福建省莆田中山中学2024-2025学年上学期期中考试九年级数学试题

1 2024—2025 学年九年级上学期数学期中考试卷 （考试时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题（共 10 小题，每题 4 分，共 40 分） 1．下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A．x+2y＝1 B．x2﹣2＝0 C．3x+1 � ＝4 D．ax2+bx+c＝0 2．用配方法解方程 x2+8x+7＝0，则配方正确的是（ ） A．（x+4）2＝9 B．（x﹣4）2＝9 C．（x﹣8）2＝16 D．（x+8）2＝57 3．如图，△ABC中，∠B＝60°，AB＝6，BC＝8．将△ABC沿图中的 DE剪开．剪下的阴影三角 形与原三角形不相似的是（ ） A． B． C． D． 4．“双碳”背景下，我国新能源汽车保有量已处于世界第一，随着消费人群不断增多，某款新能源 汽车销售量持续增长。如果月销售量的增长率一致，且第三个月的销售量是第一个月的 3倍，设 第一个月销售量为 a辆，月销售量的增长率为 x，则可列出方程是（ ） A. a（1+x）2＝3a B. a（1+2x）2＝3a C. a（1+2x）（1+3x）＝3a D. a（1+x）（1+2x）＝3a 5.如图，D是△ABC的边 BC上一点，已知 AB＝2，AD＝1，∠DAC＝∠B，若△ABD的面积为 a， 则△ACD的面积为（ ） A．a B． 1 2 a C． 1 3 a D． 2 3 a 6．对于抛物线 y＝3（x+2）2﹣1，下列判断不正确的是（ ） A．抛物线的顶点坐标为（﹣2，﹣1） B．把抛物线向右平移 1个单位，再向上平移 2个单位，得到抛物线 y＝3（x+1）2+1 C．若点 A（2，y1），B（﹣3，y2）在抛物上，则 y1＜y2 D．当 x＞2时，y随 x的增大而增大 7．在同一平面直角坐标系中，一次函数 y＝ax+b与二次函数 y＝ax2+bx的图象可能是（ ） A． B． C． D． 8．四分仪是一种十分古老的测量仪器．其出现可追溯到数学家托勒密的《天文学大成》．如下页图， 图 1是古代测量员用四分仪测量一方井的深度，将四分仪置于方井上的边沿，通过窥衡杆测望井 底点 F、窥衡杆与四分仪的一边 BC交于点 H．图 2 中，四分仪为正方形 ABCD．方井为矩形 BEFG．若测量员从四分仪中读得 AB为 1，BH为 0.5，实地测得 BE为 2.5．则井深 BG为（ ） A．4 B．5 C．6 D．7 9.如图，一张底边长为 20cm、底边上的高为 30cm的等腰三角形纸片，沿底边依次从下往上裁剪宽 度均为 4cm的矩形纸条．若剪得的纸条是一张正方形，则这张正方形纸条是（ ） A．第 4张 B．第 5张 C．第 6张 D．第 7张 2 10．如图，M是△ABC三条角平分线的交点，过 M作 DE⊥AM，分别交 AB、AC于 D，E两点， 设 BD＝a，DE＝b，CE＝c，关于 x的方程 ax2+bx+c＝0（ ） A．一定有两个相等实根 B．一定有两个不相等实根 C．有两个实根，但无法确定是否相等 D．无实根 （第 8题图） （第 9题图） （第 10题图） 二、填空题（共 6 小题，每题 4 分，共 24 分） 11.已知方程 x2﹣2x+k＝0的一个根为﹣2，则方程的另一个根为 . 12.已知二次函数 y＝ ax2+bx+c 的图象如图所示，则一元二次方程 ax2+bx+c＝ 0 的解 是 . 13.在平面直角坐标系中，已知点 A（﹣2，4）、B（﹣6，﹣2），以原点 O为位似中心，相似比为 ， 把△ABO缩小，则点 A的对应点 A'的坐标是 . 14.如图 1是装了液体的长方体容器的主视图（数据如图），将该容器绕地面一棱进行旋转倾斜后， 水面恰好接触到容器口边缘，如图 2所示，此时液面宽度 AB＝ . 15．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为 1，点 A、B、C、D、E都在格点上，连接 AB，AE，CE，CD，则∠EAB﹣∠ECD＝ °. （第 12题图） （第 14题图） （第 15题图） 16.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，二次函数 y＝﹣ （x﹣1）2+4 的图象与 x轴交于 A、B 两点（点 A在点 B的左侧），顶点为 C．另一个二次函数的图象经过 B、C、M（t，4）三点， 其中 t≠1，该函数图象与 x轴交于另一点 D，点 D在线段 OB上（与点 O、B不重合）．则 t的 取值范围是 。 三．解答题（共 9 小题） 17．（8分）解方程：x2+2x＝15． 18.（8分）如图，E是△ABC的边 BC上的点，已知∠BAE＝∠CAD， ，AB＝18，AE＝15． 求证：△ABC∽△AED． 3 19.（8分）如图，抛物线� = 12� 2 + ��+ �交 x轴于点 A（1，0），B（5，0），交 y轴于点 C． （1）求抛物线的解析式． （2）若此抛物线的顶点为点 P，求△PBC的面积. 20．（8分）关于 x的一元二次方程 x2﹣4x﹣2m+5＝0有两个实数根 x1，x2，并且 x1≠x2． （1）求实数 m的取值范围； （2）是否存在 m使得满足 63 221 2 1  mxxx ？若存在，请求 m的值；若不存在，请说明理由。 21.（8分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°． （1）在 AB上求作点 D，使△CDB∽△ACB；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若 BC＝5，AC＝12，求 BD长． 22．（10分）“合合”、“欢欢”、“在在”、“中中”、“山山”是莆田中山中学百年校庆的吉祥物，“合 合”造型的玩偶非常畅销．某特许经销店销售“合合”造型玩偶，每件成本为 8元，在销售过 程中发现，每天的销售量 y（件）与每件售价 x（元）之间存在一次函数关系（其中 8≤x≤15， 且 x为整数）．当每件售价为 8元时，每天的销售量为 110件；当每件售价为 10元时，每天的 销售量为 100件． （1）求 y与 x之间的函数关系式． （2）若该商店销售这种玩偶每天获得 360元的利润，则每件玩偶的售价为多少元？ （3）设该商店销售这种玩偶每天获利 w（元），当每件玩偶的售价为多少元时，每天的销售利 润最大？最大利润是多少元？ “合合” “欢欢” “在在” “中中” “山山” 4 23.（10分）阅读材料，并解决问题． 【学习研究】 我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法，以 x2+2x﹣35＝0为例，构造方法如下： 首先将方程 x2+2x﹣35＝0变形为 x（x+2）＝35，然后画四个长为 x+2，宽为 x的矩形，按 如图 1所示的方式拼成一个“空心”大正方形，则图 1中大正方形的面积可表示为（x+x+2）2， 还可表示为四个矩形与一个边长为 2的小正方形面积之和，即 4x（x+2）+22＝4×35+4．因此， 可得新方程（x+x+2）2＝144．因为 x表示边长，所以 2x+2＝12，即 x＝5．遗憾的是这样的做法 只能得到方程的其中一个正根． 【理解应用】 参照上述图解一元二次方程的方法，请在下面三个构图中选择能够用几何法求解方程 x2﹣ 4x﹣21＝0（x＞0）的正确构图是 .（从序号①②③中选择） 图 1 ① ② ③ 图 2 【类比迁移】 小颖根据以上解法解方程 2x2+3x﹣2＝0，请将其解答过程补充完整： 第一步：将原方程变形为 ，即 x（ ）＝1； 第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形，则根据大正方形的面积可得方程 为 ； 第三步：因此，可得新方程 ，解得原方程的一个根 为 ； 【拓展应用】 一般地，对于形如 x2+ax＝b的一元二次方程可以构造图 2来解．已知图 2是由四个面积为 3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4，那么此方程的系数a＝ ，b＝ ， 求得方程的正根为 ． 5 24.（12分）如图 1，在△ABC中，AB＝AC，点 D是 AC上的一个动点，过点 D作 DE⊥BC于 点 E，延长 ED交 BA延长线于点 F． （1）求证：AD＝AF； （2）探究 与 的关系： 当 时， ；当 时， ． 请你继续探究： ①当 时，则 的值是 ； ②当 时，猜想 的值（用含 m，n的式子表示），并证明； （3）在图 1中，过点 F作 FP⊥AC，垂足为点 P，连接 CF，得到图 2，当点 D运动到使 ∠ACF＝∠ACB时，若 ，则 的值是 ．（用含 m，n的式子表示） 6 25.（14 分）如图，抛物线 y＝ax2+bx+3 与 x轴相交于 A（x1，0），B（x2，0）两点（点 A在点 B 的左侧），其中 x1，x2是方程 x2﹣2x﹣3＝0的两个根，抛物线与 y轴相交于点 C． （1）求该抛物线对应的函数表达式； （2）已知直线 l：y＝3x+9与 x，y轴分别相交于点 D，E． ①设直线 BC与 l相交于点 F，问在第三象限内的抛物线上是否存在点 P，使得∠PBF＝∠DFB？ 若存在，求出点 P的坐标；若不存在，说明理由； ②过抛物线上一点 M作直线 BC的平行线．与抛物线相交于另一点 N．设直线 MB，NC相交于 点 Q．连接 QD，QE．求线段 QD+QE的最小值．