2.7弧长及扇形的面积课时训练-2024-2025学年苏科版 数学九年级上册

2.7弧长及扇形的面积课时训练-2024-2025学年数学九年级上册苏科版 一、单选题 1．如图，在中，，，现以三角形的一条边为直径作圆，圆与另外两条边所在的直线交于点D，E（D，E不与的顶点重合），则的长为（    ） A．或 B．或 C．或2π D．或 2．如图，点B、C、D在上，，A是的中点，若，则的长是（   ） A． B． C． D． 3．图中的五个半圆，邻近的两半圆相切，两只小虫同时出发，以相同的速度从A点到B点，甲虫沿路线爬行，乙虫沿路线爬行，则下列结论正确的是（　　） A．甲先到B点 B．乙先到B点 C．甲、乙同时到B D．无法确定 4．如图，是的直径，，则（    ） A． B． C． D． 5．如图，点B、C、D在上，，A是的中点，若，则的长是（    ） A． B． C． D． 6．如图，已知矩形，的半径为3，则图中阴影部分的面积是（　　） A． B． C． D． 7．如图，正五边形的边长为5，以顶点为圆心，的长为半径画圆，则圆与正五边形重叠部分（图中阴影部分）的面积为（    ） A． B． C． D． 8．如图，边长为4的正方形的顶点B在上，顶点A，C在内，的延长线交于点D，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．一个扇形的圆心角为，面积为，则此扇形的弧长为 ． 10．抖空竹在民间流行的历史至少在600年以上，是国家级的非物质文化遗产之一．如图，分别与相切于点，，延长，交于点．若，的半径为，则图中的长为 ．（结果保留） 11．如图，在正方形网格中，点A、B、C、D均在格点上，过B，C，D的弧交于点E，若每个正方形的边长为1，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留） 12．如图，在等腰中，斜边的长为8，点P在以为直径的半圆上，M为的中点．当点P沿半圆从点A运动至点C时，点M运动的路径长为 ；连接，则的最小值为 ． 13．如图，在的正方形网格中，小正方形的顶点称为格点，顶点均在格点上的图形称为格点图形，图中的圆弧为格点外接圆的一部分，小正方形边长为1，图中阴影部分的面积为 ． 14．如图，一扇形纸扇完全打开后，两竹条外侧和的夹角为，OC长为，贴纸部分的长为，则贴纸部分的面积为 （结果保留）． 15．如图，已知与相切于点A，点B为上一点，，过点B作于点C，交于点D，连接．已知，则图中阴影部分的面积是 ． 三、解答题 16．利用图中的网格线（最小的正方形的边长为1）画图． (1)画出关于原点O对称的中心对称图形； (2)将绕点A顺时针旋转90°，在这旋转变换中，求线段扫过的面积． 17．如图，点D在⊙O的直径的延长线上，与相切于点C．若的半径为1，求阴影部分的面积． 18．如图1，的顶点在上，点E，F分别为边，的中点． (1)求证：点A，E，O，F在同一个圆上，并在图中画出该圆的圆心； (2)如图2，的直径，点A固定，点B在半圆弧上运动．在点B从点M运动到点N的过程中，求点E的运动路径的长． 19．如图，以的一边为直径作交于点，与边的交点恰好为的中点，连接． (1)求证：； (2)若，求的长． 20．如图，在边长为6的等边三角形中，动点从点出发，沿边向终点运动，同时，动点从点出发，沿边向终点运动，两者速度均为每秒1个单位长度，运动时间为，以为直径在右侧作半圆． (1)当P在A处时，半圆O落在三角形内部的弧长为________； (2)当半圆O与除点外，另有交点时，若，求的度数； (3)直接写出：当t为何值时，半圆O正好与等边三角形的一边相切． 21．如图，在中，，为的外接圆，为直径，过点作交的延长线于点． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若的半径为，，求直径、弦与劣弧所围图形的面积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A D C D A C B B 1．A 【分析】本题考查了圆周角定理，弧长公式，等腰三角形的性质等，分两种情况讨论，作出图形，根据等腰三角形的性质，利用圆周角定理求得∠DOE的度数，然后求得圆O的半径，利用弧长公式求得即可． 【详解】解：如图1，以为直径作，交于D，交、的延长线于点D、E，连接、， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵，O是的中点， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴； 如图2，以为直径作，交于D，交的延长线于E，连接、， ∵，， ∴，，， ∴， ∴， ∴． 综上，的长为或， 故选：A． 2．D 【分析】本题考查圆周角定义，求弧长，先根据圆周角定理求出的度数，再根据弧长公式进行计算即可． 【详解】解：连接， 则， 又∵A是的中点， ∴， ∴的长是 故选：D． 3．C 【分析】甲虫走的路线应该是4段半圆的弧长，那么应该，乙虫走的路程为，因此甲虫走的四段半圆的弧长正好和乙虫走的大半圆的弧长相等，因此两个同时到点．本题考查了圆的认识，主要掌握弧长的计算公式． 【详解】解：甲虫沿路线爬行，乙虫沿路线爬行， ∴甲虫走的路程为， 乙虫走的路程为， 甲虫走的四段半圆的弧长正好和乙虫走的大半圆的弧长相等， ∵两只小虫同时出发，以相同的速度从A点到B点， 因此甲虫和乙虫同时到点． 故选：C． 4．D 【分析】本题考查了圆周角定理，弧长公式，熟记定理并灵活运用是解题的关键． 连接，根据弧长公式和，可求得，，根据平角的定义求出，再利用圆周角定理求出即可． 【详解】解：连接，如图：    设，则， 则的长为，的长为， ∵， 即， 整理得：， 解得：， 即，， ∵， ∴． 故选：D． 5．A 【分析】本题考查圆周角定义，求弧长，先根据圆周角定理求出的度数，再根据弧长公式进行计算即可． 【详解】解：连接， ∵A是的中点， ∴， ∴， ∵点B、C、D在上，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴的长是； 故选A． 6．C 【分析】本题考查扇形面积的计算、矩形的性质，根据矩形的性质可以求得的度数，然后根据扇形面积公式即可求得阴影部分的面积． 【详解】矩形， ， ∵的半径为3， 图中阴影部分的面积是：， 故选：C． 7．B 【分析】本题考查正多边形和圆，扇形面积的计算．根据正五边形的内角和定理求出正五边形的一个内角的度数，再根据扇形面积的计算方法进行计算即可． 【详解】解：五边形是正五边形， ， ， 故选：B． 8．B 【分析】本题主要考查求不规则图形的面积，掌握扇形的面积公式，是解题的关键．根据正方形的性质和勾股定理得的半径为，结合扇形与三角形的面积公式，即可得到答案． 【详解】解：连接，如图所示： ∵四边形是正方形， ∴， ∵正方形的边长为4， ∴， ∴， 即：的半径为， ∴． 故选：B． 9． 【分析】本题考查了弧长的计算和扇形面积的计算，根据扇形面积公式求得半径，再根据弧长的公式求弧长即可． 【详解】解：令扇形的半径和弧长分别为和， ， ， ． 扇形的弧长为． 故答案为：． 10． 【分析】此题考查圆的切线的性质定理，四边形的内角和，弧长的计算公式，熟记圆的切线的性质定理及弧长的计算公式是解题的关键． 连接，利用切线的性质得到，根据四边形的内角和求得，再利用弧长公式求得答案． 【详解】连接， ∵分别与相切于点C，D， ∴， ∵，， ∴， ∴（）， 故答案为：． 11． 【分析】设过B，C，D的弧的圆心为O，连接，由勾股定理求出，，的值，进而由勾股定理的逆定理得是等腰直角三角形， 再由圆周角定理得，，为半圆的直径，则，然后由等腰直角三角形的性质得，，根据即可求解． 【详解】如图，设过B，C，D的弧的圆心为O，连接， 由勾股定理得，，， ， ， 是等腰直角三角形，， ， ，为半圆的直径， ， ， ，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理、等腰直角三角形的判定与性质、圆周角定理、与圆有关的计算，熟练掌握勾股定理和圆周角定理是解题的关键． 12． / 【分析】取的中点O，连接，取的中点，连接，利用勾股定理求出，根据三角形中位线的性质求出，确定点M的运动轨迹，即可求出点M运动的路径长；再根据点到圆上的距离即可求出的最小值． 【详解】解：取的中点O，连接，取的中点，连接， 在等腰中，斜边的长为8， ， ， 点O为的中点， ， 为的中点，点为的中点， 是的中位线， ， ∴点M在以为半径的上运动． ∵当点P从点A运动至点C时， 点M所经过的路径为半圆， ∴点M运动的路径长为； ∵点M在以为半径的上， ∴当点M在与的交点处时，最小，最小值为． ， ， 的最小值为． 故答案为：，． 【点睛】本题考查点到圆上的距离，弧长公式，三角形中位线，直角三角形的性质，勾股定理及等腰三角形的性质，正确作出辅助线，确定点M的运动轨迹是解题的关键． 13． 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，扇形面积的计算，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．作的垂直平分线，作的垂直平分线，设与相交于点，连接，，，则点是外接圆的圆心，先根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，然后根据图中阴影部分的面积扇形的面积的面积的面积，进行计算即可解答． 【详解】解：如图：作的垂直平分线，作的垂直平分线，设与相交于点，连接，，，则点是外接圆的圆心， 由题意得：， ， ， ， 是直角三角形， ， ， 图中阴影部分的面积扇形的面积的面积的面积 ， 故答案为：． 14． 【分析】本题考查扇形的面积计算，分别求出两个扇形的面积作差即可求出答案． 【详解】解：依题意，贴纸的面积为 故答案为：． 15． 【分析】本题考查的是切线的性质、扇形面积的计算，熟记圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．连接，根据切线的性质得到，证明，得到，根据扇形面积公式计算，得到答案． 【详解】解：连接， ∵与相切于点A， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， 由圆周角定理可得： ， ． 故答案为: 16．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了作图—作中心对称图形，线段扫过的扇形面积，勾股定理等知识． （1）作出三点关于原点O对称的对应点，依次连接即可； （2）首先明确线段扫过的面积是以点A为圆心，为半径，圆心角是的扇形面积；由勾股定理求出线段的平方，由扇形面积公式即可求解． 【详解】（1）解：如图，即为所求作．    （2）解：由题意，线段扫过的面积是以点A为圆心，为半径，圆心角是的扇形面积， ∵，， ∴线段扫过的面积为． 17． 【分析】本题考查了求扇形面积，圆的切线性质，熟练掌握扇形面积公式是解题的关键． 连接，求出和，求出边长，分别求出三角形的面积和扇形的面积，即可求出答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵与相切于点C， ∴， 在中，，， ∴，， ∴， ∴阴影部分的面积是 18．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查轨迹、点与圆的位置关系、作图复杂作图等知识． （1）如图，连接，，，取的中点，连接，．利用垂径定理证明，由，推出即可解决问题； （2）如图，连接．由，推出，推出点的运动轨迹是以为直径的半圆，由此即可解决问题． 【详解】（1）证明：如图，连接，，，取的中点，连接，， ∵点E、F分别为边的中点， ，， ，， ， ， ， 点，，，在同一个圆上，圆心是图中中点； （2）解：如图，连接，，，取的中点，取的中点，取的中点， ∴是中位线，是中位线， ∴，，，， ∴，，三点共线，且， ， ， 在点B从点M运动到点N的过程中，点的运动轨迹是以为直径的半圆， ∵的直径， ∴， 点的运动路径的长． 19．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查圆内接四边形的性质，等腰三角形的性质和判定，弧长公式，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键． （1）根据等腰三角形的性质可以得到，然后根据圆内接四边形的的对角互补得到，然后根据等角对等边得到结论； （2）根据三线合一和圆周角定理可以求出，然后利用弧长公式计算解题． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，连接，    ∵，D为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的长为． 20．(1) (2) (3)当或或或时，半圆O正好与等边三角形的一边相切 【分析】（1）连接，，求得的度数，进而根据弧长公式得出结果； （2）先求出的度数，进而根据三角形的外角与内角的关系得出结果； （3）分为与，，分别相切三种情形．当与相切时，此时，根据求得结果；当与相切时，此时，根据求得结果；当与相切时，连接，作，交于，作于，作于，连接，解，表示出，，，，进而求出，进而得出，从而得出，进而列出方程求得结果． 【详解】（1）解：如图1， 连接，， 当P在A处时，圆的半径为， 是等边三角形， ， ，， 和是等边三角形， ，， ， 弧长为， 故答案为：； （2）解：如图2， ，， ， ； （3）解：由题意可得，， 当直径时，如图3，切于，此时，， ， ， ， 当直径于时，如图4，此时，， ， ， ； 当切于时，连接，作交于，作于，作于，连接，如图5， ∴四边形为矩形， ，，， ∴， ∵， ∴， ∴为的中位线， ， ∵为直径， ∴， ∴， ，， ，， ， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ， ∵切于时， ∴， ∴， ，， 即圆的半径为， ， ， ， 解得， 综上所述：或4或． 【点睛】本题考查了等边三角形性质，圆的切线的性质，弧长公式，垂径定理，勾股定理，直角三角形的性质等知识，解决问题的关键是熟记直角三角形的三边关系． 21．(1)是的切线，理由见解析； (2)． 【分析】（1）连接，并延长交于点，先证明，得，进而根据切线的判定即可得解； （2）连接，由，得，进而得，，，再利用面积公式即可得解． 【详解】（1）解：是的切线，理由如下： 连接，并延长交于点， ∵， ∴， ∵为直径， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是的切线； （2）解：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴直径、弦与劣弧所围图形的面积 ． 【点睛】本题考查了切线的判定与性质，圆周角定理，垂径定理的推理，直角三角形的两锐角互余，不规则图形的面积，掌握切线的判定与性质是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$