精品解析： 2024-2025学年沪科版九年级上学期期中复习数学试题

2024-2025学年度九年级数学期中复习卷 一、选择题（本大题共10小题，共40分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 已知是关于的二次函数，则的值为（ ） A. B. C. 或 D. 2. 如图，一次函数和反比例函数的图象相交于，两点，则使成立的取值范围是(　　) A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 3. 用绳子围成周长为10m的正x边形，记正x边形的边长为ym，内角和为．当x在一定范围内变化时，y和S都随着x的变化而变化，则y与x，S与x满足的函数关系分别是（ ） A. 一次函数关系，二次函数关系 B. 一次函数关系，反比例函数关系 C. 反比例函数关系，二次函数关系 D. 反比例函数关系，一次函数关系 4. 二次函数的图象如图所示，那么下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，已知与都是等边三角形，点在边上（不与点、重合），与相交于点，那么与相似的三角形是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在由小正方形组成的网格中，以点O为位似中心，把放大到原来的2倍，则点A的对应点为（ ） A. 点D B. 点E C. 点F D. 点G 7. 如图，在中，AD是BC边上的高，在的内部，作一个正方形PQRS，若，，则正方形PQRS的边长为（ ） A B. C. 1 D. 8. 下列函数图象经过变换后，过原点是（ ） A. 向右平移3个单位 B. 向左平移3个单位 C. 向上平移1个单位 D. 关于x轴作轴对称变换 9. 抛物线的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点坐标为(， 0)，其部分图象如图所示．下列结论：①；②方程的两个根是；③；④当时，x的取值范围是；⑤m为任意实数，其中结论正确的个数是（　　） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 10. 在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2﹣bx与y＝bx＋a的图象可能是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，共20分） 11. 若，则 ______． 12. 若点在反比例函数的图象上，则____（填“>”或“<”或“=”） 13. 如图，在平面直角坐标系中，正方形与正方形是以原点为位似中心的位似图形，且位似比为．点在轴上，若正方形的边长为，则点坐标为 ________． 14. 我们用符号[x]表示不大于x最大整数．例如：[1.5]=1，[-1.5]=-2．那么： （1）当-1＜[x]≤2时，x的取值范围是 _______； （2）当-1≤x＜2时，函数y=x2-2a[x]+3的图象始终在函数y=[x]+3的图象上方或图象上，则实数a的范围是________． 三、解答题（本大题共9小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 计算： 16. 解方程：x2﹣4x﹣3＝0． 17. 观察以下等式： 第1个等式： 第个等式： 第3个等式： 第个等式： 第5个等式： ······ 按照以上规律．解决下列问题： 写出第个等式____________； 写出你猜想的第个等式： (用含的等式表示)，并证明． 18. 如图，在△ABC中，D是边BC上一点，AB＝DB，BE平分∠ABC，交AC边于点E，连接DE． （1）求证：∠AEB＝∠DEB； （2）若∠A＝100°，∠C＝50°，求∠AEB的度数． 19. “十一”期间，某花店以每盆20元的价格购进一批花卉．市场调查反映：该花卉每盆售价25元时，每天可卖出25盆.若涨价销售，每盆花卉每涨价1元，每天要少卖出1盆． （1）若该花卉每天的销售利润为200元，且销量尽可能大，每盆花卉售价是多少元？ （2）为了让利给顾客，该花店决定每盆花卉涨价不超过6元，问该花卉一天最大的销售利润是多少元？ 20. 图，一次函数的图象和反比例函数的图象相交于两点. （1）试确定一次函数与反比例函数的解析式； （2）求的面积； （3）结合图象，直接写出使成立的的取值范围. 21. 某种原料需要达到及以上才能加工制作零件，如图表示原料的温度与时间之间的关系，其中线段表示原料加热阶段；线段轴，表示原料的恒温阶段；曲线是双曲线的一部分，表示原料的降温阶段．根据图象回答下列问题： （1）填空：的值为_______； （2）求线段对应的函数解析式； （3）在图中所示的温度变化过程中，求可进行零件加工的时间长度． 22. 定义：如果两个二次函数图像的开口大小相同，方向相反且顶点的横坐标、纵坐标都互为相反数，则称其中一个二次函数为另一个二次函数的美丽函数．如与互为美丽函数． （1）求的美丽函数的表达式； （2）若的图像的顶点为P，且经过它的美丽函数的图像的顶点Q． ①求证：这两个函数的图像的交点为P，Q； ②点M是在P，Q之间的图像的动点，轴交的图像于点N，求MN长度的最大值． 23. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，点在轴上，且，，分别是线段，上的动点（点，不与点，，重合）． （1）求此抛物线的表达式； （2）连接并延长交抛物线于点，当轴，且时，求的长； （3）连接． ①如图2，将沿轴翻折得到，当点在抛物线上时，求点的坐标； ②如图3，连接，当时，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度九年级数学期中复习卷 一、选择题（本大题共10小题，共40分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 已知是关于的二次函数，则的值为（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的未知数最高次数是2，最高次项系数不为零列式计算即可； 【详解】∵是关于二次函数， ∴， 解得：； 故选B． 【点睛】本题主要考查了二次函数的定义，准确分析计算是解题的关键． 2. 如图，一次函数和反比例函数图象相交于，两点，则使成立的取值范围是(　　) A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】根据图象找出一次函数图象在反比例函数图象上方时对应的自变量的取值范围即可. 【详解】观察函数图象可发现：或时，一次函数图象在反比例函数图象上方， ∴使成立的取值范围是或， 故选B． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数综合，函数与不等式，利用数形结合思想是解题的关键. 3. 用绳子围成周长为10m的正x边形，记正x边形的边长为ym，内角和为．当x在一定范围内变化时，y和S都随着x的变化而变化，则y与x，S与x满足的函数关系分别是（ ） A. 一次函数关系，二次函数关系 B. 一次函数关系，反比例函数关系 C. 反比例函数关系，二次函数关系 D. 反比例函数关系，一次函数关系 【答案】D 【解析】 【分析】根据多边形的内角和与边数之间的关系，边长与周长之间的关系分别列出函数关系式，并根据函数关系式的类型选择正确的答案即可． 【详解】解：边长与周长的关系为：， 故函数关系为：反比例函数， 多边形的边长每增加1，内角和增加180°， 故其中的函数关系为：， 化简后为：， 故函数关系为：一次函数关系， 故选：D． 【点睛】本题考查了函数关系的判断，多边形的内角和，多边形的边长与周长的关系，能够根据题意列出函数关系式并判断是解决本题的关键． 4. 二次函数的图象如图所示，那么下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数图象性质解题． 【详解】解：A.由图可知，二次函数图象的对称轴为：x=1，即，故A不符合题意； B.二次函数图象与y轴交于负半轴，即c<0，故B不符合题意； C.由图象可知，当x=1时，y=，故C不符合题意， D.由图象的对称性可知，抛物线与x轴的另一个交点为（-2，0），当x=-2时，，，故D符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 5. 如图，已知与都是等边三角形，点在边上（不与点、重合），与相交于点，那么与相似的三角形是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定，等边三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．根据等边三角形的性质和相似三角形的判定定理即可得到结论． 【详解】解：与都是等边三角形， ， 又， ， 与相似三角形是， 故选：D． 6. 如图，在由小正方形组成的网格中，以点O为位似中心，把放大到原来的2倍，则点A的对应点为（ ） A. 点D B. 点E C. 点F D. 点G 【答案】D 【解析】 【分析】连接AO到A1，使A1O=2OA，即可得到A的对应点A1，同法得到其余点的对应点，顺次连接，即可得到把△ABC放大到原来的2倍的△A1B1C1． 【详解】解：如下图，连接AO并延长到A1，使A1O=2OA，即可得到A的对应点A1，即点A的对应点为G点， 故选：D． 【点睛】本题考查了作图-位似变换，解题的关键是根据位似中心和位似比确定对应点的位置． 7. 如图，在中，AD是BC边上的高，在的内部，作一个正方形PQRS，若，，则正方形PQRS的边长为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由四边形PQRS是正方形，可得即可证得△ASR∽△ABC，设正方形PQRS的边长为x，然后由相似三角形对应高的比等于相似比，得方程： 解此方程即可求得答案． 【详解】解：如图：记AD与SR的交点为E，设正方形PQRS的边长为x， ∵AD是△ABC的高，四边形PQRS是正方形， ∴，AE是△ASR的高， 则AE=AD-ED=2-x， ∴△ASR∽△ABC， 解得：， ∴正方形PQRS的边长为． 故选：A． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质以及正方形的性质．注意掌握方程思想的应用是解此题的关键． 8. 下列函数图象经过变换后，过原点的是（ ） A. 向右平移3个单位 B. 向左平移3个单位 C 向上平移1个单位 D. 关于x轴作轴对称变换 【答案】B 【解析】 【分析】求出变化后的解析式，再代入（0,0）即可． 【详解】解：A选项，向右平移3个单位后的解析式为：，当x=0时，y=6，不经过原点； B选项，向左平移3个单位后的解析式为：，当x=0时，y=0，经过原点； C选项，向上平移1个单位后的解析式为：，当x=0时，y=2，不经过原点； D选项，关于x轴作轴对称变换后的解析式为：，当x=0时，y=-1，不经过原点； 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的几何变换，根据变换条件确定解析式是解题关键． 9. 抛物线的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点坐标为(， 0)，其部分图象如图所示．下列结论：①；②方程的两个根是；③；④当时，x的取值范围是；⑤m为任意实数，其中结论正确的个数是（　　） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】利用抛物线与x轴的交点个数，可判断①；利用抛物线的对称性结合图象，可求出抛物线与x轴的另一个交点，可判断②；由对称轴的方程可得出．然后根据当时，函数值为0，即可得出，从而得出，可判断③；根据抛物线在x轴上方时，x的取值范围可判断④；由当时，函数有最大值，即可知m为任意实数时，恒成立，从而得出，可判断⑤． 【详解】由图象可知该抛物线与x轴有两个交点，即其相关一元二次方程有两个不相等实数根， ∴，即，故①正确； 由图象可知该抛物线与x轴的一个交点坐标为(，0)， ∵对称轴为， ∴该抛物线与x轴的另一个交点坐标为(3，0)， ∴方程的两个根是，故②正确； ∵该抛物线对称轴为， ∴，即． 将(，0)代入，得：， 将代入，得： ∴，故③错误； 当时，即取抛物线在x轴上方的部分， 由图象结合②可知此时x的取值范围是，故④错误； 由图象可知当时，函数有最大值， ∴m为任意实数时，， ∴，故⑤正确． 综上可知正确的结论有3个． 故选B． 【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数与一元二次方程的关系．熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键． 10. 在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2﹣bx与y＝bx＋a的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据图形中给出的一次函数图象确定a、b的符号，进而运用二次函数的性质判断图形中给出的二次函数的图象是否符合题意，根据选项逐一讨论解析，即可解决问题． 【详解】A、对于直线y＝bx＋a来说，由图象可以判断，a＞0，b＞0；而对于抛物线y＝ax2﹣bx来说，对称轴x＝﹣＞0，在y轴的右侧，符合题意，图形正确． B、对于直线y＝bx＋a来说，由图象可以判断，a＜0，b＜0；而对于抛物线y＝ax2﹣bx来说，图象应开口向下，故不合题意，图形错误． C、对于直线y＝bx＋a来说，由图象可以判断，a＜0，b＞0；而对于抛物线y＝ax2﹣bx来说，对称轴＝﹣＜0，应位于y轴的左侧，故不合题意，图形错误， D、对于直线y＝bx＋a来说，由图象可以判断，a＞0，b＞0；而对于抛物线y＝ax2＋bx来说，图象应开口向上，故不合题意，图形错误． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了一次函数、二次函数图象的性质及其应用问题；解题的方法是首先根据其中一次函数图象确定a、b的符号，进而判断另一个函数的图象是否符合题意；解题的关键是灵活运用一次函数、二次函数图象的性质来分析、判断、解答． 二、填空题（本大题共4小题，共20分） 11. 若，则 ______． 【答案】 【解析】 【分析】由，所以设，再代入求值可得答案． 【详解】解： ， 设 故答案为： 【点睛】本题考查的是比例的性质，求分式的值，掌握以上知识是解题的关键． 12. 若点在反比例函数的图象上，则____（填“>”或“<”或“=”） 【答案】 【解析】 【分析】先确定的图像在一，三象限，且在每一象限内，随的增大而减小，再利用反比例函数的性质可得答案． 【详解】解：＞ 的图像在一，三象限，且在每一象限内，随的增大而减小， ＞ ＜ 故答案为： 【点睛】本题考查的是反比例函数的性质，掌握利用反比例函数的图像与性质比较函数值的大小是解题的关键． 13. 如图，在平面直角坐标系中，正方形与正方形是以原点为位似中心的位似图形，且位似比为．点在轴上，若正方形的边长为，则点坐标为 ________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了位似变换以及相似三角形的判定与性质， 首先直接利用位似图形的性质结合相似比得出的长； 然后根据相似三角形的判定定理得出，结合相似三角形的对应边成比例得到比例式，进而得出的长，由此即可得出点坐标，掌握知识点的应用是解题的关键； 【详解】解：∵正方形与正方形是以原点为位似中心的位似图形，且相似比为， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点坐标为， 故答案为：． 14. 我们用符号[x]表示不大于x的最大整数．例如：[1.5]=1，[-1.5]=-2．那么： （1）当-1＜[x]≤2时，x的取值范围是 _______； （2）当-1≤x＜2时，函数y=x2-2a[x]+3的图象始终在函数y=[x]+3的图象上方或图象上，则实数a的范围是________． 【答案】 ①. 0≤x＜3 ②. -≤a≤0 【解析】 【分析】（1）根据[x]表示不大于x的最大整数，解决问题即可； （2）由题意，构建不等式即可解决问题． 【详解】解：（1）当-1＜[x]≤2时，[x]表示不大于x的最大整数， ∴[x]=0、1或2， ∴0≤x＜3． 故答案为：0≤x＜3． （2）由题意：当-1≤x＜2时，函数y=x2-2a[x]+3的图象始终在函数y=[x]+3的图象上方或图象上， 当-1≤x＜0时，则有[x]=-1时，函数分别为：y1=x2+2a+3，y2=2， 由题意，2a+3≥2， ∴a≥-， 当0≤x＜1时，则有[x]=0，y1=x2-2a[x]+3=x2+3，而y2=[x]+3=3，y1≥y2，此时y1的图象在y2的图象上方或图象上． 当1≤x＜2时，则有[x]=1，y1=x2-2a+3，y2=4， 当x=1时，y1有最小值，最小值要大于或等于4， ∴1-2a+3≥4， 解得a≤0， 综上所述，-≤a≤0时，函数y=x2-2a[x]+3的图象始终在函数y=[x]+3的图象上方或图象上， 故答案为：-≤a≤0． 【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想思考问题． 三、解答题（本大题共9小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的运算，负整数指数幂，先计算负整数指数幂和绝对值，再计算除法，最后计算加减法即可得到答案． 【详解】解： ． 16. 解方程：x2﹣4x﹣3＝0． 【答案】x1＝2+，x2＝2﹣ 【解析】 【分析】利用配方法解方程. 【详解】移项得x2﹣4x＝3， 配方得x2﹣4x+4＝3+4， 即（x﹣2）2＝， 开方得x﹣2＝±， ∴x1＝2+，x2＝2﹣． 【点睛】考查了利用配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数． 17. 观察以下等式： 第1个等式： 第个等式： 第3个等式： 第个等式： 第5个等式： ······ 按照以上规律．解决下列问题： 写出第个等式____________； 写出你猜想的第个等式： (用含的等式表示)，并证明． 【答案】（1）；（2），证明见解析． 【解析】 【分析】（1）根据前五个个式子的规律写出第六个式子即可； （2）观察各个式子之间的规律，然后作出总结，再根据等式两边相等作出证明即可． 【详解】（1）由前五个式子可推出第6个等式为：； （2）， 证明：∵左边==右边， ∴等式成立． 【点睛】本题是规律探究题，解答过程中，要注意各式中相同位置数字的变化规律，并将其用代数式表示出来． 18. 如图，在△ABC中，D是边BC上的一点，AB＝DB，BE平分∠ABC，交AC边于点E，连接DE． （1）求证：∠AEB＝∠DEB； （2）若∠A＝100°，∠C＝50°，求∠AEB的度数． 【答案】（1）证明见解析； （2） 【解析】 【分析】（1）根据BE平分∠ABC，可以得到∠ABE=∠DBE，然后根据题目中的条件即可证明△ABE和△DBE全等，从而可以得到结论成立； （2）根据三角形内角和定理和角平分线定义可以得到∠AEB的度数． 【小问1详解】 ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE=∠DBE． 在△ABE和△DBE中，， ∴△ABE≌△DBE（SAS）， ∴∠AEB=∠DEB； 【小问2详解】 ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE=∠DBE， ∵∠A=100°，∠C=50°， ∴∠ABC=30°， ∴∠ABE=15°， ∴∠AEB=180°-∠A-∠ABE=180°-100°-15°=65°． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、角平分线定义，三角形内角和定理，解答本题的关键是明确题意，利用全等三角形的判定和性质解答． 19. “十一”期间，某花店以每盆20元的价格购进一批花卉．市场调查反映：该花卉每盆售价25元时，每天可卖出25盆.若涨价销售，每盆花卉每涨价1元，每天要少卖出1盆． （1）若该花卉每天的销售利润为200元，且销量尽可能大，每盆花卉售价是多少元？ （2）为了让利给顾客，该花店决定每盆花卉涨价不超过6元，问该花卉一天最大的销售利润是多少元？ 【答案】（1）该花卉每盆售价是30元 （2）该花卉一天最大的销售利润是209元 【解析】 【分析】（1）先验证每盆花卉售价能不能是25元，然后设该花卉每盆售价x元， 再根据“若涨价销售，每盆花卉每涨价1元以及利润200元”列一元二次方程求解即可； （2）设该花卉每天的利润为W元，每盆售价为x元，根据题意得出w关于x的二次函数，最后根据二次函数的性质求最值即可． 【小问1详解】 解：若每盆花卉售价25元，则其利润为，不符合题意． 设该花卉每盆售价x元，由题意得 化简得 解得． ∵销量尽可能大，∴ 答：该花卉每盆售价是30元． 【小问2详解】 解：设该花卉每天的利润为W元，每盆售价为x元，依题意得 ∵每盆花卉涨价不超过6元，∴． ∵时，W随x的增大而增大， ∴当时，有最大值为209． 答：该花卉一天最大的销售利润是209元． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程、二次函数在实际问题中的应用，审清题意、明确题中的数量关系是解答本题的关键． 20. 图，一次函数的图象和反比例函数的图象相交于两点. （1）试确定一次函数与反比例函数的解析式； （2）求的面积； （3）结合图象，直接写出使成立的的取值范围. 【答案】（1）反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为；（2）8；（3）或. 【解析】 【分析】（1）将点A代入反比例函数中求出反比例函数的解析式，再根据反比例函数求出点B的坐标，最后将A和B的坐标代入一次函数解析式中求出一次函数的解析式； （2）求出一次函数与x轴的交点坐标，再利用割补法得到，即可得出答案； （3）根据图象判断即可得出答案. 【详解】解：（1）∵在反比例函数的图象上， ∴， 则反比例函数的解析式为. 将代入，得， ∴. 将两点的坐标分别代入，得 解得 则一次函数的解析式为. （2）设一次函数的图象与轴的交点为. 在中，令，得， ∴，即， 则. （3）∵ 即一次函数的图象在反比例函数的图像的上方 ∴或. 【点睛】本题考查的是一次函数与反比例函数的综合，难度不高，需要熟练掌握一次函数与反比例函数的图象与性质. 21. 某种原料需要达到及以上才能加工制作零件，如图表示原料的温度与时间之间的关系，其中线段表示原料加热阶段；线段轴，表示原料的恒温阶段；曲线是双曲线的一部分，表示原料的降温阶段．根据图象回答下列问题： （1）填空：的值为_______； （2）求线段对应的函数解析式； （3）在图中所示的温度变化过程中，求可进行零件加工的时间长度． 【答案】（1）21 （2） （3） 【解析】 【分析】本题为实际应用背景的函数综合题，考查求得一次函数、反比例函数解析式．解答时应注意临界点的应用． （1）由线段轴，且点的纵坐标为100，代入，即可求解； （2）利用待定系数法即可求解； （3）将分别代入和，即可求解． 【小问1详解】 解：∵线段轴，且点的纵坐标为100， ∴， 解得， 故答案为：21； 【小问2详解】 解：设线段的解析式为， 把代入得，， 解得， ∴线段的解析式为； 【小问3详解】 解：在中，当时，， 解得， 在中，当时，， 解得， ∴， ∴在图中所示的温度变化过程中，可进行零件加工的时间长度为． 22. 定义：如果两个二次函数的图像的开口大小相同，方向相反且顶点的横坐标、纵坐标都互为相反数，则称其中一个二次函数为另一个二次函数的美丽函数．如与互为美丽函数． （1）求的美丽函数的表达式； （2）若的图像的顶点为P，且经过它的美丽函数的图像的顶点Q． ①求证：这两个函数的图像的交点为P，Q； ②点M是在P，Q之间的图像的动点，轴交的图像于点N，求MN长度的最大值． 【答案】（1） （2）①见解析，②2 【解析】 【分析】（1）对一般式配方，，根据定义得解； （2）①，得，，于是；由的图象经过点Q，求解得，于是，．验证经过点，得证结论； ②设，则，得，由点M在P，Q之间，得，故时，最大值为2． 【小问1详解】 解：， ∴其美丽函数的表达式； 即； 【小问2详解】 ①， ∴． ∴． ∴． ∵图象经过点Q， ∴，解得． ∴，． 对于， 当时，， ∴经过点． ∴两个函数的图像的交点为P，Q． ②由①，，，，． 设， ∵轴交的图像于点N， ∴． ∴ ∵点M在P，Q之间， ∴． ∴当时，值最大，最大值为2． 【点睛】本题考查二次函数的图象和性质；熟练运用解析式确定点坐标，通过点坐标确定线段长是解题的关键． 23. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，点在轴上，且，，分别是线段，上的动点（点，不与点，，重合）． （1）求此抛物线的表达式； （2）连接并延长交抛物线于点，当轴，且时，求的长； （3）连接． ①如图2，将沿轴翻折得到，当点在抛物线上时，求点的坐标； ②如图3，连接，当时，求的最小值． 【答案】（1） （2） （3）①；② 【解析】 【分析】（1）把点B代入抛物线关系式，求出a的值，即可得出抛物线的关系式； （2）根据抛物线可求出点A的坐标，点C的坐标，根据，利用三角函数，求出DE的长，再求出点E的坐标，根据点P与点E的横坐标相同，得出点P的横坐标，代入抛物线的关系式，求出点P的纵坐标，即可得出EP的值，最后求出DP的值即可； （3）①连接交于点，设，则，求出，得出点，将其代入抛物线关系式，列出关于a的方程，解方程，求出a的值，即可得出G的坐标； ②在下方作且，连接，，证明，得出，说明当，，三点共线时，最小，最小为，过作，垂足为，先证明∠CAH=45°，算出AC长度，即可求出CH、AH，得出HQ，最后根据勾股定理求出CQ的长度即可得出结果． 【小问1详解】 解：∵在抛物线上， ∴，解得， ∴，即； 【小问2详解】 在中，令，得，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【小问3详解】 ①连接交于点，如图1所示： ∵与关于轴对称， ∴，， 设，则， ， ∴， ∵点在抛物线上， ∴， 解得（舍去），， ∴； ②在下方作且，连接，，如图2所示： ∵， ∴， ∴， ∴当，，三点共线时，最小，最小为， 过作，垂足为， ∵，， ∴，， ∵， ，， ， ∴ ， 即的最小值为． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，待定系数法求抛物线的关系式，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，三角函数的定义，作出辅助线，证明，得出当，，三点共线时，最小，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$