河南省信阳高级中学北湖校区2024-2025学年高二上学期10月测试数学试题

河南信阳高级中学北湖校区 2024-2025学年高二上期10月测试 数学试题 命题人：龚宏伟 审题人：周芮 一、单选题 1.在等比数列中,若,则 1 学科网（北京）股份有限公司 A.4 B.8 C. D. 2.给出下列命题： ①零向量的方向是任意的； ②若两个空间向量相等,则它们的起点相同,终点也相同； ③空间向量满足,则 ④空间中任意两个单位向量必相等. 其中正确命题的个数为 A.4 B.3 C.2 D.1 3.已知数列是等差数列,是方程的两个实数根,则的值为 A.7 B. C.4 D. 4.已知平行六面体的各棱长均为,,则 A. C. B. D. 5.已知椭圆的两焦点分别为为椭圆上一点且,则 A. B. C. D.2 6.若直线与圆相切,则圆与圆 A.相离 B.相交 4.内切 D.外切 7.已知等差数列中,,其前项和为,若,则 A.2021 B.-2022 C.2024 D.-2023 8.已知椭圆与抛物线,椭圆与抛物线交点的连线经过椭圆的右焦点,拋物线的准线经过椭圆的左焦点,则椭圆的离心率为 A. B. C. D. 二、多选题 9.已知数列是等差数列，数列是等比数列，则下列说法正确的是 B.若数列的前项和为,则成等差数列 C.若数列的公比,则数列是递增数列 D.若数列的公差,则数列是递减数列 10.下列说法正确的是 A.两异面直线所成角的取值范围是 B.若直线与平面相交,则该直线与平面所成角的取值范围是 C.二面角的平面角的取值范围是 D.若是空间向量的一组基底，则存在非零实数，使得 11.已知圆,则下列命题正确的是 A.圆心坐标为 B.直线与圆相交所得的弦长为8 C.圆与圆有三条公切线 D.圆上恰有三个点到直线的距离为,则或-5 12.已知抛物线的焦点为,过点且斜率为的直线与交于两点,其中点A在第一象限.若动点在的准线上,则 A.的最小值为0 B.当为等腰三角形时,点的纵坐标的最大值为 C.当的重心在轴上时,的面积为 D.当为钝角三角形时,点的纵坐标的取值范围为 三、填空题 13.已知,则向量在向量上的投影向量坐标为 . 14.设等差数列与的前项和分别为,且,则 . 15.已知椭圆的长轴长为4,离心率为.若分别是椭圆的上、下顶点，分别为椭圆的上、下焦点，为椭圆上任意一点，且,则的面积为 . 16.设,若过定点的动直线和过定点的动直线交于点与不重合），则的最大值为 . 四、解答题 17.已知三角形的顶点为. （1）求直线的方程； （2）求点关于直线的对称点的坐标； 18.已知数列的前项和为,且. （1）求； （2）求证:是等比数列,并求出通项公式. 19.已知点和直线. （1）求以为圆心，且与直线相切的圆的方程； （2）过直线上一点作圆的切线、,其中、为切点,求四边形的面积的最小值. 20.已知等差数列前项和为,等比数列的前项和为,. （1）若,求数列的通项公式； （2）若,求。 21.《九章算术》中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱雉称之为阳马.如图,在阳马中,侧棱平面,且为的中点,为上的点,. （1）当时,证明:平面； （2）判断是否存在,使得与平面所成角的正弦值为,若存在,求出,若不存在,请说明理由. 22.如图,在平面直角坐标系中,已知等轴双曲线的左顶点,过右焦点且垂直于轴的直线与交于两点,若的面积为. （1）求双曲线的方程: （2）若直线与双曲线的左,右两支分别交于两点,与双曲线的两条渐近线分别交于两点,求的取值范围。 $$河南信阳高级中学北湖校区 2024-2025学年高二上期10月测试 数学答案 愿号 1 10 7 9 答案 A D A A BD AB B A A 题号 11 12 答案 ABD AC 山( 13.(-1-1,2) 14.3 15. 16.510 17.【解答】解：(1)三角形的顶点为42,3).B0,-1),C(-2,1)· 所以kc=2-22 1-31 (3分) ,>~1圆 所以直线4C的方程为少-1-+2)，整理得x-2y+4=0 (5分) (2)设点D(m,n) 所以无c。-,故 1 (6分) 2 m 直线BD的中点坐标供，”，马满足直线AC的方程， (7分) 22 1n+1=-1 故 2 m ,解得 5 (9分)1 ”-2”- 19 +4=0 2 2 n=5 (10分) 4+v=4 18.【详解】解：10由8=8-1，得a=2 (2分) 3 又5=-2，即+624-2，得4=8 (4分) (2)证明：当H=1时，4，=2， 当心2时，由8，得5-n- (5分) 两式相减并整理得a。=3a,+2, (7分) 即a.+1=3(an,+), (9分) a+1=3 a,+)是首项为3，公比为3的等比数列 (11分) 0.=3"-】 (12分) 答室第1顶，共4页 19.【详解】解：(1)~圆M的半径r= L-2-51=3反， (3分) √+(-) 圆M的方程为(x-1)+0y-2y=18 (4分) ②)由四边形PAMB的面积S与PMIr知，当PM⊥（时，面积最小， (6分) 此时1PM1-2+9=4N2, √2+(-明 (8分)1行为10 出河 lPA上NPMP-r2=14, (10分) -而 Sm=14×3N2=67 (12分) 20.【详解】(1)设{a}的公差为d,包}的公比为9，#而 由4+b=3,得d+q=1, 0-每 又a+h=4,得2d+q2=2, (2分) 丽0小5出a25西 与d+g=1联立，解得 日0合去)=2 d=1 (5分) 15,9=0n 因此数列{也，}的通项公式为b,=2一 (6分) 103201 (2)由b=1,1=13,得g2+9-12=0,解得9=3或-4， (7分) 当g3,由+g=得4，则522(20 (9分) 当g=4所，由*9=得=5，则5-32号5-2 综上，S=0或S=21, (12分)n91对0 21.【详解】(1)证明：因为侧棱PAL平面ABCD,底面ABCD为长方形， 以A为坐标原点，以4B,AD,AP方向为x,乃：轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系。 所以，A(0,0.0),BL0,0),D(0,2.0,C12,0),P(00,2), 又因为，E为BC的中点，F为DP上的点，DF-DP,即F为DP上的中点， 所以，E(11,0F(0.1)EF-=(1,0,1 又因为侧棱PA⊥平面ABCD,ADc平面ABCD,所以PA LAD, 答案第2页，共4页 个 :【】 又因为底面为长方形为ABCD,有AD上AB, PABc平面PAB,P4D48=A,所以AD⊥平面PAB, 所以范为面PAB的法向量 又因为AD=(0,2,0),所以EFD=0, (4分)B 又EFG平面PAB,所以EF∥平面PAB 2)存在AeQ,),使得F与平面PCD所成角的正弦值为5 。(5分) 3 理由如下： 0 设Fx,y2,所以DF=(k,y-2,: TEv元 因为DF=D,DP=(0,-2,2),所以， -2=22,即F0,2-22.22）,【(6分) x=0 z=2入 所以EF=(-1,1-2元2元)， (7分) 设平面D的法向量为万=(x,),由C而-(-10.0)，PD=(0,2-2),月 则有厅C西=-x=0,解符x=0】 PD=2y-2z=0 y=2 令y=1,所以万=(01，) (9分) 所以cos元厨- m.EF 1-22+2 5 V2+1-2元)+423， (10分)市，E 同EF 整理得，62-8就+1=（以-=0，解得，1=0。 故存在元-e(0,1,使得EF与平面PCD所成角的正弦值为 (12分) 4 3 2江【标等】据0)因为须线E号子-0>b>0为等鞋双设。 可得a=b,设双曲线的焦距为2c,c>0,0二D000,010计， 故c2=a2+b2=2a2,即c=√2a, (1分) 过0以中m配t 因为BC过右焦点F,且垂直于x轴， (033 将x,=c=N2a代入双曲线的方程可得，上a,故8BC卡2a, 5(2分) 答案第3页，共4顶 又三角形的面积为1+5，即BC×2axa+0=1+5: 解得a=1,四 : 故双曲线的方程为x2-y=1: (4分) (2)由题意可得直线1：y=:-1与双曲线的左右两支交于M,N两点， 联立2-，可得0-以+2-2=0， y=在-1 学【容工 所以1-0.△-2-40-X2>0,解得-万<万，且 <0,k≠1， 则-1<k<1, (5分) 西2路 2k 一正阳指 且xw+w= (6分) 所以MN作-xw+0w-W了=1+F1xw-xw卡+R+w广-4xw 4 2小名园 地(8分)，出古中G8数 位化可得，可得6 (9分) 质以Fi高g (10分)A 所以2E.2--2-E,其中1ckc1, 林1 (11分) pOl 2N1+ 所以，. (12分) IPOI 九抑一当地妇( 台， 一6共 1 答案第4项，共4顶