第3章函数的概念与性质章末检测卷-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第3章函数的概念与性质章末检测卷-2024-2025学年高一数学上学期人教A版2019 一、单选题 1．下列函数与函数是同一函数的是（    ） A． B． C． D． 2．已知函数，，则（    ） A． B． C． D． 3．函数的定义域为，则（    ） A．2 B．－2 C．－1 D．1 4．已知，则（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 5．定义为中的最大值，设，则的最小值为（    ）． A． B．4 C．0 D． 6．函数满足对且，都有，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 8．已知为定义在R上的奇函数，当时，，则（    ） A．－2 B．－1 C．0 D．1 二、多选题 9．下列函数为偶函数的是（    ） A． B． C． D． 10．下列说法不正确的是（ ） A．函数与是同一个函数 B．函数的图象与直线的交点最多有1个 C．若函数的定义域为，则函数的定义域为 D．函数的最小值为2 11．已知函数，则以下结论正确的是（　　） A．的值域是 B．对任意，都有 C．对任意，都有 D．若规定，其中，则 三、填空题 12．已知，则 . 13．已知函数为偶函数，则实数 ． 14．已知函数且关于x的不等式恒成立，则实数k的取值范围为 ． 四、解答题 15．已知函数 (1)判断的奇偶性； (2)求的值 16．已知函数，. (1)若，试判断的单调性并用定义法证明； (2)若，求函数的最大值的表达式. 17．已知函数是定义在上的奇函数且． (1)求函数的解析式; (2)判断并用定义证明函数在上的单调性; (3)若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围． 18．已知函数. (1)证明：函数是奇函数； (2)用定义证明：函数在上是增函数； (3)若关于的不等式对于任意实数恒成立，求实数的取值范围. 19．已知函数的定义域为，对任意且，都满足. (1)求; (2)判断的奇偶性; (3)若当时，，且，求不等式的解集. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A A C D D D C AC ACD 题号 11 答案 BD 1．B 【分析】定义域和对应关系均相同才是同一函数，从而对四个选项一一判断，得到答案. 【详解】对于A，，对应关系不同，与函数不是同一函数； 对于B，，与函数的定义域和对应关系都相同，所以它们是同一函数； 对于C，，对应关系不同，与函数不是同一函数； 对于D，，与函数的定义域不同，所以与函数不是同一函数. 故选：B 2．A 【分析】计算得出的值，即可得解. 【详解】因为函数，， 则， 所以，. 故选：A. 3．A 【分析】根据定义域知不等式的解集，再由不等式解集得出对应方程的根，即可得解. 【详解】因为的定义域为， 所以的解集为， 得 ，解得，，故. 故选：A． 4．C 【分析】根据分段函数解析式列式求解即可. 【详解】由题意可得：. 故选：C. 5．D 【分析】分别画出的图象，即可得函数的图象，根据图象分析最值. 【详解】分别画出的图象，则函数的图象为图中实线部分. 由图知：函数的最低点为A， 由 ，解得，即. 所以的最小值为. 故选：D. 6．D 【分析】根据题意，得到在定义域上为单调递减函数，结合分段函数的单调性的判定方法，列出不等式组，即可求解. 【详解】由函数 因为函数任意且，都有， 所以函数在定义域上为单调递减函数， 则满足，即，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：D. 7．D 【分析】证明函数为奇函数，确定函数图象关于原点对称，排除AC，再通过计算，确定正确选项. 【详解】函数的定义域为，定义域关于原点对称， 且，所以函数为奇函数， 所以函数的图象关于原点对称，选项AC错误； 又，所以选项B错误. 选项D满足以上特征. 故选：D． 8．C 【分析】根据奇函数的性质求出，再求出即可得解. 【详解】因为为定义在R上的奇函数， 所以得， 所以，故， 则， 故选：C． 9．AC 【分析】根据偶函数的定义逐项判断即可. 【详解】对于A，函数的定义域为，定义域关于原点对称， ， 所以函数为偶函数，A正确； 对于B，函数的定义域为，定义域关于原点对称， ， 所以函数为奇函数，B错误； 对于C，函数的定义域为，定义域关于原点对称， ， 所以函数为偶函数，C正确； 对于D，函数的定义域为，定义域关于原点对称， ， 故，，， 所以函数不是偶函数，D错误； 故选：AC. 10．ACD 【分析】A选项，两函数定义域不同，不是同一函数；B选项，利用函数的定义可判断；C选项，根据抽象函数的定义域求法即可判断；D选项，利用基本不等式进行求解； 【详解】对于A，函数的定义域为R，的定义域为， 故函数与不是同一个函数，因此A不正确； 对于B，当函数在处无定义时，函数的图象与直线无交点， 当函数在处有定义时，函数的图象与直线只有个交点， 所以，函数的图象与直线的交点最多有个交点，因此B正确； 对于C，函数的定义域为，即， 则对于函数有，则，故函数定义域为，因此C不正确； 对于D，由基本不等式得， 当且仅当时，等号成立，但无解，故等号取不到， 故的最小值不为2，因此D不正确； 故选：ACD. 11．BD 【分析】A：求出函数的解析式，根据单调性求值域； B C：作出函数图像，根据凸函数性质判断，根据单调性判断； D：根据已知条件推出一般结论，然后求解． 【详解】A：， 函数是奇函数， 当时，， ∴当时，时，， ，即函数的值域为， 故A错误； B，C：，作出图像： 根据图像可知，在，满足，， 在，由对称性可得：满足，故C错误； 若对任意，都有， 则等价为函数为增函数， 当时， 则为减函数，为减函数， 则为增函数， 是奇函数， 在上为增函数，故B正确； D：∵ ， ， 所以 ∴故D正确﹒ 故选：BD 12．31 【分析】根据函数表达式先计算，再计算. 【详解】∵， ∴， ∴. 故答案为：31. 13． 【分析】根据给定条件，利用偶函数的定义求解即得. 【详解】由函数为偶函数，得， 当时，，， 而当时，，则，即， 当时，，，符合题意， 所以. 故答案为：3 14． 【分析】利用函数的奇偶性与单调性去函数符号解含参一元二次不等式即可. 【详解】易知，即为奇函数， 由幂函数的单调性知在R上是增函数， 所以， 则得在R上恒成立， 若时，显然不成立， 若时，显然恒成立成立， 若时，则当且仅当时成立， 综上：实数k的取值范围为． 故答案为： 15．(1)奇函数 (2)0 【分析】（1）利用定义法证明为奇函数； （2）函数为奇函数，有，利用此性质求值即可. 【详解】（1）函数为奇函数，理由如下， 函数的定义域为， 所以函数为奇函数. （2）函数为奇函数，则有， 所以. 16．(1)在区间上单调递增； (2) 【分析】（1）利用定义法证明函数单调性； （2）先化简函数，再利用单调性分别求在区间和上的最大值，取较大者即可.由于在区间上单调递增，在区间上单调递减，需对区间中的分类讨论. 【详解】（1）在区间上单调递增，证明如下： 若，因为，所以， ，且， 有. 因为，且，所以，. 于是，即. 故在区间上单调递增； （2）若，则， 先判断在上的单调性， 由于， 当，且时，，，所以， 即，故在区间上单调递增； 当，且时，，，所以， 即，故在区间上单调递减； 综上，在区间上单调递增，在区间上单调递减. ①当时，由（1）知，在区间上单调递增，所以； ②当时， （i）若，则在上单调递增，所以， 所以函数的最大值； （ii）若，则在上单调递增，在上单调递减， 所以， 所以函数的最大值； （iii）若，则在上单调递增，在上单调递减， 所以， 所以函数的最大值； 综上. 17．(1) (2)在上为增函数，证明见解析 (3) 【分析】（1）先根据恒成立求出，再根据求出，故可求函数解析式； （2）利用单调性定义结合函数为奇函数可证得在上为增函数. （3）根据函数单调性结合定义域可得在上恒成立，利用特征法可得，结合判别式可求参数的范围. 【详解】（1）因为为上的奇函数，故， 故即， 而，故，故，故. （2）在上为增函数，证明如下： 设，则， 因为，故， 所以即即在上为增函数， 而在上为奇函数，故在上为增函数. （3）不等式即为， 故在上恒成立， 所以取，则， 故在上恒成立且， 所以即. 18．(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据函数奇偶性的定义和判定方法，即可可证； （2）根据函数单调性的定义和判定方法，即可得证； （3）根据题意，得到函数为定义域上的奇函数，且为单调递增函数，不等式转化为对于任意实数恒成立，分和，结合二次函数的性质，列出不等式组，即可求解. 【详解】（1）证明：由函数，可得其定义域为，关于原点对称， 又由， 所以函数为定义域上的奇函数. （2）证明：当时，， 任取，且， 可得 因为，且，可得，， 所以，即， 所以函数在上是增函数. （3）因为函数为定义域上的奇函数，且在上是增函数， 所以函数在上也是增函数， 又因为，所以函数在上是增函数， 又由，可得， 因为不等式对于任意实数恒成立， 即不等式对于任意实数恒成立， 可得不等式对于任意实数恒成立， 即不等式对于任意实数恒成立， 当时，不等式即为恒成立，符合题意； 当时，则满足，解得， 综上可得，，即实数的取值范围. 19．(1)0；0 (2)偶函数 (3). 【分析】（1）利用赋值法计算可得； （2）对任意非零实数，，令，即可得到，再令，即可得解； （3）首先说明在区间上单调递增，再得到，则不等式转化为，再结合单调性与奇偶性转化为自变量的不等式，解得即可. 【详解】（1）因为对任意且，都满足， 令，得，， 令，得， . （2）对任意非零实数，，令， 可得. 在上式中，令，得， 即对任意非零实数，都有， 是偶函数. （3）对任意且，有， 由（2）知， 在区间上单调递增. ， ， 是定义域为的偶函数，且在区间上单调递增， 原不等式转化为， 解得或或， 原不等式的解集为. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$