2.5直线与圆的位置关系 课时训练-2024-2025学年苏科版数学九年级上册

2.5直线与圆的位置关系课时训练-2024-2025学年数学九年级上册苏科版 一、单选题 1.已知的半径为2,直线上有一点.若,则直线与的位置关系是( ) A.相交 B.相离或相交 C.相离或相切 D.相交或相切 2.如图,、分别与相切于、两点,点为上一点,连接、,若,则的度数为( ) A. B. C. D. 3.如图,是的切线,点C是上的一点,连接,,交于点B,若,则的度数是( ) A. B. C. D. 4.如图,点I为的内心,连接并延长,交的外接圆于点D,点E为弦的中点,连接,,,当,,时,的长为( ) A.5 B.4.5 C.4 D.3.5 5.如图,在中,,其内切圆分别与相切于点D、E、F,若,,则的长为( ) A.2 B.4 C.5 D.3 6.如图,与相切于点,的延长线交于点,连接,若,则的度数为( ) A. B. C. D. 7.如图,是的直径,点D在上,过点D作的切线交的延长线于点C.若,则的半径为( ) A.5 B.6 C.8 D.9 8.如图,是的外接圆,P是延长线上一点,连接,且,点D是中点,的延长线交于点Q,则下列结论: ①;②垂直平分;③直线和都是的切线;④. 其中正确的结论是( ) A.①④ B.②③ C.①②③ D.①②③④ 二、填空题 9.在中,,,,若以点为圆心,为半径所作的圆与斜边有两个公共点,则的取值范围是 . 10.已知的圆心到直线的距离是一元二次方程的一个根,若与直线相离,则的半径可以为 (写出一个即可). 11.如图,四边形是的外切四边形,且,,若四边形的面积等于,则的半径等于 . 12.如图,在中,直径,切于,交于,若,则的长是 ;阴影部分的面积为 . 13.如图,已知两条平行线、,点是上的定点,于点,点、分别是、上的动点,且满足,连接交线段于点,于点,则当最大时,的值为 . 14.如图,为的直径,弦于点,直线切于点,延长交于点,若,,则的长度为 . 15.在平面直角坐标系中,点的坐标为是第一象限内任意一点,连接,.若,,则我们把叫做点的“角坐标”. (1)点的“角坐标”为 ; (2)若点到轴的距离为3,则的最小值为 . 16.如图,为外一点,分别切于点,切于点,分别交于点,若,则的周长为 . 三、解答题 17.如图,在 中, ,点O是的中点,以O为圆心,r为半径作. (1)当r满足什么条件时,与 的边有2个公共点? (2)当r满足什么条件时,与 的边有3个公共点? (3)当r满足什么条件时,与 的边有4个公共点? 18.如图,为的直径,C为上一点,D为的中点,过C作的切线交的延长线于E,交的延长线于F,连. (1)求证:与相切; (2)若,,求的半径. 19.如图,是的直径,为上两点,和过点的切线互相垂直,垂足为点. (1)求证:平分. (2)连接,若,求的半径(提示:连接) 20.如图,是的直径,内接于,点I为的内心,连接并延长交于点D,E是上任意一点,连接,,,. (1)若,求的度数: (2)求证:; (3)若,,求的长. 21.【问题提出】 当你进入博物馆的展览厅时,你知道站在何处观赏最理想? 【数学眼光】 如图①,设墙壁上的展品最高处点A距离地面a米,最低处点B距离地面b米,观赏者的眼睛点C距离地面m米,当过A,B,C三点的圆与过点C的水平线相切于点C时,视角最大,站在此处观赏最理想. 【数学思维】 小明同学想这是为什么呢?如图②,他在过点C的水平线上任取异于点C的点,连接交于点D,连接,. (1)按照小明的思路完成证明过程; 【问题解决】 (2)如图③,若墙壁上的展品最高处的点A距地面3米,最低处的点B距地面米,最大视角为,求此时观赏者站在距墙壁多远的地方最理想,并求出观赏者的眼睛点C与地面的距离? (3)如图③,设墙壁上的展品最高处的点A距地面a米,最低处的点B距地面b米,观赏者的眼睛点C距地面m米,直接写出最佳观赏距离的长.(用含a,b,m的代数式表示) 试卷第1页,共3页 试卷第1页,共3页 学科网(北京)股份有限公司 参考答案: 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D D C C A D B C 1.D 【分析】本题考查了直线和圆的位置关系,熟练掌握直线和圆的位置关系与数量之间的联系是解题的关键. 直线和圆的位置关系与数量之间的联系:若,则直线与圆相交;若,则直线于圆相切;若,则直线与圆相离. 【详解】解:因为垂线段最短,所以圆心到直线的距离小于等于2. 此时和半径2的大小不确定,则直线和圆相交、相切都有可能. 故选:D. 2.D 【分析】本题考查切线的性质,圆周角定理,连接,根据切线的性质,四边形的内角和,求出的度数,再根据圆周角定理,求出的度数即可. 【详解】解:连接, ∵分别与圆O相切于A、B两点, ∴, ∴, ∴; 故选:D. 3.C 【分析】本题主要考查切线的性质及等腰三角形的性质,熟练掌握切线的性质及等腰三角形的性质是解题的关键;连接,由题意易得,然后可得,进而问题可求解. 【详解】解:连接,如图所示: ∵是的切线, ∴, ∵, ∴, ∴, ∴; 故选C. 4.C 【分析】本题考查三角形的内心、三角形的外接圆、三角形的中位线定理、直角三角形的判定、勾股定理等知识,延长到,使,连接.通过内心和圆周角可得,进而得到,根据勾股定理求出,证明是的中位线即可解决问题. 【详解】解:延长到,使,连接, 是的内心, ,, ,,, , , , ∴, ∵, , ∵,, , , ,即点为的中点, , 是的中位线, , 故选:C. 5.A 【分析】本题考查三角形的内切圆,切线长定理、勾股定理等知识.根据切线长定理得:,再利用勾股定理列方程可得的长. 【详解】解:∵的内切圆分别与相切于点D、E、F,,, , , , , 解得:(舍)或2, 故选:A. 6.D 【分析】可不是主要考查切线的性质,连接,则,得,由得由三角形外角的性质得,再由三角形内角和定理可得 【详解】解:连接,如图, ∵是的切线, ∴,即 ∵ ∴ ∵, ∴ ∴ ∵ ∴, 故选:D 7.B 【分析】此题考查了切线的性质、勾股定理等知识. 连接,由切线的性质得出,设,由勾股定理得出,则可得出答案. 【详解】解:连接, ∵是的切线, ∴, ∴, ∴, 设, ∵, ∴, ∴, ∴, 即的半径为6. 故选:B. 8.C 【分析】本题考查了圆的综合问题,涉及了圆周角定理、垂径定理、圆的切线证明等知识点,掌握相关结论是解题关键.①②根据点D是中点,,、即可判断;③根据,,且即可判断;④假设结论正确,即可倒推进行判断. 【详解】解:∵点D是中点,, ∴,, 故②正确; ∵, ∴,故①正确; ∵,,且, ∴ ∵, ∴ ∵ ∴ ∴ ∴直线是的切线 ∵垂直平分, ∴ ∴ ∴ ∴直线是的切线,故③正确; 若,则 ∴ 根据条件无法得出以上结论,故④错误; 故选:C 9. 【分析】本题考查了直线和圆的位置关系,勾股定理,先利用勾股定理求出,再根据三角形的面积求出斜边上的高,可知当时,所作的圆与斜边相切,进而即可求解,掌握直线和圆的位置关系是解题的关键. 【详解】解:∵,,, ∴, 过点作,则, 即, 解得, 当时,所作的圆与斜边相切, ∴当时,所作的圆与斜边有两个公共点, 故答案为:. 10.1(答案不唯一) 【分析】本题考查解一元二次方程,直线与圆的位置关系,因式分解法求出方程的根,根据圆心到直线的距离大于半径时,直线与圆相离,求解即可. 【详解】解:,解得:, ∵的圆心到直线的距离是一元二次方程的一个根, ∴的圆心到直线的距离为, ∵与直线相离, ∴的半径小于5, ∴的半径可以为1; 故答案为:1(答案不唯一) 11. 【分析】本题考查了切线的性质,切线长定理,设点为四边形与的切点,连接,由切线长定理可得,,,,由,可得,进而可得,设,最后根据面积可得,据此即可求解,掌握切线的性质和切线长定理是解题的关键. 【详解】解:设点为四边形与的切点,连接,则,,,, 由切线长定理得,,,,, ∵,, ∴,, ∴, ∴, ∴, 即, 设, ∵四边形的面积等于, ∴, 即, ∴, ∴, 故答案为:. 12. 1 【分析】如图,连接,由题意可知,则,由为直径,可得,则,,,弓形的面积等于弓形的面积,由勾股定理得,,可求,根据,计算求解即可. 【详解】解:如图,连接, ∵是的切线, ∴, ∵, ∴, ∵为直径, ∴, ∴, ∴,,弓形的面积等于弓形的面积, 由勾股定理得,, 解得,, ∴, 故答案为:,1. 【点睛】本题考查了切线的性质,直径所对的圆周角为直角,勾股定理,等腰三角形的判定与性质等知识.熟练掌握切线的性质,直径所对的圆周角为直角,勾股定理,等腰三角形的判定与性质是解题的关键. 13. 【分析】本题考查了本题主要考查了全等三角形的性质和判定,平行线的性质,切线的性质.首先根据平行线的性质和,可证,,根据可证,,从而可证,根据可知点在以中点为圆心以为直径的圆上,且当与相切时最大,根据勾股定理求出的长度,从而得到此时的值. 【详解】解:,, , 在和中, , , 于点, , 点在以中点为圆心以为直径的圆上, 如下图所示, 以点的中点为圆心,线段为半径作, 当与相切时最大, 设的半径为, 则有,, ,, 在中,, . 故答案为: . 14. 【分析】本题考查了垂径定理,等弧所对的圆心角和圆周角的关系,切线的性质,勾股定理的应用,求得是解题的关键,根据垂径定理求得,,即可得到.则是等腰直角三角形,得出根据切线的性质得到,得到是等腰直角三角形,进而即可求得 【详解】解: 为的直径,弦于点 , , 是等腰直角三角形 直线切于点, 是等腰直角三角形 故答案为: 15. 【分析】本题考查了坐标与图形的相关性质,明确圆的相关性质、三角形的内角和及外角性质等知识点是解题的关键. (1)过作轴于,由,可得,进一步得到,再根据“角坐标”定义求解即可; (2)由(1)可得,则过,,三点,且,再由三角形内角和可得,要使得取得最小值,则需取得最大值.根据圆周角和三角形外角确定相切时角度最大即可得答案. 【详解】解:(1)过作轴于, ∵, ∴, ∵, ∴, ∴, ∴, ∴, 即, ∴点的“角坐标”为; 故答案为:; (2)由(1)可得, ∴过,,三点,且, ∵, ∴, ∵直线与轴平行, ∴, ∵, ∴直线与相切于点, ∵,, ∴, ∴要使得取得最小值,则需取得最大值. 在直线上任取一点不同于点P的一点,连接交于点Q,连接,, ∴, ∴的最大值为, ∴的最小值为. 故答案为:. 16. 【分析】本题考查了切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,关键是把的周长转化为已知切线相关的线段计算. 根据切线长定理得到,,,再根据三角形的周长公式计算即可. 【详解】解:∵分别切于点,切于点,, ∴,,, ∴的周长, , , , . 故答案为:. 17.(1) (2)或 (3) 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系,勾股定理的逆定理等知识,解题的关键是: (1)根据勾股定理逆定理判断出,取中点E,取中点F,连接,,根据三角形中位线定理可求出,,然后数形结合即可解答; (2)根据直角三角形斜边中线的性质求出,然后数形结合即可解答; (3)结合(1)中结论,数形结合即可解答. 【详解】(1)解:∵, ∴, ∴, 取中点E,取中点F,连接,, 则,,,, ∴,, ∵点O是的中点, ∴, ∴当时,与的边有2个公共点; (2)解:由(1)知:当时,与相切, ∴当时,与的边有3个公共点, ∵,点O是的中点, ∴, ∴当时,与的边有3个公共点, 综上,当或时,与的边有3个公共点; (3)解:由(1)知:当时,与相切, 此时与的边有5个公共点, ∴当时,与 的边有4个公共点. 18.(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查垂径定理、切线的判定和性质、全等三角形的判定和性质,掌握相关定理并能利用等面积法解决问题是关键. (1)连接,由垂径定理得,根据垂直平分线的的性质可得,证明,利用全等三角形的性质可得即可; (2)先利用勾股定理求得,设,再根据等面积法列即可求解. 【详解】(1)证明:如图,连接, 是的切线, , 为的中点,, ,则垂直平分, , ,, , , 与相切; (2)解:,, , 由(1)可知,, , 设, , , , 解得, 故的半径为. 19.(1)证明见解析 (2) 【分析】(1)连接,由切线的性质得到,证明,得,由,得,则,即平分; (2)连接交于点,由得,则垂直平分,是的中位线,则,而,设的半径为,则,根据勾股定理列方程求出的值即可. 【详解】(1)证明:如图,连接, 与相切于点, , , , , , , , 平分; (2)解:如图,连接交于点, , , ,, , ,,, , 设的半径为,则, , 由勾股定理可得,, , , 解得,(不符合题意,舍去), 的半径为. 【点睛】本题主要考查了圆的切线的性质、弧与圆周角之间的关系、等边对等角、垂径定理、勾股定理、三角形的中位线定理等知识,正确地作出所需要的辅助线是解题的关键. 20.(1) (2)见解析 (3) 【分析】(1)利用圆周角定理得到,再根据三角形的内角和定理求,然后利用圆内接四边形的对角互补求解即可; (2)连接,由三角形的内心性质得到内心,,,然后利用圆周角定理得到,,利用三角形的外角性质证得,然后利用等角对等边可得结论; (3)由(2)可知,然后由勾股定理依次求出,即可. 【详解】(1)解:∵是的直径, ∴,又, ∴, ∵四边形是内接四边形, ∴, ∴; (2)证明:连接, ∵点I为的内心, ∴,, ∴, ∴,, ∵,, ∴, ∴; (3)解:∵, ∴, ∵, ∴, ∵, ∴. 【点睛】本题考查圆周角定理、圆内接四边形的性质、三角形的内心性质、三角形的外角性质、勾股定理等知识,熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键. 21.(1)见解析 (2)观赏者站在距离墙壁米处最理想,观赏者的眼睛点C距地面的距离为1.2米 (3) 【分析】(1)由圆周角定理得,再由三角形外角定理得,所以,因此视角最大,站在此处观赏最理想; (2)连接,,,,作于点,利用圆周角定理得到,证明为等边三角形,推出米,结合等边三角形性质得到米,再证明四边形为矩形,利用矩形的性质求解,即可解题; (3)根据等腰三角形性质结合题意得到,由(2)同理可知,四边形为矩形,结合矩形性质得到,再结合勾股定理求解,即可解题. 【详解】解:(1), , , , 视角最大,站在此处观赏最理想. (2)连接,,,,作于点, 由题知,米,, , , 为等边三角形, 米, , 米, , 四边形为矩形, 米, 米, 距地面的距离为(米), 即点C距地面的距离为1.2米. (3)展品最高处的点A距地面a米,最低处的点B距地面b米,观赏者的眼睛点C距地面m米, 米, ,, 米, 米, 由(2)同理可知,四边形为矩形, 米, . 【点睛】本题考查了圆周角定理,三角形外角定理,切线的性质,矩形的判定和性质,勾股定理,等边三角形性质和判定,等腰三角形性质等知识点,解题的关键是熟练综合运用相关性质和定理. 答案第1页,共2页 答案第1页,共2页 学科网(北京)股份有限公司 $$