精品解析：湖北省恩施市第二中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷

2024年秋季学期高一期中考试数学试卷 一、单选题（共40分） 1. “都是有理数”是“是有理数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】充分性成立，必要性可举出反例，证明不成立，得到正确答案. 【详解】由都是有理数，则一定是有理数， 但为有理数，不一定为有理数，比如为有理数，但是是无理数， 则“都是有理数”是“是有理数”的充分不必要条件. 故选：A. 2. 集合，，的关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据结合的包含的定义和集合相等的定义判断的关系可得结论. 【详解】任取，则，， 所以，所以， 任取，则，， 所以，所以， 所以， 任取，则，， 所以，所以， 又，， 所以， 所以， 故选：C. 3. 已知集合，则集合A的元素个数为（ ） A. 9 B. 8 C. 6 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】利用列举法表示集合A即可得出元素个数. 【详解】，共6个元素. 故选：C. 4. 已知集合，若集合有15个真子集，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据真子集的定义，推断出集合含有4个元素，即不等式的解集中有且仅有4个整数解，由此进行分类讨论，列式算出实数的取值范围． 【详解】若集合有15个真子集，则中含有4个元素， 结合，可知，即，且区间,中含有4个整数， ①当时，,的区间长度，此时,中不可能含有4个整数； ②当时，,,，其中含有4、5、6、7共4个整数，符合题意； ③当时，,的区间长度大于3， 若,的区间长度，即． 若是整数，则区间,中含有4个整数，根据，可知，， 此时,,，其中含有5、6、7、8共4个整数，符合题意． 若不是整数，则区间,中含有5、6、7、8这4个整数，则必须且，解得； 若时，,,，其中含有5、6、7、8、9共5个整数，不符合题意； 当时，,的区间长度，此时,中只能含有6、7、8、9这4个整数， 故，即，结合可得． 综上所述，或或，即实数的取值范围是,,． 故选：D． 【点睛】关键点点睛：由真子集的个数可得，且区间,中含有4个整数，结合区间长度，即可对讨论求解. 5. 对任意的恒成立，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分离参数，可得恒成立，结合基本不等式即可求得答案. 【详解】对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 因为，当且仅当，即时取等号， 故，故m的取值范围为. 故选：B 6. 设，若关于的不等式的解集中的整数解个数恰为3个，则满足条件的实数所在区间可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】同时开方将不等式化为两绝对值函数的大小形式，数形结合计算即可. 【详解】原不等式等价于，不妨设不等式的解集为， 作出函数的图象如图所示， 易知当，此时不等式的解集不只有三个整数解， 要满足题意需， 又，所以， 则，， 此时还需，整理得， 此时C正确，其余选项错误. 故选：C. 7. 已知二次函数的图象过点，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意分析得知存在使，只需求出不等式左边最小值，不等式右边最大值即可得解. 【详解】由题意，，令，则由根与系数的关系知，，故，又，则． 因为，所以， 当时，， 即存在使， 记，则， 又在上随的增大而减小，故，故． 当时，，同理可得，故． 综上所述，． 故选：D． 8. 已知，，若时，关于的不等式恒成立，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意设，，由一次函数以及不等式分析得时，，变形后代入，然后利用基本不等式求解. 【详解】设（），（）， 因为，所以当时，； 当时，； 当时，； 由不等式恒成立，得：或， 即当时，恒成立， 当时，恒成立， 所以当时，，则，即， 则当时，， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 故选：B. 二、多选题（共18分） 9. 已知，，且，则（ ） A. 的取值范围 B. 的取值范围是 C. D. 的最小值是 【答案】CD 【解析】 【分析】对A利用基本不等式构造，解出范围即可，同时注意的前提，对B构造得到最小值，同时注意，对C把原式变为单变量，再分离常数构造基本不等式情形即可，对D依然把原式变为单变量，再分离常数构造基本不等式情形即可求出最值. 【详解】因为,且,所以， 当且仅当时取等号，注意到，则解得, 即,所以的取值范围为，故A错误; 又,且仅当时取等号, 解得，又，故B错误， 由,得, 所以，， 所以， 当且仅当，即或，无法取到，故，故C正确； ， ,当且仅当,即时取等号, 此时取得最小值，故D正确. 故选：CD. 【点睛】本题对基本不等式需要达到灵活运用，利用基本不等式构建一元二次不等式求范围，分离常数构造满足基本不等式的情形求解最值，同时一定要注意取等条件是否能达到. 10. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用数的特征及元素与集合的关系计算即可. 【详解】设， 而，即A错误，C正确； ，即B正确； ，即D正确. 故选：BCD. 11. 下列说法中正确的有（ ） A. 命题，，则命题的否定是， B. “”是“”的必要条件 C. 命题“，”是真命题 D. “”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件 【答案】AD 【解析】 【分析】利用特称量词命题的否定求解选项A；利用不等式的性质确定选项B；利用全称量词命题的真假判断选项C;利用一元二次方程根与系数的关系确定选项D. 【详解】命题p的否定是，，故A正确； 不能推出，例如，但； 也不能推出，例如，而； 所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故B错误； 当时，，故C错误； 若关于x的方程有一正一负根，则， 所以“”是“关于x的方程有一正一负根”的充要条件，故D正确. 故选：AD. 三、填空题（共15分） 12. 设全集U=Z，定义A❀B=，若，则❀=__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据定义，先求A❀B，再求其补集即可. 【详解】因为U=Z, 所以A❀B=， 所以❀= 故答案为：. 13. 已知是方程的解集，={1，3，5，7，9}，={1，4，7，10}且，，则= _________. 【答案】26 【解析】 【分析】根据集合之间的关系，确定一元二次方程的解集，即可由根与系数关系求得. 【详解】对方程，显然有两个根， 故可得集合中有两个元素； 因为，故可得中的两个元素一定在集合中； 又因为，故可得中的所有元素都不在中； 综上可得：中的元素一定是和， 由根与系数的关系可得：，则. 故答案为：. 14. 已知实数，满足，且，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】因为，所以，，，所以，，利用基本不等式求解最小值即可. 【详解】因为，所以，， 因为，所以， 由，所以. 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立. 故答案为： 四、解答题（共77分） 15. 已知非空集合，. （1）若，求； （2）若“”是“”的充分而不必要条件，求实数a的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将代入集合求解，利用集合的运算可求解； （2）利用充分不必要条件的定义，转化为P是Q的真子集，分类讨论集合可求实数的取值范围． 【小问1详解】 已知集合，. 当时，，或， 又， . 【小问2详解】 因为“”是“”充分不必要条件，所以P是Q的真子集， 又，， 所以，解得， 当时，是Q的真子集； 当时，也满足是Q的真子集， 综上所述：实数的取值范围为. 16. 已知集合，集合，命题，命题，． （1）若命题为假命题，求实数的取值范围； （2）若命题和命题至少有一个为真命题，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）先根据为真命题分析出，由此求解出的范围，然后取对应范围在实数集下的补集即为结果； （2）考虑命题均为假命题时的取值范围，然后取对应范围在实数集下的补集即为结果. 【小问1详解】 若为真命题，则， 所以，所以， 所以命题为假命题时，的取值范围为. 【小问2详解】 当为假命题时，即“”为真命题， 所以，所以的取值范围为， 所以当均为假命题时的取值范围为， 所以当命题和命题至少有一个为真命题时的取值范围为或. 17. 已知集合或，集合. （1）若，求和； （2）若记符号，在图中把表示“集合”的部分用阴影涂黑，并求当时； （3）若，求实数的取值范围. 【答案】（1），或或 （2）或 （3）或 【解析】 【分析】（1）直接根据交集和并集的概念求解； （2）所给集合表示除去集合中含有的集合中的元素构成的集合，据此可得画出阴影，进而求出时的； （3）由得到，根据集合的包含关系列不等式求解即可，注意的情况. 【小问1详解】 若，，又或， 则，或或； 【小问2详解】 若记符号，在图中把表示“集合”的部分用阴影涂黑如下图： 当时，， 则或； 【小问3详解】 若，则， 当时，，解得， 当时，，解得或. 综上：实数的取值范围为或. 18. 设． （1）若不等式对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围； （2）在（1）的条件下，求的最小值； （3）解关于x的不等式． 【答案】（1） （2）4 （3）当时，不等式解集为；当时，不等式解集为；当时，不等式解集为；当时，不等式解集为；当时，不等式解集为 【解析】 【分析】（1）分和讨论，当时，根据相应二次函数开口方向和判别式列不等式组即可求解； （2）变形为，利用基本不等式求解可得； （3）整理得，根据二次系数是否为0、相应二次函数开口分析、两根的大小关系分类讨论即可. 【小问1详解】 由恒成立得：对一切实数x恒成立. 当时，不等式为，不合题意； 当时，，解得：； 综上所述：实数m的取值范围为． 【小问2详解】 ，， ， （当且仅当，即时取等号），的最小值为4． 【小问3详解】 由得：； ①当时，，解得：，即不等式解集为； ②当时，令，解得：，； 1）当，即时，不等式解集为； 2）当，即时，不等式解集为； 3）当，即时，不等式可化为， ，不等式解集为； 4）当，即时，不等式解集为； 综上所述：当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为． 19. 设函数. （1）若，且集合中有且只有一个元素，求实数的取值集合； （2）解关于的不等式； （3）当时，记不等式的解集为，集合.若对于任意正数，求的最大值. 【答案】（1）； （2）当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； （3）. 【解析】 【分析】（1）由题设有且仅有一个根，讨论参数a，结合函数性质求参数值； （2）由题设，应用分类讨论求一元二次不等式的解集； （3）由题意在上有解，且，而区间关于对称，且区间长度为，进而只需保证得到参数的数量关系，应用基本不等式“1”的代换求最值即可，注意取值条件. 【小问1详解】 由题设，又有且只有一个元素， 所以有且仅有一个根， 当时，，即，则，满足题设； 当时，，即，则，满足题设； 所以的取值集合为. 【小问2详解】 由题设，整理得， 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 【小问3详解】 由，恒有，故， 且，故开口向上且，故对应一元二次方程恒有两个不等实根，且在y轴两侧， 因为，即在上有解，且， 又区间关于对称，且区间长度， 综上，只需保证，则，且，即， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 故的最大值为. 【点睛】关键点点睛：第三问，将问题转化为在上有解，且，根据区间的特点得到. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年秋季学期高一期中考试数学试卷 一、单选题（共40分） 1. “都是有理数”是“是有理数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 集合，，的关系是（ ） A. B. C. D. 3. 已知集合，则集合A的元素个数为（ ） A. 9 B. 8 C. 6 D. 5 4. 已知集合，若集合有15个真子集，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 对任意的恒成立，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 设，若关于的不等式的解集中的整数解个数恰为3个，则满足条件的实数所在区间可以是（ ） A. B. C. D. 7. 已知二次函数的图象过点，且，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，若时，关于的不等式恒成立，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. D. 二、多选题（共18分） 9. 已知，，且，则（ ） A. 的取值范围 B. 的取值范围是 C. D. 的最小值是 10. 设，则（ ） A. B. C. D. 11. 下列说法中正确的有（ ） A. 命题，，则命题的否定是， B. “”是“”的必要条件 C. 命题“，”是真命题 D. “”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件 三、填空题（共15分） 12. 设全集U=Z，定义A❀B=，若，则❀=__________. 13. 已知是方程的解集，={1，3，5，7，9}，={1，4，7，10}且，，则= _________. 14. 已知实数，满足，且，则的最小值为______． 四、解答题（共77分） 15. 已知非空集合，. （1）若，求； （2）若“”是“”的充分而不必要条件，求实数a的取值范围. 16. 已知集合，集合，命题，命题，． （1）若命题为假命题，求实数的取值范围； （2）若命题和命题至少有一个为真命题，求实数的取值范围． 17. 已知集合或，集合. （1）若，求和； （2）若记符号，在图中把表示“集合”的部分用阴影涂黑，并求当时； （3）若，求实数的取值范围. 18. 设． （1）若不等式对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围； （2）在（1）的条件下，求的最小值； （3）解关于x的不等式． 19. 设函数. （1）若，且集合中有且只有一个元素，求实数的取值集合； （2）解关于的不等式； （3）当时，记不等式的解集为，集合.若对于任意正数，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $