6.3.1二项式定理教学设计-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

教学设计 课题 二项式定理 课型 新授课☑ 复习课□ 试卷讲评课□ 其它课□ 教学内容分析 《二项式定理》是2019人教A版高中数学选择性必修第三册第六章第三节的知识内容，它是初中学习的多项式乘法的继续。在计数原理之后学习二项式定理，一方面是因为它的证明要用到计数原理，可以把它看做为计数原理的一个应用。另一方面也是为后面学习随机变量及其分布列做准备。 二项式定理具有较高应用价值和思维训练价值, 是解决整除、近似计算、不等式证明的有力工具，因此这节课在高中数学中有着十分重要的作用。通过本课的教学，进一步提高学生的逻辑推理能力，让学生感受体验数学的简洁美、和谐美和对称美。 学情分析 学生已经学习了计数原理、排列组合及合情推理的相关知识，已经具备了一定的归纳演绎和分析事件方法种数的能力。但是学生对数学严谨性的把握还不够，研究问题的方法和能力有待提高，有些学生容易粗心，对细节知识的把握还不够好。本节课二项式定理的推导运用了先猜想后证明，由特殊到一般的研究问题的思想方法。因此本堂课采用小组讨论学习，让学生在相互讨论的过程中直接或间接地感受和体验知识的产生、发展和演变过程，提高学生分析解决问题的能力。 在教学中，努力把表现的机会让给学生，以发挥他们的自主精神；尽量创造让学生活动的机会，以让学生在直接体验中建构自己的知识体系；尽量引导学生的发展和创造意识，以使他们能在再创造的氛围中学习。 学习目标 1.通过师生合作探究，能运用从特殊到一般的思想推导出二项式定理，并能总结出二项展开式及其通项公式的特点；（逻辑推理） 2.通过典例分析及其对应练习，会用二项式定理求二项展开式中某一项的系数和二项式系数. （数学运算） 重难点 1.通过师生合作探究，能运用从特殊到一般的思想推导出二项式定理，并能总结出二项展开式及其通项公式的特点； 2.通过典例分析及其对应练习，会用二项式定理求二项展开式中某一项的系数和二项式系数. 教学评活动过程 教师活动 学生活动 环节一：创设情境 教师活动 如果今天是星期一， (1)14天后的这一天是星期几呢？ (2)23天后的这一天呢？ (3)再过8100天后是星期几，你知道吗？ 学生活动 学生总结 设计意图：提出问题激发学生探索欲望和学习兴趣. 环节二：提出问题 教师活动 我们知道， ，当我们遇到的数学问题需要的展开式解决，那我们又该怎么办呢？ 学生活动 学生抢答 设计意图：直接提出的展开式是因为学生用以前所学多项式乘法知识进行展开时，计算麻烦，这样就可以为新的研究方法塑造重要地位。该设计旨在利用新旧方法之间产生的冲突激发学生的求知欲，同时向学生点明二项式定理所要研究的问题. 环节三：探究的展开式 教师活动 问题1： 在展开式中 (1)各项是怎么得到的？合并同类项之前展开式有多少项？ (2)各项中a和b的指数与二项式的指数2有什么关系？ 每一项都可以写成什么样的形式？ (3)展开式中各项的系数是如何确定的？（即每一类型的项的个数怎样计算？ 提醒学生： (1)借助两个计数原理分析展开式中的项数； (2)联系组合知识，以取b为例. 鼓励学生积极踊跃发言，针对学生的思路做出分析和讲解. 教师借助多媒体动画演示全过程后，引导学生完成填一填的内容. 填一填 （1） 是从___个中取____相乘而得到的，相当于从___个中取___个b的组合数____,因此的系数是____. （2） 是从一个中取____,一个中取____相乘而得到的，相当于从___个中取___个b的组合数____,因此的系数是____. （3） 是从___个中取____相乘而得到的，相当于从___个中取___个b的组合数____,因此的系数是____. 的展开式用组合数表示为： =______________________ 学生活动 学生带着问题去观察展开式，引发思考积极参与互动，说出自己见解. 学生根据刚才师生互动过程中获得的知识，独立完成填一填内容. 设计意图：具有导向性的问题，能指引学生明确研究方向，培养学生的观察、分析、概括能力，动画展示可以加深学生对展开式来龙去脉的理解，为合作探究做铺垫. 环节四：自主探究 教师活动 你能仿照上述过程，推导一下的展开式吗？展开式中各项的系数是怎么确定的？ 学生活动 学生自主完成，并展示探究的过程 师生共同点评进行完善 设计意图：巩固已有思想方法，建立猜想二项式定理的认知基础. 环节五：小组合作 教师活动 你能猜想一下的展开式并能给出证明吗？请完成以下内容 （1） 为什么每一项都是的形式？ （2） 为什么含的项的系数是？ =_____________________ (1) 展开式中有_____项 (2) 各项的次数都等于二项式的指数___ (3) 字母指数的变化规律 _____________________________ (4) 二项式系数：______________ (5) 通项公式__________是展开式中的第____项 教师关注小组活动的完成情况，并进行适时指导. 学生活动 学生先自主探究后再进行小组讨论. 小组展示，其他小组进行纠正和补充. 设计意图：通过小组合作学习，加强师生、生生之间的交流。充分体现教师主导学生主体的地位，让学生深层次的参与到课堂学习，成为课堂的主人，加深对所得结论的理解，培养学生类比、猜想、归纳的探究能力；让学生在探索过程中，充分感受到成功的情感体验. 环节六：例题讲解 教师活动 例1 (1)求的展开式； (2)求的展开式的第4项的二项式系数； 思考：的展开式的第4项的系数是多少？二项式系数与系数有什么区别？ 教师板演过程，给学生以示范，为后面步骤的整洁做铺垫. 对点练： (1)求 (1＋2x)5 的展开式； (2)求 (1＋2x)5 的展开式的第3项的系数； (3)求 (1＋2x)5 的展开式的第3项的二项式系数. 教师活动 学生观察、思考并回答. 学生自主练习，反馈教学效果，老师巡视做个别辅导. 设计意图：通过典例解析及对点练习，让学生体会利用二项式定理模型进行计算，感受数学模型在数学应用中的价值.发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养. 环节七：破解疑惑 教师活动 今天是星期一, 再过8100天后是星期几，你知道吗？ 即8100除以7余数是1， 故再过8100天后的那一天是星期二. 学生活动 学生讲解解决思路，其他学生补充，老师点评. 设计意图：破解疑惑让学生感受计算的简单与快捷，增强对数学学习的热情. 环节八：归纳总结 教师活动 (1)通过本节课的学习，你学到了哪些知识？ (2)你掌握了哪些学习数学的思想方法？ 知识方面：二项式定理，通项，二项式系数； 思想方法：从特殊到一般；观察——归纳——类比——猜想——证明． 学生活动 学生自己总结，对本节知识点进行梳理，学生间相互补充. 设计意图：小结可以锻炼学生的概括能力、语言表达能力，可以使学生加深对本节课的认识，掌握基本数学思维方法． 环节九：课后作业 1.课本36页 1~3题； 2.求的展开式的中间一项； 3.思维延伸：探究的展开式中的系数． 设计意图：通过课下作业使学生深入理解知识，培养学生的创新精神、增强主动探究的意识和能力． 板书设计 二项式定理 二项式定理： 特点： (1)项：二项展开式共有项 (2)次数：各项的次数都等于n 字母a按降幂排列，次数由n递减到0 字母b按升幂排列，次数由0递增到n (3)二项展开式的通项： (4)二项式系数： 注：二项式系数与系数的区别 例： 练习： 作业与拓展学习设计 基 础 练 1.若(x＋1)n的展开式共有12项，则n＝(　　) A.11 B.12 C.13 D.14 2.展开式的第5项的系数为(　　) A.15 B.-60 C.60 D.-15 3.已知,则(　　) A.63 B.64 C.31 D.32 4.若的展开式中第3项和第5项的二项式系数相等，则展开式中常数项等于________． 5.在的展开式中，x2的系数是　　　　.  6.已知在的展开式中,第9项为常数项.求: (1)n的值; (2)展开式中x5的系数; (3)含x的整数次幂的项的个数. 能 力 练 7.已知(1＋x)10＝a0＋a1(1－x)＋a2(1－x)2＋…＋a10(1－x)10，则a8等于(　　) A.－5 B.5 C.90 D.180 8. 8011被9除的余数为(　　) A.-1 B.1 C.8 D.-8 9.的展开式中x3y3的系数为________ 10.求的展开式中含x4项的系数为 . 11.若的展开式中常数项为-1,则a的值为________.  12. 已知在的展开式中，第5项的二项式系数与第3项的二项式系数的比是14∶3. (1)求n. (2)求展开式中所有的有理项． 特色学习资源分析、技术手段应用说明 导学案、PPT课件、动画演示. 教学反思与改进 1、教学设计中，设置了“创设问题情境，因疑惑而激趣—亲身体验，探索新知—合作探究，总结规律—典型例题分析—对点训练，巩固提升”五个环节层层深入，环环相扣，充分体现师学、生生的交流互动，在教师主导下，学生通过动手、动眼、动脑，经历了知识的形成和发展过程。 2、以“问题”为红线，促进学生深层次参与课堂学习。本节课在精心设置问题驱动下，学生对知识和方法的探究由表及里，逐步深入。以“问题”为主线组织教学活动，引导学生提出问题并解决问题是教学成败的关键。本节课由简单的两个问题，开始，接着在，，乃至的困惑下，激发学生去思考新的方法解决这个新问题。问题①展开式中各种类型的项是如何得到的？②展开式中各项的系数是如何确定的？引领学生直至解决问题的核心。在教学各个环节中以问题为主线，引导学生在不断的提出问题与解决问题过程中，领悟科学探索精神，适时的启发学生揭示问题的数学实质，从而促进学生深层次的参与课堂活动。 3、让课堂“动起来，静下去”， 使得学生获得能力提升。心理学家皮亚杰强调“认识起因于主各体之间的相互作用”，只有客体的形式与学生主体认知结构中的图式取得某种一致的时候，才能完成认识的主动建构，也就是学生获得真正的理解。本节课遵循“兴趣与能力的同步发展规律”和“教、学、研互相促进的规律”，教学中追求简易，重视直观，注重推理能力的训练，尽量创造学习环境，让学生学得生动主动，充分发挥其课堂上的主体作用。 另外，这节课还有以下几个方面需要改进： 1.语言不够精炼、严谨，需要打磨； 2.上课表情稍有严厉，可以再亲和点。 学科网（北京）股份有限公司 $$