专题26.3 实际问题与反比例函数（2大知识点7类题型）（知识梳理与题型分类讲解）-2024-2025学年九年级数学下册基础知识专项突破讲与练（人教版）

专题26.3 反比例函数的应用（2大知识点7类题型）（知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识梳理与题型目录】 【知识点1】利用反比例函数解决实际问题思路 在生活与生产中，如果某些问题的两个量成反比例关系，那么可以根据这种关系建立反比例函数模型，再利用反比例函数的有关知识解决实际问题，运用反比例函数解决实际问题时常用的两种思路： （1）通过问题提供的信息，明确变量之间的函数关系，设出相应的函数表达式，再根据题目条件确定函数表达式中的待定系数的值； （2）已知反比例函数模型的表达式，运用反比例函数的图象及性质解决问题； 【知识点2】运用反比例函数解决实际问题的一般步骤 （1）审； （2）设； （3）列； （4）写； （5）解. 【特别提示】利用反比例函数解决实际问题时应注意: 1.要理清题目中的常量与变量及其基本数量关系； 2.结合问题的实际意义确定目变量的取值范围； 3.要熟练掌握反比例函数的薏义、图象和性质. 题型目录 【题型1】反比例函数在生产生活中的应用......................................1; 【题型2】反比例函数在工程问题中的应用......................................4； 【题型3】反比例函数在跨学科中的应用........................................7； 【题型4】反比例函数在销售利润中的应用......................................9； 【题型5】反比例函数与几何综合应用.........................................12； 【题型6】直通中考.........................................................16; 【题型7】拓展延伸.........................................................18. 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】反比例函数在生产生活中的应用 【例1】（23-24八年级下·全国·期末）心理学研究发现，一般情况下，在一节45分钟的课中，学生的注意力随学习时间的变化而变化．开始学习时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．经过实验分析可知，学生的注意力指标数y随时间x（分钟）的变化规律如下图所示． (1)开始学习后第5分钟时与第40分钟时相比较，何时学生的注意力更集中？ (2)某校博雅课堂学习大致可分为三个环节：即“自学自测展素养，研学随练展收获，检学综练展成效”．其中重点环节“研学随练展收获”这一过程一般需要30分钟才能完成，为了确保效果，要求学习时的注意力指标数不低于40，请问这样的课堂学习安排是否合理？并说明理由． 【答案】(1)第40分钟时更集中 (2)合理，理由见解析 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，此题属于分段函数，根据实际情况，结合图象，求出相对应的函数解析式，计算出数值，代入相应的函数解析式解决问题． （1）从图象上看，表示的函数为一次函数，是平行于轴的线段，为双曲线的一部分，设出解析式，代入数值可以解答，把自变量的值代入相对应的函数解析式，求出对应的函数值比较得出； （2）求出相对应的自变量的值，代入相对应的函数解析式，求出注意力指标数与40相比较，得出答案． 解：（1）设，把，代入函数解析式解得，， 由图象直接得到， 设，把代入函数解析式解得； 把代入，得， 把代入，得， 因为， 所以第40分钟时学生的注意力更集中； （2）由题意知，注意力指数不低于40 即当在， 同时 即 即当开始上课分钟直至上课37.5分钟时学生的注意力指数均不小于40． 而， 该学习设计合理． 【变式1】（23-24九年级上·山东济南·期末）学校的自动饮水机，开机加热时水温每分钟上升，加热到，停止加热，水温开始下降．此时水温与通电时间成反比例．当水温降至时，饮水机再自动加热．若水温在时接通电源，水温y与通电时间x之间的关系如图所示，则下列说法正确的是（   ） A．水温从加热到，需要 B．水温下降过程中，y与x的函数关系式是 C．水温从降至，所需时间为 D．水温不低于的时间为 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数和反比例函数的应用，数形结合是解决本题的关键．先利用待定系数法求函数的解析式，再利用解析式求得对应信息． 解：∵开机加热时水温每分钟上升， ∴水温从加热到，需要，故A选项错误； ∴设反比例函数的解析式为，将点代入，可=得， ∴水温下降过程中，与的函数关系式是，故B选项错误； 将代入得， 解得 ∴ ∴水温从降至，所需时间为，故C选项错误； ∵开机加热时水温每分钟上升， ∴水温从加热到，需要， 将代入得， 解得 ∴水温不低于的时间为，故D选项正确．故选：D． 【变式2】（21-22九年级上·全国·单元测试）近视眼镜的度数（度）与镜片焦距成反比例，已知度近视眼镜镜片的焦距为米，则眼镜度数与镜片焦距之间的函数关系式为 ．（无需确定的取值范围） 【答案】 【分析】本题主要考查了根据实际问题列反比例函数关系式．设眼镜度数与镜片焦距之间的函数关系式为：，把代入即可求出k的值． 解：设眼镜度数与镜片焦距之间的函数关系式为：， 把代入， 可得出， ∴眼镜度数与镜片焦距之间的函数关系式为，故答案为：． 【题型2】反比例函数在工程问题中的应用 【例2】（24-25九年级上·安徽阜阳·阶段练习）某工程队修建一条村村通公路，所需天数（单位：天）与每天修建该公路长度（单位：米）是反比例函数关系，已知该函数关系的图象经过点，如图．   (1)求与之间的函数表达式（不用写出自变量的取值范围）； (2)其它条件不变，求该工程队每天修建该公路30米要比每天修建24米提前多少天完成此项工程? 【答案】(1)与之间的函数表达式为 (2)该工程队每天修建该公路30米要比每天修建24米提前天完成此项工程 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式、反比例函数的应用，正确求出反比例函数解析式是解此题的关键． （1）利用待定系数法求解即可得出与之间的函数表达式； （2）将及代入（1）中求得的解析式，求出值，作差后即可得出答案． 解：（1）设与之间的函数表达式为， ∵该函数关系的图象经过点， ∴， ∴， ∴与之间的函数表达式为； （2）当时，， 当时，， ∵， ∴该工程队每天修建该公路30米要比每天修建24米提前天完成此项工程． 【变式1】（23-24九年级上·辽宁大连·期末）一工程中，某工程队工人每天需要挖掘20吨土的深沟，整个工程完毕恰好用了6天. （1）在工程结束后，工人需要把所有的土进行回填，在整个回填过程中，平均回填速度v（单位：吨/天）与回填天数t之间有怎样的函数关系？ （2）由于遇到紧急情况，要求整个回填工程不超过4天完毕，那么平均每天至少要回填多少吨土？ 【答案】(1)；(2)平均每天至少要回填30吨土 【分析】本题考查反比例函数的应用，根据题意列出反比例函数解析式是解题关键. （1）首先根据题意可知总工作量为吨不变，故回填速度v与回填天数t之间为反比例关系，即，变形即可得出v关于t的函数关系式； （2）由得出，再将代入，即可求出v的取值范围． 解：（1）设总工作量为k吨，根据已知条件得， ∴v关于t的函数表达式为； （2）∵， ∴， ∵， ∴， 解得． 那么平均每天至少要回填30吨土． 【变式2】（18-19九年级上·全国·单元测试）市政府计划建设一水利工程，某运输公司承办了这项工程运送土石方的任务．该运输公司平均每天的工作量（米3天）与完成运送任务所需的时间（天）之间的函数图象如图所示．若该公司确保每天运送土石方米3，则公司完成全部运输任务需 天． 【答案】 【分析】观察图象易知V与t之间是反比例函数关系，所以可以设v＝，依据图象上点（10，4000）的坐标可以求得v与t之间的函数关系式．再将v=1000代入求出t． 解：设v=， ∵点(10,4000)是图象上的点， ∴4000=， ∴k=40000. ∴v=. 将v=1000代入上式得： 1000=， t=40. 故公司完成全部运输任务需40天. 故答案为40. 【点拨】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是熟练的掌握反比例函数的应用. 【题型3】反比例函数在跨学科中的应用 【例3】（23-24九年级上·辽宁大连·阶段练习）已知蓄电池的电压为定值，使用该蓄电池时，电流I（单位：）与电阻R（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示． (1)求出这个反比例函数的解析式； (2)若使用时测得电流I为，则电阻R是 ； (3)如果以此蓄电池为电源的用电器限制电流不能超过，那么用电器的可变电阻应控制在什么范围？ 【答案】(1) (2)24 (3)用电器可变电阻应控制在4.8欧以上的范围内 【分析】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是正确地从中整理出函数模型，并利用函数的知识解决实际问题． （1）先由电流J是电阻R的反比例函数，可设，将点，利用待定系数法即可求出这个反比例函数的解析式． （2）根据反比例函数关系式即可求解； （3）根据题意可得出，解不等式即可确定电阻的取值范围． 解：（1）电流1是电阻R的反比例函数， 设， ∵图象经过， ∴， 解得， ∴， （2）当时， 则， ∴， （3）∵，， ∴， ∴， 则用电器可变电阻应控制在4.8欧以上的范围内． 【变式1】（2024·湖北·模拟预测）某个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．如图所示的是该台灯的电流．与电阻的关系图象，该图象经过点．根据图象可知，下列说法正确的是（　　） A．当时， B．I与R的函数关系式是 C．当时， D．当时，I的取值范围是 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键，根据题意设I与R的函数关系式是，将代入关系式，求出反比例函数关系式再根据各选项的条件求出结论，即可判断是否正确，进而得到答案． 解：设I与R的函数关系式是， ∵该图象经过点， ∴， ∴， ∴I与R的函数关系式是，故B不符合题意， 当时，， ∵， ∴I随R增大而减小， ∴当时，， 当时，， 当时，的取值范围是， 故A、C不符合题意，D符合题意． 故选：D． 【变式2】（2024·山西·模拟预测）在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，加压后气体对汽缸壁所产生的压强与汽缸内气体的体积成反比例，p关于V的函数图象如图所示．若压强由加压到，则气体体积压缩了 ． 【答案】15 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，设，利用待定系数法求出，再分别求出当时，，当时，，据此可得答案． 解：设， 把代入中得：，解得 ∴， 在中，当时，，当时，， ∴若压强由加压到，则气体体积压缩了， 故答案为：15． 【题型4】反比例函数在销售利润中的应用 【例4】（2024九年级上·北京·专题练习）某商场出售一批进价为2元的贺卡，在市场营销中发现此商品的日销售单价x元与日销售量y个之间有如下关系： x （元） 3 4 5 6 y （个） 20 15 12 10 (1)请你认真分析表中数据，从你所学习过的一次函数、反比例函数和其它函数中确定哪种函数能表示其变化规律，说明确定是这种函数而不是其它函数的理由，并求出它的解析式； (2)设经营此贺卡的销售利润为W元，试求出W（元）与x（元）之间的函数关系式．若物价局规定此贺卡的售价最高不能超过10元/个，请你求出当日销售单价x定为多少元时，才能获得最大日销售利润？ 【答案】(1)； (2)当日销售单价x定为10元时，才能获得最大日销售利润 【分析】本题考查了反比例函数的定义，两个变量的积是定值，也考查了根据实际问题和反比例函数的关系式求最大值，属于中等难度的题，解答此类题目的关键是仔细理解题意． （1）要确定y与x之间的函数关系式，通过观察表中数据，可以发现x与y的乘积是相同的，都是60，所以可知y与x成反比例，用待定系数法求解即可； （2）首先要知道纯利润=（销售单价日销售数量y，这样就可以确定W与x的函数关系式，然后根据题目的售价最高不超过10元/张，就可以求出获得最大日销售利润时的日销售单价x． 解：（1）反比例函数能表示其变化规律．因为表中每对x、y的值的乘积均为60，是一个定值．其解析式为； （2）∵， 又∵， ∴当，W最大， 故当日销售单价x定为10元时，才能获得最大日销售利润． 【变式1】（22-23九年级上·福建宁德·阶段练习）某药店对一种消毒液5天中的售价与销量进行调查，销量是售价的函数（统计数据见下表）．已知该消毒液的进价为22元/瓶，则下列说法正确的是（　　） 售价x（元/瓶） 24 25 30 32 37.5 销售y（瓶） 200 192 160 150 128 A．销量是售价的正比例函数 B．每天的利润是售价的正比例函数 C．每天的利润是售价的反比例函数 D．要使每天的利润达到1600元，售价应为33元/瓶 【答案】D 【分析】根据反比例函数的意义计算售价和销售量的乘积，即可判断A，再求出利润的表达式，即可判断B，C，根据利润为1600元列出方程，解之即可判断D． 解：由表可知： ， ∴销量是售价的反比例函数，故A不合题意； 每天的利润为： 故每天的利润既不是售价的正比例函数，也不是反比例函数，故B，C不合题意； 要使每天的利润达到1600元， 则， 解得：，即售价为33元/瓶，故D符合题意； 故选D． 【点拨】本题考查了正比例函数和反比例函数，解答本题的关键是正确利用表格中的数据，掌握销售问题中的等量关系． 【变式2】．（20-21九年级上·江苏南通·期中）调查显示，某商场一款运动鞋的售价是销量的反比例函数（调查获得的部分数据如下表）． 售价（元/双） 销售量（双） 已知该运动鞋的进价为元/双，要使该款运动鞋每天的销售利润达到元，则其售价应定为 元． 【答案】300 【分析】先利用待定系数法求出，再根据“利润（售价进价）销量”建立方程，然后解方程即可得． 解：由题意，设， 将代入得：，解得， 则， 设要使该款运动鞋每天的销售利润达到元，其售价应定为元， 则， 整理得：， 解得， 经检验，是所列方程的解， 故答案为：300． 【点拨】本题考查了利用待定系数法求反比例函数的解析式、分式方程的应用，正确求出售价与销量之间的反比例函数关系式是解题关键． 【题型5】反比例函数与几何综合应用 【例5】（2023·全国·三模）已知点，在反比例函数的图象上，且横坐标分别为，，过点向轴作垂线段，过点向轴作垂线段，两条垂线段交于点，过点，分别作轴于，轴于． （1）若，，求点的坐标； （2）若，当点在直线上时，求的值． 【答案】(1)；(2) 【分析】本题考查了反比例函数，待定系数法求直线的解析式，解一元二次方程，熟练掌握以上知识点解题的关键． （1）把，代入，得到、两点坐标，进而得到点坐标； （2）先表示出、两点的坐标，得到，，，再利用待定系数的法求得直线DE的解析式，最后把点坐标代入并结合即可得到答案． 解：（1）解：时， 时， 过点向轴作垂线段，过点向轴作垂线段，两条垂线段交于点 （2）解：如图 点，在反比例函数的图象上，且横坐标分别为， ， ，， 设直线的解析式为 则，解得 直线的解析式为 点在直线上 化简得． 把代入，整理，得 解得 【变式1】（24-25九年级上·山东威海·阶段练习）如图，点A，B都在反比例函数的图象上，点P是直线上的一个动点，当最小时，点P的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标的特征，以及轴对称求最小值问题，解答本题的关键是求出A关于直线的对称点，利用数形结合的思想解答．先根据A，B都在反比例函数图象上，求出A，B坐标，再求出A的对称点，利用两点之间，线段最短来解答即可． 解：∵点A，B都在反比例函数的图象上， ∴， 解得：， ∴A，B， 作点关于直线的对称点，则：，， ∴， ∴当三点共线时，，最小， 设直线的解析式为：， 则：，解得：， ∴， 联立，解得：， ∴； 故选：B． 【变式2】（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，反比例函数的图象与矩形在第一家限相交于题图点，，，连接．记的面积分别为． （1）比较大小： （填“”、“”、“”）； （2）若，则的面积为 ． 【答案】 【分析】此题考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数系数的几何意义是解题的关键． （1）根据反比例系数的几何意义知的面积分别为进行解答即可； （2）根据的面积矩形的面积的面积的面积的面积进行解答即可． 解：（1）根据反比例系数的几何意义知的面积分别为， 故答案为： （2） ， 的面积矩形的面积的面积的面积的面积． 故答案为： 第三部分【中考链接与拓展延伸】 【题型6】直通中考 【例1】（2023·宁夏·中考真题）给某气球充满一定质量的气体，在温度不变时，气球内气体的气压是气体体积（）的反比例函数，其图象如图所示．    （1）当气球内的气压超过时，气球会爆炸．若将气球近似看成一个球体，试估计气球的半径至少为多少时气球不会爆炸（球体的体积公式，取3）； （2）请你利用与的关系试解释为什么超载的车辆容易爆胎． 【答案】(1)气球的半径至少为时，气球不会爆炸；(2)由于车辆超载，轮胎体积变小，胎内气压增大导致爆胎． 【分析】（1）设函数关系式为，用待定系数法可得，即可得当时，，从而求出； （2）由于车辆超载，轮胎体积变小，胎内气压增大导致爆胎． 解：（1）设函数关系式为， 根据图象可得：， ， 当时，， ， 解得：， ， 随的增大而减小， 要使气球不会爆炸，，此时， 气球的半径至少为时，气球不会爆炸； （2）由于车辆超载，轮胎体积变小，胎内气压增大导致爆胎． 【点拨】本题考查反比例函数的应用，涉及立方根等知识，解题的关键是读懂题意，掌握待定系数法求出反比例函数的解析式． 【例2】（2022·山东枣庄·中考真题）为加强生态文明建设，某市环保局对一企业排污情况进行检测，结果显示：所排污水中硫化物的浓度超标，即硫化物的浓度超过最高允许的1.0mg/L．环保局要求该企业立即整改，在15天内（含15天）排污达标．整改过程中，所排污水中硫化物的浓度y（mg/L）与时间x（天）的变化规律如图所示，其中线段AC表示前3天的变化规律，第3天时硫化物的浓度降为4.5mg/L．从第3天起，所排污水中硫化物的浓度y与时间x满足下面表格中的关系： 时间x（天） 3 5 6 9 …… 硫化物的浓度y（mg/L） 4.5 2.7 2.25 1.5 …… （1）在整改过程中，当0≤x＜3时，硫化物的浓度y与时间x的函数表达式； （2）在整改过程中，当x≥3时，硫化物的浓度y与时间x的函数表达式； （3）该企业所排污水中硫化物的浓度能否在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L？为什么？ 【答案】(1)线段AC的函数表达式为：y＝﹣2.5x+12（0≤x＜3）；(2)y＝（x≥3）；(3)该企业所排污水中硫化物的浓度可以在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L，理由见解析． 【分析】（1）设线段AC的函数表达式为：y=kx+b，把A、C两点坐标代入求出k、b的值即可； （2）设函数的表达式为：y=，把C点坐标代入，求出k的值即可； （3）根据（2）所得表达式，求出x=15时，y的值与硫化物浓度允许的最高值比较即可． 解：（1）解：由前三天的函数图像是线段，设函数表达式为：y=kx+b 把（0，12）（3，4.5）代入函数关系式，得 ， 解得：k=﹣2.5，b=12 ∴当0≤x＜3时，硫化物的浓度y与时间x的函数表达式为：y=﹣2.5x+12； （2）解：当x≥3时，设y=， 把（3，4.5）代入函数表达式，得4.5=， 解得k=13.5， ∴当x≥3时，硫化物的浓度y与时间x的函数表达式为：y= ； （3）解：能，理由如下： 当x=15时，y==0.9， 因为0.9＜1， 所以该企业所排污水中硫化物的浓度，能在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L． 【点拨】本题考查一次函数和反比例函数，熟练掌握根据坐标确定解析式的一次项系数和常数项是解题关键． 【题型7】拓展延伸 【例1】（24-25九年级上·全国·单元测试）某网店尝试用单价随天数而变化的销售模式销售一种商品，利用30天的时间销售一种成本为10元/件的商品，售后经过统计得到此商品单价与第x天(x为正整数)的销售量的相关信息，如下表所示． 销售量n(件) 销售单价m(元) 当时， 当时， (1)请计算第几天该商品的单价为25元？ (2)求网店销售该商品30天里每天所获利润y（元）关于x（天）的函数关系式． (3)这30天中，第几天获得的利润最大？ 最大利润是多少？ 【答案】(1)第10天或第28天时该商品单价为25元/件 (2) (3)第15天时获得利润最大，最大利润为612.5元 【分析】本题考查二次函数；反比例函数的实际应用． （1）分两种情形分别代入解方程即可． （2）分两种情形写出所获利润y（元）关于x（天）的函数关系式即可． （3）分两种情形根据函数的性质解决问题即可． 解：（1）分两种情况： ①当时，将代入，解得； ②当时，， 解得， 经检验是方程的解． ∴． 答：第10天或第28天时该商品单价为25元/件； （2）分两种情况： ①当时， ， ②当时，， 综上所述： ； （3）解：①当时， 由， ∵， ∴当时，有最大值（元）； ②当时， 由，可知随的增大而减小． ∴当时，有最大值（元）． ∵， ∴第15天时获得利润最大，最大利润为612.5元． 【例2】（23-24九年级上·广西南宁·开学考试）【综合与实践】 如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为的矩形地块种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用木栏围住，木栏总长为． 【问题提出】小明提出这样一个问题：若，能否围出矩形地块？ 【问题探究】（1）小华尝试从“函数图象”的角度解决这个问题： 设为，为．由矩形地块面积为，得到，木栏总长为，得到，在平面直角坐标系中作出两个函数的图象，则同时满足这两个条件的就可以看成两个函数图象交点的坐标． 如图2，反比例函数的图象与直线的交点坐标为和______，因此，木栏总长为时，能围出矩形地块，分别为：，；或______m，______． 【类比探究】（2）若，能否围出矩形地块？请仿照小华的方法，在图2中画出一次函数图象并说明理由． 【问题延伸】（3）当木栏总长为时，小华建立了一次函数．发现直线可以看成是直线通过平移得到的．在平移过程中，当直线与反比例函数的图象有唯一交点时，求交点坐标及a的值． 【答案】（1）；4；2；（2）时，不能围出面积为的矩形；图见解析，理由见解析；（3），交点坐标为． 【分析】（1）根据函数的解析式，联立构造方程组，转化为一元二次方程，解方程即可． （2）仿照（1），根据函数的解析式，联立构造方程组，转化为一元二次方程，利用根的判别式判定方程解的情况即可． （3）仿照（2），根据函数的解析式，联立构造方程组，转化为一元二次方程，利用根的判别式，令判别式等于零求解即可． 解：（1）将反比例函数与直线：联立得， ∴， ∴， ∴，， ∴方程组的解为或， ∴另一个交点坐标为， ∵为，为， ∴，． 故答案为：；4；2； （2）时，不能围出面积为的矩形；理由如下： 由题意得，即直线：， 将反比例函数与直线：联立得， ∴， ∴， ∵， ∴无解， 故两个函数图象无交点； 的图象， 当时，；当时，； 如图中所示： ∵与函数图象没有交点， ∴时，不能围出面积为的矩形； （3）如图中直线：所示， ∵直线与反比例函数的图象有唯一交点， ∴有唯一解，即：方程只有一个实数解， ∴， 解得：或（舍去）， 此时：， 解得：， 当时，， ∴此时交点坐标为． 【点拨】本题考查了一次函数解析式，反比例函数解析式，函数的交点问题，图象的画法，解方程组，解一元二次方程，根的判别式的应用，熟练掌握解方程组，解方程，根的判别式活用是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题26.3 反比例函数的应用（2大知识点7类题型）（知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识梳理与题型目录】 【知识点1】利用反比例函数解决实际问题思路 在生活与生产中，如果某些问题的两个量成反比例关系，那么可以根据这种关系建立反比例函数模型，再利用反比例函数的有关知识解决实际问题，运用反比例函数解决实际问题时常用的两种思路： （1）通过问题提供的信息，明确变量之间的函数关系，设出相应的函数表达式，再根据题目条件确定函数表达式中的待定系数的值； （2）已知反比例函数模型的表达式，运用反比例函数的图象及性质解决问题； 【知识点2】运用反比例函数解决实际问题的一般步骤 （1）审； （2）设； （3）列； （4）写； （5）解. 【特别提示】利用反比例函数解决实际问题时应注意: 1.要理清题目中的常量与变量及其基本数量关系； 2.结合问题的实际意义确定目变量的取值范围； 3.要熟练掌握反比例函数的薏义、图象和性质。 题型目录 【题型1】反比例函数在生产生活中的应用......................................1; 【题型2】反比例函数在工程问题中的应用......................................3； 【题型3】反比例函数在跨学科中的应用........................................3； 【题型4】反比例函数在销售利润中的应用......................................4； 【题型5】反比例函数与几何综合应用..........................................5； 【题型6】直通中考..........................................................6; 【题型7】拓展延伸..........................................................7. 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】反比例函数在生产生活中的应用 【例1】（23-24八年级下·全国·期末）心理学研究发现，一般情况下，在一节45分钟的课中，学生的注意力随学习时间的变化而变化．开始学习时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．经过实验分析可知，学生的注意力指标数y随时间x（分钟）的变化规律如下图所示． (1)开始学习后第5分钟时与第40分钟时相比较，何时学生的注意力更集中？ (2)某校博雅课堂学习大致可分为三个环节：即“自学自测展素养，研学随练展收获，检学综练展成效”．其中重点环节“研学随练展收获”这一过程一般需要30分钟才能完成，为了确保效果，要求学习时的注意力指标数不低于40，请问这样的课堂学习安排是否合理？并说明理由． 【变式1】（23-24九年级上·山东济南·期末）学校的自动饮水机，开机加热时水温每分钟上升，加热到，停止加热，水温开始下降．此时水温与通电时间成反比例．当水温降至时，饮水机再自动加热．若水温在时接通电源，水温y与通电时间x之间的关系如图所示，则下列说法正确的是（   ） A．水温从加热到，需要 B．水温下降过程中，y与x的函数关系式是 C．水温从降至，所需时间为 D．水温不低于的时间为 【变式2】（21-22九年级上·全国·单元测试）近视眼镜的度数（度）与镜片焦距成反比例，已知度近视眼镜镜片的焦距为米，则眼镜度数与镜片焦距之间的函数关系式为 ．（无需确定的取值范围） 【题型2】反比例函数在工程问题中的应用 【例2】（24-25九年级上·安徽阜阳·阶段练习）某工程队修建一条村村通公路，所需天数（单位：天）与每天修建该公路长度（单位：米）是反比例函数关系，已知该函数关系的图象经过点，如图．   (1)求与之间的函数表达式（不用写出自变量的取值范围）； (2)其它条件不变，求该工程队每天修建该公路30米要比每天修建24米提前多少天完成此项工程? 【变式1】（23-24九年级上·辽宁大连·期末）一工程中，某工程队工人每天需要挖掘20吨土的深沟，整个工程完毕恰好用了6天. （1）在工程结束后，工人需要把所有的土进行回填，在整个回填过程中，平均回填速度v（单位：吨/天）与回填天数t之间有怎样的函数关系？ （2）由于遇到紧急情况，要求整个回填工程不超过4天完毕，那么平均每天至少要回填多少吨土？ 【变式2】（18-19九年级上·全国·单元测试）市政府计划建设一水利工程，某运输公司承办了这项工程运送土石方的任务．该运输公司平均每天的工作量（米3天）与完成运送任务所需的时间（天）之间的函数图象如图所示．若该公司确保每天运送土石方米3，则公司完成全部运输任务需 天． 【题型3】反比例函数在跨学科中的应用 【例3】（23-24九年级上·辽宁大连·阶段练习）已知蓄电池的电压为定值，使用该蓄电池时，电流I（单位：）与电阻R（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示． (1)求出这个反比例函数的解析式； (2)若使用时测得电流I为，则电阻R是 ； (3)如果以此蓄电池为电源的用电器限制电流不能超过，那么用电器的可变电阻应控制在什么范围？ 【变式1】（2024·湖北·模拟预测）某个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．如图所示的是该台灯的电流．与电阻的关系图象，该图象经过点．根据图象可知，下列说法正确的是（　　） A．当时， B．I与R的函数关系式是 C．当时， D．当时，I的取值范围是 【变式2】（2024·山西·模拟预测）在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，加压后气体对汽缸壁所产生的压强与汽缸内气体的体积成反比例，p关于V的函数图象如图所示．若压强由加压到，则气体体积压缩了 ． 【题型4】反比例函数在销售利润中的应用 【例4】（2024九年级上·北京·专题练习）某商场出售一批进价为2元的贺卡，在市场营销中发现此商品的日销售单价x元与日销售量y个之间有如下关系： x （元） 3 4 5 6 y （个） 20 15 12 10 (1)请你认真分析表中数据，从你所学习过的一次函数、反比例函数和其它函数中确定哪种函数能表示其变化规律，说明确定是这种函数而不是其它函数的理由，并求出它的解析式； (2)设经营此贺卡的销售利润为W元，试求出W（元）与x（元）之间的函数关系式．若物价局规定此贺卡的售价最高不能超过10元/个，请你求出当日销售单价x定为多少元时，才能获得最大日销售利润？ 【变式1】（22-23九年级上·福建宁德·阶段练习）某药店对一种消毒液5天中的售价与销量进行调查，销量是售价的函数（统计数据见下表）．已知该消毒液的进价为22元/瓶，则下列说法正确的是（　　） 售价x（元/瓶） 24 25 30 32 37.5 销售y（瓶） 200 192 160 150 128 A．销量是售价的正比例函数 B．每天的利润是售价的正比例函数 C．每天的利润是售价的反比例函数 D．要使每天的利润达到1600元，售价应为33元/瓶 【变式2】．（20-21九年级上·江苏南通·期中）调查显示，某商场一款运动鞋的售价是销量的反比例函数（调查获得的部分数据如下表）． 售价（元/双） 销售量（双） 已知该运动鞋的进价为元/双，要使该款运动鞋每天的销售利润达到元，则其售价应定为 元． 【题型5】反比例函数与几何综合应用 【例5】（2023·全国·三模）已知点，在反比例函数的图象上，且横坐标分别为，，过点向轴作垂线段，过点向轴作垂线段，两条垂线段交于点，过点，分别作轴于，轴于． （1）若，，求点的坐标； （2）若，当点在直线上时，求的值． 【变式1】（24-25九年级上·山东威海·阶段练习）如图，点A，B都在反比例函数的图象上，点P是直线上的一个动点，当最小时，点P的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，反比例函数的图象与矩形在第一家限相交于题图点，，，连接．记的面积分别为． （1）比较大小： （填“”、“”、“”）； （2）若，则的面积为 ． 第三部分【中考链接与拓展延伸】 【题型6】直通中考 【例1】（2023·宁夏·中考真题）给某气球充满一定质量的气体，在温度不变时，气球内气体的气压是气体体积（）的反比例函数，其图象如图所示．    （1）当气球内的气压超过时，气球会爆炸．若将气球近似看成一个球体，试估计气球的半径至少为多少时气球不会爆炸（球体的体积公式，取3）； （2）请你利用与的关系试解释为什么超载的车辆容易爆胎． 【例2】（2022·山东枣庄·中考真题）为加强生态文明建设，某市环保局对一企业排污情况进行检测，结果显示：所排污水中硫化物的浓度超标，即硫化物的浓度超过最高允许的1.0mg/L．环保局要求该企业立即整改，在15天内（含15天）排污达标．整改过程中，所排污水中硫化物的浓度y（mg/L）与时间x（天）的变化规律如图所示，其中线段AC表示前3天的变化规律，第3天时硫化物的浓度降为4.5mg/L．从第3天起，所排污水中硫化物的浓度y与时间x满足下面表格中的关系： 时间x（天） 3 5 6 9 …… 硫化物的浓度y（mg/L） 4.5 2.7 2.25 1.5 …… （1）在整改过程中，当0≤x＜3时，硫化物的浓度y与时间x的函数表达式； （2）在整改过程中，当x≥3时，硫化物的浓度y与时间x的函数表达式； （3）该企业所排污水中硫化物的浓度能否在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L？为什么？ 【题型7】拓展延伸 【例1】（24-25九年级上·全国·单元测试）某网店尝试用单价随天数而变化的销售模式销售一种商品，利用30天的时间销售一种成本为10元/件的商品，售后经过统计得到此商品单价与第x天(x为正整数)的销售量的相关信息，如下表所示． 销售量n(件) 销售单价m(元) 当时， 当时， (1)请计算第几天该商品的单价为25元？ (2)求网店销售该商品30天里每天所获利润y（元）关于x（天）的函数关系式． (3)这30天中，第几天获得的利润最大？ 最大利润是多少？ 【例2】（23-24九年级上·广西南宁·开学考试）【综合与实践】 如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为的矩形地块种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用木栏围住，木栏总长为． 【问题提出】小明提出这样一个问题：若，能否围出矩形地块？ 【问题探究】（1）小华尝试从“函数图象”的角度解决这个问题： 设为，为．由矩形地块面积为，得到，木栏总长为，得到，在平面直角坐标系中作出两个函数的图象，则同时满足这两个条件的就可以看成两个函数图象交点的坐标． 如图2，反比例函数的图象与直线的交点坐标为和______，因此，木栏总长为时，能围出矩形地块，分别为：，；或______m，______． 【类比探究】（2）若，能否围出矩形地块？请仿照小华的方法，在图2中画出一次函数图象并说明理由． 【问题延伸】（3）当木栏总长为时，小华建立了一次函数．发现直线可以看成是直线通过平移得到的．在平移过程中，当直线与反比例函数的图象有唯一交点时，求交点坐标及a的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$