第1章特殊的平行四边形能力提升卷-2024-2025学年北师大版数学九年级上册

第1章特殊的平行四边形能力提升卷-2024-2025学年数学九年级上册北师大版 一．选择题（共8小题） 1．（2024春•惠州期末）平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质（　　） A．对角线相等 B．对角线互相平分 C．对角线平分一组对角 D．对角线互相垂直 2．（2024秋•东港市期中）在平面直角坐标系中放置了一个边长为的正方形，如图所示，点B在y轴上，且坐标是（0，2），点C在x轴上，则点D的坐标为（　　） A． B．（3，1） C．（2.5，1.5） D． 3．（2024秋•崂山区期中）如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝2∠ABC，AC＝4cm，则BD的长为（　　） A．2cm B． C．4cm D． 4．（2024秋•福田区校级期中）如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，EF⊥AB于点F，连接DE并延长，交边BC于点M，交边AB的延长线于点G．若AF＝4，FB＝2，则MG＝（　　） A． B． C． D． 5．（2024秋•海淀区校级期中）有两个正方形A、B，将A，B并列放置后构造新的图形，分别得到长方形图甲与正方形图乙．若图甲、图乙中阴影的面积分别为12与38，则正方形B的面积为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 6．（2024秋•市北区期中）中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴．如图小陶家有一个中国结装饰，可以近似看作菱形ABCD，测得BD＝16cm，AC＝12cm，则此菱形周长为（　　） A．28cm B．40cm C．56cm D．80cm 7．（2024秋•龙岗区期中）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O．若∠AOB＝50°，则∠ADB的度数为（　　） A．65° B．50° C．25° D．20° 8．（2024秋•东港市期中）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点C作CE⊥AB，交AB于点E，连接OE，若OE＝6，OB＝8，则CE的长为（　　） A． B． C． D． 二．填空题（共8小题） 9．（2024秋•开鲁县校级期中）如图，已知矩形的长为10cm，宽为4cm，则图中阴影部分的面积为 　 　． 10．（2024秋•滕州市校级期中）如图，已知菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O．若AC＝6，，则∠DAB的度数是 　 　． 11．（2024秋•东港市期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝4cm，对角线AC与BD相交于点O，DE⊥AC，垂足为E，OE＝CE，则BC的长为 　 　． 12．（2024秋•南京期中）如图，在边长为5的正方形ABCD中，点E，F，G分别在边AB，AD，CD上，EG与BF交于点P，AE＝1，BF＝EG，DG＞AE，则DP长的最小值为 　 　． 13．（2024秋•市北区期中）如图，点C是线段AB上的动点，AB＝10cm，∠A＝∠BCE＝30°，∠DCA＝∠B＝60°，连接DE，F是线段DE的中点，连接CF，则CF的最小值是 　 　cm． 14．（2024秋•城阳区期中）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于点H，连接OH，若∠BAD＝52°，则∠DHO的度数是　 　． 15．（2024秋•栾城区期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝8cm，AD＝12cm，点P从点B出发，以2cm/s的速度沿BC边向点C运动，到达点C停止，同时，点Q从点C出发，以v cm/s的速度沿CD边向点D运动，到达点D停止，规定其中一个动点停止运动时，另一个动点也随之停止运动．当点Q运动2秒时，△ABP的面积是　 　cm2；当v为　 　时，△ABP与△PCQ全等． 16．（2024春•衡阳期末）如图，在菱形ABCD中，AB＝5，BD＝8，点P为线段BD上不与端点重合的一个动点．过点P作直线BC、直线CD的垂线，垂足分别为点E、点F．连结PA，在点P的运动过程中，PE+PA+PF的最小值等于 　 　． 三．解答题（共5小题） 17．（2024秋•建邺区校级期中）如图，在正方形ABCD中，AB＝BC＝CD＝AD＝4，∠BAD＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，E是BC的中点，F是CD上一点，且，求证：∠AEF＝90°． 18．（2024秋•大东区期中）如图，O是菱形ABCD对角线的交点，过点C作CE∥BD，过点D作DE∥AC，CE与DE相交于点E． （1）求证：四边形OCED是矩形； （2）若AB＝1，∠ABC＝60°，求DE的长． 19．（2024秋•龙岗区期中）如图，在平行四边形ABCD中，∠BDC＝90°，E是AD边上一点，延长BE与CD的延长线交于点F，连接AF． （1）请从下列条件中选择一个能证明四边形ABDF是矩形的条件，并写出证明过程； ①AE＝DE；②BF＝BC；③AE＝BE． （2）若四边形ABDF是矩形，且AB＝3，AD＝5，求四边形ABCF的面积． 20．（2024秋•青羊区校级期中）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E是CD的中点，连接OE并延长到点F，使得∠DFO＝∠ACB． （1）判断四边形DOCF的形状，并说明理由； （2）连接AF，若AO＝1，AF⊥AB，求BO． 21．（2024•长子县二模）综合与实践 问题情境： 数学兴趣小组在探究与正方形有关的动点问题时，如图2，在正方形内取一点E，使∠CED＝90°，将点E绕点C逆时针旋转90°得到点E′，射线DE，E′B交于点F． 特例研究： 启智小组在探究过程中遵循由特殊到一般的探究规律：如图1，发现点E在对角线AC中点O处时，点F与点B重合，此时四边形EFE′C的形状为正方形． 探究发现： （1）博学小组发现，如图2，只要∠CED＝90°，四边形EFE′C的形状都是正方形，请证明； （2）奋发小组受博学小组的启发，进一步深入探究，如图3，取BC中点G，连接E′G，FO，AF，又发现：在点E运动过程中，FO与E′G始终保持特定的数量关系，请写出此数量关系，并说明理由； 拓展应用： （3）在（2）的条件下，已知AF＝1，BC＝5，直接写出BF的长度． 第1章特殊的平行四边形能力提升卷-2024-2025学年数学九年级上册北师大版 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 1．（2024春•惠州期末）平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质（　　） A．对角线相等 B．对角线互相平分 C．对角线平分一组对角 D．对角线互相垂直 【解答】解：根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的对角线相互平分的性质，可知选B． 故选：B． 2．（2024秋•东港市期中）在平面直角坐标系中放置了一个边长为的正方形，如图所示，点B在y轴上，且坐标是（0，2），点C在x轴上，则点D的坐标为（　　） A． B．（3，1） C．（2.5，1.5） D． 【解答】解：如图，过点D作DE⊥x轴于点E， ∵四边形ABCD为正方形， ∴∠BCD＝90°，而∠BOC＝90°， ∴∠OBC+∠OCB＝∠OCB+∠DCE， ∴∠OBC＝∠DCE；在△OBC与△ECD中， ， ∴△OBC≌△ECD（AAS）， ∴DE＝OC，CE＝OB； 由题意得：BC2＝OB2+OC2，而OB＝2，BC＝， ∴OC＝1，DE＝1，CE＝2， ∴点D的坐标为（3，1）． 故选：B． 3．（2024秋•崂山区期中）如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝2∠ABC，AC＝4cm，则BD的长为（　　） A．2cm B． C．4cm D． 【解答】解：在菱形ABCD中，设AC与BD交于点O， ∵AD∥BC，AC⊥BD， ∴∠BAD+∠ABC＝180°， ∵∠BAD＝2∠ABC， ∴3∠ABC＝180°， ∴∠ABC＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴AB＝AC＝4cm，∠ABD＝30°， ∴AO＝AC＝2cm， ∴BO＝AO＝2（cm）， ∴BD＝2BO＝4（cm）． 故选：D． 4．（2024秋•福田区校级期中）如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，EF⊥AB于点F，连接DE并延长，交边BC于点M，交边AB的延长线于点G．若AF＝4，FB＝2，则MG＝（　　） A． B． C． D． 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，AF＝4，FB＝2， ∴CD＝AD＝AB＝BC＝6，∠ADC＝∠DAB＝∠ABC＝90°，DC∥AB，AD∥BC， ∴AC＝＝6， ∵EF⊥AB， ∴EF∥BC， ∴△AEF∽△ACB， ∴， ∴， ∴EF＝4， ∴AE＝＝4， ∴CE＝AC﹣AE＝2， ∵AD∥CM， ∴△ADE∽△CME， ∴， ∴， ∴CM＝3＝BM， 在Δ CDM和Δ BGM中， ， ∴△CDM≌△BGM（SAS）， ∴CD＝BG＝6， ∴MG＝＝＝3． 故选：B． 5．（2024秋•海淀区校级期中）有两个正方形A、B，将A，B并列放置后构造新的图形，分别得到长方形图甲与正方形图乙．若图甲、图乙中阴影的面积分别为12与38，则正方形B的面积为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【解答】解：设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b， 由题意得，a（a+b）﹣a2﹣b2＝12，（a+b）2﹣a2﹣b2＝38， 即ab﹣b2＝12，ab＝19， ∴b2＝19﹣12＝7， 即正方形B的面积为7， 故选：B． 6．（2024秋•市北区期中）中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴．如图小陶家有一个中国结装饰，可以近似看作菱形ABCD，测得BD＝16cm，AC＝12cm，则此菱形周长为（　　） A．28cm B．40cm C．56cm D．80cm 【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，且BD＝16cm，AC＝12cm， ∴AB＝BC＝CD＝AD，OB＝OD＝BD＝8cm，OA＝OC＝AC＝6cm，AC⊥BD， ∴∠AOB＝90°， 在Rt△OAB中，由勾股定理得：AB＝＝＝10（cm）， ∴此菱形ABCD的周长＝4AB＝4×10＝40（cm）， 故选：B． 7．（2024秋•龙岗区期中）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O．若∠AOB＝50°，则∠ADB的度数为（　　） A．65° B．50° C．25° D．20° 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴OA＝OD， ∴∠OAD＝∠ODA， ∵∠AOB＝∠OAD+∠ODA＝50°， ∴∠ADB＝25°． 故选：C． 8．（2024秋•东港市期中）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点C作CE⊥AB，交AB于点E，连接OE，若OE＝6，OB＝8，则CE的长为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，OB＝8， ∴OA＝OC，BD＝2OB＝16，AC⊥BD， ∵CE⊥AB， ∴∠CEA＝90°， ∴AC＝2OE＝2×6＝12， ∴OA＝6， 在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB＝＝10， ∵S菱形ABCD＝AB•CE＝AC•BD＝×12×16＝96， ∴10CE＝96， ∴CE＝9.6 故选：D． 二．填空题（共8小题） 9．（2024秋•开鲁县校级期中）如图，已知矩形的长为10cm，宽为4cm，则图中阴影部分的面积为 　20cm2　． 【解答】解：阴影部分面积＝×长方形的面积＝×10×4＝20（cm2）， 故答案为：20cm2． 10．（2024秋•滕州市校级期中）如图，已知菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O．若AC＝6，，则∠DAB的度数是 　60°　． 【解答】解：已知菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O．若AC＝6，， ∴， 在Rt△ADO中，由勾股定理得：， ∴， ∴△ABD是等边三角形， ∴∠DAB＝60°， 故答案为：60°． 11．（2024秋•东港市期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝4cm，对角线AC与BD相交于点O，DE⊥AC，垂足为E，OE＝CE，则BC的长为 　4cm　． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴OA＝OC＝AC，OD＝BD，AC＝BD，CD＝AB＝4cm， ∴OA＝OD＝OC， ∵DE⊥AC，OE＝CE， ∴∠DEA＝90°， ∴OD＝CD＝4cm， ∵OC＝OD＝CD＝4cm， ∴BD＝2OD＝8cm， ∴BC＝＝4（cm）， 故答案为：4cm． 12．（2024秋•南京期中）如图，在边长为5的正方形ABCD中，点E，F，G分别在边AB，AD，CD上，EG与BF交于点P，AE＝1，BF＝EG，DG＞AE，则DP长的最小值为 　　． 【解答】解：过点E作EM⊥CD于点M，取BE的中点O，连接OP，OD， 由题意可得： ∴AB＝AD，∠A＝∠ADC＝∠DME＝∠CME＝90°，AB∥CD， ∴四边形ADME是矩形， 在Rt△BAF和Rt△EMG中， ， ∴Rt△BAF≌Rt△EMG（HL）， ∴∠ABF＝∠MEG，∠AFB＝∠EGM， ∵AB∥CD， ∴∠MGE＝∠BEG＝∠AFB， ∵∠ABF+∠AFB＝90°， ∴∠ABF+∠BEG＝90°， ∴∠EPF＝90°， ∴BF⊥EG， ∴， ∵AB＝5，AE＝1， ∴BE＝5﹣1＝4， ∵， ∴OA＝AB﹣OB＝3， ∵OD﹣OP≤DP， ∴当O、D、P共线时，DP有最小值， ∵， ∴， ∴， ∴DP的最小值为， 故答案为：． 13．（2024秋•市北区期中）如图，点C是线段AB上的动点，AB＝10cm，∠A＝∠BCE＝30°，∠DCA＝∠B＝60°，连接DE，F是线段DE的中点，连接CF，则CF的最小值是 　　cm． 【解答】解：延长AD，BE交于G， ∵∠A＝∠BCE＝30°，∠DCA＝∠B＝60°， ∴∠AGB＝∠ADC＝∠BEC＝∠DCE＝90°， ∴四边形CDGE是矩形， ∵F是线段DE的中点， ∴FG＝FD＝FE＝FC， ∴点F是矩形的中心， ∴点F在对角线CG上，且CF＝CG， ∴当CG最小时，CF最小， 当CG⊥AB时，CG最小， ∵∠A＝30°， ∴AC＝CG， ∵∠B＝60°， ∴∠BGC＝30°， ∴BC＝CG， ∵AB＝10cm， ∴CG+CG＝10， 解得CG＝， ∴CF＝CG＝（cm）， 答：CF的最小值是cm； 故答案为：． 14．（2024秋•城阳区期中）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于点H，连接OH，若∠BAD＝52°，则∠DHO的度数是　26°　． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴OD＝OB，AB∥CD，BD⊥AC， ∵DH⊥AB， ∴DH⊥CD，∠DHB＝90°， ∴OH为Rt△DHB的斜边DB上的中线， ∴OH＝OD＝OB， ∴∠BDH＝∠DHO， ∵DH⊥CD， ∴∠BDH+∠CDO＝90°， ∵BD⊥AC， ∴∠CDO+∠DCO＝90°， ∴∠BDH＝∠DCO， ∴∠DHO＝∠DCA， ∵四边形ABCD是菱形， ∴DA＝DC， ∴∠CAD＝∠DCA， ∵∠BAD＝52°， ∴∠CAD＝26°， ∴∠CAD＝∠DCA＝26°， ∴∠DHO＝26°， 故答案为：26°． 15．（2024秋•栾城区期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝8cm，AD＝12cm，点P从点B出发，以2cm/s的速度沿BC边向点C运动，到达点C停止，同时，点Q从点C出发，以v cm/s的速度沿CD边向点D运动，到达点D停止，规定其中一个动点停止运动时，另一个动点也随之停止运动．当点Q运动2秒时，△ABP的面积是　16　cm2；当v为　2或　时，△ABP与△PCQ全等． 【解答】解：由题意得，当点Q运动2秒时，BP＝4cm， ∴； 当BP＝CQ，AB＝PC时，△ABP≌△PCQ， ∵AB＝PC＝8cm， ∴BP＝CQ＝12﹣8＝4（cm）， ∴2t＝4， 解得t＝2， ∴2v＝4， 解得v＝2； 当BA＝CQ，BP＝CP时，△ABP≌△QCP， ∵， ∴2t＝6， 解得t＝3， ∵BA＝CQ＝8cm， ∴3v＝8， 解得， 综上所述，当v＝2或时，△ABP与△PCQ全等， 故答案为：16；2或． 16．（2024春•衡阳期末）如图，在菱形ABCD中，AB＝5，BD＝8，点P为线段BD上不与端点重合的一个动点．过点P作直线BC、直线CD的垂线，垂足分别为点E、点F．连结PA，在点P的运动过程中，PE+PA+PF的最小值等于 　7.8　． 【解答】解：如图，连接AC交BD于点O，连接PC， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，OB＝BD＝×8＝4，AB＝BC＝CD＝5， 在Rt△AOB中，由勾股定理得：OA＝＝＝3， ∴OC＝OA＝3， ∵PE⊥BC，PF⊥CD，S△BCP+S△CDP＝S△BCD， ∴BC•PE+CD•PF＝BD•OC， ∴5PE+5PF＝8×3， 解得：PE+PF＝4.8， 即PE+PF的值为定值4.8， 当PA最小时，PE+PA+PF有最小值， ∵当PA⊥BD时，PA的最小值＝OA＝3， ∴PE+PA+PF的最小值＝4.8+3＝7.8， 故答案为：7.8． 三．解答题（共5小题） 17．（2024秋•建邺区校级期中）如图，在正方形ABCD中，AB＝BC＝CD＝AD＝4，∠BAD＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，E是BC的中点，F是CD上一点，且，求证：∠AEF＝90°． 【解答】证明：∵AB＝BC＝CD＝AD＝4，∠BAD＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，E是BC的中点，且CF＝CD， ∴BE＝EC＝2，CF＝1， 在Rt△ABE中，由勾股定理可得AE2＝AB2+BE2＝20， 同理可得：EF2＝EC2+FC2＝5，AF2＝AD2+DF2＝25， ∵AE2+EF2＝AF2， ∴△AEF为直角三角形， ∴∠AEF＝90°． 18．（2024秋•大东区期中）如图，O是菱形ABCD对角线的交点，过点C作CE∥BD，过点D作DE∥AC，CE与DE相交于点E． （1）求证：四边形OCED是矩形； （2）若AB＝1，∠ABC＝60°，求DE的长． 【解答】（1）证明：∵CE∥OD，DE∥AC， ∴四边形OCED是平行四边形． 又∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，即∠COD＝90°， ∴四边形OCED是矩形； （2）解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC＝1，AO＝OC， 又∵∠ABC＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴AC＝AB＝1， ∴OC＝AC＝， ∵四边形OCED是矩形， ∴DE＝OC＝． 19．（2024秋•龙岗区期中）如图，在平行四边形ABCD中，∠BDC＝90°，E是AD边上一点，延长BE与CD的延长线交于点F，连接AF． （1）请从下列条件中选择一个能证明四边形ABDF是矩形的条件，并写出证明过程； ①AE＝DE；②BF＝BC；③AE＝BE． （2）若四边形ABDF是矩形，且AB＝3，AD＝5，求四边形ABCF的面积． 【解答】解：（1）选①AE＝DE． 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠ABE＝∠DFE， 在△ABE和△DFE中， ， ∴△ABE≌△DFE（AAS）， ∴AB＝DF， ∵AB∥DF，AB＝DF， ∴四边形ABDF是平行四边形， ∵∠BDC＝90°， ∴∠BDF＝90°， ∴四边形ABDF是矩形； （2）解：∵四边形ABDF是矩形， ∴AB＝DF， ∵四边形ABDF是平行四边形， ∴AB＝CD， ∴AB＝DF＝CD＝3， ∴CF＝DF+CD＝3+3＝6， 在Rt△BDC中，BC＝AD＝5，CD＝3， ∴BD＝＝＝4， ∵AB∥CF， ∴S＝BD（AB+CF）＝×4×（3+6）＝18， ∴四边形ABCF的面积S等于18． 20．（2024秋•青羊区校级期中）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E是CD的中点，连接OE并延长到点F，使得∠DFO＝∠ACB． （1）判断四边形DOCF的形状，并说明理由； （2）连接AF，若AO＝1，AF⊥AB，求BO． 【解答】解：（1）四边形DOCF是矩形，理由如下： ∵四边形ABCD是菱形， ∴BO＝DO，AC⊥BD， ∴∠BOC＝∠COD＝90°， ∵点E是CD的中点， ∴OE是△BCD的中位线， ∴OE∥BC， ∴∠DOF＝∠OBC， 又∵∠DFO＝∠OCB， ∴△DOF≌△OBC（AAS）， ∴DF＝OC，∠ODF＝∠BOC， ∴DF∥OC， ∴四边形DOCF是平行四边形， 又∵∠COD＝90°， ∴平行四边形DOCF是矩形； （2）如图，连接BF， 设BO＝DO＝a，则BD＝2a， ∵四边形ABCD是菱形， ∴CO＝AO＝1，AC＝2AO＝2，AC⊥BD， ∴AB2＝BO2+AO2＝a2+12＝a2+1， 由（1）可知，四边形DOCF是矩形， ∴ODF＝∠FCO＝90°，DF＝OC＝1，CF＝DO＝a， ∴AF2＝CF2+AC2＝a2+22＝a2+4，BF2＝BD2+DF2＝（2a）2+12＝4a2+1， ∵AF⊥AB， ∴∠BAF＝90°， ∴BF2＝AB2+AF2＝a2+12+a2+4＝2a2+5， ∴4a2+1＝2a2+5， 整理得：a2＝2， 解得：a＝（负值已舍去）， 即BO的长为． 21．（2024•长子县二模）综合与实践 问题情境： 数学兴趣小组在探究与正方形有关的动点问题时，如图2，在正方形内取一点E，使∠CED＝90°，将点E绕点C逆时针旋转90°得到点E′，射线DE，E′B交于点F． 特例研究： 启智小组在探究过程中遵循由特殊到一般的探究规律：如图1，发现点E在对角线AC中点O处时，点F与点B重合，此时四边形EFE′C的形状为正方形． 探究发现： （1）博学小组发现，如图2，只要∠CED＝90°，四边形EFE′C的形状都是正方形，请证明； （2）奋发小组受博学小组的启发，进一步深入探究，如图3，取BC中点G，连接E′G，FO，AF，又发现：在点E运动过程中，FO与E′G始终保持特定的数量关系，请写出此数量关系，并说明理由； 拓展应用： （3）在（2）的条件下，已知AF＝1，BC＝5，直接写出BF的长度． 【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BCD＝90°，BC＝CD， ∴∠BCE+∠DCE＝90°， ∵点E绕点C逆时针旋转90°得到点E′， ∴CE＝CE′，∠ECE′＝90°， ∵∠CED＝90°， ∴∠BCE+∠DCE＝90°，∠BCE+∠BCE′＝90°， ∴∠DCE＝∠BCE′， △CBE′≌△CDE（SAS）， ∴∠CED＝∠CE′B＝90°， ∴四边形EFE′C的形状都是矩形， ∵CE＝CE′， ∴四边形EFE′C是正方形． （2），理由如下： 连接BD，OG， ∵四边形ABCD是正方形，O是AC的中点， ∴O是BD的中点，AC＝BD，， ∵四边形EFE′C是正方形， ∴∠BFE＝90°， ∴， ∵四边形ABCD是正方形，O是AC的中点， ∴OC＝OB，∠BOC＝90°，∠OBC＝∠OCB＝45°， ∵G是BC的中点， ∴OG＝BG＝GC， ∴， ∵四边形EFE′C是正方形， ∴∠BE′C＝90°， ∵G是BC的中点， ∴， ∴， ∴． （3）取AF的中点M，取BF的中点N， 连接OM，ON，OB，MN， ∴， ∵BC＝AB＝5， ∴， 根据（2）得OB＝OC＝OF＝OA，AF＝1， ∴，∠OMF＝90°，， ∴，∠ONF＝90°，， ∵四边形ABCD是正方形，O是AC的中点，BC＝AB＝5， ∴∠AOB＝90°，，， ∴＝， ∴， 过点M作MQ⊥ON于点Q， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$