湖南省永州市第一中学2024-2025学年高二上学期期中数学试卷

永州一中2024年高二上期期中数学试卷 （内容：必修一、二20%，选修一80%） 一、单选题（每道题只有一个正确的选项，每小题5分，共40分） 1. 双曲线的虚轴长为（ ） A. B. C. 3 D. 6 2. 已知，若，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 2 3. 抛物线的准线方程是（ ） A. B. C. D. 4. 平行六面体的底面是边长为2的正方形，且，，为，的交点，则线段的长为（ ） A. 3 B. C. D. 5. 已知抛物线的焦点为F，过F作斜率为2的直线l与抛物线交于A，B两点，若弦的中点到抛物线准线的距离为3，则抛物线的方程为（ ） A. B. C. D. 6. “太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点是阴影部分（包括边界）的动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知双曲线的左，右焦点分别为，过的直线与轴交于点，与的右支交于点，且满足，若点四点共圆（为坐标原点），则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在棱长为的正方体中，点是平面内一个动点，且满足，则直线与直线所成角的余弦值的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每道题至少有2个或2个以上的答案正确，每小题6分，共18分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. “”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 B. “”是“直线与直线互相平行”的充要条件 C. 直线的倾斜角的取值范围是 D. 若点，，直线过点且与线段相交，则的斜率的取值范围是 10. 已知圆的半径为定长，是圆所在平面内一个定点，是圆上任意一点，线段的垂直平分线和直线相交于点.当点在圆上运动时，下列判断正确的是（ ） A. 当点在圆内（不与圆心重合）时，点的轨迹是椭圆 B. 点的轨迹可能是一个定点 C. 点的轨迹不可能是圆 D. 当点在圆外时，点的轨迹是双曲线 11. 著名数学家华罗庚曾说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，事实上，很多代数问题都可以转化为几何问题加以解决，如：对于形如的代数式，可以转化为平面上点与的距离加以考虑.结合综上观点，对于函数，下列说法正确的是（ ） A. 的图象是轴对称图形 B. 的值域是 C. 先减小后增大 D. 方程有三个解 三、填空题（每道题5分，共15分） 12. 已知点N是点在坐标平面内的射影，则___________． 13. 一动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程为___________. 14. 已知椭圆的左､右焦点分别为，，为椭圆上任意一点，为圆上任意一点，则的最小值为______. 四、解答题（第15题13分，第16、17题每道题15分，每18、19题各17分） 15. 全国执业医师证考试分实践技能考试与医学综合笔试两部分，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考试都“合格”者，则执业医师考试“合格”，并颁发执业医师证书.甲、乙、丙三人在医学综合笔试中“合格”的概率依次为，，，在实践技能考试中“合格”的概率依次为，，，所有考试是否合格互不影响. （1）假设甲、乙、丙三人同时进行实践技能考试与医学综合笔试两项考试，谁获得执业医师证书的可能性最大？ （2）这三人进行实践技能考试与医学综合理论考试两项考试后，求恰有两人获得执业医师证书的概率. 16. 已知圆C：和定点，直线l：（）. （1）当时，求直线l被圆C所截得的弦长； （2）若直线l上存在点M，过点M作圆C的切线，切点为B，满足，求m的取值范围. 17. 如图，在三棱柱中，，，，在底面ABC的射影为BC的中点，D是的中点. （1）证明：平面； （2）求平面与平面所成角的余弦值. 18. 已知A、B分别为椭圆E：（a>1）的左、右顶点，G为E的上顶点，，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D． （1）求E的方程； （2）证明：直线CD过定点. 19. 若函数对定义域内的每一个值，在其定义域内都存在唯一的，使成立，则称该函数为“依赖函数”． （1）判断函数是否为“依赖函数”，并说明理由； （2）若函数在定义域（）上为“依赖函数”，求的取值范围； （3）已知函数在定义域上为“依赖函数”，若存在实数，使得对任意的，不等式都成立，求实数s的最大值． 永州一中2024年高二上期期中数学试卷 （内容：必修一、二20%，选修一80%） 一、单选题（每道题只有一个正确的选项，每小题5分，共40分） 【1题答案】 【答案】D 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】A 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】D 【8题答案】 【答案】A 二、多选题（每道题至少有2个或2个以上的答案正确，每小题6分，共18分） 【9题答案】 【答案】BCD 【10题答案】 【答案】ABD 【11题答案】 【答案】ACD 三、填空题（每道题5分，共15分） 【12题答案】 【答案】5 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】## 四、解答题（第15题13分，第16、17题每道题15分，每18、19题各17分） 【15题答案】 【答案】（1）乙的可能性最大 （2） 【16题答案】 【答案】（1） （2） 【17题答案】 【答案】（1）证明：取BC的中点，连接，， ，D是的中点.， ，， 因为在底面ABC的射影为BC的中点，所以平面ABC， 又平面平面，所以平面， 又面，所以， 因为，平面，所以平面； （2） 【18题答案】 【答案】（1）； （2）证明如下： [方法一]：设而求点法 证明：设， 则直线的方程为：，即： 联立直线的方程与椭圆方程可得：，整理得： ，解得：或 将代入直线可得： 所以点的坐标为. 同理可得：点的坐标为 当时， 直线的方程为：， 整理可得： 整理得： 所以直线过定点． 当时，直线：，直线过点． 故直线CD过定点． [方法二]【最优解】：数形结合 设，则直线的方程为，即． 同理，可求直线的方程为． 则经过直线和直线的曲线的方程可写为． 可化为．④ 易知A，B，C，D四个点满足上述方程，同时A，B，C，D又在椭圆上，则有，代入④式可得． 故，可得或． 其中表示直线，则表示直线． 令，得，即直线恒过点． 【19题答案】 【答案】（1）不是“依赖函数”，理由如下： 对于函数的定义域内存在，则无解， 故不是“依赖函数”. （2） （3）最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $