精品解析：河南省三门峡市2024-2025学年高三上学期11月阶段性考试数学试题

河南省三门峡市2024-2025学年高三上学期11月阶段性考试数学试题 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2.选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色墨水签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 3.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效． 4.考试结束后，将答题卡交回． 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、单选题：本题共8小题，每题5分，共40分.在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用对数函数性质，化简集合，然后根据集合的交集运算即可 【详解】根据题意，易得： 又 则有： 故选：C 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分性和必要性两方面判断即可； 【详解】因为，所以或， 则可以推出，但不能推出． 故“”是“”的充分不必要条件， 故选：A． 3. 函数与的图象（ ） A. 关于x轴对称 B. 关于y轴对称 C. 关于原点对称 D. 关于直线y=x对称 【答案】C 【解析】 【分析】 令，则，由与的图象关于原点对称即可得解. 【详解】解：令，则 与的图象关于原点对称， 与的图象关于原点对称. 故选： 【点睛】本题考查指数函数的性质，属于基础题. 4. 已知等比数列的前项和为，且，则（ ） A. 3 B. 5 C. 30 D. 45 【答案】D 【解析】 【分析】首先确定，再利用等比数列的前和公式代入即可求出答案. 【详解】若公比，则，，右边，等式不成立，故， 则，显然，所以，解得， 又因为，代入得， 所以， 故选：D. 5. 如图，平行四边形ABCD中，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】取中点，证得是平行四边形，从而有，再得出，然后由向量的线性运算法则求解． 【详解】取中点，连接， 因为是平行四边形，是中点， 则且，所以是平行四边形， 所以， 又，则， ， 所以. 故选：C． 6. 关于的方程有实数根，且，则下列结论错误的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，借助二次函数的图象，逐项分析判断即可. 【详解】对于A，当时，方程的二实根为，A正确； 对于B，方程，即，，解得， 当时，，B错误； 对于C，令，依题意，是函数的图象与直线交点的横坐标， 在同一坐标系内作出函数的图象与直线，如图， 观察图象知，当时，，C正确； 对于D，当时，，D正确. 故选：B 7. 已知角，满足，，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】利用正弦和角公式，同角三角函数关系得到，故，利用正切和角公式得到方程，求出. 【详解】因为， ， 所以， 即，则， 因为，所以， 其中， 故，解得. 故选：B. 8. 在古巴比伦时期的数学泥版上，有许多三角形和梯形的分割问题，涉及到不同的割线.如图，梯形中，，且，，和为平行于底的两条割线，其中为中位线，过对角线交点，则比较这两条割线可以直接证明的不等式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先设交于点，根据三角形相似性质得到，即可得到答案. 【详解】设交于点，如图所示： 因为，所以，即. 又因为， 即，解得. 又因为，，所以. 故选：B 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分. 9. 在实际应用中，通常用吸光度和透光率来衡量物体的透光性能，它们之间的换算公式为，下表为不同玻璃材料的透光率： 玻璃材料 材料1 材料2 材料3 0.7 0.8 0.9 设材料1、材料2、材料3的吸光度分别为，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据对数的运算法则和单调性求解即可. 【详解】由换算公式和图表可知，，，， 又因为函数在上单调递增， 所以对于A：，说法正确； 对于B：，说法错误； 对于C：，，，说法正确； 对于D：，说法错误； 故选：AC 10. 已知非零向量，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 向量与向量垂直 【答案】BCD 【解析】 【分析】A选项，举出反例即可；B选项，由向量数乘运算和数量积公式得到；C选项，根据向量数量积公式得到，故；D选项，计算出，得到垂直关系. 【详解】A选项，不妨设，满足，但，A错误； B选项，，故，则，B正确； C选项，，故，故，C正确； D选项，， 故向量与向量垂直，D正确. 故选：BCD 11. 已知函数在区间内有两个零点，则下列结论正确的是（ ） A. 当时， B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由得，从而得，作出单位圆以及且与的函数图象，结合图象逐一判断即可得解. 【详解】即，即， 当时，上式显然不成立， 故等价于，所以. 对于，设，作出单位圆， 则由三角函数定义可知， 设扇形的面积为，则， 即，故，故A正确； 对于，画出且与的函数图象， 因为的最小正周期为， 所以由图象可知与之间的距离大于，即，故B正确； 对于，由图得， 故，故，所以，故C错误； 对于D，因为， 所以 ， 由图可知，均大于0， 由C项知，故， 又由B项知，所以， 所以即，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点睛：对于选项D判断，关键点1是根据已知条件结合问题的结构特征将转化成，接着将其弦切互化得到；关键点2是利用选项B和C中的和结合以及两角和与差的余弦公式，将转化成，进而结合图象且借助选项B和C中的结论即可判断得解. 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在中，，，，则______ 【答案】 【解析】 【分析】根据角的余弦定理形式求解出的值，再根据余弦定理求解出的值. 【详解】因为， 所以， 所以， 故答案为：. 13. 已知二次函数从1到的平均变化率为，请写出满足条件的一个二次函数的表达式_______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】设，利用平均变化率的定义计算即可. 【详解】设， 则， 由题意知，解之得， 显然c的取值不改变结果，不妨取，则. 故答案为： 14. 已知函数，，则数列的通项公式为____________． 【答案】 【解析】 【分析】由得为奇函数，进而得关于对称，即，最后利用倒序相加法即可求解. 【详解】由题意有：，所以为奇函数，所以关于对称，所以， 所以①， 又②， 由①②有：， 所以， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设函数，. （1）求方程的实数解； （2）若不等式对于一切都成立，求实数b的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）转化为关于的一元二次方程进行求解. （2）分离参数，构造函数，求导得到的最小值即可求解. 【小问1详解】 由，代入方程得：， 即，解得，即. 【小问2详解】 不等式即， 原不等式可化为对都成立， 令，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 故当时，， 所以，即，解得：. 16. 已知函数，，且将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象． （1）求的最小正周期和单调递增区间； （2）若函数是奇函数，求的值； （3）若，当时函数取得最大值，求的值． 【答案】（1），． （2） （3）． 【解析】 【分析】（1）用二倍角公式、降幂公式及辅助角公式进行化简，再利用求解即可得到最小正周期；结合正弦函数的单调递增区间，用整体的思想求解即可； （2）先根据平移变换求出的表达式，在根据题意列出等式求解即可； （3）当时函数取得最大值，由此可得，代入化简；又，因此可求出，再求出，再根据两角和的正弦公式求解即可. 【小问1详解】 由题意得，则其最小正周期， 令，解得， 则其单调递增区间为． 【小问2详解】 将的图象向左平移个单位长度得到的图象，则， 若函数是奇函数，则,即 因为，所以时，． 【小问3详解】 由题知，则，从而，，因此， 因为，且，所以， 因此，， 所以， 所以． 17. 中，内角、、的对边分别为、、. （1）若，，求的值； （2）求证：. 【答案】（1） （2） 证明：， 由正弦定理可得， 由余弦定理可得， 所以. 【解析】 【分析】（1）根据题意由正弦定理的边角互化，结合余弦定理代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，先由正弦定理的边角互化进行化简，再由余弦定理公式代入计算，即可证明. 【小问1详解】 因为， 所以， 由正弦定理可得，即， 由余弦定理可得， 所以， 整理可得，所以. 【小问2详解】 略. 18. 已知数列的前n项和为，，，. （1）求； （2）令，证明：. 【答案】（1） （2）证明：因为，（，）， 所以（，）. 又符合上式，所以. 因为， 所以 ， 所以 . 【解析】 【分析】（1）由题意与之间的关系将用表示，得到，得到是等差数列，进而得到； （2）化简，利用裂项相消法求和即可证明. 【小问1详解】 因为，， 所以， 故，及， 所以是首项为，公差为1的等差数列， 故，则. 【小问2详解】 略 19. 若函数对其定义域内任意满足：当时，恒有，其中为常数，则称函数具有性质. （1）函数具有性质，求； （2）设函数， （i）判断函数是否具有性质，若有，求出；若没有，说明理由； （ii）证明：. 【答案】（1） （2）（i）不具有性质，理由如下： 的定义域为， ， 当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 因为，，所以， 假设函数具有性质，即，所以， 因为，所以， 故对于任意的恒成立， 恒为，显然不可能，故假设不成立， 故不具有性质； （ii）因为， 所以， 下面证明， 即证， 令，则， 令， 则， 故在上单调递增， 故， 所以，即，所以， 当时，， 当，令 ， 令， ， 故在上单调递增， 又，其中，故， 所以，故， ，其中，而在上单调递减， 故， 综上，. 【解析】 【分析】（1）结合新定义，由求，由此可得结论； （2）（）求导判断函数的单调性，假设具有性质，结合定义及单调性推出矛盾，可得结论； （ii）先得到，证明对数平均不等式，由此可得，分和两种情况进行求解，当时，，当时，构造差函数，进行求解，得到结论. 【小问1详解】 定义域为， 对任意的，且， 有， 即， 因为，所以，故， 故，故； 【小问2详解】 （i）略 （）略 【点睛】解新定义题型的步骤：（1）理解“新定义”，明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论.（2）重视“举例”，利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”；归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况.（3）类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省三门峡市2024-2025学年高三上学期11月阶段性考试数学试题 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2.选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色墨水签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 3.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效． 4.考试结束后，将答题卡交回． 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、单选题：本题共8小题，每题5分，共40分.在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 函数与的图象（ ） A. 关于x轴对称 B. 关于y轴对称 C. 关于原点对称 D. 关于直线y=x对称 4. 已知等比数列的前项和为，且，则（ ） A. 3 B. 5 C. 30 D. 45 5. 如图，平行四边形ABCD中，，若，则（ ） A. B. C. D. 6. 关于的方程有实数根，且，则下列结论错误的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 7. 已知角，满足，，则（ ） A. B. C. D. 2 8. 在古巴比伦时期的数学泥版上，有许多三角形和梯形的分割问题，涉及到不同的割线.如图，梯形中，，且，，和为平行于底的两条割线，其中为中位线，过对角线交点，则比较这两条割线可以直接证明的不等式为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分. 9. 在实际应用中，通常用吸光度和透光率来衡量物体的透光性能，它们之间的换算公式为，下表为不同玻璃材料的透光率： 玻璃材料 材料1 材料2 材料3 0.7 0.8 0.9 设材料1、材料2、材料3的吸光度分别为，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知非零向量，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 向量与向量垂直 11. 已知函数在区间内有两个零点，则下列结论正确的是（ ） A. 当时， B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在中，，，，则______ 13. 已知二次函数从1到的平均变化率为，请写出满足条件的一个二次函数的表达式_______． 14. 已知函数，，则数列的通项公式为____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设函数，. （1）求方程的实数解； （2）若不等式对于一切都成立，求实数b的取值范围. 16. 已知函数，，且将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象． （1）求的最小正周期和单调递增区间； （2）若函数是奇函数，求的值； （3）若，当时函数取得最大值，求的值． 17. 中，内角、、的对边分别为、、. （1）若，，求的值； （2）求证：. 18. 已知数列的前n项和为，，，. （1）求； （2）令，证明：. 19. 若函数对其定义域内任意满足：当时，恒有，其中为常数，则称函数具有性质. （1）函数具有性质，求； （2）设函数， （i）判断函数是否具有性质，若有，求出；若没有，说明理由； （ii）证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $