2024-2025学年人教版数学九年级上册第二十四章圆章末练习

数学（人教版）| 九年级（上） 同步练习 第二十四章 圆 【章末练习】 一．选择题 1．下列说法正确的是（　　） A．弦是直径 B．相等的圆心角所对的弧相等 C．平分弧的半径垂直于弧所对的弦 D．半圆是圆中最长的弧 2．如图，AB是半圆O的直径，点C，D在半圆O上．若∠ABC＝50°，则∠BDC的度数为（　　） A．90° B．100° C．130° D．140° 3．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，若∠BOD＝100°，则∠BCD的度数为（　　） A．100° B．120° C．130° D．150° 4．如图，一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为5cm，瓶内液体的最大深度CD＝2cm，则截面圆中弦AB的长为（　　） A． B．6cm C．8cm D．8.4cm 5．如图，BC与⊙O相切于点B，CO的延长线交⊙O于点A，连接AB，若∠ABC＝125°，则∠C的度数为（　　） A．50° B．40° C．30° D．20° 6．如图，在圆形纸片O中，AB为直径．把纸片折叠，使点A与点B重合，折痕为OC，把纸片再次折叠，使点A与点C重合，折痕为OD，则∠DAB的度数为（　　） A．20° B．22.5° C．25° D．30° 7．如图是一个弓形暗礁区，灯塔A，灯塔B，点C分别在圆周上，现在船只正在安全区航行，若此时∠S＝30°，则∠C的大小可能为（　　） A．50° B．30° C．29° D．25° 8．如图，在⊙O中，AB是直径，点C，D，E在圆上，AC＝2，AD＝6，AE＝8，AB＝10．下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的个数是（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 9．如图，⊙O的半径为5，点P在⊙O上，点A在⊙O内，且AP＝3，过点A作AP的垂线交⊙O于点B、C．设PB＝x，PC＝y，则y与x的函数表达式（　　） A．y＝ B．y＝ C．y＝2x D．y＝3x 10．如图，⊙O中，直径AB为8cm，弦CD经过OA的中点P，则PC2+PD2的最小值为（　　） A．12cm2 B．24cm2 C．36cm2 D．40cm2 二．填空题 11．如图，PA，PB分别切⊙O于点A，B，MN切⊙O于点C，分别交PA，PB于点M，N，若PB＝PA＝7.5cm，则△PMN的周长是　 　． 12．若点P到⊙A上的所有点的距离中，最大距离为8，最小距离为2，那么⊙A的半径为 　 　． 13．如图，用圆心角为120°，半径为6cm的扇形纸片卷成一个圆锥形无底纸帽，则这个纸帽的高是 　 　cm． 14．现在很多家庭都使用折叠型餐桌来节省空间，两边翻开后成为圆形桌面（如图①），餐桌两边AD和BC平行且相等，AB⊥AD（如图②），小华用皮尺量得AC＝1.6米，AB＝0.8米，那么桌面翻成圆桌后，桌子面积会增加 　 　平方米． 15．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，AB＝5，D是AC上一点，E是BC上一点，DE＝3，若以DE为直径的圆交AB于M、N点，则MN的最大值为 　 　． 三．解答题 16．如图，有一座圆弧形拱桥，它的跨度AB为30m，拱高PM为9m，当洪水泛滥到跨度只有15m时，就要采取紧急措施． （1）求拱桥所在圆的半径； （2）若某次洪水中，拱顶离水面只有2m，即PN＝2m，通过计算说明是否需要采取紧急措施． 17．如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点M在⊙O上，∠M＝∠D． （1）判断BC、MD的位置关系，并说明理由； （2）若AE＝16，BE＝4，求线段CD的长． 18．如图AB是⊙O的直径，AC、DC为弦，∠ACD＝60°，P为AB延长线上的点，∠APD＝30°． （1）求证：DP是⊙O的切线； （2）若⊙O的半径为1cm，求图中阴影部分的面积． 19．如图，AB，CD为⊙O的直径，C为⊙O上一点，过点C的切线与AB的延长线交于点P，∠ABC＝2∠BCP，点E是的中点，弦CE，BD相交于点F． （1）求∠OCB的度数； （2）若EF＝3，求⊙O直径的长． 20．【问题呈现】阿基米德折弦定理： 如图1，AB和BC是⊙O的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），BC＞AB，点M是的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即CD＝DB+BA．下面是运用“截长法”证明CD＝DB+BA的部分证明过程． 证明：如图2，在CD上截取CG＝AB，连接MA、MB、MC和MG． ∵M是的中点， ∴MA＝MC① 又∵∠A＝∠C② ∴△MAB≌△MCG③ ∴MB＝MG 又∵MD⊥BC ∴BD＝DG ∴AB+BD＝CG+DG 即CD＝DB+BA 根据证明过程，分别写出下列步骤的理由： ①　 　， ②　 　， ③　 　； 【理解运用】如图1，AB、BC是⊙O的两条弦，AB＝4，BC＝6，点M是的中点，MD⊥BC于点D，则BD＝　 　； 【变式探究】如图3，若点M是的中点，【问题呈现】中的其他条件不变，判断CD、DB、BA之间存在怎样的数量关系？并加以证明． 【实践应用】根据你对阿基米德折弦定理的理解完成下列问题： 如图4，BC是⊙O的直径，点A圆上一定点，点D圆上一动点，且满足∠DAC＝45°，若AB＝6，⊙O的半径为5，求AD长． 答案 一．选择题 1．下列说法正确的是（　　） A．弦是直径 B．相等的圆心角所对的弧相等 C．平分弧的半径垂直于弧所对的弦 D．半圆是圆中最长的弧 【答案】C 【解析】解：A、不经过圆心的弦不是直径，故错误； B、同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故错误； C、平分弧的半径垂直于弧所对的弦，故正确； D、半圆不是圆中最长的弧，故错误； 故选：C． 2．如图，AB是半圆O的直径，点C，D在半圆O上．若∠ABC＝50°，则∠BDC的度数为（　　） A．90° B．100° C．130° D．140° 【答案】D 【解析】解：∵AB是半圆O的直径， ∴∠ACB＝90°． 又∠ABC＝50°， ∴∠A＝40°， ∵四边形ABDC为圆O的内接四边形， ∴∠A+∠BDC＝180°， ∴∠BDC＝140°， 故选：D． 3．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，若∠BOD＝100°，则∠BCD的度数为（　　） A．100° B．120° C．130° D．150° 【答案】C 【解析】解：∵∠BOD＝100°， ∴， ∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形， ∴∠BCD+∠A＝180°， ∴∠BCD＝180°﹣∠A＝180°﹣50°＝130°， 故选：C． 4．如图，一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为5cm，瓶内液体的最大深度CD＝2cm，则截面圆中弦AB的长为（　　） A． B．6cm C．8cm D．8.4cm 【答案】C 【解析】解：∵OA＝OD＝5cm，CD＝2cm， ∴OC＝OD﹣CD＝5﹣2＝3（cm）， ∵OD⊥AB， ∴AC＝CB＝＝＝4（cm）， ∴AB＝2AC＝8（cm）． 故选：C． 5．如图，BC与⊙O相切于点B，CO的延长线交⊙O于点A，连接AB，若∠ABC＝125°，则∠C的度数为（　　） A．50° B．40° C．30° D．20° 【答案】D 【解析】解：如图所示，连接OB， ∵BC与⊙O相切于点B， ∴OB⊥BC， ∴∠OBC＝90°， ∵∠ABC＝125°， ∴∠ABO＝125°﹣90°＝35°， ∵OA＝OB， ∴∠BAC＝∠ABO＝35°， ∴∠C＝180°﹣125°﹣35°＝20°， 故选：D． 6．如图，在圆形纸片O中，AB为直径．把纸片折叠，使点A与点B重合，折痕为OC，把纸片再次折叠，使点A与点C重合，折痕为OD，则∠DAB的度数为（　　） A．20° B．22.5° C．25° D．30° 【答案】B 【解析】解：∵AB为直径．把纸片折叠，使点A与点B重合， ∴OC⊥AB， ∴∠AOC＝90°， ∵折叠纸片，使点A与点C重合，折痕为OD， ∴OD平分∠AOC， ∴∠BOD＝45°， ∴∠DAB＝∠BOD＝22.5°． 故选：B． 7．如图是一个弓形暗礁区，灯塔A，灯塔B，点C分别在圆周上，现在船只正在安全区航行，若此时∠S＝30°，则∠C的大小可能为（　　） A．50° B．30° C．29° D．25° 【答案】A 【解析】解：设AS与圆交于D，连接BD， ∴∠C＝∠ADB， ∵∠ADB＞∠S， ∴∠C＞30° ∴∠C的大小可能为50°． 故选：A． 8．如图，在⊙O中，AB是直径，点C，D，E在圆上，AC＝2，AD＝6，AE＝8，AB＝10．下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的个数是（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【解析】解：连接CE、DB，如图， ∵AC＝2，AE＝8， ∴CE＞AE﹣AC，即CE＞6， 而AD＝6， ∴AD＜CE， ∴＜，所以①错误； ∵AB是直径， ∴∠ADB＝90°， ∴BD＝＝＝8， ∵AE＝BD＝8， ∴＝，所以②正确； +＝，所以③正确； ∵＝， ∴+＝+＝，所以④正确． 故选：B． 9．如图，⊙O的半径为5，点P在⊙O上，点A在⊙O内，且AP＝3，过点A作AP的垂线交⊙O于点B、C．设PB＝x，PC＝y，则y与x的函数表达式（　　） A．y＝ B．y＝ C．y＝2x D．y＝3x 【答案】A 【解析】解：作直径PE，连接BE，则∠E＝∠C， ∵PE是直径，AP⊥BC， ∴∠EBP＝∠PAC＝90°， ∵∠E＝∠C， ∴△PAC∽△PBE， ∴＝， ∵PB＝x，PC＝y，⊙O的半径为5，PA＝3， ∴＝， ∴y＝， 故选：A． 10．如图，⊙O中，直径AB为8cm，弦CD经过OA的中点P，则PC2+PD2的最小值为（　　） A．12cm2 B．24cm2 C．36cm2 D．40cm2 【答案】B 【解析】解：过O点作OE⊥CD于E，如图，则CE＝DE， ∵P点为OA的中点，AB＝8， ∴OP＝2，OC＝4， ∵DP＝DE﹣PE＝CE﹣PE，PC＝CE+PE， ∴PC2+PD2＝（CE+PE）2+（CE﹣PE）2 ＝2CE2+2PE2 ＝2（OC2﹣OE2）+2（OP2﹣OE2） ＝2OC2+2OP2﹣4OE2 ＝2×42+2×22﹣4OE2 ＝40﹣4OE2， 当OE最大时，PC2+PD2有最小值， ∴当OE取最大值2时，PC2+PD2的最小值为40﹣4×22＝24（cm2）． 故选：B． 二．填空题 11．如图，PA，PB分别切⊙O于点A，B，MN切⊙O于点C，分别交PA，PB于点M，N，若PB＝PA＝7.5cm，则△PMN的周长是　15cm　． 【答案】15cm． 【解析】解：∵MN切⊙O于点C， ∴MA＝MC，NB＝NC， ∴△PMN的周长＝PM+MN+PN ＝PA+PB ＝15cm． 故答案为：15cm． 12．若点P到⊙A上的所有点的距离中，最大距离为8，最小距离为2，那么⊙A的半径为 　5或3．　． 【答案】5或3． 【解析】解：当点A在圆内时，最大距离为8，最小距离为2，因而半径是5； 当点A在圆外时，最大距离为8，最小距离为2，则直径是6，因而半径是3． 故答案为：5或3． 13．如图，用圆心角为120°，半径为6cm的扇形纸片卷成一个圆锥形无底纸帽，则这个纸帽的高是 　4　cm． 【答案】见试题解答内容 【解析】解：∵圆心角为120°，半径为6cm的扇形的弧长＝＝4π， ∴圆锥的底面圆的周长为4π， ∴圆锥的底面圆的半径为2， ∴这个纸帽的高＝＝4（cm）． 故答案为4． 14．现在很多家庭都使用折叠型餐桌来节省空间，两边翻开后成为圆形桌面（如图①），餐桌两边AD和BC平行且相等，AB⊥AD（如图②），小华用皮尺量得AC＝1.6米，AB＝0.8米，那么桌面翻成圆桌后，桌子面积会增加 　（﹣）　平方米． 【答案】（﹣）． 【解析】解：将圆形补全，设圆心为O，连接DO，过点O作OE⊥AD于点E， 由题意可得出：∠DAB＝∠ABC＝90°， ∴AC是⊙O的直径， ∵AC＝1.6米，AB＝0.8米， ∴∠ACB＝30°， ∵餐桌两边AB和CD平行且相等， ∴∠ACB＝∠DAC＝30°， ∴EO＝AO＝0.4（米）， ∴AE＝＝， ∴AD＝2AE＝， ∵∠CAD＝∠D＝30°， ∴∠AOD＝120°， ∴S弓形AD＝S扇形AOD﹣S△AOD ＝， ＝﹣， ∴桌面翻成圆桌后，桌子面积会增加2×（﹣）＝（﹣）平方米． 故答案为：（﹣）． 15．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，AB＝5，D是AC上一点，E是BC上一点，DE＝3，若以DE为直径的圆交AB于M、N点，则MN的最大值为 　　． 【答案】． 【解析】解：如图，连接OM，OC，过点O作OH⊥AB于H，CK⊥AB于K， ∵OH⊥MN， ∴MH＝HN， ∴， ∵∠DCE＝90°，OD＝OE＝DE＝， ∴， ∴点O的运动轨迹是以C为圆心，为半径的圆， 在Rt△ACB中， ∵AC＝4，AB＝5， ∴BC＝3， ∵， ∴， 当C、O、H共线，且与CK重合时，OH的值最小， ∴OH的最小值为， ∴MN的最大值为， 故答案为：． 三．解答题 16．如图，有一座圆弧形拱桥，它的跨度AB为30m，拱高PM为9m，当洪水泛滥到跨度只有15m时，就要采取紧急措施． （1）求拱桥所在圆的半径； （2）若某次洪水中，拱顶离水面只有2m，即PN＝2m，通过计算说明是否需要采取紧急措施． 【答案】（1）17m；（2）不需要采取紧急措施，理由见详解． 【解析】解：（1）设圆弧所在圆的圆心为O，连接OA、OA′， 设半径为x m， 则OA＝OA′＝OP， 由垂径定理可知AM＝BM，A′N＝B′N， ∵AB＝30m， ∴AM＝AB＝15（m）， 在Rt△AOM中，OM＝OP﹣PM＝（x﹣9）m， 由勾股定理可得：AO2＝OM2+AM2， 即x2＝（x﹣9）2+152， 解得：x＝17， 即拱桥所在的圆的半径为17m； （2）∵OP＝17m， ∴ON＝OP﹣PN＝17﹣2＝15（m）， 在Rt△A′ON中，由勾股定理可得A′N＝＝＝8（m）， ∴A′B′＝2A'N＝16米＞15m， ∴不需要采取紧急措施． 17．如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点M在⊙O上，∠M＝∠D． （1）判断BC、MD的位置关系，并说明理由； （2）若AE＝16，BE＝4，求线段CD的长． 【答案】见试题解答内容 【解析】解：（1）BC、MD的位置关系是平行， 理由：∵∠M＝∠D， ∴， ∴∠M＝∠MBC， ∴BC∥MD； （2）连接OC， ∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，AE＝16，BE＝4， ∴∠OEC＝90°，EC＝ED，AB＝AE+BE＝20， ∴OC＝10，OE＝OB﹣BE＝6， ∴CE＝， ∴CD＝2CE＝16， 即线段CD的长是16． 18．如图AB是⊙O的直径，AC、DC为弦，∠ACD＝60°，P为AB延长线上的点，∠APD＝30°． （1）求证：DP是⊙O的切线； （2）若⊙O的半径为1cm，求图中阴影部分的面积． 【答案】见试题解答内容 【解析】（1）证明：如图，连接OD， ∵∠ACD＝60°， ∴∠AOD＝2∠ACD＝120°， ∴∠DOP＝180°﹣120°＝60°， ∵∠APD＝30°， ∴∠ODP＝180°﹣30°﹣60°＝90°， ∴OD⊥DP， ∵OD为半径， ∴DP是⊙O切线； （2）解：∵∠ODP＝90°，∠P＝30°，OD＝1cm， ∴OP＝2cm，DP＝ cm． ∴图中阴影部分的面＝S△ODP﹣S扇形BOD ＝•OD•DP﹣ ＝×1×﹣ ＝（cm2）． 19．如图，AB，CD为⊙O的直径，C为⊙O上一点，过点C的切线与AB的延长线交于点P，∠ABC＝2∠BCP，点E是的中点，弦CE，BD相交于点F． （1）求∠OCB的度数； （2）若EF＝3，求⊙O直径的长． 【答案】见试题解答内容 【解析】解：（1）∵PC与⊙O相切于点C， ∴OC⊥PC， ∴∠OCB+∠BCP＝90°， ∵OB＝OC， ∴∠OCB＝∠OBC， ∵∠ABC＝2∠BCP， ∴∠OCB＝2∠BCP， ∴3∠BCP＝90°， ∴∠BCP＝30°， ∴∠OCB＝60°． （2）连接DE， ∵CD是直径， ∴∠DEC＝90°， ∵点E是的中点， ∴， ∴∠DCE＝∠FDE＝∠ECB＝∠DCB＝30°， ∵∠E＝90°，EF＝3，∠FDE＝30°， ∴DE＝FE＝3， ∵∠E＝90°，∠DCE＝30°， ∴， ∴⊙O的直径的长为． 20．【问题呈现】阿基米德折弦定理： 如图1，AB和BC是⊙O的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），BC＞AB，点M是的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即CD＝DB+BA．下面是运用“截长法”证明CD＝DB+BA的部分证明过程． 证明：如图2，在CD上截取CG＝AB，连接MA、MB、MC和MG． ∵M是的中点， ∴MA＝MC① 又∵∠A＝∠C② ∴△MAB≌△MCG③ ∴MB＝MG 又∵MD⊥BC ∴BD＝DG ∴AB+BD＝CG+DG 即CD＝DB+BA 根据证明过程，分别写出下列步骤的理由： ①　相等的弧所对的弦相等　， ②　同弧所对的圆周角相等　， ③　有两组边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等　； 【理解运用】如图1，AB、BC是⊙O的两条弦，AB＝4，BC＝6，点M是的中点，MD⊥BC于点D，则BD＝　1　； 【变式探究】如图3，若点M是的中点，【问题呈现】中的其他条件不变，判断CD、DB、BA之间存在怎样的数量关系？并加以证明． 【实践应用】根据你对阿基米德折弦定理的理解完成下列问题： 如图4，BC是⊙O的直径，点A圆上一定点，点D圆上一动点，且满足∠DAC＝45°，若AB＝6，⊙O的半径为5，求AD长． 【答案】见试题解答内容 【解析】【问题呈现】 ①相等的弧所对的弦相等 ②同弧所对的圆周角相等 ③有两组边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等 故答案为：相等的弧所对的弦相等；同弧所对的圆周角相等；有两组边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等； 【理解运用】CD＝DB+BA，即CD＝6﹣CD+AB，即CD＝6﹣CD+4，解得：CD＝5， BD＝BC﹣CD＝6﹣5＝1， 故答案为：1； 【变式探究】DB＝CD+BA． 证明：在DB上截去BG＝BA，连接MA、MB、MC、MG， ∵M是弧AC的中点， ∴AM＝MC，∠MBA＝∠MBG． 又MB＝MB ∴△MAB≌△MGB（SAS） ∴MA＝MG ∴MC＝MG， 又DM⊥BC， ∴DC＝DG， AB+DC＝BG+DG， 即DB＝CD+BA； 【实践应用】 如图，BC是圆的直径，所以∠BAC＝90°． 因为AB＝6，圆的半径为5，所以AC＝8． 已知∠D1AC＝45°，过点D1作D1G1⊥AC于点G1， 则CG1+AB＝AG1， 所以AG1＝（6+8）＝7． 所以AD1＝7． 如图∠D2AC＝45°，同理易得AD2＝． 所以AD的长为7或． 学科网（北京）股份有限公司 $$