第十四章 整式的乘法与因式分解单元测试2024-2025学年人教版数学八年级上册

第十四章 整式的乘法与因式分解 姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．下列式子从左到右的变形是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 2．若长方形面积是，一边长为，则这个长方形的宽是（   ） A． B． C． D． 3．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 4．已知，，则（    ） A． B．6 C．8 D．2 5．下列各式中，能用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 6．若多项式为完全平方式，则常数的值为（　　　） A． B．或 C． D． 7．已知，，则代数式的值为（    ） A．8 B．18 C．19 D．25 8．计算（﹣2）101+（﹣2）100的结果是（　　） A．2100 B．﹣2 C．﹣1 D．﹣2100 9．下列图形阴影部分的面积能够直观地解释的是（     ） A． B． C． D． 10．小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：，分别对应下列六个字：节、我、爱、游、毕．现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（    ） A．爱毕节 B．我爱游 C．爱我毕节 D．我游毕节 11．已知a，b，c是的三边长，且，则是（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 12．如果一个数等于两个连续奇数的平方差，那么我们称这个数为“理想数”，如：因为，所以称为“理想数”，下面个数中为“理想数”的是（    ） A．1000 B．1001 C．1002 D．1003 二、填空题 13．运用整式乘法公式计算： ． 14．已知，且，则 ． 15．若，则的值为 ． 16．如图，点C 是线段上的一点，以为边向两边作正方形，设 ，两正方形的面积和，则图中阴影部分面积为 三、解答题 17．计算： (1) (2) 18．分解因式： (1) (2) 19．（1）计算：． （2）小红在计算．时，解答过程如下：         第一步      第二步 小红的解答从第______步开始出错，请写出正确的解答过程． 20．关于x的代数式化简后不含的项和常数项． (1)分别求m、n的值； (2)求的值． 21．先化简，再求值：，其中，． 22．如图所示，有一块边长为米和米的长方形土地，现准备在这块上地上修建一个长为米，宽为米的游泳池，剩余部分修建成休息区域．    (1)请用含和的代数式分别表示游泳池的面积、休息区域的面积；（结果要化简） (2)若，求休息区域的面积． 23．如图所示，是两个边长分别为a、b的正方形 (1)用含a、b的代数式表示阴影部分的面积S； (2)如果，，求阴影部分的面积． 24．观察下列各式，解答问题： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； (1)请你按照以上规律写出第个等式（为正整数，）并验证你的结论． (2)利用以上规律，求的值． 25．阅读材料：要把多项式因式分解，可以先把它进行分组再因式分解： 这种因式分解的方法叫做分组分解法． (1)请用上述方法因式分解： ； (2)知a、b、c是三边的长，且满足，试判断的形状，并说明理由； (3)已知，求的值． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十四章 整式的乘法与因式分解 1．D 【分析】本题考查了因式分解，解题关键是掌握因式分解的方法，即提公因式法、公式法、十字相乘法等，要注意因式分解是把一个多项式化成几个整式积的形式，本题据此依次判断即可求解． 【详解】解：A、的右边不是整式的积的形式，故该项错误； B、的右边不是整式的积的形式，故该项错误； C、属于整式的乘法运算，不属于因式分解，故该项错误； D、是因式分解，故该项正确； 故选：D ． 2．D 【分析】本题主要考查了多项式除以单项式，根据长方形面积等于长乘以宽可知，只需要用长方形面积除以其一边长即可得到答案． 【详解】解： ， ∴这个长方形的宽是， 故选：D． 3．C 【分析】本题考查了幂的相关运算，涉及了同底数幂的乘除法、幂的乘方、积的乘方，根据幂的运算法则逐一判断选项即可． 【详解】解：，故A错误； ，故B错误； ，故C正确； ，故D错误； 故选：C 4．A 【分析】本题考查了同底数幂乘法的逆用．熟练掌握同底数幂乘法的逆用是解题的关键． 根据，代值求解即可． 【详解】解：由题意知，， 故选：A． 5．B 【分析】本题考查了平方差公式，能用平方差公式的式子特点：两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数．根据平方差公式的结构特点判断即可． 【详解】解：A、和互为相反数，和互为相反数，没有完全相同的项，不能用平方差公式计算，故该选项符合题意； B、和互为相反数，和相同，能用平方差公式计算，故该选项不符合题意； C、没有完全相同的项，不能用平方差公式计算，故该选项符合题意；故该选项不符合题意； D、和互为相反数，和互为相反数，没有完全相同的项，不能用平方差公式计算，故该选项符合题意；故该选项不符合题意； 故选：B． 6．A 【分析】本题考查了完全平方公式的运用，根据完全平方公式即可求解． 【详解】解：， ∴， 故选：A ． 7．C 【分析】原式利用完全平方公式变形后，将已知等式代入计算即可求出值． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：C． 【点睛】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 8．D 【分析】根据乘方运算的法则先确定符号后，据此求解即可得出答案． 【详解】解：（﹣2）100+（﹣2）101 ＝2100﹣2×2100 ＝2100×（1﹣2） ＝﹣2100， 故选：D． 【点睛】本题主要考查的是乘方运算的法则，掌握乘方运算的法则，正确的确定符号是解题的关键． 9．A 【分析】本题主要考查完全平方公式在几何图形中的应用，根据面积公式分别表示出和各自的几何意义即可． 【详解】解：根据几何意义表示为边长为x截去1个单位长正方形的面积， 由可知边长为x正方形的面积，减去2个边长为x和1的长方形，加一个边长为1的正方形，即可知A满足题意． 故选：A． 10．C 【分析】本题考查了因式分解的应用，利用提公因式法和平方差公式分解因式的结果为，然后找出对应的汉字即可对各选项进行判断． 【详解】， 信息中的汉字有：爱、毕、节、我． 所以结果呈现的密码信息可能为：爱我毕节． 故选：C． 11．C 【分析】本题考查因式分解的应用，把因式分解后判断即可． 【详解】∵ ∴， ， ， ∵a，b，c是的三边长， ∴， ∴，即， ∴是等腰三角形， 故选：C． 12．A 【分析】本题主要考查了平方差公式，设这两个连续奇数为n，，应用平方差公式进行计算可得，代入计算n的值，即可得出答案． 【详解】解：设这两个连续奇数为n，， 则， A．，解得，n是奇数，故符合题意； B．，解得，n不是奇数，故不符合题意； C．，解得，n不是奇数，故不符合题意； D．，解得，n不是奇数，故不符合题意； 故选：A． 13． 【分析】本题主要考查了平方差公式，根据平方差公式进行计算即可， 【详解】解：原式 故答案为： ． 14．-42 【详解】，①，②由①-②得． 15． 【分析】等式左边利用多项式乘以多项式法则化简计算，再利用多项式相等的条件求出m与n的值即可． 【详解】解：∵， ∴，， ， 故答案为：-13． 【点睛】此题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 16．9 【分析】本题考查了完全平方公式在几何图形中的应用，根据题意把条件转化为两条线段的和与平方和，并应用完全平方公式计算是解题的关键；设，则，由完全平方公式变形可求得的值，即可求得阴影部分的面积． 【详解】解：设，则， ∴； ∵， ∴ 即， ∴阴影部分面积为：． 故答案为：9． 17．(1) (2) 【分析】（1）根据同底数幂乘法法则求解即可得到答案； （2）先根据同底数幂乘法法则求解，再合并同类项即可得到答案； 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； 【点睛】本题考查同底数幂的乘法运算，解题的关键是熟练掌握． 18．(1) (2) 【分析】本题主要考查了分解因式： （1）先提取公因式a，再利用平方差公式分解因式即可； （2）先提取公因式x，再利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解； ． 19．（1）；（2）二， 【分析】（1）先计算同底数幂的除法，幂的乘方运算，再合并同类项即可； （2）由完全平方公式的计算错误可得错误从第二步开始，先计算单项式乘以多项式，多项式的乘法，再合并同类项即可． 【详解】解：（1） ； （2）错误从第二步开始； ； 【点睛】本题考查的是幂的乘方，同底数幂的除法运算，整式的乘法运算，完全平方公式的应用，熟记运算法则是解本题的关键． 20．(1)， (2) 【分析】本题考查已知多项式乘积不含某项求字母的、积的乘方的逆运算、代数式求值，熟练掌握整式的四则混合运算法则，正确得到、的方程是解答的关键，尤其（2）中利用积的乘方的逆运算求解是关键． （1）先将原式括号展开，再合并同类项，最后根据不含和常数项得出，，即可解答； （2）根据幂的运算法则得出，根据（1）中得出的和的值，即可解答． 【详解】（1）解： ∵不含的项和常数项 ∴，， ∴，； （2）， 由（1）知，，， 则，原式． 21．， 【分析】本题主要考查了整式化简求值，熟练掌握相关运算法则和运算公式是解题关键．首先根据完全平方公式、平方差公式以及单项式乘以多项式法则进行运算，再合并同类项完成化简，然后将，代入求值即可． 【详解】解：原式 ， 当，时， 原式 ． 22．(1)游泳池的面积为平方米；休息区的面积为平方米 (2)平方米 【分析】（1）根据图形可知，休息区域的面积=长方形土地的面积游泳池的面积，将数值代入计算即可； （2）将代入（1）中化简后的式子计算即可； 【详解】（1）解：由题意可得，游泳池的面积是： 休息区域的面积是：， 即休息区域的面积是：平方米； （2）解：当时， （平方米）， 即若，则休息区域的面积是平方米； 【点睛】本题主要考查了整式的混合运算、代数式求值，解题的关键是明确题意，列出相应的代数式，掌握整式的混合运算法则． 23．(1) (2)14 【分析】本题考查了整式加减的应用，单项式与多项式的乘法的应用，解题的关键是利用面积的和差关系求出阴影部分的面积． （1）根据图形可得阴影部分面积为两个正方形的面积和减去空白部分，即可得关系式； （2）代入，，计算即可得答案． 【详解】（1）解：由图可知阴影部分面积为两个正方形面积和减去空白面积， 即 答：阴影部分的面积表示为． （2）当，时， ． 答：阴影部分的面积为14． 24．(1)；证明见解析 (2) 【分析】本题考查整式规律探索，发现所给数据的规律并熟练运用完全平方公式是解题的关键． （1）根据规律写出结果即可；根据整式的混合运算法则计算证明即可； （2）根据规律将所求式子变形为求解即可． 【详解】（1）解：∵第1个等式：； 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， …， ∴第个等式：； ∵左边右边， ∴； （2）解：， 解得：， ∴ ． 25．(1) (2)是等边三角形， 理由见解析 (3) 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，等边三角形的判定： （1）仿照题意分为两组，再利用提公因式法和平方差公式分解因式即可； （2）去括号展开后利用分组分解法进行因式分解即可求解； （3）把原式分组得到，据此求解即可． 【详解】（1）解： （2）解：是等边三角形， 理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形； （3）解：∵， ∴ ． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $$