精品解析：山东省枣庄市滕州市2024-2025学年高三上学期11月定时训练（期中）数学试题

2025届高三定时训练 数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. “”是“”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 下列导数运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，为正实数且，则的最小值为（ ） A. 4 B. C. D. 5. 若 则 （ ） A. B. C. D. 6. 若函数的最大值为，最小值为，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 一只蜜蜂从蜂房出发向右爬，每次只能爬向右侧相邻两个蜂房（如图），例如：从蜂房只能爬到1号或2号蜂房，从1号蜂房只能爬到2号或3号蜂房，，以此类推，用表示蜜蜂爬到号蜂房的方法数，则（ ） A 34 B. 55 C. 89 D. 144 8. 已知函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设函数，且，下列命题：其中正确的命题是（ ） A. 若，则； B. 存在，，使得； C. 若，，则； D. 对任意的，，都有. 10. 已知函数（，），函数的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是（ ） A. 的表达式可以写成 B. 的图象向右平移个单位长度后得到的新函数是奇函数 C. 的对称中心（，1）， D. 若方程在（0，m）上有且只有6个根，则 11. 已知函数，则下列选项中正确是（ ） A. 函数的极小值点为 B. C. 若函数有4个零点，则 D 若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知幂函数为偶函数在上单调递减，则的解析式可以为_________写一个即可 13. 给定集合，定义中所有不同值的个数为集合两个元素的容量，用表示. ①若，则___________； ②定义函数其中表示不超过的最大整数，如，，当时，函数的值域为，若，则____________； 14. 已知函数，当时，恒成立，则实数的取值范围为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 求下列各式的最值 （1）当时，求的最小值； （2）已知，求的最大值. 16. 已知数列的前项和为，且. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 17 已知函数 （1）求函数的值域； （2）若时，恒有，求实数a的取值范围． 18. 已知函数. （1）当时，讨论函数的单调性； （2）若对，都有成立，求实数的取值范围. 19. 设次多项式，若其满足，则称这些多项式为切比雪夫多项式.例如：由，可得切比雪夫多项式，由，可得切比雪夫多项式. （1）若切比雪夫多项式，求实数，，，的值； （2）对于正整数时，是否有成立？ （3）已知函数在区间（-1，1）上有3个不同的零点，分别记为，，，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025届高三定时训练 数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据所给集合，把集合B中元素代入集合A中检验即可得解. 【详解】由， 把代入检验，可得成立， 故， 故选：C 2. “”是“”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断即可． 【详解】由，解得， 因为， 故“”是“”的必要不充分条件． 故选：A． 3. 下列导数运算正确的是（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用基本初等函数的导数公式和复合函数的求导法则依次求导即可判断． 【详解】对于A项，因为是常数，所以，故A项错误； 对于B项，利用复合函数的求导法则，，故B项错误； 对于C项，，故C项错误； 对于D项，由求导法则易得，故D项正确． 故选：D． 4. 已知，为正实数且，则的最小值为（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据可得，将化简再利用基本不等式中“1”的应用即可得出结果. 【详解】由可得，可得， 所以 ； 当且仅当时，即时，等号成立； 又可知符合题意. 故选：D 5. 若 则 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据诱导公式以及二倍角公式即可代入求解. 【详解】 故选：C 6. 若函数的最大值为，最小值为，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】由，构造奇函数，再根据奇函数的性质即可得解. 【详解】， 令， 因为函数的最大值为，最小值为， 所以函数的最大值为，最小值为， 因为， 所以函数是奇函数， 所以，即，所以. 故选：B. 7. 一只蜜蜂从蜂房出发向右爬，每次只能爬向右侧相邻的两个蜂房（如图），例如：从蜂房只能爬到1号或2号蜂房，从1号蜂房只能爬到2号或3号蜂房，，以此类推，用表示蜜蜂爬到号蜂房的方法数，则（ ） A. 34 B. 55 C. 89 D. 144 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，求出数列的递推公式，再依次计算求出. 【详解】依题意，（，），，， 所以. 故选：D. 8. 已知函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】对不等式作等价变形，构造函数并探讨函数的性质，利用性质解不等式作答. 【详解】函数，则， 因，则不等式成立必有，即， 令，求导得，当时，，当时，， 因此，函数上单调递减，在上单调递增，又， 当时，，于是得，即，令， 当时，，函数在上单调递减，，，因此，无解， 当时，，于是得，即，此时， 函数在上单调递增，，，不等式解集为， 所以不等式的解集为. 故选：B 【点睛】思路点睛：求某些函数不等式解集，将不等式等价转化，利用同构思想，构造新函数，借助函数的单调性分析求解. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设函数，且，下列命题：其中正确的命题是（ ） A. 若，则； B. 存在，，使得； C. 若，，则； D. 对任意的，，都有. 【答案】BCD 【解析】 【分析】 结合割线与切线斜率的大小关系即可判断选项A、B、C，根据中位线与函数值的大小比较可判断选项D，进而可得正确选项. 【详解】 由可得， 如图：对于选项A：表示曲线在点处的切线斜率小于割线的斜率，所以，故选项A不正确； 对于选项B：在点处的切线斜率小于割线的斜率，在点处的切线斜率大于割线的斜率，所以在曲线上必存在某点，使得该点处的切线斜率等于割线的斜率，所以存在，使得； 故选项B正确； 对于选项C： ，由图知割线的斜率，小于在点处的切线的斜率，所以，故选项C正确； 对于选项D：由图知梯形中位线的长为，的长为， 因为，所以，故选项D正确； 故选：BCD 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是利用导数的几何意义，数形结合比较切线和割线的斜率，理解凸函数的性质. 10. 已知函数（，），函数的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是（ ） A. 的表达式可以写成 B. 的图象向右平移个单位长度后得到的新函数是奇函数 C. 的对称中心（，1）， D. 若方程在（0，m）上有且只有6个根，则 【答案】AB 【解析】 【分析】对于A，可以由两个特值；得到和； 对于B，求出平移后的函数解析式，结合正弦函数性质判断； 对于C，结合正弦型函数的性质求对称中心判断； 对于D，结合图象列不等式，解不等式判断D． 【详解】对A，由图分析可知：得； 由，得，即， 又，所以，又， 所以，即得，，又，所以， 所以，故A正确； 对B，向右平移个单位后得 ，奇函数，故B正确； 对于C，， 令（）得（）， 所以对称中心（，1），，故C不正确； 对于D，由，得， 因为，所以， 令，，，，，，解得，，，，，． 又在（0，m）上有6个根，则根从小到大为，，，，，， 再令，解得，则第7个根为，，故D错误． 故选：AB． 11. 已知函数，则下列选项中正确的是（ ） A. 函数的极小值点为 B. C. 若函数有4个零点，则 D. 若，则 【答案】AC 【解析】 【分析】求导，利用导数判断的单调性和最值，可得的图象，进而可以判断A；对于B：根据的单调性分析判断；对于C：根据偶函数性质分析可知：原题意等价于当时，与有2个交点，结合的图象分析求解；对于D：构建，结合导数可得，结合极值点偏移分析证明. 【详解】由题意可知：的定义域为，且， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则，且当趋近于0或时，趋近于， 可得函数的图象，如图所示： 对于选项A：可知函数的极小值点为，故A正确； 对于选项B：因为，且在内单调递增， 所以，故B错误； 对于选项C：令，可得， 可知函数有4个零点，即与有4个交点， 且的定义域为，且， 可知为偶函数，且当时， 原题意等价于当时，与有2个交点， 由题意可知：，故C正确； 对于选项D：设， 则， 可知在内单调递增，则， 即， 若，不妨设， 则， 且，且在内单调递增， 则，所以，故D错误； 故选：AC. 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤 （1）作差或变形； （2）构造新的函数； （3）利用导数研究的单调性或最值； （4）根据单调性及最值，得到所证不等式． 特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知幂函数为偶函数在上单调递减，则的解析式可以为_________写一个即可 【答案】 答案不唯一 【解析】 【分析】根据常见幂函数的性质即可求解. 【详解】因为幂函数  在  上单调递减，所以  ， 又因为  为偶函数， 所以 适合题意． 故答案为: 答案不唯一. 13. 给定集合，定义中所有不同值的个数为集合两个元素的容量，用表示. ①若，则___________； ②定义函数其中表示不超过的最大整数，如，，当时，函数的值域为，若，则____________； 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】①根据的定义计算即可；②根据高斯函数的定义，得到，从而得到的值域，任取两个元素相加则有个，代入计算即可. 【详解】①：因为， 所以 其中不同值的个数为，故， ②：当，则，所以， 则的值域为， 任取两个元素相加，不同的结果有（个）， 则，解得. 故答案为：；. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是对的定义以及高斯函数的定义理解通彻，从而得到关于的方程，解出较难的第二小问. 14. 已知函数，当时，恒成立，则实数的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可知：，，再构造函数，，再讨论二阶导函数的符号，从而可得一阶导函数的符号，从而可得原函数的单调性，从而可求解． 【详解】，， ，， ，， 设，， ， 令，则，， ，， 若，即时，，在,上单调递增， ， 在,上单调递增，，满足题意， ； ②，即时，令，可得， 当时，，单调递减，， 在上单调递减， ，不满足题意， 综合①②可得：实数的取值范围为 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 求下列各式的最值 （1）当时，求的最小值； （2）已知，求的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由，结合基本不等式求解即可； （2）由，结合基本不等式求解即可. 【小问1详解】 因为，所以， 则， 当且仅当，即时，取等号， 所以的最小值为； 【小问2详解】 因为，所以， 则， 当且仅当，即时，取等号， 所以的最大值为. 16. 已知数列的前项和为，且. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1）， （2），. 【解析】 【分析】（1）利用得出数列是等比数列，从而可得通项公式； （2）由已知求得，得出是等差数列，求出其前项和，然后根据绝对值的性质得出数列与的前项和的关系，从而求得结论． 【小问1详解】 由，则当时 两式相减得，所以. 将代入得，， 所以对于，故是首项为2，公比为2的等比数列， 所以. 【小问2详解】 . ， 因为当时，当时， 所以当时，， 当时，. 故 17. 已知函数 （1）求函数的值域； （2）若时，恒有，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分和两种情况，结合指数函数的单调性即可求得值域； （2）将化为，利用换元法结合参变分离的思想即可求得a的范围. 【小问1详解】 的定义域为， 当时，， 因为，所以，所以； 当时，， 因为，，所以， 综上，可得函数的值域为． 【小问2详解】 因为，， ，即 两边同时乘以的 即恒成立， ， 即，令，， 则，由二次函数图象与性质可知在上单调递减， 所以当时，， 所以， 所以实数a的取值范围是． 18. 已知函数. （1）当时，讨论函数的单调性； （2）若对，都有成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）答案见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）先求定义域，然后求导，计算导函数零点，然后分类讨论即可； （2）先将与代入不等式，然后参变分离，构造新函数，求出最值即可. 【小问1详解】 的定义域为， ①当时，， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增； ②当时，， 恒成立，故上单调递增； 综上所述，当时，在和上单调递增，在上单调递减， 当时，在上单调递增； 【小问2详解】 对，都有成立， 即对恒成立， 等价于对. 令， 当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减. 则，可得. 综上，实数的取值范围是. 19. 设次多项式，若其满足，则称这些多项式为切比雪夫多项式.例如：由，可得切比雪夫多项式，由，可得切比雪夫多项式. （1）若切比雪夫多项式，求实数，，，的值； （2）对于正整数时，是否有成立？ （3）已知函数在区间（-1，1）上有3个不同的零点，分别记为，，，证明：. 【答案】（1） （2）成立 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用展开计算，根据切比雪夫多项式可求得； （2）要证原等式成立，只需证明成立即可，利用两角和与差的余弦公式可证结论成立； （3）由已知可得方程在区间上有3个不同的实根，令，结合（1）可是，可得，计算可得结论. 【小问1详解】 依题意， ， 因此，即， 则； 【小问2详解】 成立. 只需考虑和差化积式， 首先有如下两个式子： ， ， 两式相加得，， 将替换为，所以对于正整数时，； 【小问3详解】 函数在区间上有3个不同的零点， 即方程在区间上有3个不同的实根， 令，由（1）知， 而，则或或， 于是， 则， 而， 所以. 【点睛】思路点睛：第三问由方程的特点，联系切比雪夫多项式，把函数零点问题转化为三角函数求角的问题求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$