椭圆-山西省部分市2023-2024学年高二上学期期末数学试题分类汇编

椭圆专项训练 椭圆专项训练 一、单选题 1．（23-24高二下·山西长治·期末）已知椭圆C：（）的左、右焦点分别为,，P为C上一点，且，，则C的离心率等于（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·河南·阶段练习）若曲线表示椭圆，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·山西运城·期末）万众瞩目的北京冬奥会于2022年2月4日正式开幕，是继2008年北京奥运会之后，国家体育场（又名鸟巢）再次承办奥运会开幕式． 在手工课上，王老师带领同学们一起制作了一个近似鸟巢的金属模型，其俯视图可近似看成是两个大小不同，扁平程度相同的椭圆，已知大椭圆的长轴长为，短轴长为，小椭圆的长轴长为，则小椭圆的短轴长为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·山西大同·期末）已知，分别是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，是坐标原点，且，则的面积等于（   ） A． B． C． D．3 5．（23-24高三上·山西太原·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点为上异于长轴端点的任意一点，的角平分线交线段于点，则（    ） A． B． C． D． 6．（22-23高二下·山西长治·期末）已知点，动点到直线的距离为，则的周长为（    ） A．4 B．6 C． D． 7．（22-23高二上·山西大同·期末）如果椭圆上一点到此椭圆一个焦点的距离为2，是的中点，是坐标原点，则的长为（    ） A．6 B．10 C．8 D．12 8．（22-23高二上·山西晋中·期末）曲线和，则和更接近圆的是（    ） A． B． C．相同 D．无法判断 二、多选题 9．（23-24高二上·山西太原·期末）椭圆的方程为，，是椭圆的两个焦点，点为椭圆上一点且在第一象限.若是等腰三角形，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．点到轴的距离为 D． 10．（23-24高二上·山西朔州·期末）已知椭圆的左､右焦点分别为，离心率为，椭圆的上顶点为，且，双曲线和椭圆有相同的焦点，且双曲线的离心率为，为与的一个公共点.若，则（    ） A． B． C． D． 11．（23-24高二上·浙江·期中）已知为椭圆的右焦点，直线与椭圆交于两点，直线与椭圆交于另一点，则（    ） A．的最小值为 B．周长的最小值为16 C．的最大值为9 D．直线与的斜率之积为 三、填空题 12．（23-24高二下·山西长治·期末）若方程表示椭圆，则m的取值范围是 ． 13．（23-24高二上·山西吕梁·期末）已知是椭圆的左、右焦点，直线与椭圆相交于两点，的平分线交于点，且，则椭圆的离心率为 . 14．（23-24高二上·山西太原·期末）已知椭圆：的左、右焦点分别是，，若椭圆上两点，满足，且，则椭圆的离心率为 . 四、解答题 15．（23-24高二下·山西晋城·期末）已知直线分别交x轴、y轴于P，Q两点，并交椭圆C：（）于不同的两点，且三等分线段． (1)求椭圆C的标准方程； (2)若斜率为1的直线l交椭圆C于M，N两点，O为坐标原点，当的面积最大时，求直线l的方程． 16．（23-24高二上·山西吕梁·期末）已知椭圆的左右顶点分别为，长轴长为，点在椭圆上（不与重合），且，左右焦点分别为. (1)求的标准方程； (2)设过右焦点的直线与椭圆交于两点，当的面积最大时，求直线的方程. 17．（23-24高二上·山西朔州·期末）已知、分别是椭圆的左、右焦点，且焦距为，动弦平行于轴，且.直线，设直线与椭圆交于、两点. (1)求椭圆的方程； (2)若，求实数的取值范围； (3)若直线、、的斜率成等比数列（其中为坐标原点），求△的面积的取值范围. 18．（23-24高二上·山西运城·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，设点，在中，． (1)求椭圆C的方程； (2)设P，Q为C上异于点A的两动点，记直线AP，AQ的斜率分别为，若，求证：直线PQ过定点． 19．（23-24高二上·山西太原·期末）已知椭圆：的离心率为，且过点，经过右焦点的直线（斜率不为0）与椭圆分别交于、两点. (1)求椭圆的方程； (2)记椭圆的左、右顶点分别为，，和的面积分别为和，求的最大值. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$椭圆专项训练 椭圆专项训练 一、单选题 1．（23-24高二下·山西长治·期末）已知椭圆C：（）的左、右焦点分别为,，P为C上一点，且，，则C的离心率等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据题意，得出， 在中由正弦定理得：, 由椭圆定义可得， ， 椭圆离心率为， . 故选：D. 2．（23-24高二下·河南·阶段练习）若曲线表示椭圆，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为曲线表示椭圆，即表示椭圆 则应满足即． 故选：D． 3．（23-24高二上·山西运城·期末）万众瞩目的北京冬奥会于2022年2月4日正式开幕，是继2008年北京奥运会之后，国家体育场（又名鸟巢）再次承办奥运会开幕式． 在手工课上，王老师带领同学们一起制作了一个近似鸟巢的金属模型，其俯视图可近似看成是两个大小不同，扁平程度相同的椭圆，已知大椭圆的长轴长为，短轴长为，小椭圆的长轴长为，则小椭圆的短轴长为（    ）      A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为两个椭圆的扁平程度相同，所以两个椭圆的离心率相同， 所以两椭圆长轴长与短轴长的比例相同，则，即，得， 所以小椭圆的短轴长为：． 故选：C． 4．（23-24高二上·山西大同·期末）已知，分别是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，是坐标原点，且，则的面积等于（   ） A． B． C． D．3 【答案】C 【详解】椭圆的半焦距，则，设点， 于是，消去得， 所以的面积. 故选：C 5．（23-24高三上·山西太原·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点为上异于长轴端点的任意一点，的角平分线交线段于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为的角平分线交线段于点， 所以， 所以由正弦定理得，， 又因为，， 所以，即，不妨设，如图： 则，解得， 所以， 由题意，，所以，即. 故选：A 6．（22-23高二下·山西长治·期末）已知点，动点到直线的距离为，则的周长为（    ） A．4 B．6 C． D． 【答案】D 【详解】设，则， 因为，所以，整理可得， 即点的轨迹为椭圆且方程为， 由椭圆定义知的周长为. 故选：D 7．（22-23高二上·山西大同·期末）如果椭圆上一点到此椭圆一个焦点的距离为2，是的中点，是坐标原点，则的长为（    ） A．6 B．10 C．8 D．12 【答案】C 【详解】如图，连接，，，    由椭圆方程可得：，则， 由椭圆定义可得，所以， 因为是的中点，是的中点，则由中位线可得：. 故答案为：C. 8．（22-23高二上·山西晋中·期末）曲线和，则和更接近圆的是（    ） A． B． C．相同 D．无法判断 【答案】A 【分析】根据题意，分别求出两个曲线的离心率进行比较，进而得出结论. 【详解】分别将曲线和化为标准方程可得， ，，由椭圆的性质可得，曲线的离心率为， 曲线的离心率为，显然，因此曲线更接近圆. 故选：A. 二、多选题 9．（23-24高二上·山西太原·期末）椭圆的方程为，，是椭圆的两个焦点，点为椭圆上一点且在第一象限.若是等腰三角形，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．点到轴的距离为 D． 【答案】AC 【详解】如图：    因为椭圆的标准方程为：，所以：，，. 因为点在第一象限，且是等腰三角形，离心率， 所以必是：. 根据椭圆的定义，，故A正确； 在中，，， 由余弦定理：，故B错误； 由，到轴的距离为：，故C正确； ，故D错误. 故选：AC 10．（23-24高二上·山西朔州·期末）已知椭圆的左､右焦点分别为，离心率为，椭圆的上顶点为，且，双曲线和椭圆有相同的焦点，且双曲线的离心率为，为与的一个公共点.若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】因为，且，所以为等腰直角三角形. 设椭圆的半焦距为，则， 所以，则. 在中，， 设，双曲线的实半轴长为， 则（在中，由余弦定理可得）， 故，故， 又，所以， 即，故， 故选：BD. 11．（23-24高二上·浙江·期中）已知为椭圆的右焦点，直线与椭圆交于两点，直线与椭圆交于另一点，则（    ） A．的最小值为 B．周长的最小值为16 C．的最大值为9 D．直线与的斜率之积为 【答案】ABD 【详解】由椭圆的方程，可得，则， 对于A中，因为经过椭圆的交点，由椭圆的性质，可得通径最短， 其中通径长为，所以的最小值为，所以A正确； 对于B中，根据椭圆的对称性，可得， 由椭圆的定义可得， 又由过原点的直线交得椭圆的弦长中，短轴长最短，其中短轴长为， 所以周长的最小值为，所以B正确； 设椭圆的长轴的两个端点分别为，由椭圆 根据椭圆的性质，可得，此时直线的斜率为， 因为直线斜率不为，所以，所以C不正确； 设，则， 则在的斜率都存时，可得， 则，所以D正确. 故选：ABD.    三、填空题 12．（23-24高二下·山西长治·期末）若方程表示椭圆，则m的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由题意可知且. 故答案为： 13．（23-24高二上·山西吕梁·期末）已知是椭圆的左、右焦点，直线与椭圆相交于两点，的平分线交于点，且，则椭圆的离心率为 . 【答案】/ 【详解】  连接、，根据椭圆的对称性可知四边形为平行四边形， 所以， 根据角平分线定理得：， 所以，又 ，又， 又在中，由余弦定理得： ，所以. 故答案为：. 14．（23-24高二上·山西太原·期末）已知椭圆：的左、右焦点分别是，，若椭圆上两点，满足，且，则椭圆的离心率为 . 【答案】/ 【详解】根据椭圆性质，，，则，则点位于轴上， 设，，其中， 设，由于，得：，即， 代入椭圆得：，即，解得离心率. 故答案为：. 四、解答题 15．（23-24高二下·山西晋城·期末）已知直线分别交x轴、y轴于P，Q两点，并交椭圆C：（）于不同的两点，且三等分线段． (1)求椭圆C的标准方程； (2)若斜率为1的直线l交椭圆C于M，N两点，O为坐标原点，当的面积最大时，求直线l的方程． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）直线分别交x轴、y轴于P，Q两点，故, 由于是线段的三等分点，所以, 故， 将代入椭圆方程可得， 故椭圆方程为， （2）设直线：， 则， 设, 则， 故， 点到直线的距离， 故，当且仅当，即时等号成立， 时，，符合题意， 故的面积最大时，求直线l的方程为 16．（23-24高二上·山西吕梁·期末）已知椭圆的左右顶点分别为，长轴长为，点在椭圆上（不与重合），且，左右焦点分别为. (1)求的标准方程； (2)设过右焦点的直线与椭圆交于两点，当的面积最大时，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）   依题意可得，，所以. 设，则， 又因为所以， 所以，所以的标准方程为. （2）   因为在直线上，设直线的方程：， 联立，整理得， ， 由题可知∶ 当且仅当， 即时，面积最大为，此时直线的方程是∶. 17．（23-24高二上·山西朔州·期末）已知、分别是椭圆的左、右焦点，且焦距为，动弦平行于轴，且.直线，设直线与椭圆交于、两点. (1)求椭圆的方程； (2)若，求实数的取值范围； (3)若直线、、的斜率成等比数列（其中为坐标原点），求△的面积的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：因为焦距为2，所以，由椭圆的对称性得. 又因为，所以， 则，所以，，， 所以椭圆的方程为. （2）解：联立得，① 所以，所以. 又，所以，即，解得或. 所以实数的取值范围为. （3）解：设、，由①式得，， 设直线、的斜率分别为、， 因为直线、、的斜率成等比数列， 所以，即， 整理可得，即， 因为 ， 点到直线的距离， 所以， 当且仅当时，即当时，等号成立， 此时，，直线或的斜率不存在，等号取不到， 所以的面积的取值范围为. 18．（23-24高二上·山西运城·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，设点，在中，． (1)求椭圆C的方程； (2)设P，Q为C上异于点A的两动点，记直线AP，AQ的斜率分别为，若，求证：直线PQ过定点． 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【详解】（1）由题意知， 由 ， ， 椭圆方程为； （2）当直线PQ斜率不存在时，设直线PQ方程为（且） 则 解得，不符合题设； 从而可设直线PQ的方程设为， ， 则有 由 ， （舍）或， 当且仅当时，， ， ∴PQ直线恒过定点. 19．（23-24高二上·山西太原·期末）已知椭圆：的离心率为，且过点，经过右焦点的直线（斜率不为0）与椭圆分别交于、两点. (1)求椭圆的方程； (2)记椭圆的左、右顶点分别为，，和的面积分别为和，求的最大值. 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）由方程组解得，， 故椭圆的方程为. （2）由题知，直线经过点，且斜率不为0.    设直线的方程为，，， 由得， 显然，， 又， ， 当时， 当时，， 当且仅当时，等号成立. 综上所述，的最大值为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$