精品解析：北京市第八十中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题

北京市第八十中学2024～2025学年第一学期期中考试 高一学科：数学 2024年10月 （考试时间120分钟满分150分） 提示：试卷答案请一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效. 在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他试题用黑色签字笔作答. 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列函数中是偶函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，且，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 5. 若奇函数在区间上是增函数，且最小值为5，则它在区间上是（ ） A. 增函数且有最大值 B. 增函数且有最小值 C. 减函数且有最大值 D. 减函数且有最小值 6. 随着我国经济的不断发展，2023年年底某地区农民人均年收入为7000元，预计该地区今后农民的人均年收入将以每年6％的年平均增长率增长，那么2030年年底该地区的农民人均年收入为（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 7. 已知，则的最小值为（ ） A. B. 3 C. 4 D. 5 8. 如图，已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 9. “”是“关于x的不等式对恒成立”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 10. 已知函数满足对任意实数，都有成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 11. 函数的值域为（ ） A. B. C. D. 12. 由无理数引发的数学危机一直延续到世纪，直到年，德国数学家戴德金提出了“戴德金分割”才结束了持续多年的数学史上的第一次大危机.所谓戴德金分割，是指将有理数集划分为两个非空的子集与，且满足，，中的每一个元素都小于中的每一个元素，则称为戴德金分割.试判断，对于任一戴金德分割，下列选项中一定不成立的是（ ） A. 没有最大元素，有一个最小元素 B. 没有最大元素，也没有最小元素 C. 有一个最大元素，有一个最小元素 D. 有一个最大元素，没有最小元素 二、填空题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分） 13. 函数的定义域为______. 14. 关于的不等式的解集是______. 15. 计算：______. 16. 命题“∀x＞0，x2+2x-3＞0”的否定是______． 17. 已知，当时，函数的最小值是______，最大值是______. 18. 如图是一份纸制作的矩形的宣传单，其排版面积（矩形）为P，两边都留有宽为a的空白，顶部和底部都留有宽为的空白.若，，则当______时，才能使纸的用量最少，最少的纸的用量是______. 19. 函数的单调递增区间是______. 20. 函数的值域是______. 21. 已知函数，，若对任意，总存在，使成立，则实数m的取值范围为______. 22. 已知函数满足，若函数与图象的m个交点为，则的值是______. 三、解答题：本大题有5小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 23. 记全集，集合，. （1）若，求，； （2）若，求a的取值范围； （3）若，求a的取值范围. 24. 已知函数 （1）当，的最大值为3，求实数m的值. （2）当时，若不等式恒成立，求实数m的取值范围. 25. 为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民实行“阶梯水价”，计费方法如下表： 每户每月用水量 水价 不超过12的部分 3元/ 超过12但不超过18的部分 6元/ 超过18的部分 9元/ （1）求出每月用水量和水费之间的函数关系； （2）若某户居民某月交纳的水费为54元，则此月此户居民的用水量为多少？ 26. 已知函数是定义在上的奇函数，且. （1）求函数的解析式以及零点. （2）判断并用函数单调性的定义证明在的单调性. （3）根据前面所得的结论在所给出的平面直角坐标系上，作出在定义域上的准确示意图. 27. 设集合为非空数集，定义，． （1）若，写出集合、； （2）若，，且，求证：； （3）若，且，求集合元素个数的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市第八十中学2024～2025学年第一学期期中考试 高一学科：数学 2024年10月 （考试时间120分钟满分150分） 提示：试卷答案请一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效. 在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他试题用黑色签字笔作答. 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先求解集合，再根据补集的定义即可得出答案. 【详解】因为，， 所以. 故选：A. 2. 下列函数中是偶函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据奇偶性的定义对各个选项逐一判断即可得出答案. 【详解】解：对于A，因为函数的定义域不关于原点对称，所函数不具有奇偶性，故A不符题意； 对于B，函数的定义域为， ，所以函数为偶函数，故B符合题意； 对于C，函数的定义域为， ，所以函数不是偶函数，故C不符题意； 对于D，函数的定义域为， 因为，所以函数不是偶函数，故D不符题意. 故选：B. 3. 已知，且，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据特值法可排除，，，根据在上单调递增，可判断项. 【详解】当时，，故错误； 当，时，，故错误； 因为在上单调递增，且，所以，故正确； 当，时，，故错误. 综上，正确的为. 故选：. 4. 函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据指数函数的图象特征，即可判断选项. 【详解】由， 根据指数函数的图象，B选项符合题意. 故选：B. 5. 若奇函数在区间上是增函数，且最小值为5，则它在区间上是（ ） A. 增函数且有最大值 B. 增函数且有最小值 C. 减函数且有最大值 D. 减函数且有最小值 【答案】A 【解析】 【分析】根据奇偶函数的性质直接得出结果. 【详解】因为函数在区间上是增函数，且有最小值5， 所以， 又为奇函数， 所以函数在区间上是增函数，且有最大值. 故选：A 6. 随着我国经济的不断发展，2023年年底某地区农民人均年收入为7000元，预计该地区今后农民的人均年收入将以每年6％的年平均增长率增长，那么2030年年底该地区的农民人均年收入为（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 【答案】B 【解析】 【分析】根据指数增长模型计算即可. 【详解】设经过x年，该地区的农民人均年收入为y元， 根据题意可得，从2023年年底到2030年年底共经过了7年， 所以2030年年底该地区的农民人均年收入为元． 故选：B. 7. 已知，则的最小值为（ ） A. B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】根据基本不等式求解即可. 【详解】因为，根据基本不等式可得， 当且仅当，即时，等号成立； 所以的最小值为5， 故选：D. 8. 如图，已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解不等式化简集合A，再结合韦恩图求出阴影部分表示的集合. 【详解】依题意，集合或， 而，则或， 由韦恩图知，图中阴影部分表示的集合为. 故选：C. 9. “”是“关于x的不等式对恒成立”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】首先求不等式恒成立时的取值范围，再根据集合的关系，即可判断. 【详解】不等式对恒成立, 当时，恒成立， 当时，，得， 所以， 所以“”是“关于x的不等式对恒成立”的充分不必要条件. 故选：A 10. 已知函数满足对任意实数，都有成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可知函数在R上递减，结合分段函数单调性列式求解即可. 【详解】因为函数满足对任意实数，都有 成立， 不妨假设，则，可得，即， 可知函数在R上递减， 则，解得：， 所以的取值范围是. 故选：D. 11. 函数的值域为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由指数函数与二次函数的图象与性质即可得到函数的值域 【详解】当时， 因为函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增，又 所以； 当时，， 所以，的值域为. 故选：B. 12. 由无理数引发的数学危机一直延续到世纪，直到年，德国数学家戴德金提出了“戴德金分割”才结束了持续多年的数学史上的第一次大危机.所谓戴德金分割，是指将有理数集划分为两个非空的子集与，且满足，，中的每一个元素都小于中的每一个元素，则称为戴德金分割.试判断，对于任一戴金德分割，下列选项中一定不成立的是（ ） A. 没有最大元素，有一个最小元素 B. 没有最大元素，也没有最小元素 C. 有一个最大元素，有一个最小元素 D. 有一个最大元素，没有最小元素 【答案】C 【解析】 【分析】本题目考察对新概念的理解，举具体的实例证明成立即可，A,B,D都能举出特定的例子，排除法则说明C选项错误 【详解】若，；则没有最大元素，有一个最小元素；故A正确； 若，；则没有最大元素，也没有最小元素；故B正确； 若，；有一个最大元素，没有最小元素，故D正确； 有一个最大元素，有一个最小元素不可能，故C不正确. 故选：C 二、填空题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分） 13. 函数的定义域为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据函数的形式，列不等式，即可求解. 【详解】函数的定义域需满足，得且， 所以函数的定义域为. 故答案为： 14. 关于的不等式的解集是______. 【答案】 【解析】 【分析】因式分解后，即可求解不等式. 【详解】，得， 所以不等式的解集为. 故答案为： 15. 计算：______. 【答案】 【解析】 【分析】根据对数公式和指数运算公式，即可求解. 【详解】. 故答案为： 16. 命题“∀x＞0，x2+2x-3＞0”的否定是______． 【答案】∃x0＞0，x02+2x0-3≤0 【解析】 【分析】根据含有量词的命题的否定即可得到结论． 【详解】命题为全称命题，则命题“∀x＞0，x2+2x-3＞0”的否定是为∃x0＞0，x02+2x0-3≤0， 故答案为∃x0＞0，x02+2x0-3≤0． 【点睛】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础． 17. 已知，当时，函数的最小值是______，最大值是______. 【答案】 ①. ##0.4 ②. 2 【解析】 【分析】先判断函数单调性，再根据单调性求最值. 【详解】，且， ， 因为，， 所以， 所以，即， 所以在上为减函数， 则， 故答案为：，. 18. 如图是一份纸制作的矩形的宣传单，其排版面积（矩形）为P，两边都留有宽为a的空白，顶部和底部都留有宽为的空白.若，，则当______时，才能使纸的用量最少，最少的纸的用量是______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】首先设，再根据条件，用表示用纸的用量，列式后再用基本不等式，即可求解. 【详解】设，纸的用量为，则， 所以， ， 当时，即， 所以当时，最少的纸的用量为. 故答案为：； 19. 函数的单调递增区间是______. 【答案】和 【解析】 【分析】首先去绝对值，将函数写成分段函数的形式，再结合二次函数的单调性，即可求解. 【详解】， 当时，，是函数的单调递增区间， 当时，，是函数的单调递增区间， 所以函数的单调递增区间是和. 故答案为：和 20. 函数的值域是______. 【答案】 【解析】 【分析】利用指数函数的值域可得，再利用不等式的性质即可求解. 【详解】因为函数定义域为，又， 所以， 所以，即， 故答案为：. 21. 已知函数，，若对任意，总存在，使成立，则实数m的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得两个函数的值域的包含关系，进而可列关于的不等式，求解即可. 【详解】因为对任意，总存在，使成立， 即成立， 设，因为，所以， 当时，，不符合题意； 当时，可得，则，解得； 当时，可得，则，解得； 综上所述，实数m的取值范围为. 故答案为：. 22. 已知函数满足，若函数与图象的m个交点为，则的值是______. 【答案】 【解析】 【分析】首先判断两个函数的对称性，再根据对称性，确定交点的对称性，即可求解. 【详解】由条件得，，所以关于点对称， 关于点对称，所以函数与图象的m个交点有对关于点对称， 所以，， 所以. 故答案为： 三、解答题：本大题有5小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 23. 记全集，集合，. （1）若，求，； （2）若，求a的取值范围； （3）若，求a的取值范围. 【答案】（1）， （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据交集和补集的运算即可求解； （2）根据题意可得到有关的一个方程组，求解即可； （3）分和两种情况求解即可. 【小问1详解】 若，则，又或， 则，； 【小问2详解】 集合，或，， 所以，解得， 所以a的取值范围为； 【小问3详解】 因为，则， ，或， 当时，，解得； 当时，或， 解得或， 综上,若，求a的取值范围为或. 24. 已知函数 （1）当，的最大值为3，求实数m的值. （2）当时，若不等式恒成立，求实数m的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据二次函数的性质，分情况讨论即可； （2）先根据不等式得到在上恒成立，令，分析该函数对称轴与区间的关系，只需让区间上最小值大于零即可. 【小问1详解】 已知， 当时，函数在上递增， 所以，解得； 当时，函数在上递减， 所以，矛盾； 当时，函数在上递减，在上递增， 所以或，解得，均不符合题意； 综上； 【小问2详解】 当时，若不等式恒成立， 即在上恒成立， 即在上恒成立， 令，该函数对称轴为， ①当，即时，函数在上递减， 只需让即可， 则，解得，即； ②当，即时， 此时， 解得，即； ③当，即时，函数在上递增， 此时，解得，即； 综上m的取值范围为. 25. 为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民实行“阶梯水价”，计费方法如下表： 每户每月用水量 水价 不超过12的部分 3元/ 超过12但不超过18的部分 6元/ 超过18的部分 9元/ （1）求出每月用水量和水费之间的函数关系； （2）若某户居民某月交纳的水费为54元，则此月此户居民的用水量为多少？ 【答案】（1） （2）15 【解析】 【分析】（1）先分别求出每一段的函数解析式，再写成分段函数的形式即可； （2）由（1）分，，三种情况讨论即可的解． 【小问1详解】 解：当时，， 当时，， 当时，， 关于的函数解析式为：； 【小问2详解】 解：当时，，解得舍去， 当时，，解得， 当时，，解得舍去， 综上所述，若某户居民某月交纳的水费为54元，则此月此户居民的用水量为15. 26. 已知函数是定义在上的奇函数，且. （1）求函数的解析式以及零点. （2）判断并用函数单调性的定义证明在的单调性. （3）根据前面所得的结论在所给出的平面直角坐标系上，作出在定义域上的准确示意图. 【答案】（1），零点为0 （2）函数在上单调递减； 证明：设， 则， 因为，所以，，， 所以，即， 所以函数在上单调递减； （3）图象： 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的性质和可解得，的值，即可得函数的解析式；令可解得函数的零点； （2）利用函数单调性的定义证明即可； （3）根据函数的性质画出函数的图象即可. 【小问1详解】 因为函数是定义在上的奇函数， 所以，解得， 又，即，解得， 所以， 令得，解得，即函数的零点为0； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 函数的图像如下： 27. 设集合为非空数集，定义，． （1）若，写出集合、； （2）若，，且，求证：； （3）若，且，求集合元素个数的最大值． 【答案】（1）， （2）证明：因为，，且， 所以集合也有四个元素，且都为非负数，因为， 又因为，所以且， 所以集合中其他元素为，，， 即，剩下的， 因为，所以， 即，即，所以 （3）1348 【解析】 【分析】（1）根据定义，，直接求解即可， （2）由题意利用集合中的元素间的关系及可证明， （3）由题意建立集合间的关系，并列出不等式求的范围，即可求出最大值． 【小问1详解】 由题意，得，， 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设，满足题意，其中， 因为， 所以， 因为，所以， 因为，所以， 中最小的元素为0，最大的元素为， 所以， 实际当，时满足题意，证明如下： 设，， 则，， 由题意得， 即，故的最小值为674． 即时，满足题意， 综上所述，集合中元素的个数为（个． 【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是能够结合题意得到，进而证明符合题意. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $