13.4 课题学习 最短路径问题 同步课件-2024-2025学年人教版数学八年级上册

第十三章 轴对称 13.4 课题学习 最短路径问题 学习目标-新课导入-新知探究-课堂小结-课堂训练 学习目标 1.能利用轴对称、平移等变换解决简单的最短路径问题.（难点） 2.体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感受由实际问题转化为数学问题的思想．（重点） 新课导入 复习引入 1.如图，连接A、B两点的所有连线中，哪条最短？你的依据是什么？ A B ① ② ③ ②最短，依据“两点之间，线段最短” 新课导入 复习引入 2.如图，P是直线l外一点，点P与该直线l上各点连接的所有线段中，哪条最短？你的依据是什么？ P l A B C D PC最短，依据“垂线段最短” 新课导入 复习引入 3.如图，直线l是线段AB的对称轴，C是直线l上任意一点，则AC和BC的大小关系是什么？你的依据是什么？ AC=BC. 依据“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”. A B l C 新课导入 复习引入 4.如图，如何做点A关于直线l的对称点？ 作法：（1）过点A作直线l的垂线，垂足为O； l A ∙ A′ ┐ O （2）在垂线上截取OA′=OA. 点A′就是点A关于直线l的对称点. ∙ 可简记为：作垂线；取等长 新知探究 知识点1 牧人饮马问题 引例 如图，若点A，B分别是直线l异侧的两个点，如何在l上找到一个点，使得这个点到点A、点B的距离的和最短？ A l B 你找到的是哪个点？ 依据：“两点之间，线段最短”. 新知探究 知识点1 牧人饮马问题 引例 若点A，B分别是直线l异侧的两个点，如何在l上找到一个点，使得这个点到点A、点B的距离的和最短？ A l B C 作法：连接AB,与直线l相交于一点C. 点C即为所求作的点. 新知探究 问题1 如图，牧马人从点A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地，牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？ 知识点1 牧人饮马问题 实际问题 数学问题 ？转化？ 新知探究 知识点1 牧人饮马问题 A B l C A B l 把河边l近似地看成一条直线 问题转化一：那么该实际问题就转化为这样的数学问题： 如图，点A，B分别是直线l同侧的两个点，如何在l上找到一个点C，使得AC+CB的最小？ 新知探究 知识点1 牧人饮马问题 如图，点A，B分别是直线l同侧的两个点，如何在l上找到一个点C，使得AC+CB的最小？ A l B 你找到的是哪个点？ 新知探究 知识点1 牧人饮马问题 A B l B B′ C A l B C 引例 分析：如果我们能把点B“移”到l 的另一侧B′处，同时对于直线l 上的任一点C，都保持CB 与CB′的长度相等，就能把这个“同侧”的问题转化为“异侧”的问题. A、B同侧 A、B异侧 新知探究 知识点1 牧人饮马问题 A B l 作出点B关于直线l的对称点B′，利用轴对称的性质，可以得到CB′=CB. B′ C 问题转化二:当点C在l的什么位置时，AC+CB′最小. 怎样找到满足条件的点B′？ 在连接A，B′两点的线中，线段AB′最短.因此线段AB′与直线l的交点的位置即为所求. 新知探究 知识点1 牧人饮马问题 A B l B′ C 怎样证明点C的位置即为所求？ 作法：（1）作点B关于直线l的对称点B′; 点C即为所求作的点. （2）连接AB′,交直线l于点C. 新知探究 知识点1 牧人饮马问题 A B l 在直线上另外任取一点C′，连接AC′，BC′，B′C′，证明AC+CB＜AC′+C′B. B′ C C′ 你能完成这个证明吗？ 新知探究 知识点1 牧人饮马问题 A B l B′ C C′ 由轴对称的性质知，BC =B′C，BC′=B′C′． ∴AC +BC=AC +B′C=AB′， ∴AC′+BC′=AC′+B′C′． 在△AB′C′中，AB′＜AC′+B′C′， ∴AC +BC＜AC′+BC′． 即AC +BC 最短． 证明：如图，在直线l 上任取一点C′(与点C 不重合)，连接AC′，BC′，B′C′． 新知探究 知识点1 牧人饮马问题 （1）定直线l ； 利用”牧人饮马“模型解决最值问题的应符合的条件 A B l （2）两定点A，B，且两定点在直线l的同侧; （3）所求作的动点C在直线l 上. C 新知探究 知识点1 牧人饮马问题 （1）找：由轴对称的性质，作其中一个定点（如B）关于直线l 的对称点（B′）； （2）连：连接另外一个定点（A)与对称点（B′）； 解决”牧人饮马“问题的步骤 A B l B′ C′ C （3）交：连线与直线l 的交点（C′）所在的位置即为所求作的点（C）. 新知探究 知识点1 牧人饮马问题 例1 如图，已知点D、点E分别是等边三角形ABC中BC、AB边的中点，AD=5，F是AD边上的动点，则BF+EF的最小值为（　　） A．7.5 B．5 C．4 D．不能确定 B E B E F B E F F 新知探究 知识点1 牧人饮马问题 例1 如图，已知点D、点E分别是等边三角形ABC中BC、AB边的中点，AD=5，F是AD边上的动点，则BF+EF的最小值为（　　） A．7.5 B．5 C．4 D．不能确定 B F 【解析】∵△ABC为等边三角形，D是BC边的中点，∴点B与点C关于直线AD对称.∵点F在AD上，故BF=CF. 即BF+EF的最小值可转化为求CF+EF的最小值，故连接CE即可，线段CE的长即为BF+EF的最小值. 新知探究 知识点1 牧人饮马问题 思考：作点E关于AD的对称点可以吗？为什么不选择这个方法？ 新知探究 知识点2 造桥选址问题 问题2 如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN.桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直） 新知探究 知识点2 造桥选址问题 B A M N 问题转化一：该实际问题就转化为这样的数学问题： N为直线b上一点，且NM⊥直线a于点M，当点N在直线b的什么位置时，AM+MN+NB最小. a b 新知探究 知识点2 造桥选址问题 B A 你找到的是哪个点？ 问题转化二：由于河岸的宽度MN是 固定的，这样问题就转化为：当点 N在直线b的什么位置时，AM+NB最小. a b 新知探究 知识点2 造桥选址问题 B A M N a b A l B C 引例 分析：如果我们能把两条直线转化成一条直线，就能把这个问题转化成“引例”的问题了. 两条直线 一条直线 新知探究 知识点2 造桥选址问题 B N A M a b N a A M 转化成了引例中的模型 该折线即为最短路径 新知探究 知识点2 造桥选址问题 B A M a b N A′ 作法：（1）平移点A到点A′，使AA′等于河宽; 点M和点N的位置即为造桥的位置. （2）连接A′B,A′B与直线b的交点，即为所求作的点N； （3）过点N作NM⊥直线a于点M. 怎样证明造桥位置的正确性呢？ 新知探究 知识点2 造桥选址问题 B A M a b N A′ M′ N′ 在直线b上另外任取一点N′，过点N′作N′M′⊥a，垂足为M′，连接AM′，A′N′，N′B，证明AM+MN+NB＜AM′+M′N′+N′B. 你能完成这个证明吗？ 新知探究 知识点2 造桥选址问题 B A M a b N A′ M′ N′ 分析：要证AM+MN+NB＜AM′+M′N′+N′B AM+NB＜AM′+N′B A′N+NB＜A′N′+N′B 根据两点之间线段最短即可求证. A′B＜A′N′+N′B 新知探究 （1）一移； （2）二连； 解决”造桥选址“问题的步骤 （3）三交； 知识点2 造桥选址问题 B A M a b N A′ （4）四垂直. 新知探究 知识点2 造桥选址问题 在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变化把未知问题转化为容易解决的问题，从而作出最短路径的选择. 课堂小结 最短路径问题 牧人饮马问题 步骤：找，连，交. 造桥选址问题 步骤：移，连，交，垂直. 原理 两点之间，线段最短. 课堂训练 1.如图，点A，B是直线l同侧不重合的两点，在直线l上求作一点C，使得AC+BC的长度最短.作法：①作点B关于直线l的对称点B′；②连接AB′，与直线l相交于点C，则点C为所求作的点.在解决这个问题时没有用到的知识或方法是（ ） A.转化思想 B.三角形两边之和大于第三边 C.两点之间，线段最短 D.三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角 A B l C B′ D 课堂训练 2.如图，直线l是一条河，P、Q是两个村庄.欲在l上的某处修建一个水泵站，向P、Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需要管道最短的是（ ） D 课堂训练 3.如图所示的平面直角坐标系中，点A的坐标为(4,2),点B的坐标为(1，-3),在y轴上有一点P，使PA+PB的值最小，则点P的坐标为( ) A. (2,0) B . (-2,0) C. (0,2) D. (0，-2) 【解析】如图，作B点关于y轴的对称点B',连接AB',交y轴于一点，该点即为所求的点P.过点A作x轴的垂线，交B'B的延长线于点C，则∠C=90°，设BB'交y轴于点D,则OD=|-3|=3. B' P C D 课堂训练 3.如图所示的平面直角坐标系中，点A的坐标为(4,2),点B的坐标为(1，-3),在y轴上有一点P，使PA+PB的值最小，则点P的坐标为( ) A. (2,0) B . (-2,0) C. (0,2) D. (0，-2) D ∵点B坐标为(1，-3) ,∴B'(-1 ,-3 ) . ∵易得B'C=1+4=5,AC=2=3=5 ,∴B'C=AC. ∴∠B'=45°.∴PD=B'D=1. ∴OP=2 ,∴P (0,-2 ).故选D. B' P C D 课堂训练 4.如图，牧童在A处放马，其家在B处，A、B到河岸的距离分别为AC和BD，且AC=BD,若点A到河岸CD的中点的距离为500米，则牧童从A处把马牵到河边饮水再回家，所走的最短距离是 米. 1000 A C D B E A′ . 河 【解析】延长AC至点A′，使得A′C=AC，连接A′B交CD于点E，连接AE，则E即为所求的点. 易得A′C=AC=BD，又AC⊥CD，BD⊥CD，∠A′EC =∠BED.∴△A′CE≌△BDE（AAS），则E是CD的 中点，∴AE=500，所以AE+BE=500+500=1000. 课堂训练 5.如图，等腰三角形ABC的底边BC长为10，面积是40，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于点E，F．若D为BC边的中点，M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为　 　． 【解析】如图，连接AD，AM． ∵△ABC是等腰三角形，D是BC边的中点， BC=10，∴CD=5，AD⊥BC，∴S△ABC＝BC•AD÷2 ＝10×AD÷2＝40，解得AD＝8. 课堂训练 5.如图，等腰三角形ABC的底边BC长为10，面积是40，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于点E，F．若D为BC边的中点，M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为　 　． 13 ∵EF是线段AC的垂直平分线， ∴点C关于直线EF的对称点为点A， ∴MA＝MC，∵MC+MD＝MA+MD≥AD， ∴AD的长为CM+MD的最小值， ∴△CDM的周长的最小值＝AD+CD＝8+5＝13．故答案为13． 课堂训练 6.两棵树的位置如图所示，树的底部分别为点A，B，有一只昆虫沿着A至B的路径在地面爬行，小树的树顶D处有一只小鸟想飞下来抓住小虫后，再飞到大树的树顶C处，问小虫在AB之间何处被小鸟抓住时，小鸟飞行路程最短，在图中画出该点的位置. 课堂训练 方法一：解：如图，作点C关于AB的对称点C′，连接DC′交AB于点E，则点E即为所求. C′ E 方法二：解：如图，作点D关于AB的对称点D′，连接CD′，同样交AB于点E的位置，则点E即为所求. D′ 课堂训练 7.如图，荆州古城河在CC′处直角转弯，河宽相同，从A处到B处，须经两座桥：DD ′,EE ′（桥宽不计），设护城河以及两座桥都是东西、南北方向的，怎样架桥可使ADD ′E ′EB的路程最短？ A D D′ C C′ E E′ B G F E E′ D D′ 解：（1）作AF⊥CD,且AF=河宽； （2）作BG⊥CE，且BG=河宽； （3）连接GF,与河岸相交于E ′,D′； （4）作DD′,EE′即为桥. 课堂训练 8.（1）如图①，在AB直线一侧C、D两点，在AB上找一点P，使C、D、P三点组成的三角形的周长最短，找出此点． A B C D C' P 图① 课堂训练 8.（2）如图②，在∠AOB内部有一点P，是否在OA、OB上分别存在点E、F，使得E、F、P三点组成的三角形的周长最短，找出E、F两点． P O A B P' P'' E F 图② 课堂训练 8.（3）如图③，在∠AOB内部有两点M、N，是否在OA、OB上分别存在点E、F，使得E、F、M、N，四点组成的四边形的周长最短，找出E、F两点． N O A B M M' N' E F 图③ 课堂训练 【变式】如图，在五边形ABCDE中，∠BAE＝120°，∠B＝∠E＝90°，BC＞AB，DE＞AE，在BC，DE上分别找一点M，N，使得△AMN的周长最小时，则∠AMN+∠ANM的度数为　 　． 课堂训练 【解析】如图，作A点关于BC的对称点A'，关于ED的对称点A''，连接A'A''，A'A''与BC的交点即为所求的点M，A'A''与ED的交点即为所求的点N. A'' A' M N ∵∠B=∠E=90°，∴A、B、A'共线，A、E、A''共线，∴∠A'=∠A'AM，∠A''=∠NAE，∴∠A'AM+∠NAE=∠A''+∠A'=180°﹣∠BAE=180°﹣120°=∠60°，∴∠AMN+∠ANM=180°﹣∠MAN=180°﹣（120°﹣∠A'AM﹣∠NAE）=120°，故答案为120°． $$