高一数学第三次月考卷02（新高考地区专用，集合逻辑+不等式+函数+指对幂函数+三角函数的诱导公式）-学易金卷：2024-2025学年高中上学期第三次月考

原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 2024-2025 学年高一数学上学期第三次月考卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：集合与逻辑 12%+不等式 20%+函数 17.3%+指对函数 40%+三角函数 10.7%。 5．难度系数：0.61。 第一部分（选择题 共 58 分） 一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的． 1．已知 2 2sin 2 3sin cos 3cos 4      ，则 tan （ ） A．1 B． 2 2  C．2 D． 3 3 【答案】D 【详解】∵ 2 2sin 2 3sin cos 3cos 4      ， ∴ 2 2 2 2 sin 2 3 sin cos 3cos 4 sin cos           ， ∴ 2 2 tan 2 3 tan 3 4 tan 1        ， 解得 3 tan 3   . 故选：D. 2． A B   是 A B 的（ ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要条件 D．既不充分也不必要 【答案】D 【详解】若 A B   ，如    1,2 , 1A B  ，满足  1A B  但不满足 A B . 若 A B ，如  , 1A B  ，满足 A B 但不满足 A B   . 所以 A B   是 A B 的既不充分也不必要条件. 故选：D 3．已知 π π 4 2     ，则2 2  的取值范围是（ ） A． π π , 2 2      B． π ,0 2      C．  π, π D．  π,0 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 【答案】B 【详解】因为 π π π π , 4 2 4 2      ，所以 π π 2 π, π 2 2 2         ， 则 π π 2 2 2 2      ，又  ，所以2 2 0   ， 从而 π 2 2 0 2      ． 故选：B． 4．已知函数     2 8 2 log 1 , 1, 2 2 , 1 x ax x f x x ax a x          在 R上单调递增，则 a的取值范围是（ ） A． 15 1, 8      B． 15 , 2 8      C． 1, 2 D． 1, 2 【答案】A 【详解】由对数函数和二次函数复合可得函数  28 , 1log 1y ax xx   单调递增， 再根据二次函数性质可知，若  f x 在R 上单调递增需满足  28 1 2 log 1 1 1 2 2 1 a a a a a             ， 解得 15 1, 8 a      ， 故选：A. 5．已知函数   2 2 2 1x f x x    ，则不等式    2 2 3 2f t f t   的解集为（ ） A．    , 1 3,     B．  1,3 C．    , 3 1,     D．  3,1 【答案】C 【详解】设     21 1 2 1x g x f x x      ， Rx ，     2 2 21 1 1 2 1 2 1 x x x g x f x x x                ，     2 2 21 1 0 2 1 2 1 x x x g x g x x x                ，即    g x g x   ， 设     1 21 2 1 2 1 2 2 2 , 1 1 2 1 2 1x x x x g x g x x x                           1 2 2 1 2 1 1 2 1 2 2 2 22 2 2 1 2 1 2 1 2 1 x x x x x x x x x x              ， 由于 1 2x x ，故 1 21 2 020, 2 x xx x   ，故        1 2 2 1 1 2 2 2 2 0 2 1 2 1 x x x x x x       ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 则    1 2g x g x ，故  g x 为奇函数，且在 R 上单调递增， 则            2 2 22 3 2 1 2 3 1 0 2 3 0f t f t f t f t g t g t             ， 即      2 2 3 3 2g t g t g t     ， 故 2 3 2t t  ，解得    , 3 1,t       ． 故选：C 6．若 0, 0x y  ，且 x y xy  ，则 2 1 1 x y x y    的最小值为（ ） A．2 2 3 B．4 C．3 2 2 D．5 【答案】C 【详解】因为 x y xy  ，所以  1x y y  ， 因为 0, 0x y  ，所以 1 0y   ，    1 1 1x y y    故   1 1 1x y   ， 1 0x   ， 1 0y   ， 又 2 1 1 2 2 2 2 3 1 1 1 1 1 1 1x y x y x y x y x y                 因为   1 1 1x y   ， 1 0x   ， 1 0y   ， 由基本不等式就可得 2 1 2 2 2 2 1 1 1 1 1x y x y         ， 当且仅当 2 1 2 x   ， 2 1y   时等号成立， 所以 2 3 2 2 1 1 x y x y      ，当且仅当 2 1 2 x   ， 2 1y   时等号成立， 所以 2 1 1 x y x y    的最小值为3 2 2 . 故选：C. 7．定义在 R上的函数 ( )f x 满足： ( 1 ) ( 1 ) 0f x f x      ，且 (1 ) (1 ) 0f x f x    ，当 [ 1,1]x  时， ( ) 2f x ax  ，则 ( )f x 的最小值为（ ） A． 6 B． 4 C． 3 D． 2 【答案】B 【详解】由 ( 1 ) ( 1 ) 0f x f x      可得 ( 1 ) ( 1 )f x f x     ， 即  f x 关于 1x   对称，即    2f x f x   ， 由 (1 ) (1 ) 0f x f x    可得  f x 关于  1,0 对称， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 即    = 2f x f x  ，所以    2 2f x f x     ， 令 2 x t   ，则 2x t   ，代入可得    4f t f t   ， 即    4f x f x   ，则      8 4f x f x f x     ， 所以  f x 的周期为8， 由  f x 是定义在 R上的函数，且  f x 关于  1,0 对称， 可得  1 0f  ，又当 [ 1,1]x  时， ( ) 2f x ax  ， 即  1 2 0f a   ，所以 2a  ， 当 [ 1,1]x  时，    4,0f x   ， 且  f x 关于 1x   对称，则  3, 1x   时，    4,0f x   ， 又  f x 关于  1,0 对称，则  1,5x 时，    0, 4f x  ， 即  f x 在一个周期内的值域为 4,4 ， 则 ( )f x 的最小值为 4 . 故选：B 8．已知定义在 R上的函数  f x 为偶函数，且  f x 在区间 ( ,0] 上是增函数，记 5 1 log 2 a f       ， 1 2 1 log 5 b f        ， 1 51 2 c f            ，则 a，b，c的大小关系是（ ） A．a c b  B．b a c  C．b c a  D．c a b  【答案】C 【详解】由函数  y f x 为 R上的偶函数，且在  ,0 上是增函数， 则该函数在[0, ) 上为减函数，且有    f x f x ， 则  5 5 1 log log 2 2 a f f        ，  1 2 2 1 log log 5 5 b f f        ， 1 51 2 c f            ， 因为 5 5 1 log 2 log 5 2   ， 2 2log 5 log 2 1  ， 1 1 0 51 1 1 1 1 2 2 2 2                     ， 即 1 5 5 2 1 log 2 log 5 2       ，由于函数  y f x 在 0, 上为减函数， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 所以     1 5 5 2 1 log 2 log 5 2 f f f            ，可得b c a  . 故选：C 二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部 选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分． 9．下列化简正确的是（ ） A． tan(π 1) tan1  B．   sin( ) cos tan 360       C． sin(π ) tan cos(π )       D． cos(π ) tan( π ) 1 sin(2π )         【答案】AB 【详解】解：∵ tan(π 1) tan1  ，故 A 正确；     sin sin cos tantan 360          ,故 B 正确； sin(π ) sin tan cos(π ) cos            ，故 C 不正确； cos(π ) tan( π ) cos ( tan ) 1 sin(2π ) sin                 ，故 D 不正确， 故选：AB． 10．已知函数  y f x 的定义域为R ，且    2f x f x   ，函数  2 3y f x  的图象关于直线 2x  对称， 则下列结论一定正确的是（ ） A．    4f x f x  B．  f x 的图象关于直线 1x   对称 C．  f x 为偶函数 D． k Z ，  f x 的图象关于点  2 ,0k 对称 【答案】ABD 【详解】因为𝑓(𝑥 + 2) = −𝑓(𝑥)， 所以𝑓(𝑥 + 4) = −𝑓(𝑥 + 2) = 𝑓(𝑥)，故 A 正确； 又函数   32 3 2 2 y f x f x           的图象关于直线 2x  对称， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 所以函数  2y f x 的图象关于直线 1 2 x  对称， 则函数𝑦 = 𝑓(𝑥)的图象关于直线 1x  对称， 所以    2f x f x   ，又𝑓(𝑥 + 2) = −𝑓(𝑥)， 所以𝑓(−𝑥) = −𝑓(𝑥)，即函数  f x 为奇函数， 所以  f x 的图象也关于直线 1x   对称，故 B 正确，C 错误； 由于  f x 为奇函数，定义域为𝑅，所以  0 0f  ， 结合上述对称性，可得  2 0f k  ， kZ ， 因此对于 k Z ，  f x 的图象关于点  2 ,0k 对称，故 D 正确. 故选：ABD. 11．已知函数   1 1, 0 2 lg , 0 x x f x x x       ，若存在不相等的实数a，b，c，d满足 a b c d   且 ( )f a  ( ) ( ) ( )f b f c f d k   ，则下列说法正确的是（ ） A．  0,1k B． 6a b   C． 1cd  D．   a b c d 的取值范围为 61 2, 10     【答案】ACD 【详解】A 选项，画出  f x 与 y k 的图象如下： 要想满足 ( ) ( ) ( )f b f c f d k   ，则0 1k  ，A 正确； B 选项，由对称性可知， 2 ( 2) 4a b      ，B 错误， C 选项，令 lg 1x  ，解得 1 10 x  ，故 1 1 10 c  ， 令 lg 1x  ，解得 10x  ，故1 10d  ，而 lg lgc d ， 所以 lg lgc d  ，故 lg lg 0c d  ，所以 1cd  ，C 正确； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 7 D 选项， 1 4 4a b c d c d c c          ， 其中0 1c  ，而 1 y c c   在 1 ,1 10 c     上单调递减， 所以 1 101 2, 10 y c c       ， 1 61 4 2, 10 a b c d c c            ，D 正确. 故选：ACD 第二部分（非选择题 共 92 分） 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5分，共 15分． 12．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章计算弧田面积所用的经验公式为：弧 田面积 1 2  （弦×矢+矢 2），弧田如图，由圆弧和所对的弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等 于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为 2π 3 ，弦长为4 3 米的弧田，按照上述方法计算弧田的矢 为 米；面积为 平方米. 【答案】 2 4 3 2 【详解】如图所示，过O作OM AB 于M ，OM 的延长线交AB于C . 则 2π 3 AOB  ， 4 3mAB  ，所以 π 3 AOM MOB    ， 2 3mAM MB  ， 所以 2 3 4m sin 3 2 AM AO AOM     ， cos 2mOM OA AOM   ， 所以矢为 2mCM OC OM   ， 则弧田面积是    2 21 4 3 2 2 4 3 2 m 2      . 故答案为：2；4 3 2 . 13．已知不等式 2 3 0mx nx   的解集为{ | 1x x  或 3}x  ，若 0, 0, 3a b ma nb    ，并且 2 1 1 2k k a b    恒 成立，则实数k的取值范围是 ． 【答案】 1 3k k   原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 8 【详解】因为不等式 2 3 0mx nx   的解集为{ | 1x x  或 3}x  ，则 0m  ， 且关于 x的方程 2 3 0mx nx   的两根分别为 1、3， 由韦达定理可得 3 1 3 m   ，可得 1m  ，由1 3 n m   ，可得 4n  ， 1, 4m n   ，故 4 3a b  ， 所以 1 1 1 1 1 1 4 1 4 ( 4 ) 5 5 2 3 3 3 3 a b a b a b a b a b b a b a                           ， 当且仅当 1 1 2 a b     时等号成立，故 1 1 a b  的最小值为 3， 因为 21 1 2k k a b    恒成立，则 2 2 3k k  ，即 2 2 3 0k k   ，解得 1 3k   ． 因此，实数 k的取值范围是{ 1 3}k k  ∣ ． 故答案为：{ 1 3}k k  ∣ 14．已知函数    1 2 2 2 log 1 , 1 ( ) 2 2,x x x n f x n m n x m             的值域是 1, 2 ,当 30, 4 n     时，实数m的取值范围 是 . 【答案】 2,4 【详解】当 1 x n   时，函数 ( )f x 为增函数，此时 1 2 ( 1) log 2 1f     ，  3[0, ) 4 n ， 1 1 2 2 1 ( ) log (1 ) log 2 4 f n n     ， 令   2 22 2xg x    ，即   4 2 2, 2 2 2, 2 x x x g x x        ， 则  g x 关于 2x  对称，且当 2x  时，  2 4 2 2g    ， 且  g x 在  , 2 上单调递增，在  2, 上单调递减， 令   1g x   ，有 2 | 2|2 2 1x     ，即有 | 2 | 2x   ，解得 0x  或 4x  ， ( )f x 的值域是 1, 2 ， 当 3 0, 4 n     时，当n x m  时的值域应该包含   ,2f n  ， 此时m的取值范围是 2,4 . 故答案为： 2,4 . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 9 四、解答题：本题共 5 小题，共 77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13 分） 集合  2| 6 0A x x x    ，  2| 2 8 0B x x x    ，  2 2| 2 0C x x ax a    ， (1)试求实数 a的取值范围，使 A B C ； (2)若Z为整数集，是否存在正数．．a，满足  Z 3, 4,5,6,7,8,9,10,11B C   ？若存在，求出a的取值范围，若 不存在，说明理由． 【详解】（1）解不等式 2 6 0x x   可得  | 2 3A x x    ， 解不等式 2 2 8 0x x   可得  2B x x  或 4x   ， 因此可得  | 2 3A B x x   ； 当 0a  时，C ，不合题意； 当 0a  时，解得  | 2C x a x a    ， 若  A B C ，可得 2 2 3 a a     ，解得 3 2 a  ；........................................4 分 当 0a  时，解得  | 2C x a x a    ， 若  A B C ，可得 2 2 3 a a    ，解得 3a   ； 综上可知，实数 a的取值范围为 3 2 a  或 3a   ；........................................6 分 （2）由（1）可知  2B x x  或 4x   ， 显然 3, 4,5,6,7,8,9,10,11 B ，且 3, 4,5,6,7,8,9,10,11 Z ； 因此只需满足 3, 4,5,6,7,8,9,10,11 C 即可，........................................9 分 又因为 a为正数， 可知 0a  时，  | 2C x a x a    ，因为  Z 3, 4,5,6,7,8,9,10,11B C   可得 11 2 12 5 a a      ，解得 11 6 2 5 a a       ，此时无解； 因此不存在满足题意的a ........................................13 分 16．（15 分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 10 已知函数   2 4 ( 0, , )f x ax x b a a b    R ，设关于 x的方程   0f x  的两实根为 1 2,x x ，关于 x的方程  f x x 的两实根为 ,  ． (1)若不等式   0f x  的解集是    , 3 5,   ，求不等式 2 4 0bx ax   的解集； (2)若 ,a b均为负整数，且 1   ，求  f x 的解析式； (3)若 1 2a    ，求证：   1 21 1 7x x   ． 【详解】（1） 2 4 0  ax x b 的解集为    , 3 5,   ，所以 3,5 是方程 2 4 0ax x b   的两根. 所以 4 3 5 3 5 a b a           2 30 a b     .所以 2 4 0bx ax   为 230 2 4 0x x    215 2 0x x   所以   3 1 5 2 0x x    2 1 5 3 x   .所以所求不等式的解集为： 2 1 | 5 3 x x        ..............................5 分 （2）因为  f x x  2 3 0ax x b   的两根为 ,  .所以 3 a     ， b a   ，且9 4 0ab  . 所以    2 2 4        2 2 9 4 9 4b ab a a a     .由 1   得 2 9 4 1 ab a    29 4ab a  . 又因为 ,a b均为负整数，所以 0ab  ，所以 2 9a .所以a的值可能为 1 或 2 . 若 1a   则 2b   ；若 2a   ，则 5 8 b   （舍去）.故 1a   ， 2b   为所求. 此时   2 4 2f x x x    .........................................10 分 （3）因为 1 2    ，所以 3 3 a       1 1 a   ； 2 b a    . 又因为 1 2 1 2 4 x x a b x x a         ，所以   1 21 1x x  1 2 1 2 1x x x x    4 1 b a a    2 4 1 7    ........................15 分 17．（15 分） 已知函数     2log 2 0, 1af x x x a a     在 1 ,14     上的最大值为 2，集合     1, 0, 2A y y f x x   ∣ . (1)求a的值，并用区间的形式表示集合A ； (2)若    2 2 1x x x xg x a a m a a      ，对 1x A  ，都  2 0,1x  ，使得  1 2x g x ，求实数m的值. 【详解】（1） 2 1 2, ,1 4 t x x x         ，则 29 , 4 16 t      ， 当0 1a  时， 29 1629 29log , ,4 ,max log 2 16 4a a y t t a          （舍） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 11 当 1a  时， 4 29 log , ,4 , max log 2 2 16a a y t t a          满足， 故 2a  ........................................5 分      221 log 2 1, 0, 2 , 2, 4y f x x x x y          ，故集合  2, 4A  ........................................7 分 （2）由集合          22 22, 4 , 2 2 2 2 1 2 2 2 2 1x x x x x x x xA g x m m              ， 设 2 2x xt   ，则当  0,1x ，即  2 1,2x  时， 由对勾函数的性质可知 5 2, 2 t     ， 故      2 22 2 2 2 1 1x x x xg x m t mt         ， 设   2 1h t t mt   ，则由题意得  2, 4A  为当 52, 2 t      时，  h t 的值域的子集. 当 2 2 m  即 4m  时，易知  h t 在 52, 2      上单调递增， 故  2 3 2 2 5 21 5 4 2 4 2 h m h m               ，得 1 ; 2 m  ........................................9 分 当 5 2 2 2 m   ，即4 5m  时，  h t 在 52, 2      上的最大值为  2h 和 5 2 h       中的较大值， 若  2 3 2 4h m   得 1 2 m   ， 若 5 21 5 4 2 4 2 h m         得 1 2 m  ，而4 5m  ，故不合题意；........................................12 分 当 5 2 2 m  ，即5 m 时，易知  h t 在 52, 2      上单调递减， 故  2 3 2 4 5 21 5 2 2 4 2 h m h m               ，不等式组无解. 综上所述：实数m的值为 1 2 ........................................15 分 18．（17 分） 已知函数 1 2 3 ( ) log 3 kx f x x    为奇函数. (1)求数 k的值； (2)设 3 ( ) 3 kx h x x    ，证明：函数 ( )y h x 在 (3, ) 上是减函数； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 12 (3)设函数 ( ) ( ) 2xg x f x m   ，判断 ( )g x 在 (3, ) 上的单调性，无需证明；若 ( )g x 在 4,5 上只有一个零点， 求实数 m的取值范围. 【详解】（1） ( )f x 为奇函数， ( ) ( )f x f x    ， 1 1 22 3 3 log log 3 3 kx kx x x         ，即 122 1 3 3 log log 3 3 kx x x kx       ， 2 2 29 9k x x    ，整理得 2 1k  ， 1k   （ 1k  时， ( )f x 不合题意而舍去）．........................................5 分 （2）由(1) 1k   ，故 3 ( ) 3 x h x x    ， 设 1 2 3x x  ，     1 2 2 11 2 1 2 1 2 3 3 6( ) 3 3 ( 3)( 3) x x x x h x h x x x x x             1 2 3x x  时， 2 1 0x x  ， 1 3 0x   ， 2 3 0x   ，    1 2 0h x h x   ，即    1 2h x h x ， 函数 ( )y h x 在 (3, ) 上是减函数；........................................11 分 （3）由(2)知， ( )h x 在 (3, ) 上单调递减，根据复合函数的单调性可知 ( )f x 在 (3, ) 单调递增， 又 2xy  在 R上单调递增， ( ) ( ) 2xg x f x m    在 (3, ) 单调递增， ( )g x 在区间 4,5 上只有一个零点，    4 5 0g g   ， 即 4 5 1 1 2 2 3 4 3 5 log 2 log 2 0 4 3 5 3 m m                   ， 解得  230, log 7 16m   .........................................17 分 19．（17 分） 设  f x 的定义域为 R，若 1 2x x  ，都有        1 1 2 2 1 2 2 1x f x x f x x f x x f x   ，则称函数  y f x 为“H 函 数”． (1)若  f x 在 R上单调递减，证明  f x 是“H 函数”； (2)已知函数    220242024 2024 log 1x xg x x x     ． ①证明  g x 是R 上的奇函数，并判断  g x 是否为“H 函数”（无需证明）； ②若对任意的  2 21 1, , 2 4 02 t m g mt m g m m               恒成立，求实数 t的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 【详解】（1）若  f x 在 R上单调递减，则    1 21 2 1 2 , 0 f x f x x x x x      ， 即      1 2 1 2 0x x f x f x      ， 即        1 1 1 2 2 1 2 2 0x f x x f x x f x x f x    ， 整理得：        1 1 2 2 1 2 2 1x f x x f x x f x x f x   ， 所以  f x 是“H 函数”．........................................4 分 （2）①    220242024 2024 log 1x xg x x x     定义域为 R，关于原点对称，    220242024 2024 log 1x xg x x x         220222024 2024 log 1x x x x g x       ， 所以  g x 是R 上的奇函数．  g x 在 R上单调递减，  g x 是“H 函数”.........................................10 分 ②  g x 是 R上的奇函数，并为“ H 函数”，在R 上单调递减，  2 212 4 0tg mt m g m m          在 1 , 2 m     上恒成立， 可得  2 2 21 12 4 t tg mt m g gm m m m                 在 1 , 2 m     上恒成立， 故 2 2 1 2 4 t mt m m m    在 1 , 2 m     上恒成立， 即 2 2 1 1 2 4m t m m m        在 1 , 2 m     上恒成立， 又注意到 2 2 2 1 1 4 2 4m m m m         ， 结合 1 , 2 m     ，知 1 2 0m m   ， 得： 1 4 2 1 2 t m m m m             ． 令   12h m m m   ，其中 1 , 2 m     易知  h m 在 1 2, 2 2        上单调递减，在 2 , 2         上单调递增 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 14   2 2 2 2 h m h         ． 令 1 2m n m   ，即 4 t n n   恒成立，其中 2 2n  函数 y x 与函数 4 y x   均在 2 2,  上单调递增， 故函数 4 y x x   在 2 2,  上单调递增． 故 4 4 2 2 2 2 2 n n     ，得 2t  ， 则 t的范围为  , 2 ．........................................17 分 ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2024-2025学年高一数学上学期第三次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：集合与逻辑12%+不等式20%+函数17.3%+指对函数40%+三角函数10.7%。 5．难度系数：0.61。 第一部分（选择题 共58分） 1、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知，则（    ） A．1 B． C．2 D． 2．是的（   ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要条件 D．既不充分也不必要 3．已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 6．若，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 7．定义在R上的函数满足：，且，当时，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 8．已知定义在R上的函数为偶函数，且在区间上是增函数，记，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 2、 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列化简正确的是（    ） A． B． C． D． 10．已知函数的定义域为，且，函数的图象关于直线对称，则下列结论一定正确的是（   ） A． B．的图象关于直线对称 C．为偶函数 D．，的图象关于点对称 11．已知函数，若存在不相等的实数，b，c，满足且，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D．的取值范围为 第二部分（非选择题 共92分） 3、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积（弦×矢+矢2），弧田如图，由圆弧和所对的弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为，弦长为米的弧田，按照上述方法计算弧田的矢为 米；面积为 平方米.    13．已知不等式的解集为或，若，并且恒成立，则实数的取值范围是 ． 14．已知函数的值域是,当时，实数的取值范围是 . 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 集合，，， (1)试求实数a的取值范围，使； (2)若为整数集，是否存在正数，满足？若存在，求出的取值范围，若不存在，说明理由． 16．（15分） 已知函数，设关于x的方程的两实根为，关于x的方程的两实根为． (1)若不等式的解集是，求不等式的解集； (2)若均为负整数，且，求的解析式； (3)若，求证：． 17．（15分） 已知函数在上的最大值为2，集合. (1)求的值，并用区间的形式表示集合； (2)若，对，都，使得，求实数的值. 18．（17分） 已知函数为奇函数. (1)求数k的值； (2)设，证明：函数在上是减函数； (3)设函数，判断在上的单调性，无需证明；若在上只有一个零点，求实数m的取值范围. 19．（17分） 设的定义域为R，若，都有，则称函数为“函数”． (1)若在R上单调递减，证明是“函数”； (2)已知函数． ①证明是上的奇函数，并判断是否为“函数”（无需证明）； ②若对任意的恒成立，求实数的取值范围． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 2024-2025 学年高一数学上学期第三次月考卷 （考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：集合与逻辑 12%+不等式 20%+函数 17.3%+指对函数 40%+三角函数 10.7%。 5．难度系数：0.61。 第一部分（选择题 共 58 分） 一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的． 1．已知 2 2sin 2 3sin cos 3cos 4      ，则 tan （ ） A．1 B． 2 2  C．2 D． 3 3 2． A B   是 A B 的（ ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要条件 D．既不充分也不必要 3．已知 π π 4 2     ，则2 2  的取值范围是（ ） A． π π , 2 2      B． π ,0 2      C．  π, π D．  π,0 4．已知函数     2 8 2 log 1 , 1, 2 2 , 1 x ax x f x x ax a x          在 R上单调递增，则 a的取值范围是（ ） A． 15 1, 8      B． 15 , 2 8      C． 1, 2 D． 1, 2 5．已知函数   2 2 2 1x f x x    ，则不等式    2 2 3 2f t f t   的解集为（ ） A．    , 1 3,     B．  1,3 C．    , 3 1,     D．  3,1 6．若 0, 0x y  ，且 x y xy  ，则 2 1 1 x y x y    的最小值为（ ） A．2 2 3 B．4 C．3 2 2 D．5 7．定义在 R上的函数 ( )f x 满足： ( 1 ) ( 1 ) 0f x f x      ，且 (1 ) (1 ) 0f x f x    ，当 [ 1,1]x  时， ( ) 2f x ax  ，则 ( )f x 的最小值为（ ） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 A． 6 B． 4 C． 3 D． 2 8．已知定义在 R上的函数  f x 为偶函数，且  f x 在区间 ( ,0] 上是增函数，记 5 1 log 2 a f       ， 1 2 1 log 5 b f        ， 1 51 2 c f            ，则 a，b，c的大小关系是（ ） A．a c b  B．b a c  C．b c a  D．c a b  二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部 选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分． 9．下列化简正确的是（ ） A． tan(π 1) tan1  B．   sin( ) cos tan 360       C． sin(π ) tan cos(π )       D． cos(π ) tan( π ) 1 sin(2π )         10．已知函数  y f x 的定义域为R ，且    2f x f x   ，函数  2 3y f x  的图象关于直线 2x  对称， 则下列结论一定正确的是（ ） A．    4f x f x  B．  f x 的图象关于直线 1x   对称 C．  f x 为偶函数 D． k Z ，  f x 的图象关于点  2 ,0k 对称 11．已知函数   1 1, 0 2 lg , 0 x x f x x x       ，若存在不相等的实数a，b，c，d 满足 a b c d   且 ( )f a  ( ) ( ) ( )f b f c f d k   ，则下列说法正确的是（ ） A．  0,1k B． 6a b   C． 1cd  D．   a b c d 的取值范围为 61 2, 10     第二部分（非选择题 共 92 分） 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5分，共 15分． 12．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章计算弧田面积所用的经验公式为：弧 田面积 1 2  （弦×矢+矢 2），弧田如图，由圆弧和所对的弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为 2π 3 ，弦长为4 3 米的弧田，按照上述方法计算弧田的矢 为 米；面积为 平方米. 13．已知不等式 2 3 0mx nx   的解集为{ | 1x x  或 3}x  ，若 0, 0, 3a b ma nb    ，并且 2 1 1 2k k a b    恒 成立，则实数k的取值范围是 ． 14．已知函数    1 2 2 2 log 1 , 1 ( ) 2 2,x x x n f x n m n x m             的值域是 1, 2 ,当 30, 4 n     时，实数m的取值范围 是 . 四、解答题：本题共 5 小题，共 77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13 分） 集合  2| 6 0A x x x    ，  2| 2 8 0B x x x    ，  2 2| 2 0C x x ax a    ， (1)试求实数 a的取值范围，使 A B C ； (2)若Z为整数集，是否存在正数．．a，满足  Z 3, 4,5,6,7,8,9,10,11B C   ？若存在，求出a的取值范围，若 不存在，说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 16．（15 分） 已知函数   2 4 ( 0, , )f x ax x b a a b    R ，设关于 x的方程   0f x  的两实根为 1 2,x x ，关于 x的方程  f x x 的两实根为 ,  ． (1)若不等式   0f x  的解集是    , 3 5,   ，求不等式 2 4 0bx ax   的解集； (2)若 ,a b均为负整数，且 1   ，求  f x 的解析式； (3)若 1 2a    ，求证：   1 21 1 7x x   ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 17．（15 分） 已知函数     2log 2 0, 1af x x x a a     在 1 ,14     上的最大值为 2，集合     1, 0, 2A y y f x x   ∣ . (1)求a的值，并用区间的形式表示集合A ； (2)若    2 2 1x x x xg x a a m a a      ，对 1x A  ，都  2 0,1x  ，使得  1 2x g x ，求实数m的值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 18．（17 分） 已知函数 1 2 3 ( ) log 3 kx f x x    为奇函数. (1)求数 k的值； (2)设 3 ( ) 3 kx h x x    ，证明：函数 ( )y h x 在 (3, ) 上是减函数； (3)设函数 ( ) ( ) 2xg x f x m   ，判断 ( )g x 在 (3, ) 上的单调性，无需证明；若 ( )g x 在 4,5 上只有一个零点， 求实数 m的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 7 19．（17 分） 设  f x 的定义域为 R，若 1 2x x  ，都有        1 1 2 2 1 2 2 1x f x x f x x f x x f x   ，则称函数  y f x 为“ H 函 数”． (1)若  f x 在 R上单调递减，证明  f x 是“ H 函数”； (2)已知函数    220242024 2024 log 1x xg x x x     ． ①证明  g x 是R 上的奇函数，并判断  g x 是否为“ H 函数”（无需证明）； ②若对任意的  2 21 1, , 2 4 02 t m g mt m g m m               恒成立，求实数 t的取值范围． 数学 第 1 页（共 6 页） 数学 第 2 页（共 6 页） 数学 第 3 页（共 6 页） 学 校 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 班 级 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 姓 名 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 准 考 证 号 __ __ __ __ __ __ __ __ __ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 密 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 封 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 线 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2024-2025 学年高一数学上学期第三次月考卷 答题卡 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 一、选择题（每小题 5 分，共 40 分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分，共 18 分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题 5 分，共 15 分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共 77 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 16．（15 分） 数学 第 4 页（共 6 页） 数学 第 5 页（共 6 页） 数学 第 6 页（共 6 页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17 分） 19．（17 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2024-2025学年高一数学上学期第三次月考卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高一数学上学期第三次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：集合与逻辑12%+不等式20%+函数17.3%+指对函数40%+三角函数10.7%。 5．难度系数：0.61。 第一部分（选择题 共58分） 1、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知，则（    ） A．1 B． C．2 D． 2．是的（   ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要条件 D．既不充分也不必要 3．已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 6．若，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 7．定义在R上的函数满足：，且，当时，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 8．已知定义在R上的函数为偶函数，且在区间上是增函数，记，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 2、 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列化简正确的是（    ） A． B． C． D． 10．已知函数的定义域为，且，函数的图象关于直线对称，则下列结论一定正确的是（   ） A． B．的图象关于直线对称 C．为偶函数 D．，的图象关于点对称 11．已知函数，若存在不相等的实数，b，c，满足且，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D．的取值范围为 第二部分（非选择题 共92分） 3、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积（弦×矢+矢2），弧田如图，由圆弧和所对的弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为，弦长为米的弧田，按照上述方法计算弧田的矢 为 米；面积为 平方米.    13．已知不等式的解集为或，若，并且恒成立，则实数的取值范围是 ． 14．已知函数的值域是,当时，实数的取值范围是 . 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 集合，，， (1)试求实数a的取值范围，使； (2)若为整数集，是否存在正数，满足？若存在，求出的取值范围，若不存在，说明理由． 16．（15分） 已知函数，设关于x的方程的两实根为，关于x的方程的两实根为． (1)若不等式的解集是，求不等式的解集； (2)若均为负整数，且，求的解析式； (3)若，求证：． 17．（15分） 已知函数在上的最大值为2，集合. (1)求的值，并用区间的形式表示集合； (2)若，对，都，使得，求实数的值. 18．（17分） 已知函数为奇函数. (1)求数k的值； (2)设，证明：函数在上是减函数； (3)设函数，判断在上的单调性，无需证明；若在上只有一个零点，求实数m的取值范围. 19．（17分） 设的定义域为R，若，都有，则称函数为“函数”． (1)若在R上单调递减，证明是“函数”； (2)已知函数． ①证明是上的奇函数，并判断是否为“函数”（无需证明）； ②若对任意的恒成立，求实数的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高一数学上学期第三次月考卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：集合与逻辑12%+不等式20%+函数17.3%+指对函数40%+三角函数10.7%。 5．难度系数：0.61。 第一部分（选择题 共58分） 1、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【详解】∵， ∴， ∴， 解得. 故选：D. 2．是的（   ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要条件 D．既不充分也不必要 【答案】D 【详解】若，如，满足但不满足. 若，如，满足但不满足. 所以是的既不充分也不必要条件. 故选：D 3．已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以， 则，又，所以， 从而． 故选：B． 4．已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由对数函数和二次函数复合可得函数单调递增， 再根据二次函数性质可知，若在上单调递增需满足， 解得， 故选：A. 5．已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设，， ， ，即， 设 ， 由于，故，故， 则，故为奇函数，且在R上单调递增， 则， 即， 故，解得． 故选：C 6．若，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以， 因为，所以， 故，，， 又 因为，，， 由基本不等式就可得， 当且仅当，时等号成立， 所以，当且仅当，时等号成立， 所以的最小值为. 故选：C. 7．定义在R上的函数满足：，且，当时，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由可得， 即关于对称，即， 由可得关于对称， 即，所以， 令，则，代入可得， 即，则， 所以的周期为， 由是定义在R上的函数，且关于对称， 可得，又当时，， 即，所以， 当时，， 且关于对称，则时，， 又关于对称，则时，， 即在一个周期内的值域为， 则的最小值为. 故选：B 8．已知定义在R上的函数为偶函数，且在区间上是增函数，记，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由函数为R上的偶函数，且在上是增函数， 则该函数在上为减函数，且有， 则，，， 因为，，， 即，由于函数在上为减函数， 所以，可得. 故选：C 2、 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列化简正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】解：∵，故A正确； ,故B正确； ，故C不正确； ，故D不正确， 故选：AB． 10．已知函数的定义域为，且，函数的图象关于直线对称，则下列结论一定正确的是（   ） A． B．的图象关于直线对称 C．为偶函数 D．，的图象关于点对称 【答案】ABD 【详解】因为， 所以，故A正确； 又函数的图象关于直线对称， 所以函数的图象关于直线对称， 则函数的图象关于直线对称， 所以，又， 所以，即函数为奇函数， 所以的图象也关于直线对称，故B正确，C错误； 由于为奇函数，定义域为，所以， 结合上述对称性，可得，， 因此对于，的图象关于点对称，故D正确. 故选：ABD. 11．已知函数，若存在不相等的实数，b，c，满足且，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D．的取值范围为 【答案】ACD 【详解】A选项，画出与的图象如下： 要想满足，则，A正确； B选项，由对称性可知，，B错误， C选项，令，解得，故， 令，解得，故，而， 所以，故，所以，C正确； D选项，， 其中，而在上单调递减， 所以，，D正确. 故选：ACD 第二部分（非选择题 共92分） 3、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积（弦×矢+矢2），弧田如图，由圆弧和所对的弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为，弦长为米的弧田，按照上述方法计算弧田的矢 为 米；面积为 平方米.    【答案】 【详解】如图所示，过作于，的延长线交于.    则，，所以，， 所以，， 所以矢为， 则弧田面积是. 故答案为：；. 13．已知不等式的解集为或，若，并且恒成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】因为不等式的解集为或，则， 且关于x的方程的两根分别为1、3， 由韦达定理可得，可得，由，可得， ，故， 所以， 当且仅当时等号成立，故的最小值为3， 因为恒成立，则，即，解得． 因此，实数k的取值范围是． 故答案为： 14．已知函数的值域是,当时，实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】当时，函数为增函数，此时， ，， 令，即， 则关于对称，且当时，， 且在上单调递增，在上单调递减， 令，有，即有，解得或， 的值域是， 当时，当时的值域应该包含， 此时的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 集合，，， (1)试求实数a的取值范围，使； (2)若为整数集，是否存在正数，满足？若存在，求出的取值范围，若不存在，说明理由． 【详解】（1）解不等式可得， 解不等式可得或， 因此可得； 当时，，不合题意； 当时，解得， 若，可得，解得；........................................4分 当时，解得， 若，可得，解得； 综上可知，实数a的取值范围为或；........................................6分 （2）由（1）可知或， 显然，且； 因此只需满足即可，........................................9分 又因为a为正数， 可知时，，因为 可得，解得，此时无解； 因此不存在满足题意的........................................13分 16．（15分） 已知函数，设关于x的方程的两实根为，关于x的方程的两实根为． (1)若不等式的解集是，求不等式的解集； (2)若均为负整数，且，求的解析式； (3)若，求证：． 【详解】（1）的解集为，所以是方程的两根. 所以.所以为 所以.所以所求不等式的解集为：..............................5分 （2）因为的两根为.所以，，且. 所以.由得. 又因为均为负整数，所以，所以.所以的值可能为或. 若则；若，则（舍去）.故，为所求. 此时.........................................10分 （3）因为，所以；. 又因为，所以........................15分 17．（15分） 已知函数在上的最大值为2，集合. (1)求的值，并用区间的形式表示集合； (2)若，对，都，使得，求实数的值. 【详解】（1），则， 当时，（舍） 当时，满足， 故........................................5分 ，故集合........................................7分 （2）由集合， 设，则当，即时， 由对勾函数的性质可知， 故， 设，则由题意得为当时，的值域的子集. 当即时，易知在上单调递增， 故，得........................................9分 当，即时，在上的最大值为和中的较大值， 若得， 若得，而，故不合题意；........................................12分 当，即时，易知在上单调递减， 故，不等式组无解. 综上所述：实数的值为........................................15分 18．（17分） 已知函数为奇函数. (1)求数k的值； (2)设，证明：函数在上是减函数； (3)设函数，判断在上的单调性，无需证明；若在上只有一个零点，求实数m的取值范围. 【详解】（1）为奇函数，， ，即，，整理得， （时，不合题意而舍去）．........................................5分 （2）由(1)，故， 设， 时，，，， ，即， 函数在上是减函数；........................................11分 （3）由(2)知，在上单调递减，根据复合函数的单调性可知在单调递增， 又在R上单调递增， 在单调递增， 在区间上只有一个零点， ， 即， 解得.........................................17分 19．（17分） 设的定义域为R，若，都有，则称函数为“函数”． (1)若在R上单调递减，证明是“函数”； (2)已知函数． ①证明是上的奇函数，并判断是否为“函数”（无需证明）； ②若对任意的恒成立，求实数的取值范围． 【详解】（1）若在R上单调递减，则， 即， 即， 整理得：， 所以是“函数”．........................................4分 （2）①定义域为R，关于原点对称， ， 所以是上的奇函数． 在R上单调递减，是“函数”.........................................10分 ②是R上的奇函数，并为“函数”，在上单调递减， 在上恒成立， 可得在上恒成立， 故在上恒成立， 即在上恒成立， 又注意到， 结合，知， 得：． 令，其中 易知在上单调递减，在上单调递增 ． 令，即恒成立，其中 函数与函数均在上单调递增， 故函数在上单调递增． 故，得， 则的范围为．........................................17分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高一数学上学期第三次月考卷 参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 D D B A C C B C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 AB ABD ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．； 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 【详解】（1）解不等式可得， 解不等式可得或， 因此可得； 当时，，不合题意； 当时，解得， 若，可得，解得；........................................4分 当时，解得， 若，可得，解得； 综上可知，实数a的取值范围为或；........................................6分 （2）由（1）可知或， 显然，且； 因此只需满足即可，........................................9分 又因为a为正数， 可知时，，因为 可得，解得，此时无解； 因此不存在满足题意的........................................13分 16．（15分） 【详解】（1）的解集为，所以是方程的两根. 所以.所以为 所以.所以所求不等式的解集为：..............................5分 （2）因为的两根为.所以，，且. 所以.由得. 又因为均为负整数，所以，所以.所以的值可能为或. 若则；若，则（舍去）.故，为所求. 此时.........................................10分 （3）因为，所以；. 又因为，所以........................15分 17．（15分） 【详解】（1），则， 当时，（舍） 当时，满足， 故........................................5分 ，故集合........................................7分 （2）由集合， 设，则当，即时， 由对勾函数的性质可知， 故， 设，则由题意得为当时，的值域的子集. 当即时，易知在上单调递增， 故，得........................................9分 当，即时，在上的最大值为和中的较大值， 若得， 若得，而，故不合题意；........................................12分 当，即时，易知在上单调递减， 故，不等式组无解. 综上所述：实数的值为........................................15分 18．（17分） 【详解】（1）为奇函数，， ，即，，整理得， （时，不合题意而舍去）．........................................5分 （2）由(1)，故， 设， 时，，，， ，即， 函数在上是减函数；........................................11分 （3）由(2)知，在上单调递减，根据复合函数的单调性可知在单调递增， 又在R上单调递增， 在单调递增， 在区间上只有一个零点， ， 即， 解得.........................................17分 19．（17分） 【详解】（1）若在R上单调递减，则， 即， 即， 整理得：， 所以是“函数”．........................................4分 （2）①定义域为R，关于原点对称， ， 所以是上的奇函数． 在R上单调递减，是“函数”.........................................10分 ②是R上的奇函数，并为“函数”，在上单调递减， 在上恒成立， 可得在上恒成立， 故在上恒成立， 即在上恒成立， 又注意到， 结合，知， 得：． 令，其中 易知在上单调递减，在上单调递增 ． 令，即恒成立，其中 函数与函数均在上单调递增， 故函数在上单调递增． 故，得， 则的范围为．........................................17分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 试题 第 1 页（共 4 页） 试题 第 2 页（共 4 页） … … … … … … ○ … … … … … … 内 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ 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   B． 15 , 2 8      C． 1, 2 D． 1, 2 5．已知函数   2 2 2 1x f x x    ，则不等式    2 2 3 2f t f t   的解集为（ ） A．    , 1 3,     B．  1,3 C．    , 3 1,     D．  3,1 6．若 0, 0x y  ，且 x y xy  ，则 2 1 1 x y x y    的最小值为（ ） A．2 2 3 B．4 C．3 2 2 D．5 7．定义在 R上的函数 ( )f x 满足： ( 1 ) ( 1 ) 0f x f x      ，且 (1 ) (1 ) 0f x f x    ，当 [ 1,1]x  时， ( ) 2f x ax  ，则 ( )f x 的最小值为（ ） A． 6 B． 4 C． 3 D． 2 8．已知定义在 R上的函数  f x 为偶函数，且  f x 在区间 ( ,0] 上是增函数，记 5 1 log 2 a f       ， 1 2 1 log 5 b f        ， 1 51 2 c f            ，则 a，b，c的大小关系是（ ） A．a c b  B．b a c  C．b c a  D．c a b  二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部 选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分． 9．下列化简正确的是（ ） A． tan(π 1) tan1  B．   sin( ) cos tan 360       C． sin(π ) tan cos(π )       D． cos(π ) tan( π ) 1 sin(2π )         10．已知函数  y f x 的定义域为R ，且    2f x f x   ，函数  2 3y f x  的图象关于直线 2x  对称， 则下列结论一定正确的是（ ） A．    4f x f x  B．  f x 的图象关于直线 1x   对称 C．  f x 为偶函数 D． k Z ，  f x 的图象关于点  2 ,0k 对称 11．已知函数   1 1, 0 2 lg , 0 x x f x x x       ，若存在不相等的实数a，b，c，d 满足 a b c d   且 ( )f a  ( ) ( ) ( )f b f c f d k   ，则下列说法正确的是（ ） A．  0,1k B． 6a b   C． 1cd  D．   a b c d 的取值范围为 61 2, 10     第二部分（非选择题 共 92 分） 三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分． 12．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章计算弧田面积所用的经验公式为： 弧田面积 1 2  （弦×矢+矢 2），弧田如图，由圆弧和所对的弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对的弦长，“矢” 试题 第 3 页（共 4 页） 试题 第 4 页（共 4 页） … … … … … … ○ … … … … … … 内 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … 此 卷 只 装 订 不 密 封 … … … … … … ○ … … … … … … 外 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … 等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为 2π 3 ，弦长为4 3 米的弧田，按照上述方法计算弧田的 矢为 米；面积为 平方米. 13．已知不等式 2 3 0mx nx   的解集为{ | 1x x  或 3}x  ，若 0, 0, 3a b ma nb    ，并且 2 1 1 2k k a b    恒 成立，则实数k的取值范围是 ． 14．已知函数    1 2 2 2 log 1 , 1 ( ) 2 2,x x x n f x n m n x m             的值域是 1, 2 ,当 30, 4 n     时，实数m的取值范围 是 . 四、解答题：本题共 5小题，共 77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13 分） 集合  2| 6 0A x x x    ，  2| 2 8 0B x x x    ，  2 2| 2 0C x x ax a    ， (1)试求实数 a的取值范围，使  A B C ； (2)若Z为整数集，是否存在正数．．a，满足  Z 3, 4,5,6,7,8,9,10,11B C   ？若存在，求出a的取值范围， 若不存在，说明理由． 16．（15 分） 已知函数   2 4 ( 0, , )f x ax x b a a b    R ，设关于 x的方程   0f x  的两实根为 1 2,x x ，关于 x的方程  f x x 的两实根为 ,  ． (1)若不等式   0f x  的解集是    , 3 5,   ，求不等式 2 4 0bx ax   的解集； (2)若 ,a b均为负整数，且 1   ，求  f x 的解析式； (3)若 1 2a    ，求证：   1 21 1 7x x   ． 17．（15 分） 已知函数     2log 2 0, 1af x x x a a     在 1 ,14     上的最大值为 2，集合     1, 0, 2A y y f x x   ∣ . (1)求a的值，并用区间的形式表示集合A ； (2)若    2 2 1x x x xg x a a m a a      ，对 1x A  ，都  2 0,1x  ，使得  1 2x g x ，求实数m的值. 18．（17 分） 已知函数 1 2 3 ( ) log 3 kx f x x    为奇函数. (1)求数 k的值； (2)设 3 ( ) 3 kx h x x    ，证明：函数 ( )y h x 在 (3, ) 上是减函数； (3)设函数 ( ) ( ) 2xg x f x m   ，判断 ( )g x 在 (3, ) 上的单调性，无需证明；若 ( )g x 在 4,5 上只有一个零点， 求实数 m的取值范围. 19．（17 分） 设  f x 的定义域为 R，若 1 2x x  ，都有        1 1 2 2 1 2 2 1x f x x f x x f x x f x   ，则称函数  y f x 为“ H 函 数”． (1)若  f x 在 R上单调递减，证明  f x 是“ H 函数”； (2)已知函数    220242024 2024 log 1x xg x x x     ． ①证明  g x 是R 上的奇函数，并判断  g x 是否为“ H 函数”（无需证明）； ②若对任意的  2 21 1, , 2 4 02 t m g mt m g m m               恒成立，求实数 t的取值范围．