江苏省宝应县安宜高级中学2024-2025学年高三上学期数学周练（10）

宝应县安宜高级中学高三上学期数学周练（10） 　命题人：郭志祥　　 　 试做人：梁永军　　 审卷人：徐建云 班级_____________ 姓名______________ 学号__________ 一．选择题（共8小题） 1．设，已知集合，，且，则实数的取值范围是　　 A． B．， C． D．， 2．中，“”是“是直角三角形”的　　 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 3．关于的不等式的解集是，那么　　 A．1 B． C．12 D． 4．已知，则　　 A． B． C． D． 5．已知函数在区间，内恰有3条对称轴，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 6．已知实数，满足，且，则的最小值为　　 A． B．8 C． D． 7．记的内角，，的对边分别为，，，已知，，则面积的最大值为　　 A． B． C． D． 8．已知0为函数的极小值点，则的取值范围是　　 A． B． C． D．， 二．多选题（共3小题） 9．已知，，分别为内角，，的对边，下面四个结论正确的是　　 A．若，则为等腰三角形 B．在锐角中，不等式恒成立 C．若，，且有两解，则的取值范围是 D．若，的平分线交于点，，则的最小值为9 10．已知函数，，，是的导函数，则　　 A．“”是“为奇函数”的充要条件 B．“”是“为增函数”的充要条件 C．若不等式的解集为且，则的极小值为 D．若，是方程的两个不同的根，且，则或 11．函数，的部分图象如图所示，则　　 A．的最小正周期为 B． C．在区间上单调递增 D．将的图象向左平移个单位长度后得到的图象 三．填空题（共3小题） 12．已知角，的终边关于原点对称，则　　． 13．若直线为曲线的一条切线，则的最大值为 　　． 14．在△中，，是的角平分线，且． （1）的取值范围为 　　． （2）若，当最小时，的值为 　　． 四．解答题（共5小题） 15．设函数． （1）求的图象的对称轴方程和对称中心的坐标； （2）求在上的最值． 16．在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，，为的中点，二面角为直二面角． （Ⅰ）求证：； （Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值； （Ⅲ）求平面与平面夹角的余弦值． 17．已知函数在上单调递增，在上单调递减，设，为曲线的对称中心． （1）求； （2）记的角，，对应的边分别为，，，若，，求边上的高长的最大值． 18．为了解某一地区电动汽车销售情况，某机构根据统计数据，用最小二乘法得到电动汽车销量（单位：万台）关于（年份）的线性回归方程为，且销量的方差，年份的方差为． （1）求与的相关系数，并据此判断电动汽车销量与年份的相关性强弱； （2）该机构还调查了该地区100位购车车主性别与购车种类情况，得到的数据如表： 购买非电动汽车 购买电动汽车 总计 男性 30 20 50 女性 15 35 50 总计 45 55 100 能否有的把握认为购买电动汽车与性别有关？ （3）在购买电动汽车的车主中按照性别进行分层抽样抽取11人，再从这11人中随机抽取4人，记这4人中，男性的人数为，求的分布列和数学期望． 参考公式：线性回归方程：，其中，； 相关系数：，若，则可判断与线性相关较强； ，其中． 附表： 0.100 0.050 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 19．已知函数． （Ⅰ）求曲线在点，处的切线方程； （Ⅱ）若恒成立，求的值； （Ⅲ）若有两个不同的零点，且，求的取值范围． 宝应县安宜高级中学高三上学期数学周练（10）参考答案 ．．．．．．．．9． ．10． ．11.． 三．填空题12．　　 13． 　14． （1）；（2）． 15．解：（1），令，，则，，的图象的对称轴方程为，；令，，则，，的图象的对称中心的坐标为，，； （2），，，，，，的最大值为，最小值为． 16．解：（Ⅰ）证明：，为中点，， 平面平面，平面平面，平面， 平面，，，，． 以点为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图， 则，0，，，0，，，0，，，2，，，0，，，2，， ，2，，，0，，，． （Ⅱ）设平面的一个法向量为，，， 则，取，得，1，， 设直线与平面所成角为，，0，， ，直线与平面所成角的正弦值为； （Ⅲ）设平面的一个法向量为，，，，0，，，2，，则，取，得，1，，设平面与平面夹角为，则，平面与平面夹角的余弦值为． 17．解：（1）因为在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以，， 可知，又由，可知，所以，可得， 由，可得，即，； （2）由，化简得， 因为，所以，所以， 31415 可得，所以，故长的最大值为． 18．解：（1）由题意得，， 所以，所以与线性相关较强． （2）由题意得，， 所以有的把握认为购买电动汽车与性别有关． （3）11人中，男性车主人，女性车主人，则的可能取值为0，1，2，3，4， ，，， ，，故的分布列为： 0 1 2 3 4 所以． 19．解：（1）由，得，因为，， 所以曲线在点，处的切线方程为； （2），①当时，，不符合题意； ②当时，令，解得， 当时，，在区间上单调递减，当时，，在区间上单调递增，所以当时，取得最小值，， 若恒成立，则， 设，则， 当时，，在区间上单调递增， 当时，，在区间上单调递减， 所以，即的解为，所以； （3）当时，，在区间上单调递增， 所以至多有一个零点，不符合题意；当时，因为，不妨设， 若，则，不符合题意；若，则， 由（2）可知，只需，即，解得，即的取值范围为． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/11/4 19:08:32；用户：gzx；邮箱：byaygzx@163.com；学号：5369738 问：如何证明直线平行直线？ 答：平行的传递性，或者垂直于同一个平面，面面平行后用第三个平面去截两平行平面，或者由直线与平面平行，用过直线的平面去截平行平面可得直线与交线平行。 问：如何证明线面平行？面面平行呢？ 答：平面外一条直线与平面内一条直线平行，或者由面平行面，一面内直线直接平行另一面 问：如何证明线面垂直？ 答：一条直线与平面内两条相交直线垂直，或者由面垂直面，一面内垂直于他们交线的直线垂直于另一面。 问：如何证明面面垂直呢？ 答：一面内一直线垂直于另一个平面，或者两平面所成的二面角是直二面角。 问：当看到线面平行的条件能得到什么？ 答：须经过该直线作平面与平行平面相交得交线与该直线平行，不能得到该直线与平面内的任意直线平行；这里要与直线与平面垂直相区别，当直线与平面垂直可以直接垂直平面内的任意直线，同样，当面面平行时，一面内的一直线平行另一平面可直接得到。 问：当看到面面平行的条件能得到什么？ 答：须作第三平面与平行平面相交，得两交线平行，千万不能两平面内得直线直接平行。 问：当看到面面垂直的条件能得到什么？ 答：须找到两平面的交线，再在一平面直线垂直于交线，可得该直线垂直另一平面；千万不能两平面内得直线直接垂直。 宝应县安宜高级中学高三上学期数学周练（10）参考答案 一．选择题（共8小题） 1．设，已知集合，，且，则实数的取值范围是　　 A． B．， C． D．， 【解答】解：，集合，， ， ， 又， 实数的取值范围是． 故选：． 2．中，“”是“是直角三角形”的　　 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【解答】解：已知，， 则， 故，或，所以，或， 故前者推不出后者， 反之，比如，，显然不成立，故后者推不出前者， 所以“”是“是直角三角形”的既不充分也不必要条件． 故选：． 3．关于的不等式的解集是，那么　　 A．1 B． C．12 D． 【解答】解：即，因为解集为， 是方程的二重根， 则根据韦达定理知，即， 则． 故选：． 4．已知，则　　 A． B． C． D． 【解答】解：由，得，即， 所以． 故选：． 5．已知函数在区间，内恰有3条对称轴，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 【解答】解：由于函数的对称轴方程为，， 令， 所以，解得． 故选：． 6．已知实数，满足，且，则的最小值为　　 A． B．8 C． D． 【解答】解：， 则， 故，， 故，当且仅当时，等号成立． 故选：． 7．记的内角，，的对边分别为，，，已知，，则面积的最大值为　　 A． B． C． D． 【解答】解：因为，可得， 即， 整理可得， 即， 在三角形中，， 即， 可得； 由余弦定理可得，当且仅当时取等号， 而， 所以， 所以． 即该三角形的面积的最大值为． 故选：． 8．已知0为函数的极小值点，则的取值范围是　　 A． B． C． D．， 【解答】解：由题意得，的导函数为， 若，，在上单调递增，因为， 所以当时，，单调递增，当时，，单调递减，成立； 若，当时，，在上单调递增，因为， 所以在上单调递减，在上单调递增，成立； 若，当时，，当时，，因为， 所以，不成立； 若，当时，，， 易得在递增，在上单调递减，不成立； 综上，的取值范围是． 故选：． 二．多选题（共3小题） 9．已知，，分别为内角，，的对边，下面四个结论正确的是　　 A．若，则为等腰三角形 B．在锐角中，不等式恒成立 C．若，，且有两解，则的取值范围是 D．若，的平分线交于点，，则的最小值为9 【解答】解：选项，因为，由正弦定理可得：， 所以有， 整理可得， 所以或， 故为等腰三角形或直角三角形，故错误； 选项，若为锐角三角形，所以， 所以， 由正弦函数在单调递增，则， 故正确． 选项，如图，若有两解，则， 所以，则的取值范围是，故正确． 选项，的平分线交于点，， 由，由角平分线性质和三角形面积公式得， 得， 即，得， 得， 当且仅当，即时，取等号，故正确． 故选：． 10．已知函数，，，是的导函数，则　　 A．“”是“为奇函数”的充要条件 B．“”是“为增函数”的充要条件 C．若不等式的解集为且，则的极小值为 D．若，是方程的两个不同的根，且，则或 【解答】解：当时，，，所以为奇函数，充分性成立； 若为奇函数，则， 则恒成立，所以，必要性成立，故项正确； 当时，，，所以为增函数； 由题意得，当为增函数时，△， 所以“”是“为增函数”的充分不必要条件，故项错误； ，若不等式的解集为且， 则在上先增后减再增，则，（1），解得， 故， ， 令，解得或， 所以在区间内，，单调递增， 在区间内，，单调递减， 在区间内，，单调递增， 所以的极小值为，故项正确； ，因为，是方程的两个不同的根， 所以△，即①， ，， 由，得， 所以，即②， 由①②得，解得或，故项正确． 故选：． 11．函数，的部分图象如图所示，则　　 A．的最小正周期为 B． C．在区间上单调递增 D．将的图象向左平移个单位长度后得到的图象 【解答】解：由图象可得，， ，， ， 函数过点，，， ， ， ， ， ，， 又， ， 函数， ，故选项错误， ，故选项正确， 令，，解得，， 当时，的单调递增区间为，故选项错误， 将的图象向左平移个单位得到的图象为，故选项正确． 故选：． 三．填空题（共3小题） 12．已知角，的终边关于原点对称，则　　． 【解答】解：因为角，的终边关于原点对称， 所以， 则． 故答案为：． 13．若直线为曲线的一条切线，则的最大值为 　　． 【解答】解：设，则， 设切点为，则， 则切线方程为，整理可得， 所以，解得， 所以，所以， 设，则， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以当时，取得最大值， 所以的最大值为． 14．在△中，，是的角平分线，且． （1）的取值范围为 　　． （2）若，当最小时，的值为 　　． 【解答】解：（1）设，，，，． 由三角形的内角平分线定理，可得，即， 由余弦定理，可得， ． 所以，整理得， 因为，可得，所以； （2）由题意，，整理得， 由余弦定理得， 所以， 当且仅当时，即时，等号成立， 结合为锐角，由，解得（舍负）， 由（1）的结论，可得此时． 故答案为：（1）；（2）． 四．解答题（共5小题） 15．设函数． （1）求的图象的对称轴方程和对称中心的坐标； （2）求在上的最值． 【解答】解：（1）， 令，， 则，， 的图象的对称轴方程为，； 令，， 则，， 的图象的对称中心的坐标为，，； （2），， ，， ，， 的最大值为，最小值为． 16．在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，，为的中点，二面角为直二面角． （Ⅰ）求证：； （Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值； （Ⅲ）求平面与平面夹角的余弦值． 【解答】解：（Ⅰ）证明：，为中点，， 平面平面，平面平面，平面， 平面， ，，，． 以点为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图， 则，0，，，0，，，0，，，2，，，0，，，2，， ，2，，，0，， ，． （Ⅱ）设平面的一个法向量为，，， 则，取，得，1，， 设直线与平面所成角为， ，0，， ， 直线与平面所成角的正弦值为； （Ⅲ）设平面的一个法向量为，，， ，0，，，2，， 则，取，得，1，， 设平面与平面夹角为， 则， 平面与平面夹角的余弦值为． 17．已知函数在上单调递增，在上单调递减，设，为曲线的对称中心． （1）求； （2）记的角，，对应的边分别为，，，若，，求边上的高长的最大值． 【解答】解：（1）因为在上单调递增，在上单调递减， 所以， 所以，， 可知， 又由，可知， 所以， 可得， 由， 可得，即，； （2）由，化简得， 因为， 所以， 所以， 又， 所以，当且仅当时取等号， 可得， 所以， 故长的最大值为． 18．为了解某一地区电动汽车销售情况，某机构根据统计数据，用最小二乘法得到电动汽车销量（单位：万台）关于（年份）的线性回归方程为，且销量的方差，年份的方差为． （1）求与的相关系数，并据此判断电动汽车销量与年份的相关性强弱； （2）该机构还调查了该地区100位购车车主性别与购车种类情况，得到的数据如表： 购买非电动汽车 购买电动汽车 总计 男性 30 20 50 女性 15 35 50 总计 45 55 100 能否有的把握认为购买电动汽车与性别有关？ （3）在购买电动汽车的车主中按照性别进行分层抽样抽取11人，再从这11人中随机抽取4人，记这4人中，男性的人数为，求的分布列和数学期望． 参考公式：线性回归方程：，其中，； 相关系数：，若，则可判断与线性相关较强； ，其中． 附表： 0.100 0.050 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 【解答】解：（1）由题意得，， 所以， 所以与线性相关较强． （2）由题意得，， 所以有的把握认为购买电动汽车与性别有关． （3）11人中，男性车主人，女性车主人， 则的可能取值为0，1，2，3，4， ， ， ， ， ， 故的分布列为： 0 1 2 3 4 所以． 19．已知函数． （Ⅰ）求曲线在点，处的切线方程； （Ⅱ）若恒成立，求的值； （Ⅲ）若有两个不同的零点，且，求的取值范围． 【解答】解：（1）由，得， 因为，， 所以曲线在点，处的切线方程为； （2）， ①当时，，不符合题意； ②当时，令，解得， 当时，，在区间上单调递减，当时，，在区间上单调递增， 所以当时，取得最小值，， 若恒成立，则， 设，则， 当时，，在区间上单调递增， 当时，，在区间上单调递减， 所以，即的解为， 所以； （3）当时，，在区间上单调递增， 所以至多有一个零点，不符合题意； 当时，因为，不妨设， 若，则，不符合题意； 若，则， 由（2）可知，只需，即， 解得， 即的取值范围为． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/11/4 19:08:32；用户：gzx；邮箱：byaygzx@163.com；学号：5369738 第1页 学科网（北京）股份有限公司 $$