专题24.5 解题技巧专题：圆中有关辅助线的作法（5类题型）-【学霸满分】2024-2025学年九年级数学上册重难点专题提优训练（人教版）

专题24.5 解题技巧专题：圆中有关辅助线的作法 目录 【考点一 遇弦作弦心距或连接半径】 1 【考点二 遇直径构造直径所对的圆周角是直角】 7 【考点三 遇切线连接圆心和切点】 14 【考点四 证明切线若有切点，连半径，证垂直】 22 【考点五 证明切线若无切点，作垂直，证半径】 32 【典型例题】 【考点一 遇弦作弦心距或连接半径】 例题：（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，的半径为2，弦，，则的长为 ． 【答案】/ 【知识点】用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值 【分析】本题考查垂径定理和勾股定理，首先过点O作于点D，由垂径定理，即可求得，的长，然后由勾股定理，可求得的长，然后在中，利用勾股定理即可求得的长． 【详解】过点O作于点D， ∵， ∴，， ∴， ∵的半径为，即， ∴在中，， 在中， 故答案为：． 【变式训练】 1．（2024·广东广州·模拟预测）刺绣是我国独有的一门传统艺术，它承载着大量中国民族文化的意义．圆形刺绣作品展示木架的设计简图如图所示，已知、、分别与圆相交于点A、点E、点D，，，，，则圆形刺绣作品的半径为 ． 【答案】10 【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求线段长、利用垂径定理求值 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，矩形的判定和性质，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 设圆心为O，连接，，，交于点F，证明四边形是矩形，得是切线，在求出，设，则有，解方程可得结论． 【详解】解：如图，设圆心为O，连接，，，交于点F． ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， 是切线， ， ， ， 设，则有， ， 故答案为：10． 2．（2024·贵州遵义·一模）如图，是的直径，将弧沿弦折叠后，弧刚好经过圆心．若，则的半径长是 ． 【答案】 【知识点】含30度角的直角三角形、等边三角形的判定和性质、与三角形中位线有关的求解问题、利用垂径定理求值 【分析】本题考查了折叠的性质、垂直平分线的性质、等边三角形的判定与性质、垂径定理、中位线的定义与性质、含角的直角三角形的性质，熟练掌握知识点、作辅助线推理是解题的关键． 过点作于点，交于点，连接，根据折叠的性质，得出垂直平分，根据垂直平分线的性质得出，则，证明为等边三角形，得出，由、垂径定理得出，推出，根据含角的直角三角形的性质得出，由，，推出是的中位线，根据中位线的性质得出，由得出答案即可． 【详解】解：如图，过点作于点，交于点，连接， ∵弧沿弦折叠后，弧刚好经过圆心， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴是的中位线， ∴， ∴，即的半径长是． 故答案为：． 3．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径，水面宽，某天下雨后，水面宽度变为，则此时排水管水面上升了 ． 【答案】10或70 【知识点】用勾股定理解三角形、垂径定理的实际应用 【分析】本题考查垂径定理和勾股定理的运用，解题的关键是垂径定理，易错点是分类讨论水面在直径是下方和上方． 根据半径为，则直径为；又根据水面宽度为，则有两种情况，水面在水面平行的直径下方，过点作于点；水面在水面平行的直径上方，过点作于点，过点作于点，根据垂径定理，勾股定理，即可求出． 【详解】连接 ∵ ∴圆的直径为 ∴水面在水面平行的直径下方 ∴过点作于点 ∴且与交于点 ∵， ∴， ∴在直角三角形中， ∴ ∴； 在直角三角形中， ∴ ∴ ∴上升的距离为 水面在水面平行的直径上方，过点作于点，过点作于点 同理可得，上升的距离为：． 故答案为：10或70． 4．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在半径为的中，弦与相交于点，求的长． 【答案】 【知识点】利用垂径定理求值、用勾股定理解三角形、含30度角的直角三角形 【分析】本题考查圆和锐角三角函数，解题的关键是掌握垂径定理和解直角三角形的方法．过点O作于点F，于点G，连接、、，根据垂径定理得到的长，用勾股定理求出的长，得到是等腰直角三角形，，再利用含角的直角三角形性质求出的长，在中用勾股定理求出的长，即可得到结果． 【详解】解：如图，过点作于点F，于点G，连接、、， 则，， ∴， 在中，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴． 【考点二 遇直径构造直径所对的圆周角是直角】 例题：（2024·广东惠州·三模）如图，是的直径，上的两点A，B分别在直径的两侧，且，则的度数为 ； 【答案】/24度 【知识点】圆周角定理、半圆（直径）所对的圆周角是直角 【分析】本题考查了圆周角定理，直径所对的圆周角等于90度，掌握圆周角定理和推论是解题的关键．连接，由直径所对的圆周角等于90度可得，进而可知，再由圆周角定理即可求解． 【详解】解：如图；连接， 是的直径， ， 故答案为：． 【变式训练】 1．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）如图，内接于，是直径，若，则 ． 【答案】 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、同弧或等弧所对的圆周角相等、半圆（直径）所对的圆周角是直角 【分析】本题考查了圆周角定理，直角三角形的两个锐角互余，连接，根据直径所对的圆周角是直角得出，根据同弧所对的圆周角相等得出，进而根据直角三角形的两个锐角互余，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵内接于，是直径， ∴， ∵,， ∴ ∴， 故答案为：． 2．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）已知：如图，在中，，以为直径的与边相交于点，，垂足为点E． (1)求证：点是的中点； (2)若，则的长______．（直接写答案） 【答案】(1)证明见详解 (2) 【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、半圆（直径）所对的圆周角是直角 【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，勾股定理，正确添加辅助线是解决本题的关键． （1）连接，如图，根据圆周角定理，由为直径得到，然后根据等腰三角形的性质得； （2）先由勾股定理求出，再由等积法求出即可． 【详解】（1）证明：连接，如图， 为直径， ， ， ， ， 即点是的中点； （2）解：如图， ∵，为中点， ∴ ∵，， ∴由勾股定理得，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（23-24九年级上·江苏淮安·期中）如图，在中，，以为直径的分别交于点D、E． (1)求证：点E是的中点； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】圆周角定理、半圆（直径）所对的圆周角是直角 【分析】本题主要查了圆周角定理，等腰三角形的性质： （1）连接，由圆周角定理推出，由等腰三角形的性质即可证明E是的中点； （2）由等腰三角形的性质得到，求出，由圆周角定理推出，即可求出． 【详解】（1）证明：连接， ∵是圆的直径， ∴， ∵， ∴E是的中点； （2）解：∵， ∴ ∴， ∵， ∴． 4．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）如图，在中，，以为直径作，交于点D，交于点E． (1)求证：点D是边的中点． (2)记的度数为α，的度数为β．探究α与β的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角、圆周角定理、半圆（直径）所对的圆周角是直角 【分析】本题考查圆周角定理、等腰三角形的性质、三角形的内角定理，解答关键是熟练掌握等腰三角形的性质． （1）连接，先根据圆周角定理得到，再根据等腰三角形的三线合一性质可得结论； （2）连接，先求得，再根据等腰三角形的等边对等角性质和三角形的内角定理求解即可． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵为的直径， ∴，即， ∵， ∴， 即点D是边的中点； （2）证明：，理由如下， 如图，连接， ∵的度数为， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，则， ∴， 即． 5．（24-25九年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，在中，，以为直径的分别交于点，交于点，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】已知圆内接四边形求角度、半圆（直径）所对的圆周角是直角、用勾股定理解三角形、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质、圆周角的性质及圆内接四边形的性质，勾股定理； （1）由题意易得，，然后可得，进而问题可求证； （2）连接，则有，进而根据勾股定理可进行求解． 【详解】（1）证明：，， 四边形内接于， ， ， ； （2）解：连接， 是的直径， ， 设， ， ， 解得： ． 【考点三 遇切线连接圆心和切点】 例题：（24-25九年级上·广西柳州·期中）如图，与相切于点C， ，的直径为，，求长． 【答案】 【知识点】切线的性质定理、用勾股定理解三角形、三线合一 【分析】本题考查了圆的切线性质，等腰三角形的性质，勾股定理知识．连接，根据切线的性质得，由于，则根据等腰三角形的性质可得的长，然后在中利用勾股定理计算出的值即可． 【详解】解：连接， ∵切于C， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵的直径为， ∴， 在中，，， ∴． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·江西赣州·期中）如图，P为外一点，，是的切线，A，B为切点，点C在上，连接，，． (1)求证：； (2)连接，若，的半径为5，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)10． 【知识点】切线的性质定理、根据矩形的性质与判定求线段长、用勾股定理解三角形、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，切线的性质，勾股定理等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）过O作于H，得到，根据切线的性质得到，根据余角的性质得到，根据等腰三角形的性质即可得到结论； （2）连接，延长交于E，根据切线的性质得到，，根据矩形的性质得到，，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）证明：过O作于H，如图： ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：连接，延长交于E，如图： ∵，是的切线， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． 2．（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）如图所示，是的内接三角形，过点作的切线，与的直径所在的直线相交于点，连接，其中，． (1)求的大小； (2)点在圆上移动时，当与恰巧全等，求的长． 【答案】(1)； (2)的长为或3． 【知识点】含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、圆周角定理、切线的性质定理 【分析】（1）根据等腰三角形的性质求得，根据圆周角定理即可求得； （2）分两种情况讨论，当时，根据切线的性质得出，证得，进而证得，得出，进一步证得，根据圆周角定理得出，通过解直角三角形即可求得．当时，同理可解． 【详解】（1）解：，， ， ； （2）解：连接， 是的切线， ， ， 当时，， ， ， 是的直径， ， ， ， ， 是的直径， ， ， 在中，，则， ， ， ； 当时，同理证得，， 综上，的长为或3． 【点睛】本题考查的是切线的性质、圆周角定理，勾股定理，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． 3．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，已知是的直径，点C在上，D为外一点，且，直线为的切线．    (1)若，求的半径． (2)试说明：． 【答案】(1)2 (2)见解析 【知识点】切线的性质定理、半圆（直径）所对的圆周角是直角、根据等边对等角证明、含30度角的直角三角形 【分析】（1）连接，由圆周角定理得，然后利用30度角所对的直角边等于斜边的一半求出，即可求出半径． （2）连接，根据直线为的切线得出，进而，再根据平行线的性质得出，最后根据外角性质即得 【详解】（1）连接，    ∵是的直径， ∴． ∵∠，                                                      ∴， ∴的半径为2． （2）连接，如下图：    ∵直线为的切线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查切线的性质、圆周角定理，三角形外角的性质，等腰三角形的性质，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题． 4．（2024·江西南昌·模拟预测）定理证明：    （1）如图1，，是的两条切线，切点分别为，，求证：； 定理应用： （2）如图2，是⊙的内接等腰三角形，，，是的切线，若，求四边形的面积． 【答案】（1）见解析；（2） 【知识点】等边三角形的判定和性质、根据菱形的性质与判定求面积、圆周角定理、切线的性质定理 【分析】（1）由切线的性质得到，再由等边对等角得到，则可证明，进而证明． （2）先证明，由切线的性质得到，则，由圆周角定理得到，则，由平行线的性质得到，则可证明，得到，进而可证明是等边三角形，是等边三角形，则四边形是菱形，作于点，则，，求出，则． 【详解】（1）证明：如图1，连接、、，   ，是的两条切线，切点分别为，， ，， ， ， ， ， ， ． （2）解：如图2，连接、，则，   ， ， ， 与相切于点， ， ， ， ， ， ∵， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， 是等边三角形， ， 四边形是菱形， 作于点，则，， ， ， 四边形的面积是． 【点睛】本题主要考查了切线的性质，等边对等角，等边三角形的性质与判定，菱形的性质与判定，勾股定理，圆周角定理等等，正确作出辅助线是解题的关键. 【考点四 证明切线若有切点，连半径，证垂直】 例题：（23-24九年级上·山东·单元测试）如图，以的边为直径的交边于点，且过点的的切线平分边，交于． (1)求证：是的切线． (2)当满足什么条件时，以点、、、为顶点的四边形是正方形？ 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、与三角形中位线有关的求解问题、证明四边形是正方形、证明某直线是圆的切线 【分析】此题是切线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、正方形的判定性质、圆周角定理的综合运用．解题的关键是通过作辅助线证明三角形全等． （1）要证是的切线，就要证，只要证即可，首先作辅助线，连接、，由已知得为的中位线，，从而证得，推出，又是的切线，所以得，即，得证． （2）由题意使四边形是正方形，即得到，又由已知，，，所以，即为等腰三角形．再通过为等腰三角形论证以点、、、为顶点的四边形是正方形． 【详解】（1）连接、， 为直径的中点，为的中点， 为的中位线， ， ，， ， ， ， ，， ， ， 是的切线， ， ， 是的切线； （2）当为等腰三角形时四边形是正方形，证明如下： 连接， 是的直径， ， ， 为的中点， 为的中点， 为的中位线， ， 为的切线， ， ， ， ， 四边形为正方形． 【变式训练】 1．（2023·新疆乌鲁木齐·一模）如图，是的直径，和分别切于，两点，与有公共点． 且． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、半圆（直径）所对的圆周角是直角、切线的性质定理、证明某直线是圆的切线 【分析】本题考查的是切线的判定与性质、全等三角形的判定和性质； （1）连接、，根据切线的性质得到，证明，根据全等三角形的性质得到，根据切线的判定定理证明结论； （2）根据切线的性质得到，，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案． 【详解】（1）解：证明：如图，连接、， 是的切线， ， 在和中， ， ， ， 为的半径， 是的切线； （2）解：过点作于，则四边形为矩形， ，， 设，则， ， 由切线长定理可知：，， ， 在中，，即， 解得：，即． 2．（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，在中，，以为直径的与相交于点，过点作，交于点E． (1)求证：是的切线； (2)若的直径为5，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、半圆（直径）所对的圆周角是直角、证明某直线是圆的切线 【分析】本题考查切线的判定，等腰三角形性质，勾股定理等知识； （1）连接，通过角的转换，可证明，进而得证； （2）连接，可得，根据勾股定理求得，在中，根据面积法求得． 【详解】（1）如图1， ， ， ， ， ， ∴， ， 半径， 是的切线； （2）如图2， 连接， 是的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， 的长是． 3．（23-24九年级上·甘肃定西·期末）如图，是⊙的直径，切⊙于点，点是⊙上的一点，且，． (1)求证：是⊙的切线； (2)若⊙的半径为，求弦及，的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、多边形内角和问题、证明某直线是圆的切线 【分析】（1）连接，证明即可．由三角形的内角和定理可得，由切线的性质可得，根据四边形的内角和为，结合已知条件可得，于是得证； （2）连接，根据切线长定理可得，由全等三角形的判定与性质可得，于是可得，由勾股定理可求得的长，最终利用等边三角形的判定与性质可得答案． 【详解】（1）证明：如图，连接， ， ， ， 切⊙于点， ， ， 四边形的内角和为， ， ， 又点是⊙上的一点， 是⊙的切线； （2）解：如图，连接， 、是⊙的切线， ， 在和中， ， ， ， 在中，，， ， ， ，， 是等边三角形， ． 【点睛】本题主要考查了圆的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，切线的性质，垂线的性质，多边形的内角和，切线的判定，切线长定理，全等三角形的判定与性质，含角的直角三角形，勾股定理，等边三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握相关知识点并能灵活运用是解题的关键． 4．（2024·内蒙古通辽·模拟预测）如图所示，在中，经过A、B两点的交于点E，圆心O在上过点交于点D，连接交于点E．若． (1)求证：是的切线． (2)若，．求的长； 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、切线的性质定理、证明某直线是圆的切线 【分析】本题考查了切线的判定定理、勾股定理、等腰三角形的判定与性质等知识点，掌握圆的切线的判定定理是解题的关键． (1)由知,由知，根据可得，再根据切线的判定定理即可证明结论； (2)设，在中根据勾股定理可得，继而由，再根据即可解答． 【详解】（1）解：如图：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 又∵是半径， ∴是的切线． （2）解：设， ∵， ∴， 在中，由,可得：，解得：， ∴， ∴， ∴． 5．（2024·甘肃武威·三模）如图，为的直径，，为上不同于，的两点，且位于异侧，，过点作交的延长线于点，交的延长线于点．      (1)求证：为的切线； (2)若，，求点到的距离． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】圆周角定理、切线的性质定理、证明某直线是圆的切线 【分析】本题是圆的综合题，考查了切线的判定，三角形面积法，正确的作出辅助线是解题的关键． （1）连接，如图，由于，则根据三角形外角性质得，而，所以，根据平行线的判定得到，再得到，然后根据切线的判定定理得为的切线； （2）过点作的垂线段，利用面积法即可解答． 【详解】（1）证明：连接，如图， ， ， ， ， ， ， ， ， 为的切线； （2）解：，， ,， ， ， ，即点到的距离为．    【考点五 证明切线若无切点，作垂直，证半径】 例题：（22-23九年级上·甘肃定西·期末）如图，已知直线经过上的点，且． (1)求证：直线是的切线． (2)若，求阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】证明某直线是圆的切线、求其他不规则图形的面积 【分析】（1）连接，根据等腰三角形的性质得出再根据切线的判定定理可得出结论； （2）求出的长和的度数，根据勾股定理求出和长 ，再求出答案即可． 【详解】（1）证明：连接， ，， ， ∵是的半径， 是的切线． （2）解：， ∴， ∵， ∴， 同理，， ∴， 在中，， ∴， 由勾股定理得，， 阴影部分的面积． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理，切线的判定，扇形面积的计算等知识，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，为正方形对角线上一点，与以为圆心，长为半径的相切于点． (1)求证：与相切； (2)若正方形的边长为1，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)的半径为． 【知识点】用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长、证明某直线是圆的切线 【分析】此题综合了正方形的性质和圆的切线的性质和判定． （1）根据正方形的性质得到是角平分线，再根据角平分线的性质进行证明； （2）根据正方形的边长可以求得其对角线的长，根据等腰直角三角形的性质得到是圆的半径的倍，从而根据对角线的长列方程求解． 【详解】（1）证明：连接，过作于； 与相切， ， 四边形是正方形， 平分， ， 与相切； （2）解：四边形为正方形， ，，， ，， ， ； 又， ， ． 2．（2024·广西·模拟预测）如图，，，与交于点O，以O为圆心，长为半径作圆． (1)证明：是的切线； (2)已知 ，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、证明某直线是圆的切线 【分析】本题考查切线的判定，勾股定理，全等三角形的判定和性质，正确添加辅助线是解题的关键． （1）过O点作，垂足为点E，证明，推出，即可证明； （2）设的半径为r，，由得，用勾股定理解求出r，再用勾股定理解即可求出的长． 【详解】（1）证明：过O点作，垂足为点E， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵为半径， ∴为半径， 又∵， ∴是的切线； （2）解：在中，由勾股定理得， ∴， 设的半径为r，则， ∴， 由（1）得， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， 即， 解得：， 在中，由勾股定理得， 即， ∴． 3．（2024·上海·模拟预测）如图，是正方形对角线上一点，以为圆心，长为半径的与相切于点，与相交于点． (1)求证：与相切． (2)若正方形的边长为，点是半径上的一个动点，过点作交于点．当时，求的长 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质证明、证明某直线是圆的切线 【分析】（）如图，连接，过点作于，证明，得到，即可求证； （）连接，并反向延长交于，连接，可得，得到，，进而得为等腰直角三角形，得到，设的半径为，则，，可得，即得，得到，即可得，得到，，再由可得，得到，最后利用勾股定理得到，进而利用勾股定理即可求解； 【详解】（1）证明：如图，连接，过点作于， ∵为的切线，点为切点， ∴， ∴， ∵四边形是正方形，是对角线， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴与相切； （2）解：连接，并反向延长交于，连接， ∵为的切线，点为切点， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∴， 设的半径为，则，， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了切线的判定和性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题24.5 解题技巧专题：圆中有关辅助线的作法 目录 【考点一 遇弦作弦心距或连接半径】 1 【考点二 遇直径构造直径所对的圆周角是直角】 7 【考点三 遇切线连接圆心和切点】 14 【考点四 证明切线若有切点，连半径，证垂直】 22 【考点五 证明切线若无切点，作垂直，证半径】 32 【典型例题】 【考点一 遇弦作弦心距或连接半径】 例题：（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，的半径为2，弦，，则的长为 ． 【变式训练】 1．（2024·广东广州·模拟预测）刺绣是我国独有的一门传统艺术，它承载着大量中国民族文化的意义．圆形刺绣作品展示木架的设计简图如图所示，已知、、分别与圆相交于点A、点E、点D，，，，，则圆形刺绣作品的半径为 ． 2．（2024·贵州遵义·一模）如图，是的直径，将弧沿弦折叠后，弧刚好经过圆心．若，则的半径长是 ． 3．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径，水面宽，某天下雨后，水面宽度变为，则此时排水管水面上升了 ． 4．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在半径为的中，弦与相交于点，求的长． 【考点二 遇直径构造直径所对的圆周角是直角】 例题：（2024·广东惠州·三模）如图，是的直径，上的两点A，B分别在直径的两侧，且，则的度数为 ； 【变式训练】 1．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）如图，内接于，是直径，若，则 ． 2．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）已知：如图，在中，，以为直径的与边相交于点，，垂足为点E． (1)求证：点是的中点； (2)若，则的长______．（直接写答案） 3．（23-24九年级上·江苏淮安·期中）如图，在中，，以为直径的分别交于点D、E． (1)求证：点E是的中点； (2)若，求的度数． 4．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）如图，在中，，以为直径作，交于点D，交于点E． (1)求证：点D是边的中点． (2)记的度数为α，的度数为β．探究α与β的数量关系． 5．（24-25九年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，在中，，以为直径的分别交于点，交于点，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【考点三 遇切线连接圆心和切点】 例题：（24-25九年级上·广西柳州·期中）如图，与相切于点C， ，的直径为，，求长． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·江西赣州·期中）如图，P为外一点，，是的切线，A，B为切点，点C在上，连接，，． (1)求证：； (2)连接，若，的半径为5，，求的长． 2．（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）如图所示，是的内接三角形，过点作的切线，与的直径所在的直线相交于点，连接，其中，． (1)求的大小； (2)点在圆上移动时，当与恰巧全等，求的长． 3．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，已知是的直径，点C在上，D为外一点，且，直线为的切线．    (1)若，求的半径． (2)试说明：． 4．（2024·江西南昌·模拟预测）定理证明：    （1）如图1，，是的两条切线，切点分别为，，求证：； 定理应用： （2）如图2，是⊙的内接等腰三角形，，，是的切线，若，求四边形的面积． 【考点四 证明切线若有切点，连半径，证垂直】 例题：（23-24九年级上·山东·单元测试）如图，以的边为直径的交边于点，且过点的的切线平分边，交于． (1)求证：是的切线． (2)当满足什么条件时，以点、、、为顶点的四边形是正方形？ 【变式训练】 1．（2023·新疆乌鲁木齐·一模）如图，是的直径，和分别切于，两点，与有公共点． 且． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 2．（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，在中，，以为直径的与相交于点，过点作，交于点E． (1)求证：是的切线； (2)若的直径为5，，求的长． 3．（23-24九年级上·甘肃定西·期末）如图，是⊙的直径，切⊙于点，点是⊙上的一点，且，． (1)求证：是⊙的切线； (2)若⊙的半径为，求弦及，的长． 4．（2024·内蒙古通辽·模拟预测）如图所示，在中，经过A、B两点的交于点E，圆心O在上过点交于点D，连接交于点E．若． (1)求证：是的切线． (2)若，．求的长； 5．（2024·甘肃武威·三模）如图，为的直径，，为上不同于，的两点，且位于异侧，，过点作交的延长线于点，交的延长线于点．      (1)求证：为的切线； (2)若，，求点到的距离． 【考点五 证明切线若无切点，作垂直，证半径】 例题：（22-23九年级上·甘肃定西·期末）如图，已知直线经过上的点，且． (1)求证：直线是的切线． (2)若，求阴影部分的面积． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，为正方形对角线上一点，与以为圆心，长为半径的相切于点． (1)求证：与相切； (2)若正方形的边长为1，求的半径． 2．（2024·广西·模拟预测）如图，，，与交于点O，以O为圆心，长为半径作圆． (1)证明：是的切线； (2)已知 ，求的长． 3．（2024·上海·模拟预测）如图，是正方形对角线上一点，以为圆心，长为半径的与相切于点，与相交于点． (1)求证：与相切． (2)若正方形的边长为，点是半径上的一个动点，过点作交于点．当时，求的长 学科网（北京）股份有限公司 $$