理即可求得的最大值. 【详解】由及A，B，C，D四点共面得：， 即，又，， 所以，当且仅当时等号成立， 故选：B 5. 已知点，，若过点的直线与线段相交，则该直线斜率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先求出直线、的斜率，然后结合图象即可写出答案． 【详解】记为点，直线的斜率，直线的斜率， 因为直线l过点，且与线段相交， 结合图象，可得直线的斜率的取值范围是． 故选：B． 6. 若为圆上任意一点，点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】判断点与圆的位置关系，利用圆的性质即可得解. 【详解】将圆化为标准方程为， 故圆的圆心为，半径， 因为，故点在圆的内部， 且， 所以的取值范围为：. 故选：C 7. 已知直线与平行，且、之间的距离与点到的距离均为，则在轴上的截距为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，设直线的方程为，根据题意可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，化简直线的方程，即可得出结果. 【详解】因为直线与平行，设直线的方程为， 因为、之间的距离与点到的距离均为， 则，解得， 所以，直线的方程为，即， 故直线在轴上的截距为. 故选：B. 8. 棱长为2的正方体中，其内部和表面上存在一点满足，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】建立如图所示空间直角坐标系，设，设中点为，中点为，由得，确定点的轨迹，由数量积的定义计算向量夹角的余弦值，结合参数范围得余弦值范围，从而角的范围． 【详解】建立如图所示空间直角坐标系，则有、、， 设，、、，设中点为，中点为，由得，则， 即， 又，同理可得， 即，即， 即，故有， 且，，， ， 故， 由可得， 故，故. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知事件满足，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若与互斥，则 C. 若，则与相互独立 D. 若与相互独立，则 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，利用集合间的关系，得，即可求解；对于B，利用互斥事件的概率公式，即可求解；对于C和D，利用相互独立事件的判断方法和概率公式，即可求解. 【详解】对于选项A，因为，则，所以，故A错误， 对于选项B，因为与互斥，则，所以B正确， 对于选项C，因为，则， 所以与相互独立，故C正确， 对于选项D，因为与相互独立，则与相互独立，又， 所以，故D错误， 故选：BC. 10. 已知直线和直线的交点为，则过点且与和距离相等的直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】分类讨论所求直线与直线AB平行或所求直线过线段AB的中点两种情况，结合点斜式即可得解. 【详解】依题意，联立，解得，即， 直线AB的斜率为，线段AB的中点坐标为， ①若所求直线与直线AB平行时，则所求直线的方程为，即； ②若所求直线过AB的中点时，则所求直线的斜率为， 故所求直线方程为，即； 综上所述，所求直线方程为或. 故选：BD. 11. 三棱锥中，，，，，平面与平面的夹角为，则的长度可以为（ ） A. 5 B. C. D. 6 【答案】BC 【解析】 【分析】先以向量表示向量，再利用空间向量数量积即可求得的长度. 【详解】三棱锥中，由可得，， 则是二面角的平面角，如图， ， 而，，， ， 因为平面与平面的夹角为， 则当时，， 当时，， 所以的长度可以为，. 故选：BC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，，若B关于平面的对称点为C，则______． 【答案】 【解析】 【分析】先求得点关于平面的对称点为，再利用向量的模公式求解. 【详解】解：因为点关于平面的对称点为， 所以， 故答案为： 13. 已知平面的一个法向量为，，，，则点到平面的距离为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用点面距公式求到平面的距离. 【详解】由题可知平面的一个法向量为， 又，故点到平面的距离为. 故答案为：. 14. 曲线围成的图形的周长为______，面积为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】曲线围成的图形关于轴，轴对称，故只需要求出第一象限的面积即可，结合圆的方程运算求解. 【详解】将或代入方程，方程不发生改变，故曲线关于轴，轴对称，因此只需求出第一象限的面积、周长即可， 当，时，曲线可化为：， 表示的图形为以为圆心，半径为的一个半圆， 则第一象限围成的面积为， 则第一象限围成的周长（半个圆周）为：， 故曲线围成的图形的面积为. 故曲线围成的图形的周长为为. 故答案为：， 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 15. （1）已知点，，求线段垂直平分线的斜截式方程； （2）已知倾斜角为的直线经过点，求的截距式方程. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）先求得中点的坐标，再求得线段垂直平分线的斜率，进而得到线段垂直平分线的斜截式方程； （2）先设出的截距式方程，列出关于的方程组，解之即可求得的截距式方程. 【详解】（1）由题意可得，， 所以线段的中点为，， 所以直线的垂直平分线的斜率为， 则线段垂直平分线的方程为， 故斜截式方程为. （2）设直线的截距式方程为， 则 ①， ②. 由①②解得，，， 故直线的截距式方程为. 16. 抛掷一红一绿两颗质地均匀的六面体骰子，若用x表示红色骰子正面朝上的点数，用y表示绿色骰子正面朝上的点数，用表示一次试验的结果，设“两个点数之和等于8”，“至少有一颗骰子的点数为5”，“红色骰子上的点数大于4”． （1）判断事件A，B是否相互独立； （2）分别求事件和C的概率． 【答案】（1）不相互独立 （2）；. 【解析】 【分析】（1）求出事件A，B，的基本事件以及个数，利用古典概型的公式计算出，再由独立事件的定义判断即可； （2）由得出，求出事件C的基本事件以及个数，利用古典概型的公式计算概率即可. 【小问1详解】 解：由题可知，事件“”，事件“至少有一颗骰子的点数为5”， 则事件的所有情况为：，共5种情况， 所以， 事件的所有情况为：， 共11种情况，所以， 事件的所有情况为：，所以， ，所以与不相互独立. 【小问2详解】 ， 事件“”，事件的所有情况为： ，共12种情况， 所以. 17. 如图，在正三棱柱中，，，为的中点，P在线段上，且． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成的角的正弦值． 【答案】（1）证明：在正三棱柱中，因为为的中点，所以， 如图以为坐标原点，建立空间直角坐标系，由，，可知：，，，，，， 所以，，， 因为，所以， 又因为，所以， 由于平面，所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）利用正三棱柱的性质，建立空间直角坐标系，利用向量法再证明线线垂直，再证线面垂直； （2）利用空间向量法来计算线面角正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由，，设平面的法向量为， 则，令， 所以可取法向量为， 由，则， 所以直线与平面所成的角的正弦值为. 18. 的三个顶点分别是，，. （1）求边上的中线所在直线的方程，求边上的高所在直线的方程； （2）（ⅰ）求的外接圆（为圆心）的标准方程； （ⅱ）若点的坐标是，点是圆上的一个动点，点满足，求点的轨迹方程，并说明轨迹的形状. 【答案】（1）， （2）（ⅰ）；（ⅱ），轨迹是以为圆心，半径为的圆． 【解析】 【分析】（1）设线段的中点为，求得直线的方程为，由，得到直线的斜率为，结合直线的点斜式方程，即可求解； （2）（ⅰ）设圆的方程为，根据三点都在圆上，列出方程组，求得的值，即可得到圆的方程； （ⅱ）设，点，由，求得，根据在圆上运动，得到，代入，即可求解. 【小问1详解】 解：设线段的中点为，则， 因为，则边上的中线的方程为，即直线的方程为， 又因为直线的斜率为，所以上的高所在直线的斜率为， 所以上的高所在直线的方程为，即直线的方程为. 【小问2详解】 解：（ⅰ）设圆的方程为（其中） 因为三点都在圆上，可得， 解得，满足， 所以所求圆的方程为，即 （ⅱ）设的坐标是，点的坐标是， 因为的坐标是，且， 所以，解得， 又因为点在圆上运动，所以点的坐标满足圆的方程，即， 代入得，整理得， 点的轨迹方程是，轨迹是以为圆心，半径为的圆． 19. 在空间立体几何中，球面往往是重要的研究对象，同时，它与平面几何中的圆息息相关.而对于几何体的研究中，几何重心的选取显得尤为重要.古希腊著名数学家巴普斯（Pappus）在研究过程中发现了一个性质：平面内任一面积为的区域沿着垂直于该区域的平面运动得到体积为的立体，若记为此区域的几何重心运动的轨迹长度，则有. （1）已知半圆面的几何重心在其对称轴上，求半径为3的半圆面的几何重心到圆心的距离（试着考虑绕直径旋转一周得到球体）； （2）建立空间直角坐标系，取球心为，且半径为1的球体，点为其表面上一点.若、，，球体在点处的切面截坐标系的三轴组成平面三角形，求面积的最小值. 提示：①球面方程：，其中点为球心坐标，为球的半径； ②平面方程的点法式：，其中平面过点，其法向量. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，利用球的体积公式和求解即可； （2）根据已知条件写出球面方程和切面方程，分别求出，，三点坐标，利用空间向量求出点到平面的距离，利用等体积法求出面积的表达式，最后利用基本不等式求出最小值即可. 【小问1详解】 球体体积，半圆面积， 设几何重心到圆心的距离为， 由于几何重心在对称轴上，则几何重心运动的轨迹长度为， 运用巴普斯定理有：，解得， 代入即； 【小问2详解】 球心为， 球面方程为， 又，在球面上，故. 切面的法向量为， 则切面方程为： ： ， 代入得到：， 于是， 设点到平面的距离为， ， 运用等体积法：设的面积为， ， ， （当且仅当同时，即取等）， 所以面积的最小值为. 【点睛】关键点点睛：第（1）问将半圆旋转一周后得到球体，半圆的几何重心运动的轨迹长度即为以圆心为半径，以几何重心到圆心的距离为半径的周长；第（2）问利用空间向量结合基本不等式求最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度高二期中质量检测 数学试题 本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3．非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，，则（ ） A. 11 B. 10 C. 9 D. 8 2. 已知直线：，：，且，则（ ） A. 1 B. -2 C. 2 D. 3 3. 某同学参加社团面试，已知其第一次通过面试的概率为，第二次面试通过的概率为，若第一次未通过，仍可进行第二次面试，若两次均未通过，则面试失败，否则视为面试通过，则该同学通过面试的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 已知A，B，C三点不共线，点O不在平面ABC内，，若A，B，C，D四点共面，则的最大值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 5. 已知点，，若过点的直线与线段相交，则该直线斜率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 若为圆上任意一点，点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知直线与平行，且、之间的距离与点到的距离均为，则在轴上的截距为（ ） A. B. C. D. 8. 棱长为2的正方体中，其内部和表面上存在一点满足，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知事件满足，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若与互斥，则 C. 若，则与相互独立 D. 若与相互独立，则 10. 已知直线和直线的交点为，则过点且与和距离相等的直线方程为（ ） A. B. C. D. 11. 三棱锥中，，，，，平面与平面的夹角为，则的长度可以为（ ） A. 5 B. C. D. 6 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，，若B关于平面的对称点为C，则______． 13. 已知平面的一个法向量为，，，，则点到平面的距离为______. 14. 曲线围成的图形的周长为______，面积为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 15. （1）已知点，，求线段垂直平分线的斜截式方程； （2）已知倾斜角为的直线经过点，求的截距式方程. 16. 抛掷一红一绿两颗质地均匀的六面体骰子，若用x表示红色骰子正面朝上的点数，用y表示绿色骰子正面朝上的点数，用表示一次试验的结果，设“两个点数之和等于8”，“至少有一颗骰子的点数为5”，“红色骰子上的点数大于4”． （1）判断事件A，B是否相互独立； （2）分别求事件和C的概率． 17. 如图，在正三棱柱中，，，为的中点，P在线段上，且． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成的角的正弦值． 18. 的三个顶点分别是，，. （1）求边上的中线所在直线的方程，求边上的高所在直线的方程； （2）（ⅰ）求的外接圆（为圆心）的标准方程； （ⅱ）若点的坐标是，点是圆上的一个动点，点满足，求点的轨迹方程，并说明轨迹的形状. 19. 在空间立体几何中，球面往往是重要的研究对象，同时，它与平面几何中的圆息息相关.而对于几何体的研究中，几何重心的选取显得尤为重要.古希腊著名数学家巴普斯（Pappus）在研究过程中发现了一个性质：平面内任一面积为的区域沿着垂直于该区域的平面运动得到体积为的立体，若记为此区域的几何重心运动的轨迹长度，则有. （1）已知半圆面的几何重心在其对称轴上，求半径为3的半圆面的几何重心到圆心的距离（试着考虑绕直径旋转一周得到球体）； （2）建立空间直角坐标系，取球心为，且半径为1的球体，点为其表面上一点.若、，，球体在点处的切面截坐标系的三轴组成平面三角形，求面积的最小值. 提示：①球面方程：，其中点为球心坐标，为球的半径； ②平面方程的点法式：，其中平面过点，其法向量. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $