圆的方程-山西省部分市2023-2024学年高二上学期期末数学试题分类汇编

圆的方程专项训练 圆的方程专项训练 一、单选题 1．（23-24高二上·山西太原·期末）圆的圆心坐标和半径分别为（    ） A．， B．， C．，3 D．，3 2．（23-24高二上·山西大同·期末）设圆，圆，则是两圆相切的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 3．（23-24高二上·山西吕梁·期末）已知圆，则圆心和半径分别为（　　） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·山西·期末）已知半径为1的圆经过点，其圆心到直线的距离的最大值为（    ） A． B． C．2 D．3 5．（23-24高二上·山西朔州·期末）战国时期成书《墨经》有载曰：“景，日之光反烛人，则景在日与人之间.”这是中国古代人民首次对平面镜反射的研究，体现了传统文化中的数学智慧.在平面直角坐标系中，一条光线从点射出，经轴反射后与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为（    ） A．或 B．或 C． D． 6．（23-24高二上·山西朔州·期末）直线与曲线有交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高二下·山西长治·期末）已知直线被圆心为的圆截得的弦长为，则该圆的方程为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高二下·山西晋城·期末）如图，过圆内一点作两条弦，且过圆心，，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（23-24高二上·山西忻州·期末）已知，在同一个坐标系下，曲线与直线的位置可能是（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高二上·山西运城·期末）已知两圆方程为与，则下列说法正确的是（    ） A．若两圆有3条公切线，则 B．若两圆公共弦所在的直线方程为，则 C．若两圆公共弦长为，则 D．若两圆在交点处的切线互相垂直，则 11．（23-24高二上·山西朔州·期末）在三棱锥中，平面，，P为内的一个动点（包括边界），与平面所成的角为，则（    ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．有且仅有一个点P，使得 D．所有满足条件的线段形成的曲面面积 三、填空题 12．（23-24高二上·山西太原·期末）已知圆的一条直径的两个端点坐标分别为，，则圆的方程是 . 13．（23-24高二上·山西朔州·期末）已知圆，，过点向圆引两条切线、，、为切点，则 . 14．（23-24高三上·山西运城·期末）过原点的动直线l与圆交于不同的两点A，B.记线段的中点为P，则当直线l绕原点转动时，动点P的轨迹长度为 . 四、解答题 15．（23-24高二上·山西太原·期末）已知圆的方程为，点在圆内. (1)求实数的取值范围； (2)求过点且与圆相切的直线的方程. 16．（22-23高二上·山西晋中·期末）如图，一隧道内设双行线公路，其截面由一个长方形（长、宽分别为、）和圆弧构成，截面总高度为，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有米，已知行车道总宽度.    (1)试建立恰当的坐标系，求出圆弧所在圆的一般方程； (2)车辆通过隧道的限制高度为多少米？ 17．（23-24高二上·山西运城·期末）已知圆C的圆心在直线上，且与直线相切于点． (1)求圆C的标准方程； (2)求过点且被圆C截得的弦长为的直线方程． 18．（23-24高二上·山西吕梁·期末）已知圆. (1)求的取值范围； (2)当取最小正整数时，若点为直线上的动点，过作圆的一条切线，切点为，求线段的最小值. 19．（23-24高二下·山西长治·期末）已知抛物线C：，直线l：交于，两点，当，时，． (1)求抛物线的方程； (2)分别过点，作抛物线的切线，两条切线交于点，且，分别交轴于，两点，证明：的外接圆过定点． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$圆的方程专项训练 圆的方程专项训练 一、单选题 1．（23-24高二上·山西太原·期末）圆的圆心坐标和半径分别为（    ） A．， B．， C．，3 D．，3 【答案】A 【详解】圆的圆心坐标为，半径为. 故选：A 2．（23-24高二上·山西大同·期末）设圆，圆，则是两圆相切的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】由题可得圆的圆心坐标为，半径为2， 圆的圆心坐标为，半径为， 故圆心距， 因为两圆相切可分为外切和内切， 当两圆外切时，圆心距，解得； 当两圆内切时，圆心距，解得，或（舍去）， 所以是两圆相切的充分不必要条件. 故选：B． 3．（23-24高二上·山西吕梁·期末）已知圆，则圆心和半径分别为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】圆的方程可化为. 所以圆心的坐标为，半径为， 故选：B. 4．（23-24高二上·山西·期末）已知半径为1的圆经过点，其圆心到直线的距离的最大值为（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】D 【详解】设圆的圆心为，则，即圆的圆心的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 其中点到直线的距离， 则圆心到直线的距离的最大值为. 故选：D 5．（23-24高二上·山西朔州·期末）战国时期成书《墨经》有载曰：“景，日之光反烛人，则景在日与人之间.”这是中国古代人民首次对平面镜反射的研究，体现了传统文化中的数学智慧.在平面直角坐标系中，一条光线从点射出，经轴反射后与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【详解】如图，设点与点关于轴对称，则点的坐标为， 反射光线所在直线经过点，且与圆相切， 设反射光线所在直线的斜率为，则反射光线所在直线的方程为，即， 圆的圆心为，半径， 则由圆心到反射光线所在直线的距离等于半径，可得， 即，解得或. 故选：A. 6．（23-24高二上·山西朔州·期末）直线与曲线有交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】,所以直线恒过定点，且斜率为； 曲线，整理得， 故该曲线是以为圆心，2为半径的下半圆， 如图所示，令，代入，整理得，解得或； 故， ，所以直线与曲线有交点，只需或即可， 故选：B. 7．（23-24高二下·山西长治·期末）已知直线被圆心为的圆截得的弦长为，则该圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设圆心到直线的距离为，圆的半径为，易得直线方程为， 而，由勾股定理得，解得， 故圆的方程为. 故选：C 8．（23-24高二下·山西晋城·期末）如图，过圆内一点作两条弦，且过圆心，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】取的中点，连接，则， 圆的半径， 则， ， 所以. 故选：B. 二、多选题 9．（23-24高二上·山西忻州·期末）已知，在同一个坐标系下，曲线与直线的位置可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】因为，所以曲线为，直线为， 当时，曲线表示的是圆，直线的横截距与纵截距相等，则A错误； 当时，曲线表示焦点在轴上的椭圆，直线的横截距比纵截距大，则B正确； 当时，曲线表示焦点在轴上的椭圆，直线的横截距比纵截距小，则C不正确； 当时，曲线表示焦点在轴上的双曲线，直线的横截距为正，纵截距为负，则D正确． 故选：BD． 10．（23-24高二上·山西运城·期末）已知两圆方程为与，则下列说法正确的是（    ） A．若两圆有3条公切线，则 B．若两圆公共弦所在的直线方程为，则 C．若两圆公共弦长为，则 D．若两圆在交点处的切线互相垂直，则 【答案】ABD 【详解】设圆为圆，圆的圆心为，半径， 设圆为圆，圆的圆心为，半径， . A选项，若两圆有3条公切线，则两圆外切， 所以，A选项正确； B选项，由两式相减并化简得， 则， 此时，满足两圆相交，B选项正确； C选项，由两式相减并化简得， 到直线的距离为， 所以， 即，则解得或，C选项错误. D选项，若两圆在交点处的切线互相垂直，设交点为， 根据圆的几何性质可知， 所以，D选项正确. 故选：ABD    11．（23-24高二上·山西朔州·期末）在三棱锥中，平面，，P为内的一个动点（包括边界），与平面所成的角为，则（    ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．有且仅有一个点P，使得 D．所有满足条件的线段形成的曲面面积 【答案】ACD 【分析】确定A在平面的投影H，根据线面夹角的定义确定P点轨迹，由数形结合及圆中最值可判定A、B、C选项，利用圆锥的侧面积公式结合图形计算即可判定D选项. 【详解】依题意，， 取的中点M，则， 所以平面， 过A作于H，因为平面， 所以，所以平面， 易得，且H为等边的外心， 由与平面所成角为，可知， 所以点P轨迹是以H为圆心，为半径的圆在内部的一部分，如图所示， 所以的最小值为，A选项正确； 由于轨迹圆部分在平面外部，所以的最大值不等于，B选项错误； 因为平面，若，则点P在线段上， 有且仅有一个点P满足题意，C选项正确； 动线段形成的曲面为圆锥侧面积的一部分，因为， 所以，因为，所以曲面面积为圆锥侧面的， 圆锥侧面积为， 所以所有满足条件的动线段形成的曲面面积为，D选项正确. 故选：ACD． 三、填空题 12．（23-24高二上·山西太原·期末）已知圆的一条直径的两个端点坐标分别为，，则圆的方程是 . 【答案】 【详解】根据题意，，即圆心坐标为； 则圆的半径， 故所求圆的方程为：. 故答案为：. 13．（23-24高二上·山西朔州·期末）已知圆，，过点向圆引两条切线、，、为切点，则 . 【答案】 【详解】圆的圆心为坐标原点，半径长为，由已知可得， 由圆的几何性质可得，由勾股定理可得. 故答案为：. 14．（23-24高三上·山西运城·期末）过原点的动直线l与圆交于不同的两点A，B.记线段的中点为P，则当直线l绕原点转动时，动点P的轨迹长度为 . 【答案】 【详解】由题意可知圆的圆心为，半径为， 根据圆的性质可知，则为直角三角形，即P在以为直径的圆上， 设中点为E，该圆半径为，易知， 又线段的中点为P，则P在圆的内部，如图所示其轨迹即. 因为，易得，则， 所以的弧长为. 故答案为： 四、解答题 15．（23-24高二上·山西太原·期末）已知圆的方程为，点在圆内. (1)求实数的取值范围； (2)求过点且与圆相切的直线的方程. 【答案】(1)； (2)或. 【详解】（1）圆：的圆心，半径 由点在圆内，得，解得， 所以的取值范围为. （2）显然点在圆外，圆的切线经过点，圆心到直线的距离为2， 则直线是过点的圆的切线； 当切线的斜率存在时，设圆的切线方程为， 由，解得，切线方程为，即， 所以圆的切线方程为或. 16．（22-23高二上·山西晋中·期末）如图，一隧道内设双行线公路，其截面由一个长方形（长、宽分别为、）和圆弧构成，截面总高度为，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有米，已知行车道总宽度.    (1)试建立恰当的坐标系，求出圆弧所在圆的一般方程； (2)车辆通过隧道的限制高度为多少米？ 【答案】(1)答案见解析 (2)米 【详解】（1）解：以抛物线的顶点为坐标原点，的方向为轴的正方向建立如下图所示的平面直角坐标系，    故圆心在轴上，原点在圆上，可设圆的一般方程为 易知，点在圆上，将的坐标代入圆的一般方程得， 则该圆弧所在圆的一般方程为. （2）解：令代入圆的方程得，得或（舍）， 由于隧道的总高度为米，且（米）， 因此，车辆通过隧道的限制高度为米. 17．（23-24高二上·山西运城·期末）已知圆C的圆心在直线上，且与直线相切于点． (1)求圆C的标准方程； (2)求过点且被圆C截得的弦长为的直线方程． 【答案】(1)； (2)或. 【详解】（1）设圆C的标准方程为 圆C的圆心在直线上，且与直线相切于点， ，解方程组得； 所以圆C的标准方程为. （2）设直线的方程为：， 圆心到直线l的距离， 所以，解得或， 所以直线l的方程为或 18．（23-24高二上·山西吕梁·期末）已知圆. (1)求的取值范围； (2)当取最小正整数时，若点为直线上的动点，过作圆的一条切线，切点为，求线段的最小值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由方程表示圆，则满足， 即，解得或， 所以的取值范围是. （2）由（1），因为取最小正整数，所以， 所以圆，可得圆心，半径为， 又因为， 所以取最小值时取最小值，而取最小值， 即为圆心到直线的距离，可得， 所以. 19．（23-24高二下·山西长治·期末）已知抛物线C：，直线l：交于，两点，当，时，． (1)求抛物线的方程； (2)分别过点，作抛物线的切线，两条切线交于点，且，分别交轴于，两点，证明：的外接圆过定点． 【答案】(1) (2) 【详解】（1） 当，时，直线，联立得， 所以，解得，所以抛物线的方程为； （2） 设，，因为，所以，，， 联立并整理得，由韦达定理得，， 由得，从而， 所以直线即，令得，所以 同理直线，令得，所以 联立、：得，所以， 因为，，所以的外接圆圆心落在直线上， 由，知线段中点，， 所以线段的垂直平分线方程为， 联立得， 所以外接圆圆心坐标为， 所以， 所以圆的方程为， 即， 令得，所以的外接圆过定点. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$