2024-2025学年人教版数学七年级上册期中复习专项讲义02：有理数的加法与减法

专题02 有理数的加法与减法 知识归纳 1．有理数加法法则： （1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； （2）异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值； （3）一个数与0相加，仍得这个数． 2．有理数加法的运算律： （1）加法的交换律：a+b=b+a ； （2）加法的结合律：（a+b）+c=a+（b+c）． 3．有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数；即a﹣b=a+（﹣b）． 技巧总结 1．用加法交换律交换加数的位置时，各加数连同其符号一起交换．运用运算律可使运算简便，几个数相加，可任意交换加数位置，也可先把其中的任意几个有理数相加． 2．互为相反数的两个数相加，等于0． 3．将有理数减法转化为加法时，注意“两变”，即同时改变两个符号：一是减号变加号，二是减数同时变为其相反数． 拓展延伸 （1）有理数和无理数 有些小数（有限小数和无限循环小数）可以化为分数，我们把这些小数看成分数，这些小数是有理数． 有些小数（不显不循环小数）不可以化为分数，这些小数是无理数．如，π，0.1010010001……等． （2）正负术，中国古算法，指正负数的概念及其运算法则． 最早的文字记载见于《九章算术》“方程”章．《九章算术》在利用对增广矩阵进行初等变换解线性方程组时，遇到了减数大于被减数而不能在正数范围内实施减法运算的情形，从而引进了正负数的概念及其运算法则．“正负术曰：同名相除，异名相益．正无人负之，负无人正之．其异名相除，同名相益．正无人正之，负无人负之．”这相当于给出以下有理数的减法与加法规则． 题型突破 题型1 有理数的减法运算 【典例1】　（2023秋•临高县期末）温度比高　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】温度比高多少度就是与的差． 【解答】解：， 温度比高． 故选：． 【典例2】　（2024•西安校级模拟）计算的结果是　　 A．5 B．23 C． D． 【答案】 【分析】应用有理数减法法则进行计算即可得出答案． 【解答】解：原式． 故选：． 【典例3】　（2024•杭州模拟）　　 A． B．5 C．1 D． 【分析】的绝对值等于3，减去就相当于加上2． 【解答】解：． 故选：． 题型2 有理数的加减混合运算 【典例4】　（2023秋•沈丘县期末）下列交换加数的位置的变形中，正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据加法交换律，在交换加数的位置时，一定要连同前面的符号一起移动． 【解答】解：、，错误； 、，错误； 、，错误； 、，正确． 故选：． 【典例5】　（2024•罗湖区校级三模）一天早晨的气温是，中午上升了，半夜又下降了，半夜的气温是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据有理数的加减混合运算的运算方法，用某地一天早晨的气温加上中午上升的温度，再减去半夜又下降的温度，求出半夜的气温是多少即可． 【解答】解： 答：半夜的气温是． 故选：． 【典例6】　（2023秋•太湖县期末）． 【分析】根据有理数的加减法混合运算的法则：在一个式子里，有加法也有减法，根据有理数减法法则，把减法都转化成加法，并写成省略括号的和的形式计算即可． 【解答】解：原式． 题型3 运用加法运算律进行简便运算 【典例7】　计算，下列简便运算正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】去括号，再利用加法的交换律与结合律进行计算即可． 【解答】解： ． 故选：． 【典例8】　用简便方法计算的值为　　 A．0 B．1 C． D． 【答案】 【分析】利用有理数加法交换律和结合律进行计算即可． 【解答】解：原式 ． 故选：． 【典例9】 一农民经纪人出售10袋大豆给粮油批发市场，按规定，每袋应为100千克，在过磅时，误差记录如下（单位：千克），，，0，0，，，，0，．用简便方法计算这位经纪人共出售了多少千克大豆？ 【分析】把十个数字相加得到1，说明10袋大米超重1千克，然后用100乘以10再加上超重的1即可得到总质量． 【解答】解：， （千克）， ， （千克）， 答：这位经纪人共出售了1001千克大豆． 题型4 拆分带分数进行加减运算 【典例10】　（2023秋•福清市校级月考）阅读下面文字： 对于可以如下计算： 原式 　　 　　 　　． 上面这种方法叫拆项法． （1）请补全以上计算过程； （2）类比上面的方法计算：． 【答案】（1），，； （2）． 【分析】（1）根据拆项法补全过程即可． （2）根据拆项法进行计算即可． 【解答】解：（1）原式 ， 故答案为：，，； （2） ． 【典例11】　（2023秋•西湖区期中）阅读第（1）小题的计算方法，再用这种方法计算第（2）小题． （1）计算： 解：原式 上面这种解题方法叫做拆项法． （2）计算：． 【分析】首先分析（1）的运算方法：将带分数分解为一个整数和一个分数；然后重新组合分组：整数一组，分数一组；再分别计算求值． 【解答】解：原式 ． 【典例12】　（2022秋•任城区期中）阅读下面文字： 对于可以按如下方法进行计算： 原式 ． 上面这种方法叫拆项法，你看懂了吗？ 仿照上面的方法，请你计算：． 【答案】． 【分析】根据题目提供的信息，把各带分数都拆成整数与分数两个部分，然后分别进行计算即可得解． 【解答】解：原式 ． 题型5 有理数的加减运算与数轴 【典例13】　（2023秋•临泽县期末）已知有理数、、在数轴上对应点分别为、、，点、、在数轴上的位置如图所示，若，，则　　． 【分析】由数轴可知，，，，因此，，所以． 【解答】解：如图所给的数轴可知，，，，且， ，， ，， ． 故答案为． 【典例14】　（2023秋•同安区期末）已知数轴上三点，，表示的数分别为，0，4，动点从点出发，沿数轴向右运动．在运动过程中，点始终为的中点，点始终为的中点，点在从点运动到点的过程中，则线段的长度为　　 A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】 【分析】首先计算出线段的长度，由题意知，动点从点出发，沿数轴向右运动，点始终为的中点，点始终为的中点，可得：，，即可计算出的长度． 【解答】解：数轴上三点，，表示的数分别为，0，4， 线段， 动点从点出发，沿数轴向右运动，点始终为的中点，点始终为的中点， ，， ， ， 故选：． 【典例15】　（2023秋•康巴什期末）如图，一条数轴上有点、、，其中点、表示的数分别是，10，现以点为折点，将数轴向右对折，若点落在射线上且到点的距离为6，则点表示的数是　　 A．1 B． C．1或 D．1或 【答案】 【分析】先根据两点间的距离公式求出点对应点所表示的数，再利用中点公式求出表示的数． 【解答】解：，， 当落在16对应的点时，表示的数为：， 当落在4对应的点时，表示的数为：， 故选：． 题型6 有理数的加减运算与绝对值、相反数的综合运用 【典例16】　（2023秋•思明区校级期末）若与互为相反数，是绝对值最小的数，则的值为　　 A． B． C．0 D．1 【答案】 【分析】本题根据定义可得，，再代入计算即可． 【解答】解：与互为相反数，是绝对值最小的数， ，， ； 故选：． 【典例17】　（2023秋•遂川县期末）有理数，，在数轴上的位置如图所示． （1）填空： 　　； 　　0； 　　0；（填“”，“ ”或“” （2）化简：． 【答案】（1），，； （2）． 【分析】（1）从图中可以看出，得出，； （2）利用（1）的结论化简绝对值，再合并同类项即可． 【解答】解：（1）由题意得，， ，，； 故答案为：，，． （2）原式 ． 【典例18】　（2022秋•翠屏区校级期中）已知是的相反数减去的绝对值的差，是比大5的数． （1）求； （2）求； （3）从（1）（2）的计算结果中，你能知道与之间有什么关系吗？ 【答案】（1）． （2）4． （3）互为相反数． 【分析】（1）根据题意可求出与的值，然后代入原式即可求出答案． （2）根据题意可求出与的值，然后代入原式即可求出答案． （3）判断与的和是否为0即可求出答案． 【解答】解：（1）由题意可知：， ． ． （2）． （3）， 与互为相反数． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 有理数的加法与减法 知识归纳 1．有理数加法法则： （1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； （2）异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值； （3）一个数与0相加，仍得这个数． 2．有理数加法的运算律： （1）加法的交换律：a+b=b+a ； （2）加法的结合律：（a+b）+c=a+（b+c）． 3．有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数；即a﹣b=a+（﹣b）． 技巧总结 1．用加法交换律交换加数的位置时，各加数连同其符号一起交换．运用运算律可使运算简便，几个数相加，可任意交换加数位置，也可先把其中的任意几个有理数相加． 2．互为相反数的两个数相加，等于0． 3．将有理数减法转化为加法时，注意“两变”，即同时改变两个符号：一是减号变加号，二是减数同时变为其相反数． 拓展延伸 （1）有理数和无理数 有些小数（有限小数和无限循环小数）可以化为分数，我们把这些小数看成分数，这些小数是有理数． 有些小数（不显不循环小数）不可以化为分数，这些小数是无理数．如，π，0.1010010001……等． （2）正负术，中国古算法，指正负数的概念及其运算法则． 最早的文字记载见于《九章算术》“方程”章．《九章算术》在利用对增广矩阵进行初等变换解线性方程组时，遇到了减数大于被减数而不能在正数范围内实施减法运算的情形，从而引进了正负数的概念及其运算法则．“正负术曰：同名相除，异名相益．正无人负之，负无人正之．其异名相除，同名相益．正无人正之，负无人负之．”这相当于给出以下有理数的减法与加法规则． 题型突破 题型1 有理数的减法运算 【典例1】　（2023秋•临高县期末）温度比高　　 A． B． C． D． 【典例2】　（2024•西安校级模拟）计算的结果是　　 A．5 B．23 C． D． 【典例3】　（2024•杭州模拟）　　 A． B．5 C．1 D． 题型2 有理数的加减混合运算 【典例4】　（2023秋•沈丘县期末）下列交换加数的位置的变形中，正确的是　　 A． B． C． D． 【典例5】　（2024•罗湖区校级三模）一天早晨的气温是，中午上升了，半夜又下降了，半夜的气温是　　 A． B． C． D． 【典例6】　（2023秋•太湖县期末）． 题型3 运用加法运算律进行简便运算 【典例7】　计算，下列简便运算正确的是　　 A． B． C． D． 【典例8】　用简便方法计算的值为　　 A．0 B．1 C． D． 【典例9】　一农民经纪人出售10袋大豆给粮油批发市场，按规定，每袋应为100千克，在过磅时，误差记录如下（单位：千克），，，0，0，，，，0，．用简便方法计算这位经纪人共出售了多少千克大豆？ 题型4 拆分带分数进行加减运算 【典例10】　（2023秋•福清市校级月考）阅读下面文字： 对于可以如下计算： 原式 　　 　　 　　． 上面这种方法叫拆项法． （1）请补全以上计算过程； （2）类比上面的方法计算：． 【典例11】　（2023秋•西湖区期中）阅读第（1）小题的计算方法，再用这种方法计算第（2）小题． （1）计算： 解：原式 上面这种解题方法叫做拆项法． （2）计算：． 【典例12】　（2022秋•任城区期中）阅读下面文字： 对于可以按如下方法进行计算： 原式 ． 上面这种方法叫拆项法，你看懂了吗？ 仿照上面的方法，请你计算：． 题型5 有理数的加减运算与数轴 【典例13】　（2023秋•临泽县期末）已知有理数、、在数轴上对应点分别为、、，点、、在数轴上的位置如图所示，若，，则　　． 【典例14】　（2023秋•同安区期末）已知数轴上三点，，表示的数分别为，0，4，动点从点出发，沿数轴向右运动．在运动过程中，点始终为的中点，点始终为的中点，点在从点运动到点的过程中，则线段的长度为　　 A．6 B．5 C．4 D．3 【典例15】　（2023秋•康巴什期末）如图，一条数轴上有点、、，其中点、表示的数分别是，10，现以点为折点，将数轴向右对折，若点落在射线上且到点的距离为6，则点表示的数是　　 A．1 B． C．1或 D．1或 题型6 有理数的加减运算与绝对值、相反数的综合运用 【典例16】　（2023秋•思明区校级期末）若与互为相反数，是绝对值最小的数，则的值为　　 A． B． C．0 D．1 【典例17】　（2023秋•遂川县期末）有理数，，在数轴上的位置如图所示． （1）填空： 　　； 　　0； 　　0；（填“”，“ ”或“” （2）化简：． 【典例18】　（2022秋•翠屏区校级期中）已知是的相反数减去的绝对值的差，是比大5的数． （1）求； （2）求； （3）从（1）（2）的计算结果中，你能知道与之间有什么关系吗？ 学科网（北京）股份有限公司 $$