北京市延庆区2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题

高二年级（数学） 第 1 页（共 6页） 2024 2025 本试卷共 6 页，150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试 卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。 第一部分（选择题 共 40分） 一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合 题目要求的一项。 （1）在复平面内，复数1 i 的共轭复数．．．．对应的点位于 （A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限 （2）已知向量 ( 1,2,1)a   ， (3, , )b x y 且 //a b，那么 | |b ＝ （A）3 6 （B） 6 （C）9 （D）18 （3）在空间直角坐标系中，点 (1, 2,3)P 关于坐标平面 xOy 的对称点为 （A） (1, 2,3) （B） (1,2, 3) （C） (1, 2, 3)  （D） ( 1,2,3) （4）设 1 (0,1,1)v  ， 2 (1,0, 1)v   分别是空间中直线 1l ， 2l 的方向向量，则直线 1l ， 2l 所 成角的大小为 （A） 6  （B） 5 6  （C） 3  （D） 2 3  （5）过 2, 0( ) 和 0, 2( ) 两点的直线的倾斜角是 （A） 1 （B）1 （C） 3 4  （D） 4  （6）“ 1a  ”是“直线 1 : 2 0l ax y   与 2 : 2 1 2 0( )l x a y    平行”的 （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 高二年级（数学） 第 2 页（共 6页） （7）在平行六面体 1 1 1 1ABCD A B C D 中， 1AA a ， AB b ， AD c ，点 P 在 1A C 上，且 1 : 1 : 2A P PC  ，则 AP = （A） 2 1 1 3 3 3 a b c  （B） 1 2 2 3 3 3 a b c  （C） 1 1 2 3 3 3 a b c  （D） 1 2 2 3 3 3 a b c  （8）已知正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 的棱长为 2， E 为 1BB 的中点，则 1B 到平面 1 1A D E 的距离为 （A） 5 （B） 2 5 5 （C） 2 5 3 （D） 2 3 5 （9）在正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中，点 E 是线段 1 1A C 上任意一点， 则 AE 与平面 ABCD所成角的正弦值不可能．．．是 （A） 1 3 （B） 2 3 （C） 5 3 （D） 6 3 （10）已知点 A 0, 1( ) ，B 0,1( ) ，直线 : 2l y kx  ，若直线 l 上至少存在三个M ，使得 MAB 为直角三角形，直线 l 倾斜角的取值范围是 （A） 5 (0, ] [ , ] 6 6    （B） 2 [ , ) ( , ] 3 2 2 3     （C） 3 [ , ) ( , ] 4 2 2 4     （D） 5 [ , ) ( , ] 6 2 2 6     高二年级（数学） 第 3 页（共 6页） 第二部分 （非选择题 共 110 分） 二、填空题共 5小题，每小题 5分，共 25 分。 （11）复数 5 1 2 i z i   ，则 | |z = ． （12）已知点 (1,1, 4)A  ， (1, 4, 2)B ，点C 在线段 AB 上，且 | | 2 | |AC CB ，则点C 坐标 为 ． （13）若平面  ，平面 的法向量为 1 1, 2,3( )n  ，平面  的法向量为 2 ( , , 0)n x y ， 写出平面  的一个法向量 ． （14）已知点 (1,3)A ， ( 1,4)B  ，直线 : 2l y ax  与线段 AB 无交点．．．，则直线 l 在 y 轴上 的截距为 ；a的取值范围是 ． （15）如图：在直三棱柱 1 1 1ABC A B C 中， 1 3AB BB  ， 3BC  ， 90ABC  ， CH xCB ， 1(0 1,0 1)CP yCB x y     .记 ,( )f x y AH HP  ，给出下列四个 结论： ①存在H ，使得任意 P ，都有 AH HP ； ②对于任意点H ，都不存在．．．点 P ，使得平面 AHP 平面 1 1A B C ； ③ ,( )f x y 的最小值为3； ④当 ,( )f x y 取最小时，过点 A，H ， P 作三棱柱的截面，则截面周长为5 6 . 其中，所有正确结论的序号是 ． 高二年级（数学） 第 4 页（共 6页） 三、解答题共 6小题，共 85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 （16）（本小题 13 分） 已知 ABC△ 的顶点坐标为 1,5( )A  、 2, 1( )B   、 4,3( )C ． （Ⅰ）求过点 B 且与直线 AC 平行的直线的方程； （Ⅱ）求 BC 边上的中线所在直线的方程； （Ⅲ）求 AB 边上的高所在直线的方程． （17）（本小题 14 分） 如图，在三棱柱 1 1 1ABC A B C 中， 1CC  底面 ABC ， D 是 1 1AC 的中点，且 1 2AC BC CC   . （Ⅰ）求证： 1 //BC 平面 1AB D ； （Ⅱ）若 AC BC ，求直线 1CC 与平面 1AB D 所成角的正 弦值； （Ⅲ）若 AC BC ，求平面 1AB D 与平面 1 1ACC A 所成角 的余弦值. （18）（本小题 14 分） 设 ABC△ 的内角 A， B ，C 对应的边分别为 a ，b ， c ，且 sin 3 cosb A a B . （Ⅰ）求角 B 的大小； （Ⅱ）从下列三个条件中选择一组作为已知，使 ABC△ 存在．．且唯一．．．，并求 ABC△ 的面积． 条件①： 3b  ， sin 2sinC A ； 条件②： 21b  ， 5a  ； 条件③： 21b  ， 21 cos 7 C  ． 注：如果选择的条件使 ABC△ 不存在或不唯一，第（Ⅱ）问得0 分． 高二年级（数学） 第 5 页（共 6页） （19）（本小题 14 分） 已知函数 2 ( ) 2 sin cos 2 cosf x a x x x  ，且 ( )f x 的图像过点 ( , 0) 6   ． （Ⅰ）求函数 ( )f x 的最小正周期和单调递减区间； （Ⅱ）若函数 ( )f x 在[ , ] 12 m   上与直线 3y  有交点，求实数m 的取值范围； （Ⅲ）设函数 ( ) | ( ) |g x f x t  （ t R ），记函数 ( )g x 在 11 [ , ] 6 12   上的最大值为 ( )M t ， 求 ( )M t 的最小值及此时 t 的值． （20）（本小题 15 分） 如图，已知四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 是边长为 4的正方形，CD 平面 PAD ， PAD 是正三角形， E ， F ，G ，O 分别为 PC ， PD， BC ， AD 的中点． （Ⅰ）求证： PO 平面 ABCD； （Ⅱ）求点 A到平面 EFG 的距离； （Ⅲ）线段 PC 上是否存在点M ，使得三棱锥M EFG 的体积为 3 3 ，若存在，求 PM PC 的值；若不存在， 说明理由． 高二年级（数学） 第 6 页（共 6页） （21）（本小题 15 分） 给定正整数 2n  ，设集合 1 2{ | ( , , , ), {0,1}, 1,2, , }n kM t t t t k n     ．对于集 合M 中的任意元素 1 2( , , , )nx x x  和 1 2( , , , )ny y y ，记 1 1 2 2 n nx y x y x y      ．设 A M ，且集合 1 2{ | ( , , , ), 1,2, , }i i i i inA t t t i n    ， 对于 A中任意元素 ,i j  ，若 , , 1, , i j p i j i j          则称 A具有性质 ( , )T n p ． （Ⅰ）判断集合 {(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)}A 是否具有性质 (3,2)T ， 集合 {(1,1,0,0),(1,0,1,0),(0,1,1,0),(1,0,0,1)}B  是否具有性质 (4,2)T ； （直接写出答案，结论不需要证明） （Ⅱ）判断是否存在具有性质 (4, )T p 的集合 A，并加以证明； （Ⅲ）若集合 A具有性质 ( , )T n p ，证明： 1 2 ( 1,2, , )j j njt t t p j n     ． 高二数学答案 第 1 页（共 7 页） 延庆区 2024-2025学年第一学期期中考试 高二数学参考答案及评分标准 2024.11 一、选择题（共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分） （1）D （2）A （3）B （4）C （5）D （6）C （7）A （8）B （9）A （10）B 二、填空题（共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分） （11） 5 （12） (1,3,0) （13） (2, 1,0)− （不唯一，共线即可） （14） 2− ， ( 6,5)− （注： 第一问 3 分，第二问 2 分） （15）①③④ （注：对一个 2 分，两个 3 分，有选错 0 分） 三、解答题（共 6 小题，共 85 分） （16）（共 13 分） 解：（Ⅰ）直线 AC 的斜率 5 3 2 1 4 5 ACk − = = − − − ……2 分 过点 B 且与直线 AC 平行的直线的斜率为 2 5 − ……4 分 过点 B 且与直线 AC 平行的直线方程为 ( ) 2 1 2 2 5 9 0 5 y x x y+ = − +  + + = ……5 分 （Ⅱ）设 BC 边的中点为D ，因为 ( )2, 1B − − 、 ( )4,3C ， 所以点D 的坐标为 2 4 1 3 , 2 2 − + − +      ，即 ( )1,1D ， ……7 分 5 1 2 1 1 ADk − = = − − − ……8 分 所以 BC 边的中线所在直线方程为 ( )1 2 1 2 3 0y x x y− = − −  + − = ……9 分 （Ⅲ）因为 1 5 6 2 1 ABk − − = = − + ， ……10 分 所以 AB 边的高线所在直线的斜率为 1 6 − ， ……12 分 高二数学答案 第 2 页（共 7 页） 因此 AB 边的高线所在直线方程为 ( ) 1 3 4 6 22 0 6 y x x y− = − −  + − = .……13 分 （17）（共 14 分） （Ⅰ）证明：连接 A1B，设 A1B∩AB1＝E，连接 DE， 由 ABC﹣A1B1C1 为三棱柱，得 A1E＝BE． 又∵D 是 A1C1 的中点，所以 DE 是 1 1A BC 的中位线， ……1 分 ∴BC1∥DE． ……2 分 ∵BC1⊄平面 AB1D，DE⊂平面 AB1D， ……3 分 ∴BC1∥平面 AB1D； ……4 分 （Ⅱ）解：∵CC1⊥底面 ABC，AC⊥BC， ……5 分 以 C 为原点，CA ，CB ， 1CC 的方向分别为 x，y，z 轴正方向建立如图所示的空 间直角坐标系，则 C（0，0，0），A（2，0，0），B（0，2，0）， A1（2，0，2），B1（0，2，2），C1（0，0，2），D（1，0，2）， 1 (0, 0, 2)CC = , 1 ( 2, 2, 2)AB = − , ( 1, 0, 2)AD = − 设平面 AB1D 的法向量为 ( , , )n x y z= 由 1 2 2 2 0 2 2 0 n AB n AD x y z x z  = − + + =  = − + = ，得 (2,1,1)n = ； ……7 分 高二数学答案 第 3 页（共 7 页） 设直线 C C1 与平面 AB1D 所成角为 θ． 则 11 1 sin | cos , | 6 6| || | n CC n CC n CC  =  = = ． ……9 分 ∴直线 C C1 与平面 AB1D 所成角的正弦值为 6 6 ． ……10 分 （Ⅲ）设平面 1AB D 与平面 1 1ACC A 所成角为 ， 为锐角， 平面 1 1ACC A 的法向量为 (0,1, 0)m = , ……11 分 cos | cos , | 6 6| || | n m n m n m  =  = = ， ……13 分 平面 1AB D 与平面 1 1ACC A 所成角余弦值为 6 6 ． ……14 分 （18）（共 14 分） 解：（Ⅰ）∵ sin 3 cosb A a B= ，由正弦定理 sin sinA B a b = ……2 分 得 sin sin 3 sin cosB A A B= ， ……3 分 在△ABC 中，sinA≠0, tan 3B = ， ……4分 ∵B∈（0，π）， ……5 分 ∴ 3 B  = ． ……6 分 （Ⅱ）若选①，∵sinC＝2sinA， 2c a= ……7 分 由余弦定理 b2＝a2+c2﹣2accosB，得 2 2 2 9 4 4 cosa a a B= + − ， ……9 分 解得 3a = ， 2 3c = ……11 分 ∴ 1 3 3 sin 2 2 S ac B == ． ……14 分 若选③，∵ 21b = ， cos 21 7 C = 高二数学答案 第 4 页（共 7 页） sin sin( ) sin cos cos sin 5 7 14 A B C B C B C= + = + = ……10 分 由正弦定理可得： 4c = ……11 分 1 sin 5 3 2 S bc A == ……14 分 选择②，面积公式 2 分；余弦定理 2 分.不超过 4 分. （19）（共 14 分） 解：（Ⅰ）由题意， 2 3 3 sin 2cos 2 0 6 3 6 2 4 f a a         − = − + − = − +  =            ， 解得 3a = . ……1 分 ∴ ( ) 23 sin 2 2cosf x x x= + ， ……2 分 3 sin 2 cos 2 1x x= + + ， ……3 分 2sin 2 1 6 x   = + +    ， ……4 分 ( )f x 的最小正周期 2 2 T  = = ； ……5 分 ( )f x 的单调减区间为 2 [ , ], 6 3 k k k z    + +  ……7 分 （Ⅱ）∵函数 ( )f x 在区间 , 12 m   −    上与直线 3y = 有交点 所以，函数 ( )f x 在区间 , 12 m   −    上的最大值为 3， ……8 分 又因为 2 [0,2 ] 6 6 x m   +  + ……9 分 所以 2 6 2 m   +  ，解得 6 m   . ……10 分 ∴实数 m 的取值范围是 , 6   +   . 高二数学答案 第 5 页（共 7 页） （Ⅲ） ( ) | ( ) | | 2sin 2 1 | 6 g x f x t x t  = − =   + + −    ， 11 [ , ] 6 12 x    ， [ , 2 ] 2 2 6 x    + 当 2 2 6 x  =+ 时， ( )f x t− 取最大值3 t− 当 3 2 2 6 x  =+ 时， ( )f x t− 取最小值 1 t− − 所以，当 1t  时， ( ) 3M t t= − ……11分 当 1t  时， ( ) 1M t t= + ……12分 所以，当 1t = 时， min( ) 2M t = ……14分 （20）（共 15 分） （Ⅰ）证明：因为△PAD 是正三角形，O 是 AD 的中点， 所以 PO⊥AD． ……1 分 又因为 CD⊥平面 PAD，PO⊂平面 PAD，CD⊥PO， ……2 分 AD∩CD＝D，CD，AD ⊂平面 ABCD， ……3 分 所以 PO⊥面 ABCD； ……4 分 解：（Ⅱ）因为OA，OG ，OP 两两互相垂直.以 O 点为原点，OA，OG ，OP 的方 向分别为 x，y，z 轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系． ……5分 则 (0, 0, 0)O ， (2, 0, 0)A ， (2, 4, 0)B ， ( 2, 4, 0)C − ， ( 2, 0, 0)D − ， (0, 0, 2 3)P , ( 1, 2, 3)E − , ( 1, 0, 3)F − , (0, 4, )0G ， (0, 2, )0EF −= ， (1, 2, 3)EG = − ， (1, 4, 3)FG = − . 高二数学答案 第 6 页（共 7 页） 设平面 EFG 的法向量为 ( , , )n x y z= ， 由 2 0 2 3 0 n EF y n EG x y z = − = = + − =    ，得 ( , 0,1)3n = ……7 分 ( 3, 2, 3)AE = − , 点 A到平面 EFG 的距离 | | 3 | | AE n n d = = ……9 分 （Ⅲ）设 PM PC= ， [0, 1] 1 1 ) ( , 2 2   ……10 分 ( 2 , 4 , 2 3 2 3 )M   − − ， (1 2 , 4 2, 3 2 3 )EM   − − −= 所以点 M 到面 EFG 的距离为定值 | | 3 |1 2 | | | d PF n n = = − ……11 分 cos , 4 2 2| || | 2 2 2 EF EF EG EG EF EG  = − = = −  2 1 2 EFG EF ,S | EF || EG | sin EG  == ……12 分 1 1 3 3 6 3 M EFG EFGV EF , hS h | EF || EG | sin EG−    == = ， ……13 分 解得： 1 4 PM PC  = = 或 3 4 . ……15 分 （21）(共 15 分） （Ⅰ）集合 A具有性质 (3,2)T ， ……2 分 集合 B 不具有性质 (4,2)T ． ……4 分 （Ⅱ）当 4n = 时，集合A 中的元素个数为 4 ．由题设 {0,1,2,3,4}p ．……5 分 假设集合A 具有性质 (4, )T p ，则 ①当 0p = 时， {(0,0,0,0)}A = ，矛盾． ②当 1p = 时， {(1,0,0,0), (0,1,0,0), (0,0,1,0), (0,0,0,1)}A = ，不具有性质 (4,1)T ，矛盾． 高二数学答案 第 7 页（共 7 页） ③当 2p = 时， {(1,1,0,0), (1,0,1,0), (1,0,0,1), (0,1,1,0), (0,1,0,1), (0,0,1,1)}A ． 因为 (1,1,0,0)和 (0,0,1,1)至多一个在A 中；(1,0,1,0)和 (0,1,0,1)至多一个在A 中； (1,0,0,1)和 (0,1,1,0)至多一个在A 中，故集合A 中的元素个数小于 4 ，矛盾． ④当 3p = 时， {(1,1,1,0), (1,1,0,1), (1,0,1,1), (0,1,1,1)}A = ，不具有性质 ( )4,3T ，矛盾． ⑤当 4p = 时， {(1,1,1,1)}A = ，矛盾． 综上，不存在具有性质 (4, )T p 的集合A ． ……10 分 （Ⅲ）记 1 2 ( 1,2, , )j j j njc t t t j n= + + + = ，则 1 2 nc c c np+ + + = ． 若 0p = ，则 {(0,0, ,0)}A = ，矛盾．若 1p = ，则 {(1,0,0, ,0)}A = ，矛盾． 故 2p  ． ……11 分 假设存在 j 使得 1jc p +≥ ，不妨设 1j = ，即 1 1c p +≥ ． 当 1c n= 时，有 jc = 0或 1jc = ( 2,3, , )j n= 成立． 所以 1 2, , , n   中分量为1的个数至多有 ( 1) 2 1 2 ≤n n n n np+ − = −  ． ……12 分 当 11p c n+ ≤ 时，不妨设 11 21 1,1 11, 0p nt t t t+= = = = = ． 因为 n n p  = ，所以 n 的各分量有 p 个1，不妨设 2 3 , 1 1n n n pt t t += = = = ． 由 i j 时， 1i j  = 可知， {2,3, , 1}q p  + ， 1 2 1,, , ,q q p qt t t + 中至多有1个1， 即 1 2 1, , , p+   的前 1p + 个分量中，至多含有 1 2 1p p p+ + = + 个1． ……13 分 又 1i n  = ( 1,2, , 1)i p= + ，则 1 2 1, , , p+   的前 1p + 个分量中，含有 ( 1) ( 1) 2 2p p p+ + + = + 个1，矛盾． ……14 分 所以 ( 1,2, , )jc p j n=≤ ． 因为 1 2 nc c c np+ + + = ， 所以 jc p= ( 1,2, , )j n= ．所以 1 2 ( 1,2, , )j j njt t t p j n+ + + = = ．……15 分